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成都七中高2014届高三二诊数学模拟考试(理科)


成都七中高 2014 届高三二诊数学模拟考试(理科)
考试时间:120 分钟 命题人:陈中根 总分:150 分 审题人:郭虹

一、选择题:本题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.把答案填在答题卡的相应位置. 1.已知复数 z ? A. 1 ? i

2i ,则 z 的共轭复数 z 是(▲) 1? i
B. 1 ? i C. i D. ? i

2.设全集是实数集 R, M ? {x|?2 ? x ? 2} , N ? {x| x ? 1} ,则 (C R M ) ? N ? (▲) A. {x| x ? ?2} B. {x|?2 ? x ? 1} C. {x| x ? 1} D. {x|?2 ? x ? 1}

3.正项等比数列 ?a n ? 中,若 log 2 ( a2 a98 ) ? 4 ,则 a40 a60 等于(▲) A.-16 B. 10 C. 16 D.256

4.某程序框图如右图所示,现输入如下四个函数, 则可以输出的函数是 A. f ( x) ? x 2 C. f ( x) ? e x B. f ( x) ? (▲)

1 x

D. f ( x) ? sin x

5. ( x ?

1 12 ) 展开式中的常数项为 3 x
B.1320

(▲) D.220

A. ? 1320

C. ? 220

? x ? 1, y ?1 ? 6. 实数 x 、 y 满足 ? y ? 0, 则z= 的取值范围是(▲) x ? x ? y ? 0, ?
A. [-1,0] B. ( -∞,0] C. [-1,+∞ ) D. [-1,1 )

7.已知 m, n 是不重合的直线, ? , ? 是不重合的平面,有下列命题: ①若 m ? ? , n ∥ ? ,则 m ∥ n ; ②若 m ∥ ? , m ∥ ? ,则 ? ∥ ? ; ③若 ? ? ? ? n , m ∥ n ,则 m ∥ ? 且 m ∥ ? ; ④若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ∥ ? 其中真命题的个数是

(▲)

A.0

B.1

C.2

D.3

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8.设 a ? 0, b ? 0, 则以下不等式中不恒成立 的是 .... A. (a ? b)(

(▲)

1 1 ? )?4 a b

B. a 3 ? b 3 ? 2ab 2 D. | a ? b | ?

C. a 2 ? b 2 ? 2 ? 2a ? 2b

a? b

9.已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (2 ? x) 为奇函数,函数 f ( x ? 3) 关于直线 x ? 1 对称, 则下列式子一定成立的是(▲) A. C.

f ( x ? 2) ? f ( x) f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ? 1

B. f ( x ? 2) ? f ( x ? 6) D. f (? x) ? f ( x ? 1) ? 0

10.在平面直角坐标系中,已知三点 A(m, n), B (n, t ), C (t , m) ,直线 AC 的斜率与倾斜角为钝 角的直 线 AB 的斜率之和为 且与抛 物线交于 P、Q 两点(P 在 Y 轴左侧) 。则

5 2 ,而直线 AB 恰好经过抛物线 x ? 2 p ( y ? q ), ( p ? 0 )的焦点 F 并 3

PF QF

? (▲)
21 2

A.9

B. 4

C.

173 2

D.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡的相应位置. 11、把命题“ ?x0 ? R, x0 ? 2 x0 ? 1 ? 0 ”的否定写在横线上 12、一个空间几何体的三视图如图所示,其正视图、侧视图、 俯视图均为等腰直角三角形,且直角边长都为 1,则这个几 何体的体积是 ▲ 正视图 侧视图
2



俯视图 x ?1 ?4 x ? 4, 1 13. 设函数 f ( x) ? ? 2 ,则函数 g ( x) ? f ( x) ? 的零点个数为 ▲ 个 2 ? x ? 4 x ? 3, x ? 1 14.如图, 一根长为 2 米的木棒 AB 斜靠在墙壁 AC 上,?ABC ? 60 0 , 若 AB 滑动至 DE 位置, 且 AD ? ( 3 ? 2 ) 米,问木棒 AB 中点 O 所经过的路程为 ▲ 米

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15.已知集合 M ? ? 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12?,以下命题正确的序号是


/

①如果函数 f ( x) ? x( x ? a1 )( x ? a2 )? ( x ? a7 ) ,其中 ai ? M (i ? 1,2,3,? ,7) ,那么 f (0) 的最大值为 12 。 ②数列 ?an ? 满足首项 a1 ? 2 , ak ?1 ? ak ? 2, k ? N ,当 n ? M 且 n 最大时,数列 ?an ? 有
2 2 *
7

