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第6节 二次函数与幂函数


理数

第6节 二次函数与幂函数

理数

最新考纲 3.理解并掌握二次函数的 1.了解幂函数的概念. 定义、图象及性质. 1 1 2 3 2.结合函数 y=x,y=x ,y=x ,y= x 2 ,y= 的图 4.能用二次函数、方程、 x 不等式之间的关系解决简 象,了解它们的变化情况. 单问题.

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知识链条完善 考点专项突破 易混易错辨析

理数

知识链条完善
【教材导读】
1.不等式ax2+bx+c>0恒成立的条件是什么? 提示:a=b=0,c>0或a>0且Δ=b2-4ac<0.

把散落的知识连起来

2.幂函数图象是否可以出现在直角坐标系中的任何象限? 提示:由于y=xα(α∈R),当x>0时,不论α取何值,y的值只能是正的,因 此幂函数的图象不能出现在第四象限. 3.两个幂函数最多有几个交点? 提示:两个幂函数最多有三个交点,如y=x3与y=x.

理数

知识梳理
1.二次函数 (1)定义 y=ax2+bx+c(a≠0)

形如

的函数叫做二次函数.

(2)表示形式 ①一般式:y= ax2+bx+c(a≠0) a(x-h)2+k(a≠0) ;

②顶点式:y=

,其中 (h,k) 为抛物线顶点坐标;
,其中x1,x2是抛物线与x轴交点的

③零点式:y= a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 横坐标.

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(3)图象与性质
y=ax2+ bx+c a>0 a<0

图象

定义域 值域

R
4ac ? b 2 y∈[ ,+∞] 4a
x?? b 2a

R
4ac ? b 2 y∈(-∞, ] 4a

对称轴

理数

顶点 坐标 奇偶性 x∈ 单调性 x∈
b ? ? ?? , ? ? ? 2a ? ?
? b ? ? ? , ?? ? ? 2a ?

? b 4ac ? b2 ? ?? , ? 2 a 4 a ? ?

b=0?y=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数 时是减函数; 时是增函数 x∈ x∈
b ? ? ? ??, ? ? 2a ? ?
? b ? ? ? , ?? ? ? 2a ?

时是增函数; 时是减函数

最值

b 4ac ? b 2 当 x=时,ymin= 2a 4a

b 4ac ? b 2 当 x=时,ymax= 2a 4a

理数

2.幂函数 (1)幂函数的概念

形如y=xα (α ∈R)的函数称为幂函数,其中x是 自变量 ,α 为 常数 .
(2)常见幂函数的图象与性质
函数 特征 图象 或性质 图象 (-∞,0)∪ (0,+∞) y=x y=x
2

y=x

3

y= x

1 2

y=x

-1

定义域

R

R

R

[0,+∞)

理数

值域

R

[0,+∞)

R

[0,+∞)

(-∞,0)∪ (0,+∞)

奇偶性
单调性


增 (1,1) (0,0) (-1,-1)


x∈[0,+∞) 时, 增; x∈(-∞,0] 时, 减 (1,1) (0,0) (-1,1)


增 (1,1) (0,0) (-1,-1)

非奇非偶



x∈(0,+∞) 时, 减; x∈(-∞,0) 时, 减 (1,1) (-1,-1)

特殊点

(1,1) (0,0)

【拓展提升】 1.二次函数图象对称轴的判断方法 (1)对于二次函数y=f(x)对定义域内所有x,都有f(x1)=f(x2),那么函数y= x f(x)的图象关于x= x ? 对称. 2 (2)对于二次函数y=f(x)对定义域内所有x,都有f(a+x)=f(a-x)成立的充要 条件是函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称(a为常数).
1 2

理数

2.幂函数y=xα在第一象限的图象特征

(1)α >1时,图象过(0,0),(1,1),下凸递增,例如y=x3;
(2)0<α <1时,图象过(0,0),(1,1),上凸递增,例如y= x 2 ; (3)α <0时,图象过(1,1),下凸递减,且以两条坐标轴为渐近线,例如y=x-1.
1

3.巧记幂函数的图象
五个幂函数在第一象限内的图象的大致情况可以归纳为“正抛负双,大竖 小横”,即α >0(α ≠1)时的图象是抛物线型(α >1时的图象是竖直抛物线 型, 0<α <1时的图象是横卧抛物线型),α <0时的图象是双曲线型.

