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山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试 数学文 Word版含答案


山东省实验中学 2010 级第三次诊断性测试 数学文科试题(2012.12)
注意事项:本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) ,共两卷。其中第Ⅰ卷为第 1 页至第 2 页,共 60 分;第Ⅱ卷为第 3 页至第 6 页,共 90 分;两卷合计 150 分。考试时间为 120 分钟。本科考试不允许使用计算器。

第Ⅰ卷(选择题
符合题

目要求的一项。

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题列出的四个选项中,选出

“ ”“ 1、设 M ? {1,2} N ? {a 2} ,则 a ? 1 是 N ? M ” 的( ,
A.充分不必要条件 件 2、下列函数中,在其定义域中,既是奇函数又是减函数的是( A. f ( x) ? B.必要不充分条件

) D.既不充分又不必要条

C.充要条件

) D. f ( x) ? ? tan x

1 x

B. f ( x) ?

?x

C. f ( x) ? 2? x ? 2 x

3.椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦距为 16 9
B.5 C. 7 ) C.2 个 D.3 个 ) D. 2 7

A.10

4.函数 f ( x) ? ( x ? 1) ln x 的零点有( A.0 个 B.1 个

5.已知两条直线 y ? ax ? 2 和 3x ? (a ? 2) y ? 1 ? 0 互相平行,则 a 等于( A.1 或-3 B.-1 或 3 C.1 或 3 D.-1 或 3

6.已知各项为正的等比数列 ?an ? 中,a4 与 a14 的等比数列中项为 2 2 ,则 2a7 ? a11 的最小值 A.16 B.8 C. 2 2 D.4

7.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 4 相交于 A、B 两点,则弦 AB 的长等于 A. 3 3 B. 2 3 C. 3 D.1

8.已知命题 p : ?x ? (??,0),2 x ? 3x ;命题 q:?x ? R, f ( x) ? x3 ? x 2 ? 6 的极大值为 6.则下 面选项中真命题是

( A. ?p) ? (?q)

( B. ?p) ? (?q)
-1-

C. p ? (?q)

D. p ? q

?y ? x ? 9.设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ,则 z ? x ? 3 y 的最小值为 ? x ? ?2 ?
A.-2 10.已知椭圆: B.-4 C.-6 D.-8

x2 y 2 ? ? 1(0 ? b ? 2) ,左右焦点分别为 F,F2 ,过 F1 的直线 l 交椭圆于 A, 1 4 b2

B 两点,若 | BF2 | ? | AF2 | 的最大值为 5,则 b 的值是 A.1 B. 2 C.

3 2

D. 3

11.已知等差数列 ?an ? 的公差为 d 不为 0,等比数列 ?bn ? 的公比 q 是小于 1 的正有理数,若

a ? a2 ? a3 是正整数,则 q 的值可以是 a1 ? d , b1 ? d ,且 1 b1 ? b2 ? b3
2 2 2

2

A.

1 7

B.-

1 7

C.

1 2

D. ?

1 2

12.定义方程 f ( x) ? f ' ( x) 的实数根 x0 叫做函数 f (x) 的“新驻点” ,若函数

g ( x) ? x, h( x) ? ln(x ? 1),? ( x) ? x3 ?1的“新驻点”分别为 ?,?,? ,则 ?,?,? 的大小
关系为 A. ? ? ? ? ? B. ? ? ? ? ? C. ? ? ? ? ? D. ? ? ? ? ?

-2-

第Ⅱ卷(非选择题
题号 分数 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 13.已知角 ? 的终边上一点的坐标为 (sin 的最小正值为 . . 二 17 18 19

90 分)
20 21 22 总分

5? 5? , cos ) ,则角 ? 6 6

14.已知 f ( x) ? x 2 ? 2xf ' (1) ,则 f ' (0) ?

15.已知函数 y ? g (x) 的图象由 f ( x) ? sin 2 x 的图象向右 平移 ? (0 ? ? ? ? ) 个单位得到,这两个函数的部分图象如图 所示,则 ? = .

16.已知定义在 R 的奇函数 f (x) 满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) , x ? [0,2] 时,f ( x) ? log2 ( x ? 1) , 且 下面四种说法① f (3) ? 1 ; ②函数 f (x) 在 [-6, 上是增函数; -2] ③函数 f (x) 关于直线 x ? 4 对称;④若 m ? (0,1) ,则关于 x 的方程 f ( x) ? m ? 0 在[-8,8]上所有根之和为-8,其中正 确的序号 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 得分 评卷人 17.(本小题满分 12 分)记 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,若不等式 f ( x) ? 0 的解 集为(1,3) ,试解关于 t 的不等式 f (| t | ?8) ? f (2 ? t 2 ) .

得分

评卷人

18.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 1 ? sin x cos x . (Ⅰ)求函数 f (x) 的最小正周期和单调递减区间;

(Ⅱ)若 tan x ? 2 ,求 f (x) 的值。

-3-

得分

评卷人 19.(本小题满分 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且

4Sn ? an ?1(n ? N ? ) .

