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学案29 平面向量的基本概念及线性运算


序号:No.29

向量的基本概念
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双基回扣 自主学习

学习札记

1.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义,理解向量的几何表示. 2.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义,掌握向量数乘的运算,理解两个向 量共线的含义,了解向量线性运算的性质及其几何意义 3.了解平面向量的基本定理及其意义,掌握平面向量的正交分解及其坐标表示,会用坐 标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

1.向量的有关概念 既有① ③ ④ 方向⑤ ⑦ ⑨ 且⑧ 且⑩ 又有② 的量叫做向量.

的向量叫做零向量,记作 0,规定零向量的方向是任意的. 的向量叫做单位向量. 的⑥ 向量叫做平行向量(或共线向量) 的向量叫做相等向量. 的向量叫做相反向量.

2.向量的表示方法: 3.向量的运算

用小写字母表示,用有向线段表示,用坐标表示.

加法、减法运算法则:平行四边形法则、三角形法则. 实数与向量的积: 实数λ 与向量 a 的积是一个向量, 记作λ a, 它的长度和方向规定如下: (1)|λ a|= ; ;当 λ <0 时, λ a 的方向与 a 的方

(2) 当 λ >0 时 , λ a 的方向与 a 的方向 向 ;当λ =0 时,λ a= . 运算律:交换律、分配律、结合律.

4.平面向量共线定理:向量 b 与非零向量 a 共线的充分必要条件是 . 5.平面向量基本定理: 如果 e1、e2 是同一平面内两个 实数λ 1,λ 2,使 a=λ 1e1+λ 2e2. 6.平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系内,分别取与 x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量 i、j 作为基底,
1

的向量,那么对这个平面内任一向量 a ,

对任一向量 a, x、y,使得 a=xi+yj,则实数对 叫做向量 a 的直角 坐标,记作 a=(x,y),其中 x、y 分别叫做 a 在 x 轴、y 轴上的坐标,a=(x,y)叫做向量 a 的坐标表示.相等的向量坐标 , 坐标相同的向量是 的向量. 7.平面向量的坐标运算 (1)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a±b= (2)如果 (3)若 a=(x,y)则λ a= 8.平行与垂直的充要条件: (1)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件是 (2)a=(x1,y1),b=(x2,y2)则 a⊥b 的充要条件是 9.向量的夹角:两个非零向量 a 和 b,作 OA =a, OB =b,则 与 b 的夹角,记作 b 垂直,记作 ;如果夹角是 . ; . 叫做向量 a ,我们说 a 与 ,则 AB = . . .

1.下列说法正确的是( ) A.平行向量就是与向量所在直线平行的向量 B.长度相等的向量叫相等向量 C.零向量的长度为 0 D.共线向量是在一条直线上的向量 2.若向量 a ? ? x,1? , b ? ? 4, x ? ,则当 x= 时,a 与 b 共线且方向相同.

3. (2010 ? 合肥高三质检)如图,已知AB ? a, AC ? b, BD ? 3DC,用a,b表示AD,则AD ?
A.a ? 3 1 3 b B. a? b 4 4 4 1 1 3 1 C. a? b D. a? b 4 4 4 4 4. 若已知e1、e2是平面上的一组基底,则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ?
A.e1与 ? e2 B. 3e1与2e2 C.e1 ? e2与e1 ? e2 D. e1与2e1

?

?

?

  5. 若向量a ? ?1,1?,b ? (1, ? 1),c ? ? ?1, 2 ?,则 c等于 1 3 A. ? a? b 2 2 B. 1 3 a? b 2 2 C. 3 1 a? b 2 2

? ?
3 1 D. a? b 2 2

2

题型一 平面向量的基本概念、线性运算及简单性质 例 1 判断下列各题是否正确: (1)向量 a 与向量 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反; (2)四边形 ABCD 是平行四边形的充要条件是 AB ? DC; (3)已知λ ,μ ∈R,λ ≠μ ,则(λ +μ ) a 与 a 共线; (4)O 是平面内一定点,A、B、C 是平面内不共线的三个点,动点 P 满足
OP ? OA ? ? ( AB AB ? AC AC ), ? ? [0, ??) ,则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的内心;

(5)已知 A、 B、 C 是不共线的三点, O 是△ABC 内的一点,若 OA ? OB ? OC ? 0 ,则 O 是△ABC 的重心. 题型二 平面向量的坐标运算

例2.已知点A ? 4,0 ?,B ? 4, 4 ?,C ? 2,6 ?,试用向量方法求直线AC和OB(O为 坐标原点)交点P的坐标.

题型三 平面向量共线的坐标表示

例3.已知a ? ?1,2?,b ? ? ?3,2?,当实数k取何值时,ka ? 2b与2a ? 4b平行?

3

素材3 已知a ? ?1,0 ?,b ? ? 2,1?, ?1? 求 a ? 3b ;

? 2?当k为何实数时,ka ? b与a ? 3b平行?平行时它们是同向向是反向?

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