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2011《金版新学案》高三数学一轮复习 第六章概率阶段质量检测四 文 北师大版


阶段质量检测(四)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分.共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.某学校有高一学生 720 人,现从高一、高二、高三这三个年级学生中采用分层抽样 的方法,抽取 180 人进行英语水平测试,已知抽取的高一学生数是抽取的高二学生数、高三 学生数的等差中项,且高二年级抽取 40 人,则该校高三学生人数是( ) A.480 B.640 C.800 D.960 【解析】 设抽取的高三学生人数为 x, 40+x 40+x 则高一的学生人数为 ,∴ +40+x=180, 2 2 解得 x=80(人), 抽取高一学生人数为 60(人), 全校总人数为 720×180÷60=2 160(人), 高三的学生人数为 2 160×80÷180=960(人). 【答案】 D 2.在一底面半径和高都是 2 m 的圆柱形容器中盛满小麦种子,但有一粒带麦锈病的种 3 子混入了其中.现从中随机取出 2 m 的种子,则取出带麦锈病的种子的概率是( ) 1 1 1 1 A. B. C. D.1- 4 8π 4π 4π 2 【解析】 可用体积作为几何度量, 易知取出带有麦锈病的种子的概率为 P= 2 π ·2 ·2 1 = . 4π 【答案】 C 3.袋中有 2 个白球,2 个黑球,从中任意摸出 2 个(每个小球被摸到是等可能的),则 至少摸出 1 个黑球的概率是( ) 3 5 1 1 A. B. C. D. 4 6 6 3 【解析】 把球编号,则试验会出现(白 1,白 2),(白 1,黑 1),(白 1,黑 2),(白 2, 黑 1),(白 2,黑 2)和(黑 1,黑 2),共有 6 种等可能的结果.所以是古典概型.事件“至 少摸出 1 个黑球”,所含的基本事件是(白 1,黑 1),(白 1,黑 2),(白 2,黑 1),(白 2, 黑 2),(黑 1,黑 2)共有 5 种.根据古典概型概率公式得事件“至少摸出 1 个黑球”的概率 5 是 . 6 【答案】 B 4.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 k 的值是( )

A.4 B.5 C.6 D.7 S 【解析】 当 k=0,S=0 时,执行 S=S+2 后 S 变为 S=1.此时执行 k=k+1 后 k= S 1 1.当 k=1,S=1 时,执行 S=S+2 后,S=1+2 =3,此时执行 k=k+1 后 k=2.当 k=2, S 3 S=3 时,执行 S=S+2 后,S=3+2 =11,此时执行 k=k+1 后,k=3.当 k=3,S=11 时,

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1

继续执行 S=S+2 =11+2 ,执行 k=k+1 后 k=4,此时 11+2 >100,故输出 k=4. 【答案】 A 5.程序: S=1 i=1 WHILE i<=10 S= i=i+1 WEND PRINT“=”;S END 以上程序用来( ) 9 A.计算 3×10 的值 B.计算 3 的值 10 C.计算 3 的值 D.计算 1×2×3×?×10 的值 【解析】 由循环语句的运行过程可知. 【答案】 C 6. 如图, 四边形 ABCD 是一个边长为 1 的正方形, △MPN 是正方形的一个内接正三角形, 且 MN∥AB,若向正方形内部随机投入一个质点,则质点恰好落在△MPN 的概率为( )

S

11

11

A.

B.

3 2

C.

3 3

D.

3 4

3 4 S△MNP 3 【解析】 易知质点落在三角形 MNP 内的概率 P= = = . S□ABCD 1 4 【答案】 D 7.

