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06-07学年数学必修IV模块综合测评五(附答案)


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综合测试 (时间 120 分钟,满分 150 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.已知角 θ 的终边上有一点 P(- 3 ,y)(y≠0),且 sinθ=

2 y,则 cosθ 的值是( 4
D. ?

)



A. ?

14 4

B.-

2 4
? 2 y, 4

C.-

3 4

6 4

解析:由已知 sinθ=

y 3?y
2

所以

1 3? y
2

?

2 1 1 , ? ,3+y2=8,y2=5. 2 4 3? y 8 ? 3 3?5 ?? 6 . 4

cosθ=

? 3 3 ? y2

?

答案:D 2.下列四个命题中正确的是( ) A.两条有向线段相等,那么它们的终点一定相同 B.向量 a 在 x 轴正方向上的投影是与 a 方向相同的向量 C.向量 a 与 b 共线的充要条件是有且只有一个实数,使得 b=λa D.相反向量一定是共线向量 解析:A 不正确,两条有向线段相等,只需大小,方向相同,不管起点在哪里,终点也不一定相同,B 显然不正确,C 中要求向量 a 为非零向量,D 中相反向量是大小相等,方向相反向量,一定共线, 故选 D. 答案:D 3.已知 sinx=3cosx,则 sinx· cosx 的值是( )

1 3 2 C. D. 5 10 9 sin x sin x ? cos x tan x 3 3 解析:sinx=3cosx,tanx= =3,sinx· cosx= . ? ? 2 ? 2 2 2 cos x sin x ? cos x tan x ? 1 3 ? 1 10
A. B. 答案:C 4.设 i、j 是互相垂直的单位向量,向量 a=(m+1)i-3j,b=i+(m-1)j,(a+b)⊥(a-b),则实数 m 为( A.-2 B.2 C.)

1 6

1 2

D.不存在

解 析 :(a+B)⊥(a-b), 即 (a+b)· (a-b)=0,a2-b2=0,|a|2-|b|2=0, 而 |a|2=(m+1)2+9,|b|2=1+(m-1)2,|a|2-|b|2 =m2+2m+10-(m2-2m+2)= 4m+8=0,m=-2,故选 A. 答案:A 5.已知向量 a=(2cosφ,2sinφ),φ∈( A.

3? -φ 2

B.

? +φ 2

? ,π),b=(0,-1),则向量 a 与 b 的夹角为( 2 ? C.φD.φ 2

)

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解析:设向量 a 与 b 夹角为 θ,cosθ=

a?b ? | a || b |

? 2 sin ? 4 cos ? ? 4 sin ? ? 1
2 2

=-sinφ=cos(

? +φ),而 2

3? ? ? ,π),故 +φ∈(π, ). 2 2 2 ? ? 所以 cos( +φ)=cos( +φ-2π) 2 2 3? 3? =cos(φ)=cos( -φ), 2 2 ? 3? 且 < -φ<π, 2 2 3? 所以 θ= -φ. 2
φ∈( 答案:A 6.已知△ ABC 中,tanA· tanB<1,则△ ABC 是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.形状不确定 解析:∵0<tanA· tanB<1,此时 tanA>0,tanB>0, A,B 都是锐角,tan(A+B)= 答案:C 7.把函数 y=sinx 的图象按向量 a=(-

tan A ? tan B ,tanC=-tan(A+B)<0.C 是钝角. 1 ? tan A tan B

? )-2 3 ? C.y=sin(x- )+2 3
A.y=sin(x解析:y=sinx 图象按向量 a=(-

? ? ,-2)平移后图象对应的函数解析式为 y=sin(x+ )-2. 3 3
)

? ,-2)平移后得到的图象的函数解析式是( 3 ? B.y=sin(x+ )-2 3 ? D.y=sin(x+ )+2 3

)

答案:B 8.在△ ABC 中,3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,则∠C 的大小为( A.

? 6

B.

5? 6

C.

? 5? 或 6 6

D.

? 2? 或 3 3

解析:3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1, 平 方 得 9sin2A+24sinAcosB+16cos2B+16sin2B+24sinBcosA+9cos2A=9+16+24(sinAcosB+cosA sinB) z=25+24sin(A+B)=37.

