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2015-2016广州南沙期末联考高一年级数学试题及答案


2015-2016 学年第二学期期末教学质量检测 高一数学
本试卷共 5 页,22 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位 号填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑; 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.

答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用 铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 5.本次考试不允许使用计算器. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知 a ? R, b ? R ,且 a > b ,则下列不等式中一定成立的是( )

a A. ? 1 b

B. a ? b
2

2

?1? ?1? C. ? ? ? ? ? ? 2? ? 2?


a

b

D. lg( a ? b) ? 0

2.角 a 终边过点 (1, -2) ,则 sin a =(

A.

5 5

B.

2 5 5

C. ?

5 5

D. ?

2 5 5

3. cos( -

16p ) 的值是( ) 3 1 2
B. -

A. -

3 2

C.

1 2

D.

3 2

高一数学试卷 第 1 页 共 13 页

4.若 tan a A.

= 2 ,则

sin a - cos a =( sin a + cos a
1 3
C.



1 4

B.

2 3

D. (

3 4


5.在 DABC 中, AB = A. ? 2

BC = AC = 2 ,则
C. 1

B. ? 1

D. 2 )

6.设平面向量 a = (1,2), b = (-2, y ) ,若 a / / b ,则 2a - b 等于( A. 4 B. 5 C. 3 5 D. 4 5 ) D.80

7.在等差数列 an 中, a3 + a8 A.20 B.40

{ }

= 8 ,则 S10 = (
C.60

8.为了得到函数 y = cos( x +

1 2

p

1 ) 的图象,只要把 y = cos x 的图象上所有的点( 3 2
B.向右平移



A.向左平移

p
3

个单位长度

p
3

个单位长度

C.向左平移

2p 个单位长度 3

D.向右平移

2p 个单位长度 3

9.若关于 x 的方程 x 2 + ax + a 2 - a - 2 = 0 的一根大于 1,另一根小于 1,则 a 的取值范围为 ( ) A. 0 ? a ? 1 10.已知 cos a = B. a ? ?1 C. ? 1 ? a ? 1 D. a ? 1 )

?3 ? ? 12 p? ,a ?? p ,2p ÷ ,则 cos ? a - ÷ 的值为( 13 4? è2 ? è
B.

A.

5 2 13

7 2 13

C.

17 2 26

D.

7 2 26

高一数学试卷 第 2 页 共 13 页

11. 已知函数 y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,?? ? ? ? ? ) 一个周期的图象(如图 1) , 则这
y

个函数的一个解析式为( A. y ? 2sin(3 x ? C. y ? 2sin(3 x ?

) B. y ? 2sin(3 x ?

? ?
2 6

) )

?
6

2

) )
0
?2

D. y ? 2sin( x ?

3 2

?
2

? 3

? 2

x

图1 12.在实数集 R 中定义运算“*” ,对任意 a, b ? R , a * b 为唯一确定的实数,且具有性质: (1)对任意 a ? R , a * 0 = a ; (2) 对任意 a, b ? R , a * b = ab + ( a * 0) + (b * 0) ; 则函数 f ( x ) = e *
x

1 的最小值为( ex
B.3 C.6

) D.8

A.2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13.不等式 - x 2 - 2 x + 3 > 0的解集为 14.已知 cos a + sin a = ;(用区间表示)

1 ,则 sin2a = 2

;

15.已知 x, y 为正实数,且 x + y = 20 ,则 u = lg x + lg y 的最大值为 16.如图 2,设 A, B 两点在河的两岸,一测量者在

;

A 的同侧,在所在的河岸边选定一点 C ,

测出 AC 的距离为 50m, ?ACB = 45o , ?CAB = 105o 后,就可以计算出 A, B 两点的距离 为

m .

图2

高一数学试卷 第 3 页 共 13 页

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.(本小题满分10分) 已知向量a,b满足 a = 3, b = (1)求 a · b ; (2)求 a - b .

2 , a + b a - 2b = 4 .

(

)(

)

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = (1)求 (2)求

1 3sin x cos x - sin 2 x + . 2

f ( x ) 的最小正周期值; f ( x ) 的单调递增区间;

(3)求

p f ( x ) 在 [0, ] 上的最值及取最值时 x 的值. 2

19.(本小题满分 12 分) 已知数列 an 的前 n 项和为,且 Sn (1)求数列 an 的通项公式; (2)令 bn = 3 n ,求证:数列 bn 是等比数列.
a

{ }

= n2 + n ,

{ }

{ }

高一数学试卷 第 4 页 共 13 页

20.(本小题满分 12 分) 某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机,由于这两种产品的市场需求量 非常大,有多少就能销售多少,因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的 月供应量,以使得总利润达到最大。已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力, 通过调查,得到关于这两种产品的有关数据如下表: 资金 成本 劳动力(工资) 单位利润 单位产品所需资金(百元) 空调机 30 5 6 洗衣机 20 10 8 300 110 月资金供应量 (百元)

试问:怎样确定两种货物的月供应量,才能使总利润达到最大,最大利润是多少?

