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1.3.1 单调性与最大(小)值(2)(教案)


高 2015 级教案

必修 1

第一章

集合与函数概念

撰稿人:王海红

§1.3 §1.3.1
【教学目标】
l.知识与技能

函数的基本性质

单调性与最大(小)值(2)

理解函数的最大(小)值及其几何意义;学会运用函数图象理解和研究函数的性质。

2. 过程与方法
通过实例,使学生体会到函数的最大(小)值,实际上是函数图象的最高(低)点的纵坐标,因而借 助函数图象的直观性可得出函数的最值,有利于培养以形识数的解题意识。

3. 情感态度与价值观
利用函数的单调性和图象求函数的最大(小)值,解决日常生活中的实际问题,激发学生学习的积极 性。

【教学重点】
函数的最大(小)值及其几何意义。

【教学难点】
利用函数的单调性求函数的最大(小)值。

【教学方法】
学生通过画图、观察、思考、讨论,从而归纳出求函数的最大(小)值的方法和步骤。

【教学过程】
【导入新课】
思路:画出下列函数的图象,指出图象的最高点或最低点,并说明它能体现函数的什么特征? ① f (x) ? ? x ? 3 ; ③ f ( x) ? x ? 2 x ? 1 ;
2

② f (x) ? ? x ? 3
2

x ? [ ? 1, 2 ] ;

④ f ( x) ? x ? 2 x ? 1

x ? [ ? 2, 2] 。

【推进新课】
【新知探究】 【知识点 1】 1、函数的最大(小)值的定义: 一般地,设函数 y ? f ? x ? 的定义域为 I ,如果存在实数 M 满足: (1)存在 x 0 ? I ,使得 f ? x 0 ? ? M ; (2)对于任意的 x ? I ,都有 f ? x ? ? M (或 f ? x ? ? M ) 。 那么称 M 是函数 y ? f ? x ? 的最大(小)值。 【注意】 (1)函数的最大(小)值首先应该是该函数的函数值,即存在 x 0 ? I ,使得 f ? x 0 ? ? M ;
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高 2015 级教案

必修 1

第一章

集合与函数概念

撰稿人:王海红

(2)函数的最大(小)值应该是所有函数值中最大(小)的,即对任意的 x ? I ,都有 f ? x ? ? M (或
f

?x? ?

M ) 。

【知识点 2】 2、求函数最值的方法: (1)图像法; (2)配方法; (3)换元法; (4)分离常数法; (5)判别式法; (6)单调性法。 结论:最大值:已知函数 y ? f ? x ? 的定义域为 ? a , b ? , a ? c ? b ,当 x ? ? a , c ? 时, f ? x ? 是单调增函数; 当 x ? ? c , b ? 时, f ? x ? 是单调减函数,则当 x ? c 时 f ? x ? 取得最大值 f m ax ? x ? ? f ? c ? 。 最小值:已知函数 y ? f ? x ? 的定义域为 ? a , b ? , a ? c ? b ,当 x ? ? a , c ? 时, f ? x ? 是单调减函数; 当 x ? ? c , b ? 时, f ? x ? 是单调增函数,则当 x ? c 时 f ? x ? 取得最小值 f m in ? x ? ? f ? c ? 。 【例 1】课本 P3 0 例3

【变式 1】 (1)将进货单价 40 元的商品按 50 元一个售出时,能卖出 500 个,若此商品每个涨价 1 元,其 销售量减少 10 个,为了赚到最大利润,售价应定为多少? (2)求函数 y ? | x ? 3 | ? | x ? 1 | 的最大值和最小值。

【例 2】 (1)课本 P3 0

例2
x ? 1 的最小值;

(2)求函数 y ? x ?

(3)求函数 y ? x ? 1 ? x 的最大值。

【变式 2】 (1)课本 P3 2

练习 5
x ?1 x?2

(2)求函数 f ? x ? ?

在区间 ? 3, 6 ? 上的最值。

(3)求函数 y ?

? 1? 2x ? x ? x ? ?

1?? ? ? ? 1, 2 ? ? 的最值。 ? ??

2 【例 3】已知不等式 x ? 2 x ? a ? 0 在区间 ? ? 2,1? 上恒成立,求实数 a 的取值范围。

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集合与函数概念

撰稿人:王海红

【变式 3】已知不等式 x ?