2048 个。 ③数列 ?an ?(n ? 1,2,3,? ,8) 满足 a1 ? 5 , a8 ? 7 , ak ?1 ? ak ? 2, k ? N * ,如果数列 ?an ? 中 的每一项都是集合 M 的元素,则符合这些条件的不同数列 ?an ?一共有 33 个。 ④已知直线 am x ? an y ? ak ? 0 ,其中 am , an , ak ? M ,而且 am ? an ? ak ,则一共可以得到 不同的直线 196 条。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,把答案填在答题卡的相应位置,解答应写出文字 说明,证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 12 分)等比数列 {an } 中,已知 a1 ? 2, a4 ? 16 (I)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 若 a3 , a5 分别为等差数列 {bn } 的第 3 项和第 5 项, 试求数列 {bn } 的通项公式及前 n 项和 S n 。

17. (本小题满分 12 分)已知向量 a ? ?1 ? cos ? x,1? , b ? (1, a ? 3 sin ? x) ( ? 为常数且 , ? ?0) 函数 f ( x) ? a ? b 在 R 上的最大值为 2 .

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(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)把函数 y ? f ( x) 的图象向右平移

y ? g ( x) 在 [0, ] 上为增函数,求 ? 取最大值时的单调增区间. 4

?

? 个单位,可得函数 y ? g ( x ) 的图象,若 6?

18. (本题满分 12 分)如图一,平面四边形 ABCD 关 于直线 AC 对称, ?A ? 60? , ?C ? 90? , CD ? 2 .把 (如图二) , 使二面角 A ? BD ? C 的 ?ABD 沿 BD 折起 余弦值等于

3 .对于图二,完成以下各小题: 3
C 两点间的距离;

(Ⅰ)求 A ,

(Ⅱ)证明: AC ? 平面 BCD ; (Ⅲ)求直线 AC 与平面 ABD 所成角的正弦值.

19. (本题满分 12 分)某种食品是经过 A 、 B 、 C 三道工序加工而成的, A 、 B 、 C 工序 的产品合格率分别为

3 2 4 、 、 .已知每道工序的加工都相互独立,三道工序加工的产品 4 3 5

都为合格时产品为一等品;有两道合格为二等品;其它的为废品,不进入市场. (Ⅰ)正式生产前先试生产 2 袋食品,求这2袋食品都为废品的概率; (Ⅱ)设 ? 为加工工序中产品合格的次数,求 ? 的分布列和数学期望.

20、 (本题满分 13 分)已知椭圆 C: (1)求椭圆 C 的方程

x2 y 2 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的短轴长为 2,离心率为 2 a b 2

(2)若过点 M(2,0)的引斜率为 k 的直线与椭圆 C 相交于两点 G、H,设 P 为椭圆 C 上一点, 且满足 OG ? OH ? t OP( O 为坐标原点) , 当 PG ? PH ?

2 5 时, 求实数 t 的取值范围? 3

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21、 (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln( x ? ) ? (1)求函数 f ( x) 的单调区间

3 2

2 1 , g ( x) ? 2 ?a x x ?1

(2)若方程 g ( x) ? ln( x 2 ? 1) 有 4 个不同的实根,求 a 的范围?

x (3)是否存在正数 ..b ,使得关于 的方程 f ( x) ? b ln x 有两个不相等的实根?如果存在,
求 b 满足的条件,如果不存在,说明理由。

成都七中高 2014 届高三二诊数学模拟考试答案(理科)
一、选择题:本题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. A A C D C D B B B A 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡的相应位置. 11、 ?x ? R, x ? 2 x ? 1 ? 0
2

12、

1 6

13. 3

14.

?
12

15.②③④

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.解: (I)设 {an } 的公比为 q 由已知得 16 ? 2q ,解得 q ? 2 ,所以 an ? 2 n ??????(5 分)
3

(Ⅱ)由(I)得 a2 ? 8 , a5 ? 32 ,则 b3 ? 8 , b5 ? 32 设 {bn } 的公差为 d ,则有 ?

?b1 ? 2d ? 8 ?b1 ? ?16 解得 ? ?d ? 12 ?b1 ? 4d ? 32
n(?16 ? 12n ? 28) ? 6n 2 ? 22n ???(12 分) 2

从而 bn ? ?16 ? 12(n ? 1) ? 12n ? 28 所以数列 {bn } 的前 n 项和 S n ?

17. 解: (Ⅰ) f ( x) ? 1 ? cos ? x ? a ? 3 sin ? x ? 2sin(? x ?

?
6

) ? a ? 1 ???????(3

分) 因为函数 f ( x) 在 R 上的最大值为 2 ,所以 3 ? a ? 2 故 a ? ?1 ???????(4 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知: f ( x) ? 2sin(? x ? 把函数 f ( x) ? 2sin(? x ?