(Ⅰ)求 a1 , a2 ;

(Ⅱ)设 bn ? log3 | an | ,求数列 ?bn ? 的通项公式。

得分

评卷人

20.(本小题满分 12 分)在 ?ABC 内, a, b, c 分别为角 A, B, C 所对的 边, a, b, c 成等差数列,且 a ? 2c .

(Ⅰ)求 cos A 的值; (Ⅱ)若 S ? ABC ?

3 15 ,求 b 的值。 4

得分

评卷人 21. (本小题满分 12 分) F,F2 分别是椭圆: 设 1
?

x2 y 2 ? (a ? b ? 0) 的左、 a 2 b2

右焦点,过 F1 倾斜角为 45 的直线 l 与该椭圆相交于 P, Q 两点,且

| PQ |?

4 a. 3

(Ⅰ)求该椭圆的离心率;

? (Ⅱ)设点 M (0, 1) 满足 | MP |?| MQ | ,求该椭圆的方程。
-4-

得分

评卷人

22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 1 x ? (2a ? 1) x 2 ? (a 2 ? a ) x . 3 2

(Ⅰ)若 f (x) 在 x ? 1 处取得极大值,求实数 a 的值; (Ⅱ)若 ?m ? R ,直线 y ? kx ? m 都不是曲线 y ? f (x) 的切线,求 k 的取值范围; (Ⅲ)若 a ? ?1 ,求 f (x) 在区间[0,1]上的最大值。

-5-

实验中学三诊数学(文)参考答案及评分标准
一、选择题 题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 B 5 A 6 B 7 B 8 B 9 D

2012.2
10 D 11 C 12 A

二、填空题:13.

? 2? ; 14.-4; 15. 3 3

16.①④

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分) 17.由题意知 f ( x) ? a( x ? x1 )(? x2 ) ? a( x ?1)(x ? 3) . 且 a ? 0 故二次函数在区间 [2,??) 上是增函数.??????????4 分 又因为 8? | t |? 8,2 ? t 2 ? 2 ,??????????????6 分 故由二次函数的单调性知不等式 f (| t | ?8) ? f (2 ? t 2 ) 等价于 8? | t |? 2 ? t 2 即 | t | ? | t | ?6 ? 0
2

????????10 分

故 | t |? 3 即不等的解为: ? 3 ? t ? 3 .????????12 分

1 2? sin 2 x,?T ? ? ? ,????????3 分 2 2 ? 3? ? 3? ? 2k? (k ? Z ) ,则 ? k? ? x ? ? k? (k ? Z ) , 令 ? 2k? ? 2 x ? 2 2 4 4 ? 3? ? k? ]( k ? Z ) ;??????????6 分 即函数 f (x) 的单调递减区间是 [ ? k? , 4 4
18.解: (Ⅰ)已知函数即 f ( x) ? 1 ? (2)由已知 y ?

sin 2 x ? sin x cos x ? cos2 x tan2 x ? tan x ? 1 ,??????9 分 ? sin 2 x ? cos2 x tan2 x ? 1
22 ? 2 ? 1 7 ? .????????12 分 5 22 ? 1
1 , ??????3 分 3

? 当 tan x ? 2 时, y ?

19.解: (1)由已知 4S1 ? a1 ? 1 ,即 4a1 ? a1 ? 1,? a1 ?

4 又 4S2 ? a2 ? 1 ,即 (a1 ? a2 ) ? a2 ? 1,? a2 ? ?
(2)当 n ? 1 时, an ? S n ? S n ?1 ?

1 ; ????????6 分 9

1 1 (an ? 1) ? (an?1 ? 1) , 4 4

即 3an ? ?an?1 ,易知数列各项不为零(注:可不证不说) ,

?

an 1 ? ? 对 n ? 2 恒成立, an ?1 3

-6-

1 1 ??an ?是首项为 ,公比为- 的等比数列, 3 3 1 1 n ?1 ? an ? (? ) ? (?1) n?1 3?n , 3 3

????????10 分

?log3 | an |? log3 3?n ? ?n ,即 bn ? ?n .
又 a ? 2c ,可得 b ?

??????????12 分

20.解(Ⅰ)因为 a,b,c 成等差数列,所以 a+c=2b, ????????2 分

3 c, 2

??????????4 分

9 2 2 c ? c ? 4c 2 b2 ? c2 ? a 2 4 1 所以 cos A ? ? ? ? ,??????6 分 3 2bc 4 2 ? c2 2
(Ⅱ)由(Ⅰ) cos A ? ?

1 15 ( , A ? 0,?) ,所以 sin A ? , ????????8 分 4 4

因为 S ?ABC ?