1 ,又 0<A+B<π. 2 ? 5? ? 故 A+B= 或 ,若 A+B= . 6 6 6
故 sin(A+B)= 则 0<A<

? ? ? 3 3 ,0<B< ,3cosA>3cos = . 2 6 6 6
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而 sinB>0,故 4sinB+3cosA=1 不可能成立,

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若 A+B=

5? ? 则成立,所以 C= . 6 6

答案:A 9.设 a、b、c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,下面四个命题: ①(a· c-(a· b=0; b)· c)· ②|a|-|b|<|a-b|; ③(b· a-(c· b 不与 c 垂直; c)· a)· ④(3a+2b)· (3a-2b)=9|a|2-4|b|2. 其中是真命题的有( ) A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 解析:①③都不一定成立,由于 a,b 不共线,|a|,|b|,|a-b|可构成三角形三边.②成立. (3a+2b)· (3a-2b)=9a2-4b2=9|a|2-4|b|2.④成立. 答案:D

? )-sin2x 的一个单调增区间是( ) 3 ? 7? 5? 13? ? ? ? 5? A.[- , ] B.[ , ] C.[ , ] D.[ , ] 12 12 12 12 6 3 3 6 ? ? 解析:y=sin(2x- )-sin2x=-cos(2x- ), 3 6 ? 7? ? 由 2kπ≤2x- ≤2kπ+π(k∈Z)得函数的单调增区间为[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z),令 k=0,得 12 12 6 ? 7? [ , ]. 12 12
10.函数 y=sin(2x答案:B 11.在平行四边形 ABCD 中,已知 AB =4i-2j, AC =7i+4j, AD =3i+6j,则四边形 ABCD 的面积是 ( A.20 ) B. 5 52 C.45 D.30

解析:因为 AB ? AD =(4i-2j)· (3i+6j) =12i2-6i· j+24i· 2 j-12j =12-0+0-12=0, 所以 AB ⊥ AD , 即平行四边形 ABCD 是矩形. | AB |= 4 ? 2 ? 2 5 ,| AD |= 3 ? 6 ? 3 5 .
2 2 2 2

所以矩形 ABCD 面积为 2 5 ? 3 5 =30. 答案:D 12.已知 f(x)=|sinx+ A.偶函数

1 1 |-|sinx- |,那么 f(x)是( 2 2

)

B.奇函数

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C.既是奇函数又是偶函数 解析:f(-x)=|sin(-x)+ D.既不是奇函数也不是偶函数

1 1 1 1 |-|sin(-x)|=|sinx- |-|sinx+ |=-f(x),∴f(x)是奇函数. 2 2 2 2

答案:B 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分)

1 =2tan2β+1,那么 sin2β+2sin2α=______________. tan 2 ? 1 解析:因为 =2tan2β+1,所以 2 tan ?
13.已知 sin2β+2sin2α=

sin 2 ? 2 sin 2 ? ? sin 2 ? ? cos 2 ? sin 2 ? ? cos 2 ?

=

tan 2 ? 2 tan 2 ? 2 tan 2 ? 1 ? ? ? ? ? ? 1. 2 2 2 2 2 2 tan ? ? 1 1 ? cot ? tan ? ? 1 1 ? 2 tan ? ? 1 tan ? ? 1 tan ? ? 1

答案:1 14.△ ABC 三边长分别为 AB=7,BC=5,CA=6,则 BA ? BC =_______________. 解析:cosB=

49 ? 25 ? 36 38 19 ? ? . 2?5 ? 7 2 ? 5 ? 7 35

19 BC | cos〈 BA , BC 〉=7× 5× =19. BA · =| BA |·BC |· 35
答案:19 15.向量 a=(x,1)与 b=(4,x)共线,则 x=______________. 解析:a=(x,1)与 b=(4,x)共线, ∴x2-4=0.∴x=± 2. 答案:± 2 16.给出下列命题: ①y=tanx 在其定义域上是增函数; ②函数 y=|sin(2x+

? ? )|的最小正周期是 ; 3 2
2

③函数 y=cos(-x)的单调递增区间是[-π+2kπ,2kπ](k∈Z); ④函数 y=lg(sinx+ sin x ? 1 )有无奇偶性不能确定. 其中正确命题的序号是_________________. 解析:①应这样说 y=tanx 在区间(②T=