?

?

6

)

6 可得函数 y ? g ( x) ? 2sin ? x ???????(7 分) ? 2? ? ? 即? ? 2 又 y ? g ( x ) 在 [0, ] 上为增函数? g ( x) 的周期 T ? 4 ? 所以 ? 的最大值为 2 ???????(10 分)
此时单调增区间为 [k? ?

) 的图象向右平移

? 个单位, 6?

?

, k? ? ], k ? Z ???????(12 分) 4 4
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?

18.解: (Ⅰ)取 BD 的中点 E ,连接 AE , CE , 由 AB ? AD, CB ? CD ,得: AE ? BD, CE ? BD

??AEC 就是二面角 A ? BD ? C 的平面角,? cos ?AEC ?

3 3 2 2 2 在 ?ACE 中, AE ? 6 , CE ? 2 AC ? AE ? CE ? 2 AE ? CE ? cos ?AEC
? 6 ? 2 ? 2? 6 ? 2 ?

3 ???(4 分) ? 4 ? AC ? 2 3 (Ⅱ)由 AC ? AD ? BD ? 2 2 , AC ? BC ? CD ? 2 ? AC 2 ? BC 2 ? AB 2 , AC 2 ? CD 2 ? AD 2 , ? ?ACB ? ?ACD ? 90? ? AC ? BC , AC ? CD , 又 BC ? CD ? C ? AC ? 平面 BCD . ???(8 分) (Ⅲ)方法一:由(Ⅰ)知 BD ? 平面 ACE BD ? 平面 ABD ∴平面 ACE ? 平面 ABD 平面 ACE ? 平面 ABD ? AE , 作 CF ? AE 交 AE 于 F ,则 CF ? 平面 ABD , CE 3 .???? ?CAF 就是 AC 与平面 ABD 所成的角? sin ?CAF ? sin ?CAE ? ? AE 3
(12 分) 方法二:设点 C 到平面 ABD 的距离为 h , ∵ VC ? ABD ? VA? BCD

1 1 1 1 ? ? ? 2 2 ? 2 2 sin 60? ? h ? ? ? 2 ? 2 ? 2 3 2 3 2

?h ?

2 3 于是 AC 与平面 ABD 所成角 ? 的正弦为 3 h 3 . ?????????(12 分) sin ? ? ? AC 3 方法三:以 CB, CD, CA 所在直线分别为 x 轴, y 轴和 z 轴建立空间直角坐标系 C ? xyz , 则 A(0,0,2), B (2,0,0), C (0,0,0) D (0,2,0) . 设平面 ABD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 n ? AB ? 0 , n ? AD ? 0 , ? 2 x ? 2 z ? 0,2 y ? 2 z ? 0 取 x ? y ? z ? 1 ,则 n ? (1,1,1) , 于是 AC 与平面 ABD 所成角 ? 的正弦即
sin ? ? | n ? CA | | 0 ? 0 ? 2 | 3 ? ? . ????(12 分) 3 3?2 | n || CA |

19.解: (Ⅰ)2袋食品都为废品的情况为 ①2袋食品的三道工序都不合格

1 1 1 2 1 P ?????(2 分) 1 ?( ? ? ) ? 4 3 5 3600
②有一袋食品三道工序都不合格,另一袋有两道工序不合格
1 P2 ? C2 ?

1 3 1 1 1 2 1 1 1 4 1 ?( ? ? ? ? ? ? ? ? ) ? ?????(4 分) 60 4 3 5 4 3 5 4 3 5 200

③两袋都有两道工序不合格

3 1 1 1 2 1 1 1 4 9 P3 ? ( ? ? ? ? ? ? ? ? ) 2 ? 4 3 5 4 3 5 4 3 5 400
所以 2 袋食品都为废品的概率为 P ? P 1?P 2 ?P 3 ? (Ⅱ) ? ? 0,1, 2,3

1 ?????(6 分) 36

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3 2 4 1 P(? ? 0) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 4 3 5 60 3 1 1 1 2 1 1 1 4 3 P(? ? 1) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (8 分) 4 3 5 4 3 5 4 3 5 20 1 2 4 3 1 4 3 2 1 13 P(? ? 2) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 3 5 4 3 5 4 3 5 30 3 2 4 2 P(? ? 3) ? ? ? ? ???(10 分) 4 3 5 5

?
P

0
1 60

1

2

3
2 5

3 20

13 30

? E? ? 1?

