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2012高三数学限时作业(二)-20120915


江苏省泰州中学高三数学独立作业
班级_____ 一、填空题 1.已知 U ? R ,集合 M ? ? x | ____ 姓名___ ________ 学号_____ 2012-09-15 _______ 成绩_____ _______

? ?

2x ? 3 ? ? 0? ,则 CR M ? x?2 ?

.


[来源:学|科|网][来源:学科网]

2. 已知集合 A ? y y ? sin x , x ? R , 集合 B ? y y ? [0 , 1] 3、函数 y ? m | x | 与 y ? m≥ 2

?

?

?

则 x , x?R , A? B ?

?

3 [?2, ] 2
. .

x2 ? 1 在同一坐标系的图像有公共点,则 m 的取值范围是

4.若函数 f ( x) ? (k ? 1)a x ? a ? x (a ? 0, a ? 1) 在 R 上既是奇函数,又是减函数,则 a 的取 值范围是 . 0<a<1 5、函数 y ? loga ( x ? 1) ? 2 (a ? 0, a ? 1) 的图像恒过一定点是_____。 (2,2) 6、P 是函数 y ? x ?

1 上的图像上任意一点,则 P 到 y 轴的距离与 P 到 y ? x 的距离之积 x

是________。

2 2

7. 已 知 集 合 A ? {x ? R | x ? 2 ? 3}, 集 合 B ? {x ? R | ( x ? m)(x ? 2) ? 0}, 且

A ? B ? (?1, n), 则 m =__________,n = __________. ? 1,1
8.方程 lg x ? lg( x ? 3) =1 的解是 x ?
3

.2

9.若函数 f ( x) ? x ? 3x ? a 有 3 个不同的零点,则实数 a 的取值范围 10. 已知函数 f ( x ) 满足:x≥4,则 f ( x ) = ( ) ;当 x<4 时 f ( x ) = f ( x ? 1) ,
x

? ?2, 2?

1 2

则 f (2 ? log2 3) =

1 24

11.设函数 y ? f (x) 由方程 x | x | ? y | y |? 1 确定,下列结论 正确的是.(请将你认为正确的序 号都填上) (1) f (x) 是 R 上的单调递减函数;
[来源:Zxxk.Com]

(2)对于任意 x ? R , f ( x) ? x ? 0 恒成立; (3)对于任意 a ? R ,关于 x 的方程 f ( x) ? a 都有解; (1) (2) (3) 12.已知函数 y ?

x2 ?1 x ?1

的图象与函数 y ? kx ? 2 的图象恰有两个交点,则实数 k 的取值范

围是_________. 0 ? k ? 1 或 1 ? k ? 4 【解析】函数 y ?

x2 ?1 x ?1
y?

?

( x ? 1)(x ? 1) x ?1

,当 x ? 1 时, y ?

x2 ?1 x ?1


? x ? 1 ? x ? 1 ,当

x ?1





x2 ?1

?? x ? 1,?1 ? x ? 1 ? ? x ?1 ? ? x ?1 ? x ? 1, x ? ?1









? x ? 1,x ? 1 ? y? ? ?? x ? 1, ?1 ? x ? 1 ,做出函数的图象(蓝线),要 x ?1 ? ? x ? 1, x ? ?1 x2 ?1
使函数 y 与 y ? kx ? 2 有两个不同的交点, 则直线 y ? kx ? 2 必须在四边形区域 ABCD 内(和直线 y ? x ? 1 平行的直线除

2 ? (?2) ? 4 ,综 1? 0 上实数的取值范围是 0 ? k ? 4 且 k ? 1 ,即 0 ? k ? 1 或 1? k ? 4。
外,如图,则此时当直线经过 B(1,2) , k ? 13. 设

? x?

表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 , 如 ?1.5? ? 1, ??1.5? ? ?2 . 若 函 数

f

? x? ?

ax 1? ? 1? ? a?0 , a??1 , 则 g ? x ? ? ? f ? x ? ? ? ? ? f ? ? x ? ? ? 的 值 域 为 x ? 1? a 2? ? 2? ?

