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山西省临汾市曲沃县二中2014-2015学年高二上学期期中考试 数学试题 Word版含答案


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曲沃二中 2014--2015 学年第一学期期中考 试高二年级数学(必修二)试题
时间:120 分钟 满分:150 分 命题人:

第Ⅰ卷 选择题(共 60 分)
一、选择题 (共 12 题 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的)
1、在直角坐标系中,已知 A(-1,2),B(3,0),那么线段 AB 中点的坐标为( ) A.(2,2) B.(1,1) C.(-2,-2) D.(-1,-1) 2、过点 (1, 0) 且与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行的直线方程是( ) A. x ? 2 y ? 1 ? 0 B. x ? 2 y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 2 ? 0 D. x ? 2 y ? 1 ? 0 3、如果直线 x+2y-1=0 和 y=kx 互相平行,则实数 k 的值为( ) 1 1 A.2 B. C.-2 D.- 2 2 4、一个球的体积和表面积在数值上相等,则该球半径的数值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5、圆 x2 +y2 -2x-4y-4=0 的圆心坐标是( ) A.(-2,4) B.(2,-4) C.(-1,2) D.(1,2) 6、直线 y=2x+1 关于 y 轴对称的直线方程为( ) A.y=-2 x+1 B.y=2 x-1 C.y=-2 x-1

D.y=-x-1

7、已知两条相交直线 a,b,a∥平面??,则 b 与 ??的位置关系是( ) A.b ? 平面?? ? B.b⊥平面????????C.b∥平面?? ? D. b 与平面?相交, 或 b∥平面?? ? ?、在空间中,a,b 是不重合的直线,?,?是不重合的平面,则下列条件中可推出 a∥b 的是 ( ) A.a ? ?,b ? ?,?∥? B.a∥?,b ? ?,?∥??????????? C.a⊥?,b⊥? D.a⊥?,b ? ? 9、圆 x2 +y2 =1 和圆 x2 +y2-6y+5=0 的位置关系是( ) A.外切 B.内切 C.外离 10、圆(x-1)2 +(y-1)2 =2 被 x 轴截得的弦长等于( ) 3 A. 1 B. C. 2 2

D.内含

D. 3

11、已知球面上的四点 P、A、B、C,PA、PB、PC 的长分别为 3、4、5,且这三条线段两两垂直, 则这个球的表面积为( ) A. 20 2? B. 25 2? C. 50? D. 200? 12、如图,三棱柱 A1B1C1—ABC 中,侧棱 AA1⊥底面 A1B1C1,底面三角形 A1B1C1 是正三角形,E 是 BC E 中点,则下列叙述正确的是( ) B C A.CC1 与 B1E 是异面直线 B.AC⊥平面 A1B1BA A C.AE,B1C1 为异面直线,且 AE⊥B1C1 C1 B1 D.A1C1∥平面 AB1E

A1

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第Ⅱ卷 选择题(共 90 分)
二、填空题(共 4 题 20 分)
13、 圆心为 (2, ?1) 且与直线 x ? y ? 5 相切的圆的方程是 .

14 、 直 线 l1 : x ? my ? 6 ? 0 与 l2 : (m ? 2) x ? 3 y ? 2m ? 0 , 若 l1 // l 2 , 则 l1 与 l2 的 距 离 为 . .

15、如图,一空间几何体的三视图,则该几何体的体积为 16、已知 m、l 是直线, ?、? 是平面, 给出下列命题: ①若 l 垂直于 ? 内的两条相交直线, 则 l?? ; ②若 l 平行于 ? , 则 l 平行 ? 内所有直线; ③若 m ? ? , l ? ?,且l?m, 则??? ; ④若 l ? ? , 且l??,则??? ; ⑤若 m ? ? , l ? ?,且?∥? , 则m ∥l. 其中正确的命题的序号是 (注: 把你认为正确的命题的序号都填上). . 2 正(主)视图 2 2

2

2 侧(左)视图

俯视图

答题栏: 一、选择题: 1—5: 6—10: 11—12:

二、填空题: 13、 14、 15、 16、

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤)

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17、 (本小题满分 10 分)已知直线 l 经过点(0,-2),其倾斜角是 60°. (1)求直线 l 的方程; (2)求直线 l 与两坐标轴围成三角形的面积.

18、 (本小题满分 12 分)已知直线 l 经过点 P (5,

35 ) ,且与直线 8 x ? 6 y ? 1 ? 0 垂直,若直线 8 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 相交于 A 、 B 两点.求弦 AB 的长度.

19、 (本小题满分 12 分)如图,在三棱锥 P—ABC 中,PC⊥ 底面 ABC,AB⊥BC,D,E 分别是 AB,PB 的中点. (1)求证:DE∥平面 PAC; (2)求证:AB⊥PB; (3)若 PC=BC,求二面角 P—AB—C 的大小.

P

E C A D B
(第 19 题)

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20、 (本小题满分 12 分)自点 P (?3,3) 发出的光线 l 经过 x 轴反射,其反射光线所在直线正好 与圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 7 ? 0 相切,求入射光线 l 所在直线的方程.
2 2

21、 (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,PA ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 为 直角梯形, AB ? AD, AB ∥ CD , CD ? AD ? 2 AB ? 2 AP . (1)求证:平面 PCD ? 平面 PAD ; (2)在侧棱 PC 上是否存在点 E ,使得 BE ∥平面 PAD ,若存在,确定点 E 位置;若不存 在,说明理由.

