当前位置:首页 >> 数学 >>

函数的奇偶性与周期性


第 3 节 函数的奇偶性与周期性 【选题明细表】 知识点、方法 函数奇偶性的判定 函数周期性的应用 利用函数的奇偶性求函数值 利用函数的奇偶性求函数解析式或参数 利用函数的奇偶性比较函数值的大小、 10,11,13 解函数不等式 函数基本性质的综合应用 基础对点练(时间:30 分钟) 1.下列函数中,为奇函数的是( D ) (A)y=2x+ (B)y=x,x∈{0,1} 14,15,16 题号 1,3,12 5,6 2,4,7,9 8

(C)y=x·sin x (D)y= 解析:因为 y=2x+ ≥2,所以它的图象不关于原点对称,故 A 不是奇函 数;选项 B 定义域不关于原点对称,故 B 不是奇函数;设 f(x)=xsin x, 因为 f(-x)=(-x)sin (-x)=xsin x=f(x),所以 y=xsin x 是偶函数.故 选 D. 2.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x2-x,则 f(1)等 于( A )

(A)-3

(B)-1

(C)1

(D)3

解析:因为 f(x)是奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x2-x, 所以 f(1)=-f(-1)=-[2×(-1)2-(-1)]=-3. 3.(2014 高考新课标全国卷Ⅰ)设函数 f(x),g(x)的定义域都为 R,且 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( C ) (A)f(x)g(x)是偶函数 (C)f(x)|g(x)|是奇函数 (B)|f(x)|g(x)是奇函数 (D)|f(x)g(x)|是奇函数

解析:f(x)是奇函数,则 f(-x)=-f(x),g(x)是偶函数, 则 g(-x)=g(x), 则 f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),选项 A 错; |f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x),选项 B 错; f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,选项 C 正确; |f(-x)·g(-x)|=|f(x)g(x)|,D 错.故选 C. 4.(2016 河北冀州中学高三月考)已知函数 f(x)=asin 3x+bx3+4 (a∈R,b∈R),f′(x)为 f(x)的导函数,则 f(2 014)+f(-2 014)+ f′(2 015)-f′(-2 015)等于( A ) (A)8 (B)2 014 (C)2 015 (D)0 解析:根据题意有 f′(x)=3acos 3x+3bx2, 所以 f′(2 015)=f′(-2 015), 而 f(x)+f(-x)=4+4=8, 所以有 f(2 014)+f(-2 014)+f′(2 015)-f′(-2 015)=8,故选 A. 5.已知 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0<x<1 时,f(x)=lg x,设 a=

f( ),b=f( ),c=f( ),则( A ) (A)c<a<b (B)a<b<c (C)b<a<c (D)c<b<a 解析:因为 a=f( )=f(- )=-f( )=-lg =lg , b=f( )=f(- )=-f( )=-lg =lg 2, c=f( )=f( )=lg =-lg 2, 所以 b>a>c. 6.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+4)=等于( A ) (A)1 (B)-1 (C)2 (D)-2 解析:f(x+4)=所以 f(x+8)=, =f(x), ,且 f(0)=1,则 f(2 016)

所以 f(2 016)=f(252×8)=f(0)=1.故选 A. 7.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x)+g(x) =ax-a-x+2(a>0,且 a≠1).若 g(2)=a,则 f(2)等于( B ) (A)2 (B) (C) (D)a2

解析:因为 f(x)为奇函数,g(x)为偶函数, 所以 f(-2)=-f(2),g(-2)=g(2)=a,

因为 f(2)+g(2)=a2-a-2+2, 所以 f(-2)+g(-2)=g(2)-f(2)=a-2-a2+2, 由①②联立得 g(2)=a=2,f(2)=a2-a-2= .

① ②

8.函数 f(x)在 R 上为奇函数,且 x>0 时,f(x)= +1,则当 x<0 时, f(x)= .

解析:因为 f(x)为奇函数,x>0 时,f(x)= +1, 所以当 x<0 时,-x>0, f(x)=-f(-x)=-( 即 x<0 时,f(x)=-( 答案:-1 +1), +1)=-1.

9.已知函数 f(x)为奇函数,函数 f(x+1)为偶函数,f(1)=1,则 f(3)= .

解析:根据条件可得 f(3)=f(2+1)=f(-2+1)=f(-1)=-f(1)=-1. 答案:-1 10.已知 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,且 f(x)-g(x)=( )x,则 f(1),g(0),g(-1)之间的大小关系 是 .

解析:在 f(x)-g(x)=( )x 中,用-x 替换 x,得 f(-x)-g(-x)=2x,由于 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,所以 f(-x)=-f(x),

g(-x)=g(x),因此得-f(x)-g(x)=2x.于是解得 f(x)=

,g(x)=-

,

于是 f(1)=- ,g(0)=-1,g(-1)=- ,故 f(1)>g(0)>g(-1). 答案:f(1)>g(0)>g(-1) 11.(2015 峨眉山模拟)设 f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且 f(x) 是奇函数,当 x>0 时,f(x)= .