1

?1 ? ? a ? 0 在区间 ? , 3 ? 上恒成立,求实数 a 的取值范围。 x ?2 ?

【例 4】已知函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0, ? ? ? ,且对一切 a ? 0, b ? 0 都有 f ? 时,有 f ? x ? ? 0 。 (1)求 f ?1 ? 的值;(2)判断 f ? x ? 的单调性并加以证明。 (3)若 f ? 4 ? ? 2 ,求 f ? x ? 在 ?1,1 6 ? 上的值域。

?a? ? ? f ? a ? ? f ? b ? ,当 x ? 1 ?b?

【例 5】已知二次函数 f ? x ? ? x ? 2 x ? 3 。
2

(1)当 x ? ? ? 2, 0 ? 时,求 f ? x ? 的最值; (2)当 x ? ? ? 2, 3 ? 时,求 f ? x ? 的最值; (3)当 x ? ? t , t ? 1? 时,求 f ? x ? 的最小值 g ? t ? 。

【变式 4】求函数 y ? x ? 2 a x ? 1 在 ? 0, 2 ? 上的最值。
2

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第一章

集合与函数概念

撰稿人:王海红
2

【总结】二次函数在闭区间上的最值问题,如二次函数 f ? x ? ? a ? x ? h ? ? k ? a ? 0 ? 在区间 ? m , n ? 上的讨 论可作如下讨论: 对称轴 x ? h 与 ? m , n ? 的位置关系
h? m

最小值
f ?m?

最大值
f ?n? f ?n?

m?h?
m ? h? n

m?n

h? m?n 2
h ? n

2 m?n
2 ?h?n

f ?h? f ?h?
f ?h?

f ?m? 或 f ?n?
f ?m?

f ?n?

f ?m?

y

x=h

y

x=h

y

x=h

m+n 2

O

m

n

x

O

m

n

x

O

m

n

x

(1)

(2)

(3)

y

x=h

y

x=h

m+n 2

O

m

n

x

O

m

n

x

【知能训练】

(4)

(5)

1、课本习题 1.3A 组 5 B 组 2; 2、点金训练 1.3.1 单调性与最大(小)值 3、补充练习: 一、选择题 1 1.函数 y=-x+1 在区间?2,2?上的最大值是( ? ? 1 A.- 2 2.函数 y=x+ 2x-1( B.-1 )

点金测评 创新训练。

) C. 1 2 D.3

1 A.有最小值 ,无最大值 2

1 B.有最大值 ,无最小值 2
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第一章

集合与函数概念

撰稿人:王海红

1 C.有最小值 ,最大值 2 2
? ?2x+6, 3.函数 f(x)=? ?x+7, ?

D.无最大值,也无最小值

x∈[1,2] x∈[-1,1]

,则 f(x)的最大值、最小值为( D.以上都不对

)

A.10,6

B.10,8 )

C.8,6

4.函数 y=|x-3|-|x+1|的( A.最小值是 0,最大值是 4

B.最小值是-4,最大值是 0 D.没有最大值也没有最小值 ) 3 C. 4 4 D. 3 )

C.最小值是-4,最大值是 4 1 5.函数 f(x)= 的最大值是( 1-x?1-x? 4 A. 5 5 B. 4

6.函数 f(x)=x2-4x+5 在区间[0,m]上的最大值为 5,最小值为 1,则 m 的取值范围是( A.[2,+∞) 二、填空题 2 7.函数 y= 的值域是________. |x|+1 B.[2,4] C.(-∞,2] D.[0,2]

8.函数 y=-x2+6x+9 在区间[a,b](a<b<3)有最大值 9,最小值-7,则 a=_____,b=_______. x 9.函数 f(x)= 在区间[2,4]上的最大值为________,最小值为________. x+2 三、解答题 1 10.已知函数 f(x)=x2-2x+2.(1)求 f(x)在区间[ ,3]上的最大值和最小值; 2 (2)若 g(x)=f(x)-mx 在[2,4]上是单调函数,求 m 的取值范围.

11.若二次函数满足 f(x+1)-f(x)=2x 且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式;(2)若在区间[-1,1]上不等式 f(x)>2x+m 恒成立,求实数 m 的取值范围.

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