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浙江省嘉兴市第一中学2016届高三数学上学期期中试题 理


嘉兴市第一中学 2015 学年第一学期期中考试 高三数学(理科)
满分[150]分 时间[120]分钟

试题卷
2015 年 11 月

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知函数 y ? f ( x) ? x 是偶函数,且 f (2) ? 1 ,则 f (?2) ? ( ▲ ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2.已知 p : m ? 1 ? x ? m ? 1, q : ( x ? 2)( x ? 6) ? 0 ,且 q 是 p 的必要不充分条件,则 m 的取值范 围是( ▲ ) A. 3 ? m ? 5 B. 3 ? m ? 5 C. m ? 5或m ? 3 D. m ? 5或m ? 3 3.已知 m 为一条直线, ? , ? 为两个不同的平面,则下列说法正确的是( ▲ ) A.若 m // ? , ? // ? , 则m // ? C.若 m // ? , ? ? ? , 则m ? ? B.若 ? ? ?,m ? ? , 则 m ? ? D. 若 m ? ? , ? // ? , 则m ? ?

4.函数 f ?x? ? 1 ? 2 sin x(sin x ? 3 cos x) 的图象向左平移 函数 g ?x ? 的解析式是 ( ▲ ) A. g ?x ? ? 2 sin ? 2 x ?

? 个单位得函数 g ?x ? 的图象,则 3

? ?

??
? 2? 2? ? ? 3 ?

B. g ?x ? ? 2 cos2 x

C. g ?x ? ? 2 cos? 2 x ?

? ?

D. g ? x ? ? 2sin ? 2x ? ? ?

x+y-2≥0, ? ? 5.若 x,y 满足?kx-y+2≥0, ? ?y≥0,
A.-2 B. ?

且 z=y-x 的最小值为-4,则 k 的值为( ▲

)

1 2

C.

1 2

D.2

6.在 ?ABC 所在平面上有三点 M 、N、P ,满足 MA ? MB ? MC ? AB ,

??? ? ???? ???? ?

??? ?

??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? NA ? NB ? NC ? BC , PA ? PB ? PC ? CA , 则 ?MNP 的 面 积 与 ?ABC 的 面 积 比 为
( ▲ ) A.

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 5

-1-

7.设双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率为 e ,过 F2 的直线 a2 b2
2

与双曲线的右支交于 A, B 两点,若 ?F1 AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形,则 e ? ( ▲ ) A. 1 ? 2 2 B. 4 ? 2 2 C. 5 ? 2 2 D. 3 ? 2 2

8.设 min ? f ( x), g ( x)? ? ?

? f ( x),( f ( x) ? g ( x)) .若 f ( x) ? x2 ? px ? q 的图象经过两点 ? g ( x),( f ( x) ? g ( x))
( ▲ )

(? ,0),( ? ,0) ,且存在整数 n,使得 n ? ? ? ? ? n ? 1 成立,则
1 4 1 C. min ? f (n), f ( n ? 1)? ? 4
A. min ? f (n), f ( n ? 1)? ?

1 4 1 D. min ? f (n), f ( n ? 1)? ? 4
B. min ? f (n), f ( n ? 1)? ?
x

二、填空题:本大题共 7 小题,9-12 题:每小题 6 分,13-15 题:每小题 4 分,共 36 分. 9.已知全集为 R ,集合 A ? x 2 ? 1 , B ? x x ? 6 x ? 8 ? 0 ,则 A ? B ?
2

?

?

?

?



.

A ? CR B ?



. CR ( A ? B) ?



.

10.已知等差 数列 {an } , 且满 足 a4 ? 10, S6 ? S3 ? 39 , 则数列 {an } Sn 是数列 {an } 的前 n 项和, 的首项 a1 ? ____▲___ ,通项 an ? ___ ▲___. 11.某空间几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积 V = ▲ cm3,表面积 S = ▲ cm2. 12.已知函数 f ? x ? ? ?

?? a ? 1? x ? 4 ? a
x ?6

x?7

f ?x ? 的值域为 ▲ 实数 a 的取值范围是

x?7 , (2)若 f ?x ? 是 (??, ??) 上的减函数,则
▲ .

;(1)当 a ?

1 时, 2

13. 已 知 平 面 向 量 ? , ? (? ? ? ) 满 足 | ? ? |

3且 ? 与
. ▲ .

? ? ? 的夹角为150?, 则 |m? ? (1 ? m)? | 的取值范围是 _▲

2 2 2 14.已知 实数 x 、 y 、 z 满足 x ? y ? z ? 0 , x ? y ? z ? 1 ,则 x 的最大值为

15. 三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底是边长为 1 的正三角形,高 AA1 ? 1 , 在 AB 上取一点 P , 设

?PAC 1 1 与面 A 1B 1 C1 所成的二面角为 ? , ?PB 1C1 与面 A 1B 1 C1 所成的二面角为 ? ,则
tan( ? ? ? )的最小值是
▲ .

-2-

三、解答题(共 5 小题,共 74 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本题满分 15 分) 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 cos2 A ? 3 cos(B ? C ) ? 1 . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 cos B cos C ? ? ,且 ?ABC 的面积为 2 3 ,求 a .