21.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,已知 a = 2, c = (1)求 sin C 和 b的值; (2)求 cos ? 2 A +

2,cos A = -

2 。 4

? è

p?
3÷ ?

的值.

22.(本小题满分 12 分) 已知正数数列 an 的前 n 项和为 S n ,点 P an , Sn 在函数 f ( x ) =

{ }

(

)

1 2 1 x + x 上 , 已知 2 2

b1 = 1, 3bn - 2bn-1 = 0 n ? 2, n ? N * ,
(1)求数列 an 的通项公式; (2)若 cn

(

)

{ }

= anbn ,求数列 { cn } 的前 n 项和 Tn ; < M 对任意正整数 n 恒成立,且 M - m = 9 ,说明理

(3)是否存在整数 m, M ,使得 m < Tn 由.

高一数学试卷 第 5 页 共 13 页

2015-2016 学年第二学期期末教学质量检测 参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 2 3 4 题号 1 答案 C D A B 5 A 6 D 7 B 8 C 9 C 10 D 11 A 12 B

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13. 14. 15. 2 16.

50 2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.(本小题满分10分) 已知向量a,b满足 a = 3, b = (1)求 a · b 解:因为

2,

(2)求 a - b .

所以 所以 (2)

………….4’ ……………….5’

高一数学试卷 第 6 页 共 13 页

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = (1)求 (2)求

1 3sin x cos x - sin 2 x + . 2

f ( x ) 的最小正周期; f ( x ) 的单调递增区间;

(3)求 解:(1)

p f ( x ) 在 [0, ] 上的最值及取最值时 x 的值. 2
1 2

f ( x ) = 3sin x cos x - sin 2 x + = =

3 1 (2sin x cos x ) + (1 - 2sin 2 x )..........1' 2 2 3 1 sin 2 x + cos 2 x 2 2

= sin 2 x cos

p

+ cos 2 x sin ..................2 ' 6 6

p

= sin(2 x + )............................3 ' 6
,所以

p

f ( x ) 的最小正周期是 p ;?????.4’

高一数学试卷 第 7 页 共 13 页

(2)

所以

f ( x ) 的单调递增区间为:

;??????.8’

(3)

p f ( x ) 在 [0, ] 上的最值及取最值时 x 的值. 2

故当

,即

时,

f ( x ) 有最大值,最大值为 1;??????11’

故当

,即

时,

f ( x ) 有最小值,最小值为

;?????.12’

19.(本小题满分 12 分) 已知数列 an 的前 n 项和为 S n ,且 Sn (1)求数列 an 的通项公式; (2)令 bn = 3 n ,求证:数列 bn 是等比数列; 解: (1)当 当 时, 时, ;………………..2’
a

{ }

= n2 + n ,

{ }

{ }

综上所述,数列 an 的通项公式为

{ }

…………….6’

高一数学试卷 第 8 页 共 13 页

(2)由(1)得 当 时,

……………..7’ ,………………8’ (常数)……………..10’



时,

所以数列 bn 是以 9 为首项,9 为公比的等比数列。??????.12’ 20.(本小题满分 12 分) 某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机,由于这两种产品的市场需求量 非常大,有多少就能销售多少,因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的 月供应量,以使得总利润达到最大。已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力, 通过调查,得到关于这两种产品的有关数据如下表: 资金 成本 劳动力(工资) 单位利润 单位产品所需资金(百元) 空调机 30 5 6 洗衣机 20 10 8 300 110 月资金供应量 (百元)

{ }

试问:怎样确定两种货物的月供应量,才能使总利润达到最大,最大利润是多少? 解:设供应空调机 x 台,洗衣机 y 台,由题意得?????1’

利润

?????.5’

作出上述不等式组的可行域,如图????.8’ ??????10’ 则当 x=4,y=9 时,z 最大,且此时 z=96(百元)?????11’ 答:空调机 4 台,洗衣机 9 台,可获最大利润 9600 元。????12’ 21.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,已知 a = 2, c = (1)求 sin C 和 b的值;

2,cos A = -

2 。 4

高一数学试卷 第 9 页 共 13 页

(2)求 cos ? 2 A +

? è

p?
3÷ ?

的值.

解: (1)在△ABC 中,

???1’



a c ? sin A sin C



sin C ?

c sin A ? a

2? 2

14 4 ?

7 ???3’ 4

? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bccos A
? 22 ? b2 ?
解得

? 2?

2

? 2? ? ? 2b ? 2 ? ? ? ? 4 ? ? ? ???5’

?????6’

(2)

? p? p p cos ? 2 A + ÷ = cos 2 A cos - sin 2 A sin 3? 3 3 è
1 3 = cos2 A sin 2 A.................7 ' 2 2



所以, cos ? 2 A +

? è

p?