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对点自测
1.(2016·河北唐山模拟)设 y1= 0.4 ,y2= 0.5 ,y3= 0.5 ,则( B (A)y3<y2<y1 (C)y2<y3<y1 (B)y1<y2<y3 (D)y1<y3<y2
1 3 1 3 1 3
1 3 1 3 1 4

)

解析:幂函数 y= x 是定义域上的单调递增函数,所以 0.4 < 0.5 , 指数函数 y=0.5x 是定义域上的单调递减函数, 所以 0.5 < 0.5 , 故 y1<y2<y3.故选 B.
1 3 1 4

理数

2.如果函数f(x)=x2-ax-3在区间(-∞,4]上单调递减,则实数a的取值范围 是( A ) (B)(-∞,8]

(A)[8,+∞)

(C)[4,+∞)

(D)[-4,+∞)

解析:由题意得-

?a ≥4,解得 a≥8. 2 ?1

理数

3.下列说法中,正确的是( D

)

(A)幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)

(B)当α =0时,函数y=xα 的图象是一条直线
(C)若幂函数y=xα 的图象关于原点对称,则y=xα 在定义域内y随x的增大 而增大

(D)幂函数y=xα ,当α <0时,在第一象限内函数值随x值的增大而减小
解析:对于A,α>0时,幂函数y=xα的图象经过点(1,1)和点(0,0),α<0 时,幂函数y=xα的图象经过点(1,1),所以选项A错误;

对于B,α=0时,函数y=xα(x≠0),其图象是一条直线,去掉点(0,1),所
以选项B错误; 对于C,当α=-1时,y=x-1的图象关于原点对称,y=x-1在定义域内y随x的

增大而增大不成立,所以选项C错误;
对于D,当α<0时,幂函数y=xα在第一象限内函数值随x值的增大而减小, 所以选项D正确.故选D.

理数

4.函数f(x)=3x2+2x+5的值域是

.

解析:因为 f(x)=3(x +
1 2 1 =3[(x+ ) - ]+5 3 9 1 2 14 =3(x+ ) + . 3 3

2

2 x)+5 3

14 所以函数 f(x)的值域是[ ,+≦). 3 14 答案:[ ,+∞) 3

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5.已知幂函数y=(m2-5m-5)x2m+1在(0,+∞)上为减函数,则实数m的值 为 .

解析:因为函数y=(m2-5m-5)x2m+1是幂函数,

所以m2-5m-5=1,
解得m=-1或m=6. 当m=6时,给定的函数为y=x13,在(0,+≦)上为增函数,不符合条件; 当m=-1时,给定的函数为y=x-1,在(0,+≦)上为减函数,符合条件. 答案:-1

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考点专项突破
考点一 幂函数图象与性质

在讲练中理解知识

【例1】 (1)导学号 18702062 如图是幂函数在第一象限的图象,则下面
四个选项中正确的是( (A)a+b+c+d为正数 )

(B)b+c+d-a可能为零
(C)a-b-c-d为负数 (D)b×c×d×a符号不能确定 解析:(1)由幂函数在第一象限的图象,f(x)=xa是减函数,故a<0;在第 一象限,f(x)=xb,f(x)=xc,f(x)=xd都是增函数,根据幂函数y=xn的性质, 在第一象限内的图象.当n>0时,n越大,递增速度越快,所以b>c>d>0, 所以a+b+c+d符号不能确定,故选项A错误;b+c+d-a一定大于0,故选项 B错误;a-b-c-d<0,故选项C正确;b×c×d×a<0,故选项D错误.故选C.

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(2)若 a= 2 (A)a<b<c (C)a<c<b

?

3 2

,b=(

2 3 1 ) ,c=( )3,则 a,b,c 的大小关系是( 5 2

)

(B)b<a<c (D)b<c<a
? 3 2 ? 1 2

解析:(2)因为 a= 2
3

=( 2

) =(

3

2 3 ), 2

因为 y=x 是(-≦,+≦)上的增函数, 且
2 1 2 > > , 2 5 2

所以 b<c<a.故选 D.

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反思归纳

(1)求解与幂函数图象有关的问题,应根据幂函数在第一象

限内的函数图象特征,结合其奇偶性、单调性等性质研究. (2)利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧:结合幂值的特点利用指数 幂的运算性质化成同指数幂,选择适当的幂函数,借助其单调性进行比较.

理数
5 3

【即时训练】 (1)函数 y= x 的图象大致是(

)

解析:(1)由于 3 >0,故可排除选项A,D.根据幂函数的性质可知,当α>1 时,幂函数的图象在第一象限内向下凸,故排除选项C,只有选项B正确. 故选B.