某工厂对一批产品进行了抽样检测, 右图是根据抽样检测后的产品净重(单位: 克)数据 绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是 [96,106] ,样本数据分组为 [96,98) , [98,100),[100,102),[102,104),[104,106].已知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36,则样本中净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数是( ) A.90 B.75 C.60 D.45 【解析】 产品净重小于 100 克的频率为(0.050+0.100)×2=0.300, 已知样本中产品 36 净重小于 100 克的个数是 36,设样本容量为 n,则 =0.300,所以 n=120.净重大于或等 n 于 98 克并且小于 104 克的产品的频率为(0.100+0.150+0.125)×2=0.75,所以样本中净 重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数是 120×0.75=90,故选 A. 【答案】 A 8.在实数的原有运算法则中,我们补充定义新运算 ,其中 S= 的运算原理 如图所示,则集合{y|y= - ,x∈[-2,2]}(注:“·”和“-”仍为通常 的乘法和减法)的最大元素是( ) A.-1 B.1 C.6 D.12
用心 爱心 专心 2

【答案】 C 9.

某校对高三年级的学生进行体检, 现将高三男生的体重(单位: kg)数据进行整理后分成 五组,并绘制频率分布直方图(如图所示).根据一般标准,高三男生的体重超过 65 kg 属于 偏胖,低于 55 kg 属于偏瘦,已知图中从左到右第一、第三、第四、第五小组的频率分别为 0.25,0.20,0.10,0.05,第二小组的频率数为 400,则该校高三年级的男生总数和体重正常 的频率分别为( ) A.1 000,0.50 B.800,0.50 C.1 000,0.60 D.800,0.60 【解析】 由已知可得第二组的频率为 1-(0.25+0.2+0.1+0.05)=0.4,由于其相 400 应的频数为 400,故总体容量为 =1 000,体重正常的频率即为第二小组和第三小组频率 0.4 之和, 即:0.4+0.2=0.6. 【答案】 C 10. 在发生某公共卫生事件期间, 有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模 群体感染的标志为“连续 10 天,每天新增疑似病例不超过 7 人”.根据过去 10 天甲、乙、 丙、丁四地新增疑似病例数据,一定符合该标志的是( ) A.甲地:总体均值为 3,中位数为 4 B.乙地:总体均值为 1,总体方差大于 0 C.丙地:中位数为 2,众数为 3 D.丁地:总体均值为 2,总体方差为 3 【解析】 由于甲地总体均值为 3,中位数为 4,即中间两个数(第 5、6 天)人数的平均 数为 4,因此后面的人数可以大于 7,故甲地不符合.乙地中总体均值为 1,因此这 10 天的 感染人数总和为 10, 又由于方差大于 0, 故这 10 天中不可能每天都是 1, 可以有一天大于 7, 故乙地不符合.丙地中中位数为 2,众数为 3,3 出现的最多,并且可以出现 8,故丙地不符 合.故丁地符合. 【答案】 D 11. 如图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上, 七位评委为某选手打出的分数 的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为( ) A.84,4.84 B.84,1.6

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C.85,4

D.85,1.6

【解析】 根据茎叶图可得这 7 个数据分别为:79,84,84,86,84,87,93,则去掉一个最 1 1 2 2 高分和一个最低分后的平均分为 x = ×(84×3+86+87)=85, 方差为 s = [(84-85) ×3 5 5 2 2 +(86-85) +(87-85) ]=1.6. 【答案】 D 12.图 1 是某市参加 2008 年高考的学生身高条形统计图,从左到右的各条形表示的学 生人数依次记为 A1,A2,?,A10(如 A2 表示身高(单位:cm)在[150,155)内的学生人数). 图 2 是统计图 1 中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高在 160~180 cm(含 160 cm,不含 180 cm)的学生人数,那么在流程图中的“?”所代表的数与 判断框内应填写的条件分别是( )

A.4,i<9 B.4,i<8 C.3,i<9 D.3,i<8 【解析】 据题意当 s=0 时,i=4 且判断框中为 i<8 时,第一次得 s=A4,第二次得 s =A4+A5,?,一直到 i≥8 时终止,解答此类题目可先试着让程序运行几次找到规律,再推 广到一般. 【答案】 B 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上) 13.阅读如图所示的程序框图,若输入的 n 是 100,则输出的变量 S 的值是________.