1 ? 3? 3 ? 7? = i? - ÷ i? ................11' ÷ 3 ? 2 è 4? 2 è 4 ÷ ?

=

-3 + 21 .............12 ' 8

高一数学试卷 第 10 页 共 13 页

22.(本小题满分 12 分) 已知正数数列 an 的前 n 项和为 S n ,点 P an , Sn 在函数 f ( x ) =

{ }

(

)

1 2 1 x + x 上, 已知 2 2

b1 = 1, 3bn - 2bn-1 = 0 n ? 2, n ? N * ,
(1)求数列 an 的通项公式; (2)若 cn

(

)

{ }

= anbn ,求数列 { cn } 的前 n 项和 Tn ; < M 对任意正整数 n 恒成立,且 M - m = 9 ,说明理

(3)是否存在整数 m, M ,使得 m < Tn 由。

解.(1) ∵点 P(an , S n ) 在函数 f ( x ) ? ∴ Sn ?

1 2 1 x ? x上 2 2

1 2 1 a n ? a n ???????????????????????1’ 2 2 1 2 1 * ∴ S n ?1 ? a n ?1 ? a n ?1 , (n ? 2, n ? N ) 2 2 1 2 1 1 2 1 ∴ S n ? S n ?1 ? a n ? a n ? a n ? a n ?1 ? a n ?1 2 2 2 2
2 2 ∴ (an ? an ?1 ) ? (an ? an?1 ) ? 0 ,

∴ (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 1) ? 0 ????????????????????2’ ∵ an ? 0 ∴ an ? an?1 ? 1 ? 0 , 即 an ? an?1 ? 1

高一数学试卷 第 11 页 共 13 页

当 n ? 1 时, S1 ? a1 ?

1 2 1 a1 ? a1 2 2

∴ a1 ? 1 ??????????????????????????????3’ ∴数列 ?an ? 是以 1 为首项和公差的等差数列 ∴ an ? a1 ? (n ? 1)d ? n ???????????????????????4’ (2)∵ 3bn ? 2bn?1 ? 0, (n ? 2, n ? N * ) ∴

bn 2 ? bn ?1 3
2 为公比的等比数列??????????5’ 3

∴数列 ?bn ? 是以 b1 ? 1 为首项, ∴ bn ? b1q n?1 ? ? ?

? 2? ? 3?

n ?1

?2? ∴ cn ? a n bn ? n ? ? ? ?3?
1

n ?1

???????????????????????6’
2 3 n ?2 n ?1

? 2? ? 2? ? 2? ? 2? ∴ Tn ? 1 ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? (n ? 1) ? ? ? ? 3? ? 3? ? 3? ? 3? 2 ? 2? ? 2? ? 2? ? 2? Tn ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ? (n ? 1) ? ? ? 3 ? 3? ? 3? ? 3? ? 3?
∴由(Ⅰ)-(Ⅱ)得
1 2 3 n ?1

? 2? ? n?? ? ? 3?
n

(Ⅰ)

? 2? ? n?? ? ? 3?

(Ⅱ)

??????????????????7’
1 2 3 n?2 n ?1 n

1 ?2? ?2? ?2? ?2? Tn ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ?3? ?3? ?3? ?3? ?2? 1? ? ? n 3? ?2? ? ? ? n?? ? 2 ?3? 1? 3 ?2? ? 3 ? (3 ? n) ? ? ? ?3?
n n

?2? ?? ? ?3?

?2? ? n?? ? ?3?

高一数学试卷 第 12 页 共 13 页

? 2? ∴ Tn ? 9 ? (9 ? 3n) ? ? ? ??????????????????????9’ ? 3?
(3)假设存在整数 m, M ,使得 m ? Tn ? M 对任意正整数 n 恒成立,且满足 由(2)知, Tn ? 9 ? (9 ? 3n) ? ? ? ? 9

n

? 2? ? 3?

n

又 Tn?1

? 2? ? 9 ? [9 ? 3(n ? 1)] ? ? ? ? 3? ? 2? ? (6 ? 3n) ? ? ? ? 3?
n ?1

n ?1

∴ Tn ? Tn?1

? 2? ?2? ? (9 ? 3n) ? ? ? ? n ? ? ? ? 3? ?3?

n

n ?1

? 0 ?????10’

∴数列 ? Tn ?是单调递增数列 ∴ ?Tn ?min ? T1 ? 9 ? 12 ? ∴ ∴ , ?????????????????????11’

2 ?1 3

∴ 存 在 整 数 m, M , 使 得 m ? Tn ? M 对 任 意 正 整 数 n 恒 成 立 , 且 满 足 ???????12’

高一数学试卷 第 13 页 共 13 页


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