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3.1.4空间向量坐标表示和运算(第四课时)


3.1.4 空间向量的正交 分解及其坐标表示

空间向量运算 的坐标表示

一、向量的直角坐标运算

a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 )

设 a ? (a1 , a2 , a3 ), b ? (b1 , b2 , b3 ) , 则

a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 )

? a ? (? a1 , ? a2 , ? a3 )(? ? R)
a?b ?
a // b ?

a1b1 ? a2b2 ? a3b3
a1 ? ? b1 , a2 ? ? b2 , a3 ? ? b3 (? ? R)

a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0.(a, b都不是零向量)

若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则 AB = OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)

=(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)
空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个

向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.

二、距离与夹角的坐标表示
1.距离公式 (1)向量的长度(模)公式

已知 a ? ( x, y, z) ,则 a ? x ? y ? z
2 2

2

注意:此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。

(2)空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中,已知 A( x1 , y1 , z1 ) 、 B( x2 , y2 , z2 ) ,则

AB ?

( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 )
( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2
2 2 2

?| AB |? AB AB ?

d A, B ? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( z2 ? z1 )

2.两个向量夹角公式
已知 a ? ( x1 , y1 , z1 ) , b ? ( x2 , y2 , z2 ) 则 cos a , b ?
a?b a?b ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 x12 ? y12 ? z12 ? x2 2 ? y2 2 ? z2 2

注意:

(1)当 cos ? a , b ?? 1 时, a 与 b 同向;

a 与 b 反向; (2)当 cos ? a , b ?? ?1 时,
(3)当cos ? a , b ?? 0 时,a ? b 。

3.中点坐标公式 已知 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) x1 ? x2 y1 ? y2 z1 ? z2 , , ) 则线段 AB 的中点坐标为 ( 2 2 2

例1

B1 E1 ? 如图, 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,
A1 B1 ,求 BE1 4
C1 E1 B1

? D1 F1 ?

z

与 DF1 所成的角的余弦值.
解:设正方体的棱长为1,如图建 立空间直角坐标系 O ? xyz ,则

D1 A1

F1

? 1 ? D(0 , 0 , 0) , F1 ? 0 , ,1 ? . 4 ? ? D y C O 1 ? ? 3 ? ? BE1 ? ? 1 , , 1 ? ? (1 , 1 , 0) ? ? 0 , ? , 1 ? , 4 ? ? 4 ? ? A B 15 x ? 1 ? ? 1? 1 ? 1 ? DF1 ?? 0 , ,1 ?? (0 , 0 , 0)? ? 0 , ,1 ? . BE1 DF1 ? 0 ? 0 ? ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? , 16 ? 4? 4 ? 4 ? ? 4 ? 15 15 17 17 ? cos ? BE , DF ?? BE1 DF1 ? 16 ? . | BE1 |? , | DF1 |? . 1 1 | BE1 | ? | DF1 | 17 17 17 4 4 ? 4 4

? 3 ? B(1 , 1 , 0) , E1 ? 1 , , 1 ? , ? 4 ?

例 2 如图, 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E ,F 分别是 BB1 ,D1 B1 中点,求证: EF ? DA1
证明:如图,不妨设正方体的棱长为 1, 分别以 DA 、 DC 、 DD1 为单位正交基底 建立空间直角坐标系 Oxyz , 1 1 1 则 E (1 , 1 , ) , F ( , , 1) 2 2 2 1 1 1 EF ? ( ? , ? , ), 所以 2 2 2 又 A1 (1 , 0 , 1) , D(0 , 0 , 0) ,

所以 DA1 ? (1, 0 , 1) 1 1 1 所以 EF ? DA1 ? ( ? , ? , ) ? (1 , 0 , 1) ? 0 , 2 2 2 因此 EF ? DA1 ,即 EF ? DA1

例 3.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1中 , E 、F 分别是 BB1 、 CD 的中点,求证: D1F ? 平面ADE . z 证明: 设正方体的棱长为1,

? AD ? D1F . 又 AE ? (0,1, ), 2 1 1
又A D

1 则 AD ? ( ?1,0,0), D1F ? (0, , ?1), 1 2 AD ? D1F ? (?1,0,0) ? (0, , ?1) ? 0. 2 1

建立如图的空间直角坐标系

DA ? i , DC ? j , DD1 ? k .

D1

C1 B1

A1 D A

E F
B C

y

x

AE ? D1 F ? (0,1, ) ? (0, , ?1) ? 0. ? AE ? D1F . 2 2

A E= A , ? D1F ? 平面ADE .

另证 : 可以用三垂线定理证D 1F ? AD, AE ? AD得证.

例 4.如图,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中, O 是 B1D1 的中点,求证:B1C∥面 ODC1.

?1 ? b?a ) ? c? ? 则c?a ? x? ( ?2 ?

1 B C ? c ? a , C O ? ( a?b ), 证明:设 C1 B1 ? a , , 则 C1 D1 ? b , C1C ? c 1 1 2 1 OD ? OD1 ? c ? ( b?a ) ? c ,若存在实数 x , y ,使得 B1C ? xOD ? yOC1成立, 2
1 1 ? 1 ? y ?? ( a?b ) ? ? (x ? y ) a ? (x ? y ) b ? xc ? 2 2 ? 2 ?

b

∵ a, b ,不同面, c
?1 (x ? y )? 1 ?2 ? ? x ? 1 ∴ B1C ? OD ? OC1, ∴?1 ( x ? y ) ? 0 即 ? ? 2 ?y ?1 ? ?x ? 1 ? ?

a c

∵ B1C, OD , OC1 为共面向量,且 B1C不在OD , OC1所确定的平面ODC1 内 ∴ B1C // 平面ODC1,即B1C // 平面ODC1 .

小结:
1、空间向量的坐标运算; 2、利用向量的坐标运算判断空间几何关 系的关键:
首先要选定单位正交基,进而确定各向量 的坐标,再利用向量的坐标运算确定几何关系。


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