3 13 2 133 ? 2 ? ? 3? ? ???(12 分) 20 30 5 60

x2 ? y 2 ? 1 ?????????(3 分) 2 1 (2)设直线 y ? k ( x ? 2) ,联立椭圆, ? ? 0, 得 k 2 ? ,?????????(5 分) 2 2 5 2 5 1 条件 PG ? PH ? 转换一下一下就是 GH ? , 根据弦长公式, 得到 k 2 ? 。 ?? 3 3 4
20、解: (1) (7 分) 然后把 OG ? OH ? t OP 把 P 点的横纵坐标用 t , x1 , x2 表示出来,设 G ( x1 , y1 ), H ( x2 , y2 ) , 其 中 要 把 y1 , y2 分 别 用 直 线 代 换 , 最 后 还 要 根 据 根 系 关 系 把 x1 , x2 消 成 k , 得

8k 2 ? 4k , ) (9 分) 2 t (1 ? 2k ) t (1 ? 2k 2 ) 16k 2 2 然后代入椭圆,得到关系式 t ? ,?????????(11 分) 1 ? 2k 2 2 6 2 6 1 1 16 所以 t 2 ? ,根据 ? k 2 ? 利用已经解的范围得到 (?2,? )?( ,2) ??? 1 3 3 4 2 ? 2 k2 P(
(13 分)

21、解: (1)根据 f ( x) 定义域后,求导得到 得到

f / ( x) ?

( x ? 1)( x ? 3) 3 ,根据导数和 0 的关系 x2 (x ? ) 2

3 ,?1), (3,??) 是函数 f ( x) 的增区间; 2 在 (?1,0), (0,3) 是函数 f ( x) 减区间?????????(3 分) 1 2 (2)令 h( x) ? ln( x ? 1) ? 2 x ?1
在 (? 求导得 h ( x) ? 2 x[
/

1 1 ? 2 ] x ? 1 ( x ? 1) 2
2

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里面有一个零点 x ? 0 和两个断点 x ? ?1 ,所以粗步可以得到函数在区间 (0,1), (1,??) 单调 增;在区间 (??,?1), (?1,0) 单调减。 当 x 从负半轴方向趋近于-1 时, h( x) ? ??, 当 x 从正半轴方向趋近于-1 时, h( x) ? ??, 而且 x ? ?? 时, h( x) ? ?? 而且可以很容易得到 h( x) ? h(? x) ,函数为偶函数,而且 h(0) ? 1 , 另半边的图像就容易模拟得到了,所以 g ( x) ? ln( x ? 1) 有 4 个不同的实根,
2

结合图像得到 a ? h(0) ? 1 ?????????(8 分) (本题必须另半边如果不分析必须用奇偶性说明;而且必须说明在断点处的趋势,否则扣 2 到 3 分)

(3)结论:这样的正数 b 不存在 假设存在正数 b ,使得方程 f ( x) ? b ln x 存在两个不相等的实根 x1 和 x2 ,则

3 2 ? ?ln( x1 ? 2 ) ? x ? b ln x1 ?? (1) ? 1 ? ?ln( x ? 3 ) ? 2 ? b ln x ?? (2) 2 2 ? 2 x2 ? 根据定义域知道 x1 和 x2 都是正数
根据第 1 问知道,当 x ? 0 时,函数的最小值 f min ( x) ? f (3) ? (ln ) ? 所以 f ( x1 ) ? ln( x1 ? ) ?

9 2

2 ?0 , 3

3 2

2 3 2 ? 0 , f ( x2 ) ? ln( x2 ? ) ? ? 0 x1 2 x2

因为 b ? 0 ,等式两边同号,所以, ln x1 ? 0, ln x2 ? 0, 所以 x1 ? 1, x2 ? 1, 不妨设 x2 ? x1 ? 1,

3 2 3 2 ln( x1 ? ) ? ln( x2 ? ) ? 2 x1 2 x2 ? 由(1) (2)可得 , ln x1 ln x2 3 2 3 2 ln( x1 ? ) ? ln( x2 ? ) ? 2 x1 2 x2 ?1 ? ?1 所以 ln x1 ln x2

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3 2 3 2 )? ln(1 ? )? 2 x1 x1 2 x2 x2 所以 ? ?? (*) ln x1 ln x2 3 2 因为很容易证明到函数 y ? ln(1 ? ) ? 在 (1,??) 为恒大于 0 且为减函数 2x x 3 2 ln(1 ? )? 2 x1 x1 ln x1 所以(*)方程显然不成立,因为 左边大于 1,右边小于 1??(14 ? 3 2 ln x2 ln(1 ? )? 2 x2 x2 ln(1 ?
分) 所以原假设:存在正数 b ,使得方程 f ( x) ? b ln x 存在两个不相等的实根 x1 和 x2 错误 (本题其他证法,请酌情给分)

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