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3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示


§3.1.4

空间向量的正交分解及其坐标表示

数学组_________________ 时间_______________ 课型:新授课 教 学 目 标 1.知识目标 2.能力目标 3.德育目标
1. 2. 1. 2. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示; 掌握空间向量的坐标运算的规律; 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示; 掌握空间向量的坐标运算的规律;

渗透数形结合思想。

重点:1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示;
2. 掌握空间向量的坐标运算的规律;

难点:1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示;
2. 掌握空间向量的坐标运算的规律;

教学流程:(包括:1、设疑自探;2、解疑合探;3、质疑再探;4、运用拓展。

设置情境、激趣导入
复习 1:平面向量基本定理的内容是什么? 复习 2:平面向量的坐标表示的定义是什么?

一、设疑自探
? 1、间的任意向量 a ,能否用空间的几个向量唯一表示?如果能,那需要几个向量?这几 个向量有何位置关系? 2、 (1)什么是空间向量的正交分解?(2)空间向量基本定理的内容是什么? (3)什么是单位正交分解? (4)空间向量坐标运算法则有哪些?

二、解疑合探
?? ? ?? ? ? ? a ? a a 1 1 2 1、 (1)空间向量的正交分解: 空间的任意向量 均可分解为不共面的三个向量 、 2、 ?? ?

?3 a3 , 使 a ? ?1 a1 ? ?2 a2 ? ?3 a3 . 如果 a1 , a2 , a3 两两垂直, 这种分解就是空间向量正交分解.
? ?? (2)空间向量基本定理:如果三个向量 a, b, c
, 的一个基底,

?

?? ?

?? ?

?? ?

?? ? ?? ? ?? ?

? ? ? ? ? ? ? {x, y, z} p p ? xa ? yb ? zc . 把 对空间任一向量 ,存在有序实数组 ,使得

? ?? a, b, c 都叫做基向量.
反思:空间任意一个向量的基底有无数多个. (3)单位正交分解:如果空间一个基底的三个基向量互相 基底叫做单位正交基底,通常用{i,j,k}表示. ,长度都为 ,则这个

(4)空间向量的坐标表示:给定一个空间直角坐标系 O-xyz 和向量 a ,且设 i、j、k 为 x

? ? ? ? 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量,则存在有序实数组 {x, y, z} ,使得 a ? xi ? y j ? zk ,则

? ? 称有序实数组 {x, y, z} 为向量的 a 坐标,记着 p ? ???? (5)设 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则 AB =
.

.

(6)向量的直角坐标运算:设 a = (a1 , a2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) ,则 ⑴ a + b = (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; ⑵ a - b = (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; ⑶λ a = (? a1 , ? a2 , ? a3 ) (? ? R) ; ⑷ a · b = a1b1 ? a2b2 ? a3b3 . 小结:判定空间三个向量是否构成空间的一个基底的方法是:这三个向量一定不共面.

三、质疑再探
你还有什么疑问?请提出来

四、运用拓展

? ???? 1. 若 a,b,c 为空间向量的一组基底,则下列各项中,能构成基底的是( ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A. a, a ? b, a ? b B. b, a ? b, a ? b C. c, a ? b, a ? b D. a ? 2b, a ? b, a ? b 2. 设 i、j、k 为空间直角坐标系 O-xyz 中 x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量,且 ??? ? ? ? ? AB ? ?i ? j ? k ,则点 B 的坐标是 ??? ? ??? ? ???? 3. 在三棱锥 OABC 中,G 是 ?ABC 的重心(三条中线的交点) ,选取 OA, OB, OC 为基底, ???? 试用基底表示 OG = ? ??? ? ???? ???? 4. 正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 的棱长为 2, 以 A 为坐标原点,以 AB,AD,AA' 为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向建立空间直角坐标系,E 为 BB1 中点,则 E 的坐标是 . ? ? ? 5. 已 知 关 于 x 的 方 程 x2 ? ? t ? 2? x ? t 2 ? 3t ? 5 ? 0 有 两 个 实 根 , c ? a ? tb , 且 ? ? a ? ? ?1,1,3? , b ? ?1,0, ?2? , ? 当 t= 时, c 的模取得最大值. ??? ? ??? ? 5. 已知 A ? ? 3,5, ?7 ? , B ? ? ?2,4,3? ,求 AB, BA, 线段 AB 的中点坐标及线段 AB 的长度. ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 6. 已知 a, b, c 是空间的一个正交基底, 向量 a ? b, a ? b, c 是另一组基底, 若 p 在 a, b, c ? ? ? ? ? ?? 的坐标是 ?1, 2,3? ,求 p 在 a ? b, a ? b, c 的坐标.

? ?

<小结>
(1) 本节课,你有哪些收获? (教师归纳,整理) (2) 学科班长总结。 课后反思:


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