2? 1 ? × = ,正确. 2 2 2

? ? +kπ, +kπ)k∈Z 上为增函数. 2 2

③y=cos(-x)=cosx, 所 以 y=cos(-x) 的 单 调 递 增 区 间 即 y=cosx 的 单 调 递 增 区 间 , 为 2kπ-π≤x≤2kπ,k∈Z, 即[2kπ-π,2kπ],k∈Z. ④y=lg(sinx+ sin x ? 1 )=f(x),其定义域为 x∈R,
2

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f(-x)=lg[sin(-x)+ sin x ? 1 ]
2

=lg( sin x ? 1 -sinx)
2

=lg

1 sin 2 x ? 1 ? sin x
2

=-lg(sinx+ sin x ? 1 ) =-f(x), ∴y=lg(sinx+ sin x ? 1 )为奇函数.
2

答案:②③ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分) 17.(本小题满分 12 分) 已知 sinα=2cosβ,tanα=

3 ? ? ,- <α< ,0<β<π,求 α、β 的值. tan ? 2 2

解:由 tanα=

3 cos ? sin ? ,得 = 3 , tan ? sin ? cos?
2 cos ? ? cos? 3 cos ? , sin ?

把 sinα= 2 cosβ 代入得

若 cosβ=0,因为 0<β<π,所以 β= 而此时 sinα=0,因为-

? ? <α< , 2 2

? , 2

所以 α=0,若 cosβ≠0,则 2 sinβ= 3 cosα,cosα= sin2α+cos2α=

2 3

sinβ,又 sinα= 2 cosβ,所以

2 2 sin β+2cos2β=1, 3 2 4 (sin2β+cos2β)+ cos2β=1, 3 3 4 2 1 1 cos β= ,cos2β= , 3 3 4
2 1 ,sinα=± . 2 2

cosβ=±

又因为-

? ? <α< ,0<β<π, 2 2

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? ? ? ? ?? ? 4 , ?? ? ? 4 , ? ? 所以 ? 或? ?? ? ? ? ? ? 2? . ? ? 3 3 ? ?
? ? ? ? ?? ? 0, ?? ? , ?? ? ? , ? ? ? 4 4 综上,满足条件的值有 ? 或? ? 或? ?? ? 2 ?? ? ? ? ? ? 2? . ? ? ? 3 3 ? ?
18.(本小题满分 12 分)

1 ? 2 sin(2 x ? ) 4 . 已知函数 f(x)= cos x
(1)求 f(x)的定义域; (2)设 α 是第四象限的角,且 tanα= ? 解:(1)由 cosx≠0,得 x≠kπ+

?

? (k∈Z). 2 ? 故 f(x)的定义域为{x|x≠kπ+ ,k∈Z }. 2 3 (2)∵tanα= ? ,且 α 是第四象限的角, 4 4 3 ∴sinα=- ,cosα= . 5 5 ? 1 ? 2 sin(2? ? ) 4 故 f(α)= cos?
1 ? 2(
=

4 ,求 f(α)的值. 3

2 2 sin 2? ? cos 2? ) 1 ? sin 2? ? cos 2? 2 cos2 ? ? 2 sin ? cos? 2 2 ? ? cos? cos? cos?

=2(cosα-sinα)=

14 . 5
3 sin2x+a)(x∈R,a∈R,a 是 常 数 ), 且

19.( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 M=(1+cos2x,1),N=(1, y= OM ? ON (O 为坐标原点). (1)求 y 关于 x 的函数关系式 y=f(x); (2)若 x∈[0,

? ? ]时,f(x)的最大值为 4,求 a 的值,并说明此时 f(x)的图象可由 y=2sin(x+ )的 2 6

图象经过怎样的变换而得到. 解:(1)y= OM ? ON =1+cos2x+ 3 sin2x+a,

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所以 f(x)=cos2x+ 3 sin2x+1+a.

? )+1+a, 6 ? ? ? 7? 因为 0≤x≤ , ≤2x+ ≤ , 2 6 6 6 ? ? ? 所以当 2x+ = 即 x= 时,f(x)取最大值 3+a, 6 2 6
(2)f(x)=2sin(2x+ 所以 3+a=4,a=1. 所以 f(x)=2sin(2x+ 将 y=2sin(x+