3 15 1 ,S ?ABC ? bc sin A, 4 2 1 1 3 15 3 15 , ????????10 分 bc sin A ? ? c 2 ? 2 2 2 4 4

所以 S ?ABC ?
2

得 c ? 4 ,即 c ? 2, b ? 3 . ???????????12 分 21.解: (Ⅰ)直线 PQ 斜率为 1,设直线 l 的方程为 y ? x ? c ,其中 c ? a2 ? b2 .????2 分 设 P( x1, y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 P, Q 两点坐标满足方程组

?y ? x ? c ? 2a 2 c ? 2 2 化简得 (a 2 ? b2 ) x2 ? 2a2cx ? a 2 (c2 ? b2 ) ? 0 ,则 x1 ? x2 ? 2 , ?x y a ? b2 ? 2 ?1 ? 2 b ?a
x1 x2 ? a 2c 2 ? b 2 . a 2 ? b2
4 | PQ |? 2 | x2 ? x1 |? 2[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ? a 3 .??????6 分

因为,所以

4 4ab2 2 2 得 a? 2 ,故 a ? 2b , 2 3 a ?b
所以椭圆的离心率 e ?

c a 2 ? b2 2 . ????????8 分 ? ? a a 2

-7-

(Ⅱ)设 PQ 的中点为 N ( x0 , y0 ) ,由(1)知 x0 ? 由 | MP |?| MQ | 得 kMN ? ?1 . 即

x1 ? x2 ? a 2c 2 c ? 2 ? ? c, y0 ? x0 ? c ? . 2 2 3 3 a ?b

????????10 分

y0 ? 1 x2 y2 ? 1 ????12 分 ? ?1 ,得 c ? 3 ,从而 a ? 3 2 , b ? 3 .故椭圆的方程为 ? x0 18 9

22.解: (Ⅰ)因为 f ' ( x) ? x2 ? (2a ?1) x ? (a2 ? a) ? ( x ? a)[x ? (a ? 1)] ??????2 分 令 f ' ( x) ? 0, 得x1 ? (a ? 1), x2 ? a ,所以 f ' ( x), f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
f ' ( x)

(? ?,a)
+ Z

a
0 极大值

(a, a ? 1)


a ?1
0 极小值

(a ? 1,??)
+ Z ????????4 分

f (x)
所以 a ? 1

??????????5 分

(由 f ' (1) ? 0 得出 a ? 0 ,或 a ? 1 ,在有单调性验证也可以(标准略) ) (Ⅱ)因为 f ' ( x) ? ( x ?

2a ? 1 2 1 ) ? 2 4

????????6 分

因为 ?m ? R ,直线 y ? kx ? m 都不是曲线 y ? f (x) 的切线, 所以 f ' ( x ) ? ( x ?

2a ? 1 2 1 ) ? ? k 无实数解 ????????7 分 2 4

只要 f ' ( x) 的最小值大于 k

1 ????????8 分 4 (Ⅲ)因为 a ? ?1 ,所以 a ? 1 ? 0 ,
所以 k ? ? 当 a ? 1 时, f ' ( x) ? 0 对 x ?[0,1] 成立 所以当 x ? 1 时, f (x) 取得最大值 f (1) ? a ?
2

1 6

????????9 分

当 0 ? a ? 1 时,在 x ? (0, a) 时, f ' ( x) ? 0 , f (x) 单调递增 在 x ? (a,1)时, f ' ( x) ? 0, f ( x) 单调递减 所以当 x ? a 时, f (x) 取得最大值 f (a ) ?

1 3 1 2 a ? a ??????10 分 3 2

当 a ? 0 时,在 x ? (0,1) 时, f ' ( x) ? 0 , f (x) 单调递减 所以当 x ? 0 , f (x) 取得最大值 f (0) ? 0 ????????11 分

-8-

当 ? 1 ? a ? 0 时,在 x ? (0, a ? 1) 时, f ' ( x) ? 0, f ( x) 单调递减 在 x ? (a ? 1,1) 时, f ' ( x) ? 0 , f (x) 单调递增 又 f (0) ? 0, f (1) ? a ?
2

1 , 6

当 ?1 ? a ?

1 6 2 时, f (x) 在 x ? 1 取得最大值 f (1) ? a ? 6 6

当?

6 ? a ? 0 时, f (x) 在 x ? 0 取得最大值 f (0) ? 0 6 6 时, f (x) 在 x ? 0 , x ? 1 处都取得最大值 0.????14 分 6

当a ? ?

综上所述, 当 a ? 1或 ? 1 ? a ? ?

1 6 2 时, f (x) 取得最大值 f (1) ? a ? 6 6

当 0 ? a ? 1 时, f (x) 取得最大值 f (a ) ? 当a ? ?

1 3 1 2 a ? a 3 2

6 时, f (x) 在 x ? 0 , x ? 1 处都取得最大值 0 6

当?

6 ? a ? 0 时, f (x) 在 x ? 0 取得最大值 f (0) ? 0 . 6

-9-


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