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数列的综合应用(修改版)


高三导学案 班级:

学科 数学 编号 5.5 编写人 刘富良 审核人 小组: 姓名: 小组评价:

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5.5 数列的综合应用
【学习目标】 1.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系 2.通过构造等差、等比数列模型,运用数列的公式、性质解决简单的实际问题. 【重点难点】 重点:在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系 难点:用数列的知识解决实际应用问题 【使用说明及学法指导】①要求学生完成知识梳理和基础自测题;限时完成预习案,识记基础知识; ②课前只独立完成预习案,探究案和训练案留在课中完成。

预习案
一、知识梳理 1. 解答数列应用题的基本步骤 (1)审题——仔细阅读材料,认真理解题意. (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化成数学问题,弄清该数列的结构和 特征. (3)求解——求出该问题的数学解. (4)还原——将所求结果还原到原实际问题中. 2. 数列应用题常见模型 (1)等差模型:如果增加(或减少)的量是一个固定量时,该模型是等差模型,增加(或减少)的量就是 公差. (2)等比模型:如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时,该模型是等比模型,这个固定的数 就是公比. (3)递推数列模型:如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定,随项的变化而变化时,应考虑是

an 与 an+1 的递推关系,还是 Sn 与 Sn+1 之间的递推关系.
二、基础自测 1. “嫦娥奔月,举国欢庆”,据科学计算,运载“神六”的“长征二号”系列火箭,在点火第一秒钟通 过的路程为 2 km,以后每秒钟通过的路程都增加 2 km,在达到离地面 240 km 的高度时,火箭与飞船 分离,则这一过程需要的时间大约是 ( ) A.10 秒钟 B.13 秒钟 C.15 秒钟 D.20 秒钟 2.有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为 2 个,现在有一个这样的 细菌和 100 个这样的病毒,问细菌将病毒全部杀死至少需要( ) A.6 秒钟 B.7 秒钟 C.8 秒钟 D.9 秒钟 3.等比数列{an}中,a1=2,a8=4,函数 f(x)=x(x-a1)(x-a2)?(x-a8),则 f′(0)等于( ) A.2
6

B.2

9

C.2

12

D.2

15

探究案
一、合作探究

1 1 例 1. 设数列{an}满足 a1=0 且 - =1. 1-an+1 1-an
n 1- an+1 (2)设 bn= ,记 Sn= ?bk,证明:Sn<1.

(1)求{an}的通项公式;

n

k=1

例 2.某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金 2 000 万元,将其投 入生产,到当年年底资金增长了 50%.预计以后每年奖金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年 开始,每年年底上缴资金 d 万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第 n 年年底企业上缴资金后的剩 余资金为 an 万元. (1)用 d 表示 a1,a2,并写出 an+1 与 an 的关系式; (2)若公司希望经过 m(m≥3)年使企业的剩余资金为 4 000 万元,试确定企业每年上缴资金 d 的值(用 m 表示).

例 3 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 2Sn=an+1-2 (1)求 a1 的值; (2)求数列{an}的通项公式;

n+1

+1,n∈N ,且 a1,a2+5,a3 成等差数列.

*

1 1 1 3 (3)证明:对一切正整数 n,有 + +?+ < . a1 a2 an 2

二、总结整理

训练案
一、课中训练与检测 1 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a1= ,an=-2Sn·Sn-1 (n≥2). 2 (1)求数列{an}的通项公式 an; 1 1 2 2 2 (2)求证:S1+S2+?+Sn≤ - . 2 4n 二、课后巩固促提升 某产品在不做广告宣传且每千克获利 a 元的前提下,可卖出 b 千克.若做广告宣传,广告费为 n 千元时比广

b ? 千克,( n ? N ). n 2 (1)当广告费分别为 1 千元和 2 千元时,用 b 表示销售量 s ;
告费为 (n ? 1) 千元时多卖出 (2)试写出销售量 s 与 n 的函数关系式; (3)当 a =50, b =200 时厂家应生产多少千克这种产品,做几千元广告,才能获利最大?


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