1 ? )图象上每一点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标保持不变,再向上平移 2 个 2 6 ? 单位长度可得 y=2sin(2x+ )+2 的图象. 6
20.(本小题满分 12 分)平面上有两个向量 e1=(1,0),e2=(0,1),今有动点 P 从 P0(-1,2)开始沿着与 向量 e1+e2 相同的方向做匀速直线运动,速度为|e1+e2|;另一动点 Q 从点 Q0(-2,-1)出发,沿着与向 量 3e1+2e2 相同的方向做匀速直线运动,速度为|3e1+2e2|,设 P、Q 在时刻 t=0 秒时分别在 P0、 Q0,则当 PQ ⊥ P0 Q0 时,用了多长时间? 解:依题得:P0(-1,2),Q0(-2,-1), ∴ P0 Q0 =(-1,-3). ∵e1+e2=(1,1), ∴|e1+e2|= 2 . ∵3e1+2e2=(3,2), ∴|3e1+2e2|= 13 . ∴当 t 时刻时,P(-1+t,2+t). 点 Q 的位置为(-2+3t,-1+2t), ∴ PQ =(-1+2t,-3+t). ∵ PQ ⊥ P0 Q0 , ∴(-1)× (-1+2t)+(-3)× (-3+t)=0,t=2. ∴用时 2 秒钟. 21.(本小题满分 12 分)受日月的引力,海水会发生涨落,这种现象叫做潮汐,在通常情况下,船在 涨潮时驶进航道,靠近船坞;卸货后落潮时返回海洋,某港口水的深度 y(米)是时间 t(0≤t≤24,单 位:时)的函数,记作 y=f(t),下面是该港口在某季节每天水深的数据: 0 3 6 9 12 15 18 21 24 t(时) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 y(米) 经长期观察,y=f(t)曲线可以近似地看作函数 y=Asinωt+k 的图象. (1)根据以上数据,求出函数 y=f(t)的近似表达式;

? )+2. 6

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(2)一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为 5 米或 5 米以上时认为是安全的(船舶停靠时, 船底只需不踫海底即可),某船吃水深度(船底离水面的距离)为 6.5 米,如果该船想在同一天内 安全进出港,问它至多能在港内停留多长时间?(忽略进出港所需的时间) 解:(1)根据表中数据画出 y=Asinωt+k 的图象.

13 ? 7 13 ? 7 =3,k= =10, 2 2 2? ? T=12,ω= = . 12 6 ? ∴y=3sin t+10. 6 ? (2)y=3sin t+10≥11.5, 6 ? ∴3sin t≥1.5. 6 ? 1 ∴sin t≥ . 6 2 5? ? ? 2kπ+ ≤ t≤2kπ+ , 6 6 6 1 1 5 2k+ ≤ t≤2k+ . 6 6 6
A= 12k+1≤t≤12k+5. 当 k=0 时,1≤t≤5, 当 k=1 时,13≤t≤17. 所以要使它能安全进出港,最多 1 点进港 17 点出港,共 16 小时. 22.(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=Asin2(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ< 2,其图象相邻两对称轴间的距离为 2,并过点(1,2). (1)求 φ; (2)计算 f(1)+f(2)+…+f(2 008). (1)解:y=Asin2(ωx+φ)=

? ),且 y=f(x)的最大值为 2

A A - cos(2ωx+2φ). 2 2

∵y=f(x)的最大值为 2,A>0, ∴

A A + =2,A=2. 2 2

又∵其图象相邻两对称轴间的距离为 2,ω>0,

1 2? ? ( )=2,ω= . 2 2? 4 2 2 ? ? ∴f(x)= - cos( x+2φ)=1-cos( x+2φ). 2 2 2 2


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∵y=f(x)过(1,2)点, ∴cos( ∴

? +2φ=2kπ+π,k∈Z. 2 ? ∴2φ=2kπ+ ,k∈Z. 2 ? ∴φ=kπ+ ,k∈Z. 4 ? 又∵0<φ< , 2 ? ∴φ= . 4 ? (2)解法一:∵φ= , 4 ? ? ? ∴y=1-cos( x+ )=1+sin x. 2 2 2
∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4. 又∵y=f(x)的周期为 4,2 008=4× 502, ∴f(1)+f(2)+…+f(2 008)=4× 502=2 008. 解法二:∵f(x)=2sin2( ∴f(1)+f(3)=2sin2( f(2)+f(4)=2sin2(

? +2φ)=-1. 2

? +φ)+2sin2(π+φ)=2, 4

3? ? +φ)+2sin2( +φ)=2, 4 4

? x+φ), 4

∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4. 又 y=f(x)的周期为 4,2 008=4× 502, ∴f(1)+f(2)+…+f(2 008)=4× 502=2 008.

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