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【解析】 由所给的程序框图可知是求 S=100+99+98+?+2=5 049. 【答案】 5 049 2 14.若 a∈{1,2},b∈{-2,-1,0,1,2},方程 x +ax+b=0 的两根均为实数的概率为 ________ 2 2 【解析】 若方程有两实根需 a -4b≥0?a ≥4b,则满足条件的(a,b)的基本事件有: (1,-2),(1,-1),(1,0),(2,-2),(2,-1),(2,0),(2,1),共有 7 种情况,而整 7 个基本事件空间共有 2×5=10 种情况,故方程有实根的概率为 . 10 7 【答案】 10 15.

已知米粒等可能地落入如图所示的四边形 ABCD 内,如果通过大量的实验发现米粒落入 △BCD 内的频率稳定在 附近,那么点 A 和点 C 到直线 BD 的距离之比约为 . 【解析】 由题意知米粒落入三角形 BCD 内的概率等于其面积与四边形 ABCD 面积之比, 即三角形 BCD 的面积与三角形 ABD 面积之比为 4∶5,故点 A 到直线 BD 的距离与点 C 到直线 BD 的距离之比即为两三角形面积之比即为 5∶4.

16. 某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况, 具体数据如下 表:

则可判断约有________的把握认为“主修统计专业与性别之间有关系”. 2 50(13×20-7×10) 2 【解析】 因为 = ≈4.84>3.841, 20×30×23×27

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所以有 95%的把握认为主修统计专业和性别有关. 【答案】 95% 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 17.(10 分)数列{an}满足 a1=1,a2=1,an=an-2+an-1(n≥3,n∈N+),画出计算第 n 项的程序框图. 【解析】 程序框图如下:

18.(11 分)某高级中学高三 1 班有男生 33 人,女生 22 人,用分层抽样的方法找出 5 人组成一个课外活动小组.求: (1)某同学被选到的概率是多少,该活动小组有几个男生几个女生; (2)从中选出正副组长各一人,则正组长为男生的概率是多少; (3)组长中至少有一个女生的概率是多少. 5 1 【解析】 (1)概率为: = ,5 人中有男生 3 人,女生 2 人 55 11 (2)设 3 男生用 1、2、3 表示,两女生用 a、b 表示,从 5 人中取 2 人担任正副组长的基 本事件空间为: Ω ={(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,a),(a,1),(1,b),(b,1),(2,3),(3,2), (2,a),(a,2),(2,b),(b,2),(3,a),(a,3),(3,b),(b,3),(a,b),(b,a)},有 20 个基本事件 设从 5 人中取 2 人,正组长为男生的基本事件为 A,A={(1,2),(2,1),(1,3),(3,1), (1,a),(1,b),(2,3),(3,2),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}共有 12 个基本事件 12 3 所以 P(A)= = 20 5 (3)设从 5 人中取 2 人,组长至少有一个女生的基本事件为 B,B={(1,a),(a,1),(1, b),(b,1),(2,a),(a,2),(2,b),(b,2),(3,a),(a,3),(3,b),(b,3),(a,b), 14 7 (b,a)}共有 14 个基本事件所以 P(B)= = 20 10 19.(12 分)将一颗骰子先后抛掷两次,得到的点数分别记为 a,b. x≥0 ? ? (1)求点 P(a;b)落在区域?y≥0 ? ?x+y-5≤0
2 2

内的概率;

(2)求直线 ax+by+5=0 与圆 x +y =1 不相切的概率. 【解析】 (1)先后两次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记 a,b,则事件总数为 6×6 =36.