________________. ??1,0? 14. 已知 f ( x) ? m( x ? 2m)(x ? m ? 3) , g ( x) ? 2 ? 2 ,若同时满足条件:
x

① ?x ? R , f ( x ) ? 0 或 g ( x) ? 0 ; 则 m 的取值范围是_______。
x

② ?x ? (??, ?4) , f (x) g ( x) ? 0 。

m ? (?4,?2)

【解析】根据 g ( x) ? 2 ? 2 ? 0 ,可解得 x ? 1 。由于题目中第一个条件的限制 ?x ? R ,

f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 成立的限制,导致 (x ) 在 x ? 1 时必须是 f ( x) ? 0 的。当 m ? 0 时, f ( x) ? 0 不能做到 f (x) 在 x ? 1 时 f ( x) ? 0 ,所以舍掉。因此, f (x) 作为二次函数开口
只能向下,故 m ? 0 ,且此时两个根为 x1 ? 2m , x2 ? ?m ? 3 。为保证此条件成立,需要

1 ? ? x1 ? 2m ? 1 ?m ? ?? 2 ,和大前提 m ? 0 取交集结果为 ? 4 ? m ? 0 ;又由于条件 2: ? ? x 2 ? ?m ? 3 ? 1 ?m ? ?4 ?

要求 x ? (??,?4) , f ( x) g ( x) ? 0 的限制,可分析得出在 x ? (??,?4) 时, f (x) 恒负,因 此就需要在这个范围内 g (x) 有得正数的可能,即 ? 4 应该比 x1 , x2 两根中小的那个大,当

m ? (?1,0) 时, ? m ? 3 ? ?4 ,解得,交集为空,舍。当 m ? ?1 时,两个根同为 ? 2 ? ?4 ,
舍。当 m ? (?4,?1) 时, 2m ? ?4 ,解得 m ? ?2 ,综上所述 m ? (?4,?2) .

二、解答题 15、(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ?

2? x ; x ?1

(1)求出函数 f ( x ) 的对称中心; (2)证明:函数 f ( x ) 在 (?1, ??) 上为减函数; (3)是否存在负数 x0 ,使得 f ( x0 ) ? 3 x 0 成立,若存在求出 x0 ;若不存在,请说明理由。 解: (1)? f ( x) ?

2 ? x ?x ?1? 3 3 ? ? ?1 ? x ?1 x ?1 x ?1

(2 分) (2 分)

? 函数 f ( x) 的对称中心为(-1,-1)
(2)任取 x1 , x2 ? (?1, ??) ,且 x1 ? x2 ∵ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (1 分)

2 ? x1 2 ? x2 3x2 ? 3x1 ? ? ?0 x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)
(1 分)

(4 分)

∴函数 f ( x ) 在 (?1, ??) 上为减函数 (3)不存在 (1 分)
x

假设存在负数 x0 ,使得 f ( x0 ) ? 3 0 成立, 则? x0 ? 0,?0 ? 3 0 ? 1
x

(1 分)

即 0 ? f ( x0 ) ? 1

?0?

2 ? x0 ?1 x0 ? 1
?? 1 ? x0 ? 2 2

? ?1 ? x0 ? 2 ? ?1 ? x0 ? 2 ? ? ?? ? ? ?2 x0 ? 1 1 ?0 ? x ?1 ? x0 ? ?1或x0 ? 2 ? ? 0
与 x0 ? 0 矛盾, (1 分)

(2 分)

所以不存在负数 x0 ,使得 f ( x0 ) ? 3 0 成立。 (1 分)
x

另: f ( x ) ? ?1 ? 在。

3 ,由 x0 ? 0 得: f ( x0 ) ? ?1 或 f ( x0 ) ? 2 但 0 ? 3 x0 ? 1,所以不存 x ?1

16.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ?

2 ? cos(2 x ? ) ? sin 2 x 。 2 4

(I)求函数 f ( x ) 的最小正周期; ( II ) 设 函 数 g ( x) 对 任 意 x ? R , 有 g ( x?

?

) ? g ( x ) 且 当 x ? [0, ] 时 , , 2 2

?

g ( x) ?

1 ? f ( x) ,求函数 g ( x) 在 [?? , 0] 上的解析式。 2

【答案】本题考查两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、三角函数的周期等性质、分段 函数解析式等基础知识,考查分类讨论思想和运算求解能力。 16.【解析】 f ( x) ?

2 ? 1 1 1 cos(2 x ? ) ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) 2 4 2 2 2

?

1 1 ? sin 2 x , 2 2
(I)函数 f ( x ) 的最小正周期 T ? (2)当 x ? [0, 当 x ? [?

?
2

2? ?? 2

] 时, g ( x) ?

? ? ? 1 ? 1 , 0] 时, ( x ? ) ? [0, ] g ( x) ? g ( x ? ) ? sin 2( x ? ) ? ? sin 2 x 2 2 2 2 2 2 2 ? ? 1 1 当 x ? [?? , ? ) 时, ( x ? ? ) ? [0, ) g ( x) ? g ( x ? ? ) ? sin 2( x ? ? ) ? sin 2 x 2 2 2 2
?

