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1.3.2函数的奇偶性(2)


1.3.2 奇偶性(2)





偶函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x, 都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.

奇函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x, 都有f(-x)= -f(x),那么f(x)就叫做奇函数.

思考1

:若f(x)是定义在R上的奇函数,那么f(0)的 值如何?

f (0) ? 0

思考2:已知奇函数f(x)在[a,b]上是减函数,那么 它在[-b,-a]上呢? 已知偶函数f(x)在[a,b]上是增函数,那么它 在[-b,-a]上呢?
奇函数在[a,b]和[-b,-a]的单调性相同, 偶函数在[a,b]和[-b,-a]的单调性相反。

一、由奇偶性求函数解析式

例1、设f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)= x2 +x+1,求函数解析式.
【分析】由奇函数的图象关于原点对称,找x≥0和x<0时解析式间的联系.

【解析】当x<0时,-x>0,由已知得f(-x)=x2-x+1, ∵f(x)为R上的奇函数, ∴f(-x)=-f(x)=x2-x+1,∴f(x)=-x2+x-1, 又∵f(0)=-f(0),∴f(0)=0. x2+x+1,x>0, ∴ f(x) ? 0, x=0, -x2+x-1,x<0.

?

练习、f ( x)是偶函数,当x ? 0时, f ( x) ? x(1 ? x), 当x ? 0时, 求f ( x)的解析式 .



奇偶性的证明

例2、函数f(x),x∈R,若对于任意实数a,b,都有 f(a+b)=f(a)+f(b),求证:f(x)为奇函数.
【分析】因为对于a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b),所以可以令a,b为某些 特殊值,得出f(-x)=-f(x).

【证明】令a=0,则f(b)=f(0)+f(b),∴f(0)=0. 又令a=-x,b=x,代入f(a+b)=f(a)+f(b)得 f(-x+x)=f(-x)+f(x), 即0=f(-x)+f(x), ∴f(-x)= -f(x), ∴f(x)为奇函数.

练习、已知定义在R上的函数f(x)满足:对任意实 数a,b,都有f(ab)=af(b)+bf(a)成立。 (1)求f(1)和f(-1)的值; (2)确定f(x)的奇偶性。



奇偶性与单调性的综合应用

例3、确定函数f(x)=-x2+2|x|+3的单调区间。
y

奇函数的图象 关于原点对称; 偶函数的图象 关于y轴对称。 反之也成立。

4 3

-3

-1 0 1

3

x

在关于原点对称的区间上,偶函数的单调性相 反,奇函数的单调性相同。

练习、已知f(x)是R上的奇函数,且在(0,+∞)上 是增函数,求证:f(x)在(-∞,0)上也是增函数。

在关于原点对称的区间上,奇函数的单调性相 同,偶函数的单调性相反。

例4、已知奇函数f(x)是定义在(-1,1)上的减函数, 求不等式f(1-x)+f(1-x2)<0的解集。

练习、已知定义域为[-1,1]的偶函数f(x)在[0,1] 上为增函数,若f(a-2)-f(3-a)<0,求实数a的取值范 围。

(1)定义在(-1,1)上的奇函数f(x)为减函数,且f(1-a)+f(1-a2)<0,求实数a的取值范 围; (2)定义在[-2,2]上的偶函数g(x),当x≥0时,g(x)为减函数,若g(1-m)<g(m)成 立,求m的取值范围.


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