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x≥0 ? ? ∵?y≥0 ? ?x+y-5≤0

表示的平面区域如图所示:

当 a=1 时,b=1,2,3,4 a=2 时,b=1,2,3 a=3 时,b=1,2a=4 时,b=1 共有(1,1)(1,2)?(4,1)10 种情况. 10 5 ∴P= = . 36 8 (2)∵直线 ax+by+5=0 与圆 x +y =1 相切的充要条件是
2 2

5 a +b
2 2

=1,即 a +b =25,

2

2

∴a、b∈{1,2,3,4,5,6} 满足条件的情况只有:a=3,b=4 或 a=4,b=3 两种情况, 2 1 ∴直线与圆相切的概率 P= = . 36 18 1 17 2 2 ∴直线 ax+by+5=0 与圆 x +y =1 不相切的概率 P=1- = . 18 18 20.(本小题满分 13 分)随机抽取某中学甲、乙两班各 10 名同学,测量他们的身高(单 位:cm),获得身高数据的茎叶图如图所示.

(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差; (3)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173 cm 的同学,求身高为 176 cm 的同学被抽中的概率 【解析】 (1)由茎叶图可知: 甲班身高集中于 160~179 之间, 而乙班身高集中于 170~ 180 之间.因此乙班平均身高高于甲班; 158+162+163+168+168+170+171+179+179+182 (2) x = =170. 10 1 2 2 2 2 2 甲班的样本方差 s = [(158-170) +(162-170) +(163-170) +(168-170) +(168 10 2 2 2 2 2 2 -170) +(170-170) +(171-170) +(179-170) +(179-170) +(182-170) ]=57.2. (3)设身高为 176 cm 的同学被抽中的事件为 A,从乙班 10 名同学中抽中两名身高不低 于 173 cm 的同学有: (181,173), (181,176), (181,178), (181,179), (179,173), (179,176), (179,178),(178,173),(178,176),(176,173)共 10 个基本事件,而事件 A 含有 4 个基本 事件:(181,176),(179,176),(178,176),(176,173),

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4 2 ∴P(A)= = 10 5 21.(12 分)为了了解某地区高二年级男生的身高情况,从该地区的一所高级中学里抽 取一个容量为 60 的样本(60 名男生的身高,单位:cm),分组情况如下:

(1)求出表中 a 和 m 的值; (2)画出频率分布直方图和频率分布折线图. m 【解析】 (1)因为 =0.1,所以 m=6, 60 60-6-21-6 27 所以 a= = =0.45. 60 60 (2)频率分布表如下:

频率分布直方图和折线图如图:

22.(12 分)某班有学生 56 名,其中男生 32 名,女生 24 名,现决定从该班学生中抽取 7 名学生的研究性学习综合评价等级得分(成绩分为 1~5 分的五个档次)作为样本. (1)如果按性别比例分层抽样,则男、女生分别抽取多少人? (2)若这 7 位同学的研究性学习综合评价等级得分如下表: 等级得分 1 2 3 4 5 人数 0 1 1 2 3 (1)求样本的平均数及方差; (2)用简单随机抽样方法从这 7 名学生中抽取 2 名,他们的得分分别为 x,y,求|y-x| =2 的概率. 【解析】 (1)男生人数:女生人数=32∶24=4∶3 4 则抽取男生人数为:7× =4 人 7 3 则抽取女生人数为:7× =3 人 7 0×1+1×2+1×3+2×4+3×5 (2)(1)样本的平均数= =4 7 1 8 2 2 2 2 样本的方差= [(2-4) +(3-4) +2×(4-4) +3×(5-4) ]= 7 7
用心 爱心 专心 8

(2)由于样本中有 2 个 4 分,3 个 5 分,不妨将 2 个 4 分编号为 41,42,将 3 个 5 分编号 为 51,52,53,则基本事件有(2,3),(2,41),(2,42),(2,51)(2,52),(2,53),(3,41),(3,42), (3,51),(3,52),(3,53),(41,42),(41,51),(41,52),(41,53),(42,51),(42,52),(42,53),(51,52), (51,53),(52,53)共 21 个,满足条件|y-x|=2 的基本事件有(2,41),(2,42),(3,51),(3,52), 5 (3,53)共 5 个故满足条件的概率为: . 21 (若基本事件写为 42 个,满足条件|y-x|=2 的基本事件写为 10 个,则解答也正确)

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