1 1 ? f ( x) ? sin 2 x 2 2

? ? 1 ?? 2 sin 2 x( ? 2 ? x ? 0) ? 得函数 g ( x) 在 [?? , 0] 上的解析式为 g ( x) ? ? 。 ? 1 sin 2 x( ?? ? x ? ? ) ? 2 ? 2
17. (本题满分 14 分)
2 已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx 对任意 x ? R 均有 f ( x ? 4) ? f (2 ? x) 成立,且函数的

图像过点 A (1, ) . (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式;

3 2

(2)若不等式 f ( x ? t ) ? x 的解集为 [4,m] ,求实数 t、m 的值.



(1) Q f ( x) = ax2 + bx对任意x ? R恒有f ( x 4) = f (2 - x) 成立,且图像过点

3 A(1, ) , 2

ì a( x - 4)2 + b( x - 4) = a(2 - x) 2 + b(2 - x), ? ? \ ? í ? a+ b = 3. ? ? 2 ?
化 简 a( x - 4)2 + b( x - 4) = a(2 - x)2 + b(2 - x),得(2b - 4a)x + (12a - 6b) = 0 此 一

ì 2b - 4a = 0 ? 元一次方程对 x ? R 都成立,于是, ? ,即 b = 2a . í ? 12a - 6b = 0 ? ?
进一步可得
ì 1 ? ?a= ? 2. í ? ?b= 1 ? ?
\ 所求函数解析式为f ( x) = 1 2 x + x. 2

(2)

Q f (x - t)
\

x的解集为[4,m] ,
2tx + t 2 - 2t 0的解集是[4,m],且m > 4.

1 ( x - t ) 2 + x - t ? x,即x 2 2

\ 4、m是方程x2 - 2tx + t 2 - 2t = 0的两根 .

ì 4 + m = 2t 祆 = 12 m m= 0 ? 镲 于是, ? ,解此方程组,得 镲 或 (舍去) . 眄 í 镲= 8 ? 4m = t 2 - 2t t t= 2 镲 铑 ? ?
ì m = 12 ? ∴? . í ?t= 8 ? ?
18. (本小题满分 16 分) 如图, 灌溉渠的横截面是等腰梯形, 底宽 2 米, 边坡的长为 x 米、 倾角为锐角 ? . (1)当 ? ?

?
3

且灌溉渠的横截面面积大于 8 平方米时,求 x 的最小正整数值;
x

(2)当 x=2 时,试求灌溉渠的横截面面积的最大值.

? 解:由已知得等腰梯形的高为 xsin ? ,上底长为 2+2xcos ? ,从而横截面面

积 S=

1 2 (2+2+2xcos ? )·xsin ? =x sin ? cos ? +2xsin ? . 2

(1)当 ? ?

?
3

时,面积 S =

3 2 x + 3x是(0,+∞)上的增函数,当 x=2 时, 4

S=3 3 <8;当 x=3 时,S=

9 3 ? 3 3 ? 8 . 所以,灌溉渠的横截面面积大于 8 平方 4

米时,x 的最小正整数值是 3. (2)当 x=2 时,S=4sin ? cos ? +4sin ? ,S ' =4cos2 ? -4sin2 ? +4cos ? =4(2cos2 ? +cos ? -1)=4(2cos ? -1)· (cos ? +1), S ' =0 及 ? 是锐角, ? ? 由 得 当 0< ? < 当? =

?
3

.

? 时,S 有最大值 3 3 . 3

? ? ? 时,S ' >0,S 是增函数;当 < ? < 时,S ' <0,S 是减函数。所以, 3 3 2

综上所述,灌溉渠的横截面面积的最大值是 3 3 .
19. (本小题满分 16 分) 设函数 f ( x) ? ?

1 3 x ? 2ax 2 ? 3a 2 x ? 1, 0 ? a ? 1. 3

(1)求函数 f (x) 的极大值; (2) x ??1 a, ? a 若 ? 1 , ? 时,恒有 ?a ? f ?( x) ? a 成立(其中 f ? ? x? 是函数 f ? x ? 的导函数)

试确定实数 a 的取值范围。 解(1)∵ f ?( x) ? ? x ? 4ax ? 3a ,且 0 ? a ? 1 ,
2 2

当 f ?( x) ? 0 时,得 a ? x ? 3a ;当 f ?( x) ? 0 时,得 x ? a或x ? 3a ; ∴ f (x) 的单调递增区间为 (a,3a) ;单调递减区间为 (??, a) 和 (3a,??) . 故当 x ? 3a 时, f (x) 有极大值,其极大值为 f ? 3a ? ? 1.
2 2 2 (2)∵ f ? ? x ? ? ? x ? 4ax ? 3a ? ? ? x ? 2a ? ? a , 2

1 时, 1 ? a ? 2a , 3 ∴ f ?( x ) 在区间 ?1 ? a,1 ? a? 内是单调递减.
当0 ? a ?