5

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1 2 ? 1 2

(2)已知 a= 1.2 ,b= 0.9 ,c= 1.1 ,则( (A)c<b<a (C)b<a<c (B)c<a<b (D)a<c<b
1 ? 2
? 1 2 1 2

)

1 ? 9 ? ? 10 ? 解析:(2)b= 0.9 = ? ? = ? ? ,c= 1.1 = 1.12 , ? 10 ? ? 9?

1 1 10 ? 10 ? 因为 >0,且 1.2> >1.1,所以 1.2 > ? ? > 1.12 , 2 9 ? 9?

1 2

1 2

即 a>b>c.故选 A.

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考点二 二次函数的图象与性质 考查角度1:二次函数图象的识别 【例2】 在同一直角坐标系中,函数y=mx+m和函数y=-mx2+2x+2(m是常数, 且m≠0)的图象可能是( )

理数

解析:A 中由函数 y=mx+m 的图象可知 m<0,即函数 y=-mx +2x+2 开口方向 朝上,与图象不符,故选项 A 错误; B 中由函数 y=mx+m 的图象可知 m<0,对称轴为 x=
1 <0, m

2

则对称轴应在 y 轴左侧,与图象不符,故选项 B 错误; C 中由函数 y=mx+m 的图象可知 m>0, 即函数 y=-mx2+2x+2 开口方向朝下,与图象不符,故选项 C 错误; D 中由函数 y=mx+m 的图象可知 m<0, 即函数 y=-mx2+2x+2 开口方向朝上, 对称轴为 x=
1 <0, m

则对称轴应在 y 轴左侧,与图象相符,故选项 D 正确.故选 D.

理数

反思归纳

研究二次函数图象应从“三点一线一开口”三个方面

分析,“三点”中有一个点是顶点,另两个点是抛物线上关于对称轴对

称的两个点,常取与x轴的交点;“一线”是指对称轴这条直线;“一开
口”是指抛物线的开口方向.

理数

考查角度2:二次函数图象的应用 【例3】 (2016· 吉林松原模拟)设函数f(x)=x2+x+a(a>0),已知f(m)<0,则

(

)
(B)f(m+1)≤0 (D)f(m+1)<0

(A)f(m+1)≥0 (C)f(m+1)>0

解析:因为f(x)的对称轴为 x=所以f(x)的大致图象如图所示. 由f(m)<0,得-1<m<0, 所以m+1>0, 所以f(m+1)>f(0)>0.故选C.
1 2

,f(0)=a>0,

反思归纳 求解与二次函数有关的不等式问题,可借助二次函数的图 象特征分析不等式成立的条件.

理数

考查角度3:二次函数的最值 高考扫描:2016高考新课标全国Ⅲ卷.
a2 【例 4】 导学号 18702064 设函数 f(x)=x +ax+b(a,b∈R).当 b= +1 时, 4
2

求函数 f(x)在[-1,1]上的最小值 g(a)的表达式.
a 2 a a2 解:当 b= +1 时,f(x)=(x+ ) +1,故对称轴为直线 x=- . 2 2 4 a a2 当 a≤-2 时,g(a)=f(1)= +a+2.当-2<a≤2 时,g(a)=f(- )=1. 2 4
? a2 ? ? a ? 2, a ? ?2, 4 ? a2 ? 当 a>2 时,g(a)=f(-1)= -a+2.综上,g(a)= ?1, ?2 ? a ? 2, 4 ? 2 ? a ? a ? 2, a ? 2. ? ?4

理数

反思归纳

解决“含参数的二次函数的值域与最值”问题一般先用

配方法化为y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,根据对称轴方程x=h和所给区 间并结合图象求解.

(1)对称轴和区间都固定时,根据单调性和图象直接求解.
(2)若区间固定,对称轴变动,这时要讨论顶点横坐标是否在区间中; 若对称轴固定,区间变动,这时要讨论区间与对称轴的位置关系,讨论

的目的是为了明确对称轴和区间的位置关系,再根据函数单调性求最
值或值域. 以y=ax2+bx+c(a>0)在区间[m,n]上的最值为例,有如下方法和结论:
b b 4ac ? b 2 ①当∈[m,n]时,f(x)的最小值是 f()= ,f(x)的最大值 2a 2a 4a

是 f(m),f(n)中的较大者.

理数

②若-

b <m,f(x)在[m,n]上是增函数,则 f(x)的最小值是 f(m),最大值 2a

是 f(n).
b ③若 n<,f(x)在[m,n]上是减函数,则 f(x)的最大值是 f(m),最小值 2a

是 f(n). 当 a<0 时,可类比得到结论.