P D

E C

A

B

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22、 (本小题满分 12 分) 已知半径为 5 的圆 C 的圆心在 x 轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线 4x+3y-29=0 相切. (1)求圆 C 的方程; (2)设直线 ax-y+5=0 与圆 C 相交于 A,B 两点,求实数 a 的取值范围; (3) 在(2)的条件下,是否存在实数 a,使得过点 P(-2,4)的直线 l 垂直平分弦 AB?若存在, 求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由.

曲沃二中 2014--2015 学年第一学期期中考试

高二年级数学(必修二)试题 参 考 答 案
一、选择题 1-5:BADCD 二、填空题
2 2

6-10:ADCAC 14、

11-12:CC

13、 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 8

10 2 3

15、 2? ?

2 3 3

16、①④

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三、解答题 17、解:(1)因为直线 l 的倾斜角的大小为 60°,故其斜率为 tan 60°= 3 ,又直线 l 经过点(0,- 2),所以其方程为 3 x-y-2=0. (2)由直线 l 的方程知它在 x 轴、y 轴上的截距分别是 三角形的面积 S=
2 2 3 1 · ·2= . 3 2 3
2

2 3

,-2,所以直线 l 与两坐标轴围成

18、 AB ? 2 R ? d ? 2 4 ? ( ) ? 15 .
2 2

1 2

P

19、(1)证明:因为 D,E 分别是 AB,PB 的中点,所以 DE∥PA. 因为 PA ? 平面 PAC,且 DE ? 平面 PAC,所以 DE∥平面 PAC. (2)因为 PC⊥平面 ABC,且 AB ? 平面 ABC,所以 AB⊥PC. 又因为 AB⊥BC,且 PC∩ BC=C.所以 AB⊥平面 PBC. 又因为 PB ? 平面 PBC,所以 AB⊥PB. (3)由(2)知,PB⊥AB,BC⊥AB, 所以,∠PBC 为二面角 P—AB—C 的平面角. 因为 PC=BC,∠PCB=90°,所以∠PBC=45°, 即二面角 P—AB—C 的大小为 45°. 20、解:设入射光线 l 所在的直线方程为 反射光线所在直线的 y ? 3 ? k ( x ? 3) ,

E C A D B
(第 19 题)

P(?3,3)
斜率为 k1 ,根据入射角等于反射角,得

k ? ?k1 ,而点 P(-3,3)关于 x
轴的对称点 P 1 (-3,-3),根据对称 性,点 P 1 在反射光线所在直线上,故反 射 光 线 所 在 直 线 l1 的 方 程 为 :

P 1 (?3,3)

y ? 3 ? ?k ( x ? 3) 即 kx ? y ? 3 ? 3k ? 0 ,又此直线与已知圆相切,所在圆心到直线 l 1 的距
离等于半径 r ,因为圆心为(2,2),半径为 1, 所以 2k ? 2 ? 3 ? 3k ? 1 解得: k ? ?
1? k 2

3 4 或k ? ? 故入射光线 l 所在的直线方程为: 4 3
即 3 x ? 4 y ? 3 ? 0或4 x ? 3 y ? 3 ? 0

3 4 y ? 3 ? ? ( x ? 3) 或 y ? 3 ? ? ( x ? 3) 4 3 21、 (1)证明:∵ PA ? 平面 ABCD ∴ PA ? CD ①
又∵ AB ? AD, AB ∥ CD

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∴ CD ? AD ② 由①②可得 CD ? 平面 PAD 又 CD ? 平面 PCD ∴平面 PCD ? 平面 PAD (2)解:当点 E 是 PC 的中点时, BE ∥平面 PAD . 证明如下:设 PD 的中点为 F ,连接 EF , AF 易得 EF 是 ?PCD 的中位线 ∴ EF ∥ CD , EF ? 由题设可得

1 CD 2

1 AB ∥ CD , AB ? CD 2 ∴ EF ∥ AB , EF ? AB ∴四边形 ABEF 为平行四边形 ∴ BE ∥ AF 又 BE ? 平面 PAD , AF ? 平面 PAD ∴ BE ∥平面 PAD
4m ? 29

22、解:(1)设圆心为 M(m,0)(m∈Z). 由于圆与直线 4x+3y-29=0 相切,且半径为 5,所以, =5,即|4m-29|=25. 5 因为 m 为整数,故 m=1.故所求的圆的方程是(x-1)2+y2 =25. (2)直线 ax-y+5=0 即 y=ax+5.代入圆的方程,消去 y 整理,得(a2+1)x2 +2(5a-1)x+1=0. 由于直线 ax-y+5=0 交圆于 A,B 两点,故△=4(5a-1)2 -4(a2 +1)>0,即 12a2-5a>0,解得

a<0,或 a>

5 . 12 5 ,+∞). 12 1 1 ,l 的方程为 y=- (x a a

所以实数 a 的取值范围是(-∞,0)∪(

(3)设符合条件的实数 a 存在,由(2)得 a≠0,则直线 l 的斜率为-

+2)+4, 即 x+ay+2-4a=0.由于 l 垂直平分弦 AB,故圆心 M(1,0)必在 l 上.所以 1+0+2 -4a=0,解得 a=
3 3 5 3 .由于 ∈( ,+∞),故存在实数 a= ,使得过点 P(-2,4)的直 4 4 12 4

线 l 垂直平分弦 AB.


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