(1)求当 x<0 时,f(x)的解析式; (2)解不等式 f(x)<- . 解:(1)因为 f(x)是奇函数,所以当 x<0 时,f(x)=-f(-x),-x>0, 又因为当 x>0 时,f(x)= , = .

所以当 x<0 时,f(x)=-f(-x)=(2)f(x)<- ,当 x>0 时,即 所以 <- ,所以 <- ,

> ,所以 3x-1<8,

解得 x<2,所以 x∈(0,2), 当 x<0 时,即 <- ,所以 >- ,

所以 3-x>32,所以 x<-2, 所以解集是(-∞,-2)∪(0,2). 能力提升练(时间:15 分钟) 12.函数 y=f(x)(x∈R)的图象如图所示,下列说法正确的是( C )

①函数 y=f(x)满足 f(-x)=-f(x); ②函数 y=f(x)满足 f(x+2)=f(-x); ③函数 y=f(x)满足 f(-x)=f(x); ④函数 y=f(x)满足 f(x+2)=f(x).

(A)①③ (B)②④ (C)①② (D)③④ 解析:根据图象知函数 f(x)的图象关于原点对称,故为奇函数,所以① 正确;又其图象关于直线 x=1 对称,所以②正确. 13.(2016 济南模拟)已知函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,当 x1,x2∈(0, +∞)时,都有(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0. 设 a=ln ,b=(ln π )2,c=ln ,则( C )

(A)f(a)>f(b)>f(c) (B)f(b)>f(a)>f(c) (C)f(c)>f(a)>f(b) (D)f(c)>f(b)>f(a) 解析:根据已知条件便知 f(x)在(0,+∞)上是减函数,且 f(a)= f(|a|),f(b)=f(|b|),f(c)=f(|c|),而|a|=ln π >1,|b|=(ln π )2 >|a|,0<|c|= <|a|, 所以 f(c)>f(a)>f(b).故选 C. 14.(2015 菏泽模拟)定义在实数集 R 上的函数 f(x)满足 f(x)+f(x+2)=0,且 f(4-x)=f(x)现有以下三种叙述:

①8 是函数 f(x)的一个周期;②f(x)的图象关于直线 x=2 对称;③f(x) 是偶函数. 其中正确的序号是 .

解析:由 f(x)+f(x+2)=0,得 f(x+2)=-f(x),则 f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 即 4 是 f(x)的一个周期,8 也是 f(x)的一个周期,由 f(4-x)=f(x),得 f(x)的图象关于直线 x=2 对称;由 f(4-x)=f(x)与 f(x+4)=f(x),得 f(4-x)=f(-x),f(-x)=f(x),即函数 f(x)为偶函数. 答案:①②③ 15.定义在 R 上的函数 f(x)对任意 a,b∈R 都有 f(a+b)=f(a)+ f(b)+k(k 为常数). (1)判断 k 为何值时,f(x)为奇函数,并证明; (2)设 k=-1,f(x)是 R 上的增函数,且 f(4)=5,若不等式 f(mx2-2mx+3)>3 对任意 x∈R 恒成立,求实数 m 的取值范围. 解:(1)若 f(x)在 R 上为奇函数,则 f(0)=0, 令 a=b=0,则 f(0+0)=f(0)+f(0)+k,所以 k=0. 证明:由 f(a+b)=f(a)+f(b),令 a=x,b=-x, 则 f(x-x)=f(x)+f(-x), 又 f(0)=0,则有 0=f(x)+f(-x),即 f(-x)=-f(x)对任意 x∈R 成立,所 以 f(x)是奇函数. (2)因为 f(4)=f(2)+f(2)-1=5,所以 f(2)=3. 所以 f(mx2-2mx+3)>3=f(2)对任意 x∈R 恒成立. 又 f(x)是 R 上的增函数,所以 mx2-2mx+3>2 对任意 x∈R 恒成立,

即 mx2-2mx+1>0 对任意 x∈R 恒成立, 当 m=0 时,显然成立; 当 m≠0 时,由 得 0<m<1.