理数

考查角度4:二次函数根的分布问题
【例5】 已知关于x的方程(m+3)x2-4mx+2m-1=0的两根异号,且负根的绝 对值比正根大,则实数m的取值范围是 .

解析:法一

设方程(m+3)x -4mx+2m-1=0 的两根分别为 x1,x2,

2

① ?m ? 3 ? 0, ? 2 ? ? 16 m ? 4(m ? 3)(2m ? 1) ? 0, ② ? ? 由题意知 ? x ? x ? 4m ? 0, ③ 1 2 m?3 ? ? 2m ? 1 ? x1 x2 ? ? 0. ④ m?3 ?

由①②③④解得-3<m<0, 即实数 m 的取值范围是{m|-3<m<0}.

理数

法二 设 f(x)=(m+3)x2-4mx+2m-1.
? ? ? m ? 3 ? 0, ? m ? 3 ? 0, ? ? 由题意知 ? f (0) ? 0, 或 ? f (0) ? 0, ? 2m ? 2m ? ?0 ? ? 0, ?m ? 3 ?m ? 3

解得-3<m<0, 即实数 m 的取值范围为{m|-3<m<0}.
答案:{m|-3<m<0}

理数

反思归纳 研究二次函数根的分布问题,应结合二次函数的图象与二 次方程根的关系数形结合求解,具体方法如下: (只讨论a>0的情况,a<0时可变形为a>0的情况):
根的分布(m<n<p 为常数) 图象 满足的条件
?? ? 0, ? b ? ? m, ?? 2 a ? ? ? f ( m) ? 0 ?? ? 0, ? b ? ? m, ?? 2 a ? ? ? f ( m) ? 0

x1<x2<m

m<x1<x2

x1<m<x2

f(m)<0

理数

x1,x2∈(m,n)

?? ? 0, ? b ? m ? ? ? n, ? 2a ? ? f (m) ? 0, ? ? ? f ( n) ? 0

m<x1<n<x2<p

? f ( m) ? 0, ? ? f ( n) ? 0, ? f ( p) ? 0 ?

x1<m<n<x2

? f (m) ? 0, ? ? f (n) ? 0

理数

考查角度5:二次函数解析式的求法 【例6】 导学号 18702065 已知二次函数f(x)的二次项系数为a(a>0),

且方程f(x)=-2x的两个实数根分别为1和3.若方程f(x)+6a=0有两个相
等的实数根,则f(x)的解析式为 .

解析:因为方程f(x)=-2x的两个实数根分别为1和3,
所以设f(x)+2x=a(x-1)(x-3), 则f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.

由方程f(x)+6a=0,得ax2-(2+4a)x+9a=0.
因为方程f(x)+6a=0有两个相等的实数根, 所以Δ=[-(2+4a)]2-4a×9a=0,整理,得5a2-4a-1=0, 解得a=1或a=- 1 (舍去).故f(x)的解析式为f(x)=x2-6a+3. 5 答案:f(x)=x2-6a+3

理数

反思归纳

求二次函数解析式常用方法

(1)当已知抛物线上任意三点时,通常设所求二次函数为一般式y=ax2+bx+
c(a,b,c为常数,a≠0),然后列出三元一次方程组求解. (2)当已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值,则设所

求二次函数为顶点式y=a(x+h)2+k(其顶点是(-h,k),a≠0).
(3)当已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1,0),(x2,0),则设 所求二次函数为交点式y=a(x-x1)· (x-x2)(a≠0).

理数

考查角度6:二次函数与不等式恒成立问题 【例7】 (2014· 江苏卷)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],

都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是

.

解析:由题可得 f(x)<0 对于 x∈[m,m+1]恒成立,
2 ? 2 ? f (m) ? 2m ? 1 ? 0, 即? 解得 <m<0. 2 2 ? ? f (m ? 1) ? 2m ? 3m ? 0,

答案:(-

2 ,0) 2
(1)含参数的二次不等式给定区间恒成立问题,若能分离参数,

反思归纳

则分离参数转化为最值问题,不能分离参数时,则直接转化为与函数最值 有关的不等式. (2)二次函数在R上的恒成立问题,可结合其图象转化为与判别式的符号 有关的不等式.

