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人教版数学必修5


人教版数学必修 5

第二章 数列

习题课 1 常见的数列求和及应用

习题课 1 常见的数列求和及应用 【对点讲练】 一.分组求和 1? ? 2 1 ? ? n 1 ?2 2 2 例 1 求和: Sn=? ?x+ x ? +?x +x2? +…+?x +xn? . 1? ? n 1 ?2 2n 1 n 2 分析 ?

?x +xn? 的结构特征, ?x +xn? =x +x2n+2.分别组成三个数列从而求和. 【解答】当 x≠±1 时, 1? ? 2 1 ? ? n 1 ?2 2 2 Sn=? ?x+ x ? +?x +x2? +…+?x +xn? 1? ? 4 1? 1? ? 2n 2 =? ?x +2+x2?+?x +2+x4?+…+?x +2+x2n? 1 1 1 +x4+…+x2n? =(x2+x4+…+x2n)+2n+? 2 x ? ? - - x2(x2n-1) x 2(1-x 2n) = + +2n - x2-1 1-x 2 + (x2n-1)(x2n 2+1) = +2n x2n(x2-1) 当 x=±1 时, Sn=4n. 4n, x=±1 ? ? + 综上知, Sn=?(x2n-1)(x2n 2+1) . +2n, x≠±1 ? 2n(x2-1) x ? 【总结】某些数列,通过适当分组,可得出两个或几个等差数列或等比数列,进而利用等差数列或等比数列的求和公式 分别求和,从而得出原数列的和. - 【变式 1】求数列 1,1+a,1+a+a2,…, 1+a+a2+…+an 1,…的前 n 项和 Sn(其中 a≠0). n(n+1) 【解答】当 a=1 时,则 an=n,于是 Sn=1+2+3+…+n= 2 . 1-an 1 当 a≠1 时,an= = (1-an). 1-a 1-a a(1-an)? a(1-an) 1 1 ? n n- ∴ Sn= [n-(a+a2+…+an)]= ? ? = - . 1-a ? 1-a (1-a)2 1-a 1-a? n(n+1) (a=1), ? ? 2 ∴ S =? a(1-a ) n ?1-a- (1-a) (a≠1). ?
n n 2

二.拆项相消 1 1 1 1 + + +…+ 2 , (n≥2). 22-1 32-1 42-1 n -1 1 分析认真观察,式中每一项 2 均可拆成两项之差,于是可用拆项相消法求和. n -1 1 ? 1 1 1? 1 【解答】∵ 2 = =2 n-1-n+1 , n -1 (n-1)(n+1) ? ? 1 1 ? 1? ?1 1? ?1 1? 1? ? ∴ 原式=2[?1-3?+?2-4?+?3-5?+…+ n-1-n+1 ] ? ? 1 1 1 ? 3 2n+1 1? =2 1+2-n-n+1 =4- . ? ? 2n(n+1) 【总结】如果数列的通项公式可转化为 f(n+1)-f(n)的形式,常采用拆项求和法. 1 1 1 【变式 2】求和: 1+ + +…+ . 1+2 1+2+3 1+2+3+…+n 1 ? 1 2 ?1 【解答】∵an= = =2 n-n+1 1+2+…+n n(n+1) ? ? 例 2 求和:
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第二章 数列

习题课 1 常见的数列求和及应用

1 1 ? 2n ? 1 1 1 ∴ Sn=2 1-2+2-3+…+n-n+1 = ? ? n+1. 三.奇偶并项 例 3 求和: Sn=-1+3-5+7-…+(-1)n(2n-1). 分析通项中含符号数列(-1)n,按 n 为奇数、偶数分类讨论后,再并项求和. 【解答】当 n 为奇数时, Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+…+[(-2n+5)+(2n-3)]+(-2n+1) n-1 =2· 2 +(-2n+1)=-n. n 当 n 为偶数时, Sn=(-1+3)+(-5+7)+…+[(-2n+3)+(2n-1)]=2· 2=n. ∴ Sn=(-1)nn (n∈ N*). 【变式 3】已知数列-1,4,-7,10,…, (-1)n(3n-2),…,求其前 n 项和 Sn. 【解答】n 为偶数时,令 n=2k (k∈ N*), Sn=S2k=-1+4-7+10+…+(-1)n(3n-2) 3 =(-1+4)+(-7+10)+…+[(-6k+5)+(6k-2)]=3k=2n; 当 n 为奇数时,令 n=2k+1 (k∈ N*). -3n+1 Sn=S2k+1=S2k+a2k+1=3k-(6k+1)= . 2 n+1 (n为奇数), ?-32 ∴ S =? 3n ? 2 (n为偶数).
n

【课堂小结】 求数列前 n 项和,一般有下列几种方法. 1.错位相减(前面已复习) 适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和. 2.分组求和 把一个数列分成几个可以直接求和的数列. 3.拆项相消 有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式,相加过程消去中间项,只剩有限项再求和. 4.奇偶并项 + 当数列通项中出现(-1)n 或(-1)n 1 时,常常需要对 n 取值的奇偶性进行分类讨论. 5.倒序相加 例如,等差数列前 n 项和公式的推导方法. 【课时作业】 一.选择题 a1+a2+a3+…+an 1.已知数列{an}的通项 an=2n+1,由 bn= 所确定的数列{bn}的前 n 项之和是( ) n 1 1 1 A.n(n+2) B.2n(n+4) C.2n(n+5) D.2n(n+7) 【解答】C n 解析 a1+a2+…+an=2(2n+4)=n2+2n. n(n+5) ∴ bn=n+2,∴ bn 的前 n 项和 Sn= 2 . 1 1 1 1 2.已知数列{an}为等比数列,前三项为 a, 2a+2, 3a+3,则 Tn=a2 ) 1+a2 2+…+a2 n等于( ?2?n? ? ?2?n? A.9? ?1-?3? ? B.81?1-?3? ? 81? ?4?n? ?4?n? C.81? ?1-?9? ? D. 5 ?1-?9? ? 【解答】D
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第二章 数列