1 8

17. (本题满分 15 分) 如图,已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,三角形 ACD 是正三角形,且 AD=DE=2AB,F 是 CD 的中点. E (Ⅰ)求证:平面 CBE⊥平面 CDE; (Ⅱ)求二面角 C—BE—F 的余弦值. B

A C 18. (本题满分 15 分) 平面直角坐标系 xOy 中, 过椭圆 M : D

F

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 右焦点的直线 x ? y ? 3 ? 0 a 2 b2
1 . 2

交 M 于 A, B 两点, P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 (Ⅰ)求椭圆 M 的方程;

(Ⅱ) C , D 为 M 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD ? AB ,求四边形 ACBD 面积的 最大值.

-3-

19. (本题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? 1, g ( x) ? a | x ? 1| . (Ⅰ)若当 x ? R 时,不等式 f ( x) ≥ g ( x) 恒成立,求 实数 a 的取值范围; (Ⅱ)求函数 h( x) ?| f ( x) | ? g ( x) 在区间 [?2, 2] 上的最大值.

20. (本题满分 14 分)

已知数列 ?an ? 满足:





(Ⅰ)求

的值;

(Ⅱ)设

,试求数列

的通项公式;

(Ⅲ) 对于任意的正整数 n, 试讨论并证明



的大小关系.

-4-

-5-

嘉兴一中 2015 学年第一学 一.选择题 DBCA BBCB 二.填空题

期期中考试数学理科答案

9.



10. .

11.



12. (1)

(2)

13.

14.

15.



是三棱柱的高 . 过



, 设 AP=

, BP=



,同理

-6-

(当

时取等号)

16. (Ⅰ)由

得,

,……………2 分

即 去) ……………4 分

, 所 以 ,



(



因为

为三角形内角,所以

.…………………6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知









,得

,………………………9 分

由正弦定理,有

,即



,……………12 分

-7-

由三角形的面积公式,得

,即



解得

.………………………15 分

17. (1)证明:因为 DE⊥平面 ACD,DE 所以平面 CDE⊥平面 ACD.

平面 CDE, 第 17 题. AF⊥平面 CDE

在底面 ACD 中,AF⊥CD,由面面垂直的性质定理知, 取 CE 的中点 M,连接 BM、FM, 由已知可得 FM=AB 所以 BM⊥平面 CDE. 又

且 FM∥AB, 则四边形 FMBA 为平行四边形, 从而 BM∥AF.

BM





BCE









CBE⊥





CDE.……………………………………………7 分 法一: (2)过 F 作 FN⊥CE 交 CE 于 N,过 N 作 NH⊥BE,连接 HF,

则∠N

HF 就是二面角 C—BE—F 的平面角.

在 Rt△FNH 中,NH=

,FH=



所以 故 二 面 角

C—BE—F











………………………………………………………15 分

-8-

法二:以 F 为坐标原点,FD、FA、FM 所在直线为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,则 y

E B , C(-1,0,0), M A z

F(0,0,0),E(1,0,2) , B(0,

,1)

可求得面 FBE 的一个法向量为



C

F

D

x

平面 CBE 的一个法向量为 则



故二面角 C—BE—F 的余弦值为 分

.…………………………………………15

18.解: (Ⅰ)设

将 A、B 代入得到

,则(1)-(2)得到

,由直线 AB:

的斜率 k=-1,

所以

,OP 的斜率为

,所以

,由

-9-

得到

,所以 M 得标准方程为



(Ⅱ)若四边形

的对角线

,由面积公式



知,当 CD 最长时四边形

面积最大,由直线 AB:

的斜率 k=-1,

设 CD 直线方程为

,与椭圆方程

联立得:







,当 m=0 时 CD 最大值为 4,

联立直线 AB:

与椭圆方程





同理利用弦长公式





- 10 -

19. 解: (1)不等式



恒成立,即

(*)对

恒成立,

①当

时, (*)显然成立,此时



②当

时, (*)可变形为

,令

因为当

时,

,当

时,

,所



,故此时

.

综合①②,得所求实数

的取值范围是

.

(2)因为

=

- 11 -

①当

时,结合图形可知



上递减,



上递增,



, 经比较, 此时



上的最大值为

.

②当

时,结合图形可知





上递减,





上递增,且





经比较,知此时



上的最大值为

- 12 -

.

③当

时,结合图形可知





上递减,





上递增,且





经比较,知此时



上的最大值为

.

④当

时,结合图形可知





上递减,





上递增,且

,



- 13 -

经比较,知此时



上的最大值为

.



时,结合图形可知



上递减,在

上递增,

故此时



上的最大值为

.

综上所述,当

时,



上的最大值为





时,



上的最大值为





时,



上的最大值为 0.

20.(本小题满分 14 分)

- 14 -

解: (Ⅰ)∵















.

………………3 分

(Ⅱ)由题设,对于任意的正整数

,都有:



∴ 差的等差数列.

.∴ 数列

是以

为首项,

为公



.

…………………………………………………………7 分

(Ⅲ)对于任意的正整数







时,





时,



- 15 -

当 证明如下:

时,

.

……………………………………8 分

首先,由

可知

时,



其次,对于任意的正整数



时,

; …………………9 分

时,

所以,

.

…………………10 分

时,

- 16 -

事实上,我们可以证明:对于任意正整数



( *) (证

明见后) ,所以,此时, 综上可知:结论得证.

. …………………12 分

对于任意正整数



(*)的证明如下:

1)当



)时,

, 满足(*)式。

2)当

时,

,满足(*)式。

3)当

时,

- 17 -

于是,只须证明 证.

,如此递推,可归结为 1)或 2)的情形,于是(*)得 …………………14 分

- 18 -


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