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立体几何证明方法总结及例题


一、线线平行的证明方法:
1.利用平面几何中的定理:三角形(或梯形)的中位线 与底边平行、平行四边形的对边平行、利用比例、……

2.利用公理4: 平行于同一条直线的两条直线互相平行

3.利用线面平行的性质定理: 如果一条直线平行于一个平面,经过这条直线的
平面和这个平面相交,则这条直线和交线平行 4.利用面面平行的性

质定理: 如果两个平行平面同时和第三个平面相 交,那么它们的交线平行, 5.利用线面垂直的性质定理: 垂直于同一个平面的两条直线平行

二、线面平行的证明方法:
1、定义法:直线与平面没有公共点。 2、如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行, 那么这条直线和这个平面平行。(线面平行的判定定理) 3、两个平面平行,其中一个平面内的任何一条直线必平行

于另一个平面。
4、如果一条直线和两个平行平面中的一个平面平行,那么 它也平行于另一个平面。切记直线不在平面内. 5、如果两条平行直线中的一条和一个平面平行,那么另一 条也平行于这个平面。切记直线不在平面内.

三、面面平行的证明方法:
1、定义法:两平面没有公共点。 2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面, 那么这两个平面平行。(面面平行的判定定理) 3、平行于同一平面的两个平面平行。 4、垂直于同一直线的两个平面平行。 5、面面平行的判定定理的推论。

四、线线垂直的证明方法:
1、勾股定理。 2、等腰三角形,三线合一

3、菱形对角线,等几何图形
4、直径所对的圆周角是直角。 5、点在线上的射影。

6、如果一条直线和一个平面垂直,那么这条直线就和这个
平面内任意的直线都垂直。

7、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线,则另一条也
垂直于这条直线。

五、线面垂直的证明方法:
3、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,那么
这条直线垂直于这个平面。(线面垂直的判定定理) 4、如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们 交线的直线垂直于另一个平面。(面面垂直的性质定理) 5、两条平行直线中的一条垂直于平面,则另一条也垂直于

1、定义法:直线与平面内任意直线都垂直。 2、点在面内的射影。

这个平面。 6、一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,则必垂直于
另一个平面。 7、两相交平面同时垂直于第三个平面,那么两平面交线垂

直于第三个平面。(小题用) 8、过一点,有且只有一条直线与已知平面垂直。(小题用) 9、过一点,有且只有一个平面与已知直线垂直。(小题用)

六、面面垂直的证明方法:
1、定义法:两个平面的二面角是直二面角。
2、如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个 平面互相垂直。(面面垂直的判定定理) 3、如果一个平面与另一个平面的垂线平行,那么这两个 平面互相垂直。 4、如果一个平面与另一个平面的垂面平行,那么这两个 平面互相垂直。

? 如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD 是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB, EF⊥FB,∠BFC=90°,BF=FC,H为 BC的中点. ? (1)求证:FH∥平面EDB; ? (2)求证:AC⊥平面EDB; ? (3)求四面体B-DEF的体积.

? (1)证明 如图,设AC与BD交于点G,则G为AC 的中点.连接EG,GH,由于H为BC的中点, ? 故GH=(1/2)AB. ? 又EF=(1/2)AB ,∴EF=GH. ? 又EF∥AB GH∥AB ∴EF ∥ GH ? ∴四边形EFHG为平行四边形. ? ∴EG∥FH. ? 而EG?平面EDB,FH?平面EDB, ? ∴FH∥平面EDB.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

(2)证明 由四边形ABCD为正方形, 得AB⊥BC. 又EF∥AB,∴EF⊥BC. 而EF⊥FB,∴EF⊥平面BFC. ∴EF⊥FH.∴AB⊥FH. 又BF=FC,H为BC的中点,∴FH⊥BC. ∴FH⊥平面ABCD.∴FH⊥AC. 又FH∥EG,∴AC⊥EG. 又AC⊥BD,EG∩BD=G, ∴AC⊥平面EDB.

(3)解 ∵EF⊥FB,∠BFC=90° ∴BF⊥平面 CDEF. ∴BF 为四面体 B-DEF 的高. 又 BC=AB=2,∴BF=FC= 2. 1 1 1 VB-DEF= × ×1× 2× 2= . 3 2 3


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