习题课 1 常见的数列求和及应用

1 1? ?1 1? 2 解析由? ?2a+2? =a?3a+3?,解得 a=3. 4 4 2 ∴ a1=3,a2=2,a3=3,∴ {a2 n}是以 a1=9 为首项,以 为公比的等比数列, 9 4 ? ?n? 9? ?1-?9? ? 81? ?4?n? ∴ Tn= 4 = 5 ?1-?9? ?. 1-9 - 3.设数列 1, (1+2), (1+2+4),…, (1+2+22+…+2n 1)的前 m 项和为 2 036,则 m 的值为( ) A.8 B.9 C.10 D.11 【解答】C + 解析 an=2n-1, Sn=2n 1-n-2,代入选项检验,即得 m=10. 4.在 50 和 350 之间末位数是 1 的所有整数之和是( ) A.5 880 B.5 539 C.5 280 D.4 872 【解答】A 30×(341+51) 解析 S=51+61+…+341= =5 880. 2 - 5.已知 Sn=1-2+3-4+…+(-1)n 1n,则 S17+S33+S50 等于( ) A.0 B.1 C.-1 D.2 【解答】B 解析 S17=(1-2)+(3-4)+…+(15-16)+17=9, S33=(1-2)+(3-4)+…+(31-32)+33=17, S50=(1-2)+(3-4)+…+(49-50)=-25, ∴S17+S33+S50=1. 二.填空题 6.(1002-992)+(982-972)+…+(22-12)=______. 【解答】5 050 解析 (1002-992)+(982-972)+…+(22-12) 100×(100+1) =100+99+…+2+1= =5 050. 2 7.在 100 内所有能被 3 整除但不能被 7 整除的正整数之和是______. 【解答】1 473 33×(3+99) 解析 100 内所有能被 3 整除的数的和为: S1=3+6+…+99= =1 683. 2 100 内所有能被 21 整除的数的和为: S2=21+42+63+84=210. ∴ 100 内能被 3 整除不能被 7 整除的所有正整数之和为 S1-S2=1 683-210=1 473. 1+3+5+…+(2x-1) 8.若 1 N*),则 x=______. 1 1 1 =132 (x∈ 1· 2+2· 3+3· 4+…+x(x+1) 【解答】11 1+3+5+…+(2x-1) x2 x2 解析 1 1 1 = 1 = x 1· 2+2· 3+…+x(x+1) 1-x+1 x+1 =x(x+1)=132,∴ x=11. 三.解答题 1 9.设正项等比数列{an}的首项 a1=2,前 n 项和为 Sn,且 210S30-(210+1)S20+S10=0. (1)求{an}的通项; (2)求{nSn}的前 n 项和 Tn. S30-S20 1 【解答】(1)由 210S30-(210+1)S20+S10=0,得 = ,设公比为 q, S20-S10 210

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第二章 数列

习题课 1 常见的数列求和及应用

- 1-q 1-q 1 1 =210,即 q10=210, 20 10 a1(1-q ) a1(1-q ) - 1-q 1-q 1 1 ?1?n-1 1 1 ∴q=2,∴an=2· ?2? =2n,即 an=2n,n=1,2,…. 1 1 (2)∵{an}是首项 a1=2,公比 q=2的等比数列. 1 1? 1-2n? ? 2? 1 n ∴Sn= 1 =1-2n,nSn=n-2n. 1-2 则数列{nSn}的前 n 项和 1 2 n? + + … + Tn=(1+2+…+n)-? 2 2n?① ?2 2 Tn 1 ? 1 + 2 +…+n-1+ n ? + ② 2n 2 =2(1+2+…+n)-? 2n 1? ?22 23 ? 1 1 1? Tn 1 n ① -② ,得 2 =2(1+2+…+n)-? ?2+22+…+2n?+2n+1 1 1? 1-2n? ? n n(n+1) 2? = 4 - 1 +2n+1, 1-2 n(n+1) 1 n 即 Tn= 2 + n-1+2n-2. 2 3-an-1 10.设数列{an}的首项 a1∈ (0,1),an= 2 ,n=2,3,4,…. (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn=an 3-2an,证明 bn<bn+1,其中 n 为正整数. 3-an-1 【解答】(1)由 an= 2 ,n=2,3,4,…. 1 整理得 1-an=-2(1-an-1). 1 又 1-a1≠0,∴{1-an}是首项为 1-a1,公比为-2的等比数列, 1? - n 1 得 an=1-(1-a1)? ?-2? . 3 (2)由(1)可知 0<an<2,故 bn>0. 那么,b2 n+1-b2 n 2 =an+1(3-2an+1)-a2 n(3-2an) 3 - a 3 - an? n? ? ? 2 3-2× = -a2 n(3-2an) 2 ? ? 2 ?? 9an = 4 (an-1)2. 又由(1)知 an>0 且 an≠1,故 b2 n+1-b2 n >0 , 因此 bn<bn+1,n 为正整数. 则

a1(1-q30)

a1(1-q20)

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