理数

考查角度7:涉及二次函数的复合函数问题

【例 8】 (2016·山东名校协作体高考模拟)若函数 f(x)=loga(x -ax+ 小值,则实数 a 的取值范围是( (A)(0,1) (C)(1, 2 )
2

2

1 )有最 2

)

(B)(0,1)∪(1, 2 ) (D)[ 2 ,+∞)

1 a 2 1 a2 1 a2 解析:令 u=x -ax+ =(x- ) + ,则 u 有最小值 , 2 2 2 4 2 4
?a ? 1, 1 ? 2 欲使函数 f(x)=loga(x -ax+ )有最小值,则须有 ? 1 a 2 2 ? 0, ? ? ?2 4

解得 1<a< 2 .即 a 的取值范围为(1, 2 ).故选 C.

理数

反思归纳

求解与二次函数有关的复合函数问题,应结合二次函数的性

质以及复合函数的性质综合分析解答.

理数

备选例题
【例1】 若函数f(x)=(-2m2+m+2)xm+1是幂函数且为偶函数,则当函数g(x) =f(x)-2(a-1)x+1在区间(2,3)上为单调函数时,a的取值范围是( )

(A)(-∞,3]
(C)(-∞,3]∪[4,+∞)

(B)[4,+∞)
(D)[3,4]

理数

解析:由 f(x)为幂函数知-2m2+m+2=1, 即 2m2-m-1=0,
1 解得 m=1 或 m=- . 2

当 m=1 时,f(x)=x ,符合题意;
1 1 当 m=- 时,f(x)= x 2 ,为非奇非偶函数,不符合题意,舍去. 2

2

所以 f(x)=x . 所以 g(x)=x -2(a-1)x+1,则该函数图象的对称轴为 x=a-1. 因为 g(x)=x2-2(a-1)x+1 在区间(2,3)上为单调函数, 所以 a-1≤2 或 a-1≥3,即 a≤3 或 a≥4.故选 C.
2

2

理数

【例 2】 (2016·福建省“四地六校”高三第一次联考)设函数 f(x)=
1 ? 2 x ? 2 x ? a , x ? , ? ? 2 的最小值为-1,则实数 a 的取值范围是( ? ?4 x ? 3, x ? 1 ? 2 ?

)

(A)[-2,+∞) (C)[1 ,+∞) 4

(B)(-2,+∞) (D)(1 ,+∞) 4

理数

解析:当 x≥

1 1 时,f(x)=4x-3≥-1.因为 f(x)min=f( )=-1, 2 2 1 )时,f(x)=x2-2x+a=(x-1)2+a-1 单调递减, 2

又因为当 x∈(-≦, 且 f(x)>f( 故 a-

1 3 )=a- . 2 4

3 ≥-1, 4 1 .故选 C. 4

所以 a≥-

理数

【例3】 (2015· 湖北卷)a为实数,函数f(x)=|x2-ax|在区间[0,1]上的最大 值记为g(a).当a= 时,g(a)的值最小.

a ? a2 a ? 解析:f(x)= ? x ? ? ? ,其在区间[0,1]上的最大值必在 x=0,x=1,x= 处 2? 4 2 ?

2

a a2 a2 产生,即 g(a)=max{f(0),f(1),f( )}=max{0,|1-a|, }=max{|1-a|, }, 2 4 4

a2 在同一坐标系中分别画出 y=|1-a|,y= 的图象可知(图略),在两图象的交点 4 a2 处,g(a)取得最小值,此时 1-a= ,则 a=2 2 -2(-2-2 2 舍去). 4 答案:2 2 -2

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易混易错辨析

用心练就一双慧眼

忽视对“轴动区间定”的讨论而致误
【典例】 若f(x)=-4x2+4ax-4a-a2在区间[0,1]内有最大值-5,则a=
a a 解析:对称轴 x= .当 <0,即 a<0 时,f(x)在[0,1]上是减函数,f(x)max= 2 2

.

f(0)=-4a-a =-5,解得 a=1 或 a=-5,而 a<0,所以 a=-5;当
2

2

a >1,即 a>2 时, 2

f(x)在[0,1]上是增函数,f(x)max=f(1)=-4-a =-5,得 a=1 或 a=-1,而 a>2, 即 a 不存在.当 0≤
a a 5 ≤1,即 0≤a≤2 时,f(x)max=f( )=-4a=-5,a= ,满 2 2 4

5 足 0≤a≤2.综上所述 a=-5 或 . 4

答案:-5 或

5 4

理数

易错提醒:当已知二次函数在某区间上的最值求参数时,要根据对称轴与 已知区间的位置关系进行分类讨论确定各种情况时的最值,建立方程求解 参数.同时注意数形结合思想的应用.

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