? ?max ∴ ? f(x) ? f ? ?1-a ? ? ?8a2 ? 6a ?1,
∵ ?a ? f ?( x) ? a ,∴ ? 当

? ? ? f(x)min ? f ? ?1+a ? ? 2a ?1.
此时, a ?? .

? ?8 a 2 ? 6 a ? 1 ? a , ? 2a ? 1 ? ? a.

1 ? a ? 1 时, ? f(x) ? f ? ? 2a ? ?a2 . ? ?max 3

? ?0 ? a ? 1, ? a ? a, ? ? ∵ ?a ? f ?( x) ? a ,∴ ?2a ? 1 ? ?a, 即 ?a ? 1 , ? ??8a 2 ? 6a ? 1 ? ?a. ? 3 ? ? 7 ? 17 7 ? 17 ?a? . ? 16 16 ? 1 7 ? 17 此时, ? a ? . 3 16
2

? ? 综上可知,实数 a 的取值范围为 ? 1 , 7 ? 17 ? . 16 ? ?3 20、(本小题满分 16 分)

定义 y=log1+xf(x,y) ,f(x,y)=(1+x) (x>0,y>0) (1)比较 f(1,3)与 f(2,2)的大小; (2)若 e<x<y,证明:f(x﹣1,y)>f(y﹣1,x) ; (3)设 g(x)=f(1,log2(x +ax +bx+1) )的图象为曲线 C,曲线 C 在 x0 处的切线斜率 为 k,若 x0∈ (1,1﹣a) ,且存在实数 b,使得 k=﹣4,求实数 a 的取值范围. 考点: 对数函数图象与性质的综合应用;函数单调性的性质;导数的几何意义。 专题: 计算题。 y 分析: (1) 、由定义知 f(x,y)=(1+x) (x>0,y>0) ,分别求出 f(1,3)与 f(2,2) 的值后再进行比较. y x (2) 、要证 f(x﹣1,y)>f(y﹣1,x) ,只要证 x >y 即可. 3 2 (3) 、由题意知:g(x)=x +ax2+bx+1,且 g'(x0)=k,于是有 3x0 +2ax0+b=﹣4 在 3 2 3 2 x0∈ (1, 1﹣a) 上有解. 又由定义知 log2 0 +ax0 +bx0+1) (x >0 即 x0 +ax0 +bx0>0. 然 后再分类讨论,求出实数 a 的取值范围. y 解答: (1)由定义知 f(x,y)=(1+x) (x>0,y>0) 解:
1127322

y

3

2

∴ f(1,3)=(1+1) =8,f(2,2) =9∴ f(1,3)<f(2,2) . y x (2)f(x﹣1,y)=x ,f(y﹣1,x)=y y x 要证 f(x﹣1,y)>f(y﹣1,x) ,只要证 x >y ∵

3

2



,则

,当 x>e 时,h'(x)<0

∴ h(x)在(e,+∞)上单调递减. ∵ e<x<y∴ h(x)>h(y)即 ∴ 不等式 f(x﹣1,y)>f(y﹣1,x)成立. 3 (3)由题意知:g(x)=x +ax2+bx+1,且 g'(x0)=k 2 于是有 3x0 +2ax0+b=﹣4 在 x0∈ (1,1﹣a)上有解. 3 2 3 2 又由定义知 log2(x0 +ax0 +bx0+1)>0 即 x0 +ax0 +bx0>0 2 ∵0>1∴0 +ax0>﹣b x x 2 2 2 ∴0 +ax0>3x0 +2ax0+4 即 ax0<﹣2(x0 +2) x

∴ 设 ① 当 当且仅当 ∴ 当 时, 即 时,

在 x0∈ (1,1﹣a)有解.

时,





∴ 时,即 .∴ ≤a<0 时,

. 在 x0∈ (1,1﹣a)上递减, 整理得:a ﹣3a+6<0,无解.
2

② 1<1﹣a≤ 当 ∴

综上所述,实数 a 的取值范围为 . 点评: 本题是对数函数的综合题,在解题过程中除正确运用对数的图象和性质,还要充分考 虑函数的单调性和导数的几何意义.


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