所以实数 m 的取值范围是[0,1). 16.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x,恒有 f(x+2)=-f(x),当 x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2, (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式; (3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 016). (1)证明:因为 f(x+2)=-f(x), 所以 f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x), 所以 f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)解:由 f(x+2)=-f(x), 且 x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2, 所以当 x∈[2,4]时, f(x)=-f(x-2)=-[2(x-2)-(x-2)2]=x2-6x+8. 即 f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4]. (3)解:因为 f(0)=0,f(2)=0, f(1)=1,f(3)=-1, 所以 f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0, 所以 f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 016)=f(2 016)=f(0)=0. 精彩 5 分钟

1.(2016 岳阳模拟)设函数 f(x)和 g(x)分别为 R 上的奇函数和偶函数, 则下列结论恒成立的是( D ) (A)f(x)-|g(x)|为奇函数 (B)-|f(x)|-g(x)为奇函数 (C)-f(x)+|g(x)|为偶函数 (D)|f(x)|-g(x)为偶函数 解题关键:利用奇、偶函数的性质逐一判断. 解析:因为函数 g(x)和 f(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数, 所以|f(x)|也为偶函数, 所以 f(x)-|g(x)|是非奇非偶函数,故 A 不满足条件; -g(x)-|f(x)|是偶函数,故 B 不满足条件; -f(x)+|g(x)|也为非奇非偶函数, |f(x)|-g(x)为偶函数. 2.(2016 洛阳模拟)若函数 y=f(2x+1)是偶函数,则函数 y=f(x)的图象 的对称轴方程是( A ) (A)x=1 (B)x=-1 (C)x=2 (D)x=-2

解题关键:利用函数图象的平移、伸缩、对称等变换求解. 解析:因为 y=f(2x+1)=f(2(x+ )), 所以函数 y=f(x)的图象纵坐标不变,横坐标缩短为原来的 ,得出 y=f(2x),再向左平移 个单位得出 y=f(2x+1)=f(2(x+ ))的图象. 因为函数 y=f(2x+1)是偶函数,

所以函数 y=f(2x+1)的对称轴为 x=0, 所以函数 y=f(2x)的对称轴为 x= , y=f(x)的对称轴为 x=1. 3.(2015 东莞质检)已知函数 f(x)是定义在实数集 R 上的不恒为零的 偶函数,且对任意实数 x 都有 xf(x+1)=(1+x)f(x),则 f[f( 是( C ) (A) (B)1 (C)0 (D)2 017 = ,从而得到 是周期函数. )]的值

解题关键:由恒等式变形后得到 解析:原等式等价于 所以函数 y= 所以 = = ,

是 T=1 的周期函数,

,化简为 f(- )=-f( ),

又因为 y=f(x)是偶函数, 所以 f(- )=f( ), 所以 f( )=0, 所以 即 f( = =0,

)=0,原式等价于求 f(0),

又因为 xf(x+1)=(x+1)f(x),

所以当 x=0 时,求得 f(0)=0, 所以 f[f( )]=0.故选 C.


赞助商链接
相关文章:
函数的奇偶性和周期性
函数的奇偶性和周期性_数学_高中教育_教育专区。第四节 函数的奇偶性与周期性 [备考方向要明了] 考什么 1.结合具体函数,了解函数奇偶 性的含义. 2.会运用...
函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性 - §2.3 考点梳理 函数的奇偶性与周期性 1.一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意 一个 x,都有 ,那么函数 f(x)就叫做偶函数....
函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性 - 第四节 函数的奇偶性与周期性 [备考方向要明了] 考什么 怎么考 1.高考对函数奇偶性的考查有两个方面:一是函数奇偶性概 1.结合...
函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性 - 【选题明细表】 知识点、方法 函数奇偶性的判定 函数周期性的应用 利用函数的奇偶性求函数值 利用函数的奇偶性求函数解析式或参数 利用...
函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性_数学_高中教育_教育专区。第 3 节 函数的奇偶性与周期性 【选题明细表】 知识点、方法 函数奇偶性的判定 函数周期性的应用 利用函数的...
函数的奇偶性和周期性(练习)高中数学资料
函数的奇偶性和周期性(练习)高中数学资料 - 第 04 节 函数奇偶性与周期性 A 基础巩固训练 1. 【 2016 海南中学 模拟 】已知函数 f ( x ) 关于直线...
函数的奇偶性与周期性试题及答案
函数的奇偶性与周期性试题及答案 - 函数的奇偶性与周期性试题 课时分层训练 A 组 基础达标 (建议用时:30 分钟) 一、填空题 1.在函数 y=xcos x,y=ex+x...
函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性适用学科 适用区域 知识点高中数学 通用 适用年级 课时时长(分钟) 高中三年级 60 1、奇偶性的概念;2、奇偶性的判断(证明)方法;3、奇偶性...
函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性适用学科 适用区域 知识点 教学目标 教学重点 教学难点数学 通用 适用年级 课时时长(分钟) 高一 60 函数奇偶性的概念、判断及应用 函数周期...
函数的奇偶性与周期性(重点)
函数的奇偶性与周期性(重点)_数学_高中教育_教育专区。函数的奇偶性与周期性(重点) 适用学科 高中数学 适用区域 全国新课标 知识点 1.函数奇偶性定义 适用年级 ...
更多相关标签: