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高中数学高考总复习简单的线性规划习精品2


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高考总复习

高中数学高考总复习简单的线性规划习题及详解 一、选择题 1.(文)(2010· 北京东城区)在平面直角坐标系中,若点(-2,t)在直线 x-2y+4=0 的上 方,则 t 的取值范围是( A.(-∞,1) C.(-1,+∞) [答案] B [解析] ∵点 O(0,0)使 x-2y

+4>0 成立,且点 O 在直线下方,故点(-2,t)在直线 x- 2y+4=0 的上方?-2-2t+4<0,∴t>1. [点评] 可用 B 值判断法来求解,令 d=B(Ax0+By0+C),则 d>0?点 P(x0,y0)在直线 Ax+By+C=0 的上方;d<0?点 P 在直线下方. 由题意-2(-2-2t+4)>0,∴t>1. (理)(2010· 惠州市模拟)若 2m+2n<4,则点(m,n)必在( A.直线 x+y-2=0 的左下方 B.直线 x+y-2=0 的右上方 C.直线 x+2y-2=0 的右上方 D.直线 x+2y-2=0 的左下方 [答案] A [解析] ∵2m+2n≥2 2m n,由条件 2m+2n<4 知, 2 2m n<4,∴m+n<2,即 m+n-2<0,故选 A.
+ +

) B.(1,+∞) D.(0,1)

)

?x≥0 ? 2.(文)(09· 安徽)不等式组?x+3y≥4 ?3x+y≤4 ?
3 A. 2 4 C. 3 [答案] C [解析] 2 B. 3 3 D. 4

所表示的平面区域的面积等于(

)

?x+3y=4 ? 平面区域如图.解 ? 得 A(1,1),易得 ? ?3x+y=4

4 B(0,4),C?0,3?, ? ? 4 8 |BC|=4- = . 3 3

含详解答案

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1 8 4 ∴S△ABC= × ×1= . 2 3 3

?x+y≥2 ? (理)(2010· 重庆市南开中学)不等式组?2x-y≤4 ?x-y≥0 ?
A.3 2 C.6 [答案] D B.6 2 D.3

所围成的平面区域的面积为(

)

[解析] 不等式组表示的平面区域为图中 Rt△ABC,易求 B(4,4),A(1,1),C(2,0) ∴S△ABC=S△OBC-S△AOC

1 1 = ×2×4- ×2×1=3. 2 2

?y≤x ? 3.(文)(2010· 西安中学)设变量 x,y 满足约束条件?x+y≥2 ?y≥3x-6 ?
的最小值为( A.2 C.5 [答案] B ) B.3 D.7

,则目标函数 z=2x+y

?y≤x ? [解析] 在坐标系中画出约束条件 ?x+y≥2 ?y≥3x-6 ?

所表示的可行域为图中△ABC,其中

A(2,0),B(1,1),C(3,3),则目标函数 z=2x+y 在点 B(1,1)处取得最小值,最小值为 3. (理)(2010· 哈师大附中模考)已知 A(2,4),B(-1,2),C(1,0),点 P(x,y)在△ABC 内部及边 界运动,则 z=x-y 的最大值及最小值分别是( A.-1,-3 C.3,-1 [答案] B [解析] 当直线 y=x-z 经过点 C(1,0)时,zmax=1,当直线 y=x-z
含详解答案

)

B.1,-3 D.3,1

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经过点 B(-1,2)时,zmin=-3. 4.(2010· 四川广元市质检)在直角坐标系 xOy 中,已知△AOB 的三边所在直线的方程分 别为 x=0, y=0,2x+3y=30, 则△AOB 内部和边上整点(即坐标均为整数的点)的总数为( A.95 C.88 [答案] B [解析] 由 2x+3y=30 知,y=0 时,0≤x≤15,有 16 个; B.91 D.75 )

y=1 时,0≤x≤13;y=2 时,0≤x≤12; y=3 时,0≤x≤10;y=4 时,0≤x≤9; y=5 时,0≤x≤7;y=6 时,0≤x≤6; y=7 时,0≤x≤4;y=8 时,0≤x≤3; y=9 时,0≤x≤1,y=10 时,x=0. ∴共有 16+14+13+11+10+8+7+5+4+2+1=91 个. 5.(2010· 山师大附中模考)某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A 原 料 3 吨,B 原料 2 吨;生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨,B 原料 3 吨,销售每吨甲产品可获 得利润 5 万元,每吨乙产品可获得利润 3 万元.该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超 过 13 吨,B 原料不超过 18 吨.那么该企业可获得最大利润是( A.12 万元 C.25 万元 [答案] D [解析] 设生产甲、乙两种产品分别为 x 吨,y 吨, B.20 万元 D.27 万元 )

?3x+y≤13 ?2x+3y≤18 由题意得? x≥0 ?y≥0 ?



获利润 ω=5x+3y,画出可行域如图,

含详解答案

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?3x+y=13 ? 由? ,解得 A(3,4). ? ?2x+3y=18

5 2 ∵-3<- <- ,∴当直线 5x+3y=ω 经过 A 点时,ωmax=27. 3 3

?x-y+6≥0 ? 6.(文)(2010· 山东省实验中学)已知实数 x,y 满足?x+y≥0 ?x≤3 ?
值为 3a+9,最小值为 3a-3,则实数 a 的取值范围为( A.a≥1 C.-1≤a≤1 [答案] C B.a≤-1 D.a≥1 或 a≤-1 )

,若 z=ax+y 的最大

[解析] 作出可行域如图中阴影部分所示,则 z 在点 A 处取得最大值,在点 C 处取得最 小值.又 kBC=-1,kAB=1,∴-1≤-a≤1,即-1≤a≤1.

?x+4y-13≥0 ? (理)(2010· 寿光现代中学)已知变量 x,y 满足约束条件?2y-x+1≥0 ?x+y-4≤0 ?
点(x,y)使目标函数 z=x+my 取得最小值,则 m=( A.-2 C.1 [答案] C B.-1 D.4 )

,且有无穷多个

[解析] 由题意可知,不等式组表示的可行域是由 A(1,3),B(3,1),C(5,2)组成的三角形 及其内部部分.当 z=x+my 与 x+y-4=0 重合时满足题意,故 m=1.

含详解答案

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7.(2010· 广东五校)当点 M(x,y)在如图所示的三角形 ABC 区域内(含边界)运动时,目 标函数 z=kx+y 取得最大值的一个最优解为(1,2),则实数 k 的取值范围是( A.(-∞,-1]∪[1,+∞) B.[-1,1] C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,1) [答案] B [解析] 由目标函数 z=kx+y 得 y=-kx+z,结合图形,要使直线的截距 z 最大的一个 最优解为(1,2),则 0≤-k≤kAC≤1 或 0≥-k≥kBC=-1,∴k∈[-1,1]. )

?y≥x ? 8.(文)(2010· 厦门一中)已知 x、y 满足不等式组?x+y≤2 ?x≥a ?
小值的 3 倍,则 a=( A.0 2 C. 3 [答案] B ) 1 B. 3 D.1

,且 z=2x+y 的最大值是最

[解析] 依题意可知 a<1.作出可行域如图所示, z=2x+y 在 A 点和 B 点处分别取得最小 值和最大值.

?x=a ? 由? 得 A(a,a), ? ?y=x ?x+y=2 ? 由? 得 B(1,1), ? ?x=y

含详解答案

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1 ∴zmax=3,zmin=3a.∴a= . 3

?y≥0 ? (理)已知实数 x,y 满足?y≤2x-1 ?x+y≤m ?
等于( A.7 C.4 [答案] B )

,如果目标函数 z=x-y 的最小值为-1,则实数 m

B.5 D.3

[解析] 画出 x,y 满足条件的可行域如图所示,可知在直线 y=2x-1 与直线 x+y=m 的交点 A 处,目标函数 z=x-y 取得最小值.

? ?y=2x-1 由? , ? ?x+y=m

?x=m+1 3 解得? 2m-1 ?y= 3
即点 A 的坐标为?



m+1 2m-1? ? 3 , 3 ?.

m+1 2m-1 将点 A 的坐标代入 x-y=-1,得 - =-1,即 m=5.故选 B. 3 3 二、填空题

?x-y≥0 ? 9. 设变量 x, 满足约束条件?x+y≤1 y ?x+2y≥1 ?
[答案] 2

, 则目标函数 z=2x+y 的最大值为________.

[解析] 可行域为图中阴影部分△ABC,显然当直线 2x+y=z 经过可行域内的点 A(1,0) 时,z 取最大值,zmax=2.

含详解答案

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10.(2010· 四川广元市质检)毕业庆典活动中,某班团支部决定组织班里 48 名同学去水 上公园坐船观赏风景,支部先派一人去了解船只的租金情况,看到的租金价格如下表,那么 他们合理设计租船方案后,所付租金最少为________元. 船型 大船 小船 [答案] 116 [解析] 设租大船 x 只,小船 y 只,则 5x+3y≥48,租金 z =12x+8y,作出可行域如图, 5 3 ∵- <- ,∴当直线 z=12x+8y 经过点(9.6,0)时,z 取最 3 2 小值,但 x,y∈N, ∴当 x=9,y=1 时,zmin=116. 每只船限载人数 5 3 租金(元/只) 12 8

?x≥1,y≥1 ? 11.(文)(2010· 淮南一中)已知 M、N 是不等式组?x-y+1≥0 所表示的平面区域内的 ?x+y≤6 ?
不同两点,则|MN|的最大值是________. [答案] 17

[解析] 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示,由图形易知,点 D(5,1)与点 B(1,2)的距离最大,所以|MN|的最大值为 17.

(理)如果直线 y=kx+1 与圆 x2+y2+kx+my-4=0 相交于 M、N 两点,且 M、N 关于

含详解答案

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?kx-y+1≥0 ? 直线 x+y=0 对称,点 P(a,b)为平面区域?kx-my≤0 ?y≥0 ?
是________.

b+1 内任意一点,则 的取值范围 a-1

1 [答案] ?-1,-2? ? ? [解析] ∵直线 y=kx+1 与圆 x2+y2+kx+my-4=0 相交于 M、N 两点,且 M、N 关 k 于 x+y=0 对称,∴y=kx+1 与 x+y=0 垂直,∴k=1,而圆心在直线 x+y=0 上,∴- + 2

?-m?=0,∴m=-1,∴作出可行域如图所示,而b+1表示点 P(a,b)与点(1,-1)连线的 ? 2? a-1
斜率, ∴kmax= 0+1 1 =- ,kmin=-1, 2 -1-1

1 ∴所求取值范围为?-1,-2?. ? ?

?x≤my+n ? 12.若由不等式组?x- 3y≥0 ?y≥0 ?

(n>0)确定的平面区域的边界为三角形,且它的外接圆

的圆心在 x 轴上,则实数 m=________.

[答案] -

3 3

[解析] 根据题意,三角形的外接圆圆心在 x 轴上, ∴OA 为外接圆的直径, ∴直线 x=my+n 与 x- 3y=0 垂直, 1 1 3 ∴ × =-1,即 m=- . m 3 3 三、解答题

含详解答案

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?2x+y-12≤0 ? 13.(2010· 辽宁锦州)若 x、y 满足条件?3x-2y+10≥0 ?x-4y+10≤0 ?
出相应的 x、y 值. [解析] 根据条件作出可行域如图所示,

,求 z=x+2y 的最小值,并求

?x+4y-10=0 ? 解方程组? ,得 A(-2,2). ? ?3x-2y+10=0

再作直线 l:x+2y=0,把直线 l 向上平移至过点 A(-2,2)时,z 取得最小值 2,此时 x =-2,y=2. 14.(2010· 茂名模考)某工厂生产甲、乙两种产品,每种产品都有一部分是一等品,其余 是二等品, 已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多 0.25, 甲产品为二等品的 概率比乙产品为一等品的概率少 0.05. (1)分别求甲、乙产品为一等品的概率 P 甲,P 乙; (2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示,且该厂有工人 32 名,可用资 金 55 万元.设 x,y 分别表示生产甲、乙产品的数量,在(1)的条件下,求 x,y 为何值时,z =xP 甲+yP 乙最大,最大值是多少?

工人(名)

资金(万元)

甲 乙
?P甲-P乙=0.25 ? [解析] (1)依题意得? , ? ?1-P甲=P乙-0.05 ?P甲=0.65 ? 解得? , ? ?P乙=0.4

4 8

20 5

故甲产品为一等品的概率 P 甲=0.65,乙产品为一等品的概率 P 乙=0.4. (2)依题意得 x、y 应满足的约束条件为
含详解答案

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?4x+8y≤32 ?20x+5y≤55 ?x≥0 ?y≥0 ?
域.

,且 z=0.65x+0.4y.

作出以上不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分), 即可行

作直线 b:0.65x+0.4y=0 即 13x+8y=0,把直线 l 向上方平 移到 l1 的位置时,直线经过可行域内的点 M,且 l1 与原点的距离 最大,此时 z 取最大值.
?x+2y=8 ? 解方程组? ,得 x=2,y=3. ? ?4x+y=11

故 M 的坐标为(2,3),所以 z 的最大值为 zmax=0.65×2+0.4×3=2.5

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