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高考专题辅导与测试第2部分 专题一 第一讲 数学思想专练(一)


[数学思想专练(一)] 一、选择题 1.(2013· 青岛模拟)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,2S2,3S3 成等差数列,则数列 {an}的公比为( 1 A. 2 2 C. 5 ) 1 B. 3 4 D. 9

解析:选 B 设等比数列的首项为 a1,公比为 q,则 S1=a1,S2=a1+a2=a1+a1q,S3 =a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2.由 S1,2S2,3S3 成等差数列,得 2×2S2=S1+3S3, 1 即 4(a1+a1q)=a1+3(a1+a1q+a1q2),可得 3q2-q=0,得 q=0 或 q= ,因为 q≠0,所 3 1 以 q= . 3 x2 y2 2.若 a>1,则双曲线 2- =1 的离心率 e 的取值范围是( a ?a+1?2 A.(1, 2) C.[ 2, 5]
2 2

)

B.( 2, 5) D.( 3, 5)

c a +?a+1? 1 1 1 解析:选 B e2=?a?2= =1+?1+a?2,因为 是减函数,所以当 a>1 时,0< ? ? ? ? a2 a a <1,所以 2<e2<5,即 2<e< 5. 3.已知 a∈[-1,1],不等式 x2+(a-4)x+4-2a>0 恒成立,则 x 的取值范围为( A.(-∞,2)∪(3,+∞) C.(-∞,1)∪(3,+∞) B.(-∞,1)∪(2,+∞) D.(1,3) )

解析:选 C 把不等式的左端看成关于 a 的一次函数,记 f(a)=(x-2)a+(x2-4x+4), 则 f(a)>0 对于任意的 a∈[-1,1]恒成立, 易知只需 f(-1)=x2-5x+6>0 且 f(1)=x2-3x+2>0 即可,联立方程并解得 x<1 或 x>3. 4.若 2x+5y≤2 y+5 x,则有( A.x+y≥0 C.x-y≤0
- - -

) B.x+y≤0 D.x-y≥0
- -

解析:选 B 原不等式可化为 2x-5 x≤2 y-5y,构造函数 y=2x-5 x,其为 R 上的增 函数,所以有 x≤-y,即 x+y≤0. 5.如图, 是单位圆与 x 轴的交点, P 在单位圆上, A 点 ∠AOP=θ(0<θ<π), ???? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? OQ = OA + OP ,四边形 OAQP 的面积为 S,当 OA · +S 取得最大值时 OP θ 的值为( )

1

π A. 6 π C. 3 解析:选 B

π B. 4 π D. 2 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? | | OA · +S=| OA |·OP |cos θ+| OA |·OP |sin θ=cos θ+sin θ= 2 OP

??? ??? ? ? π π sin?θ+4?,当 θ= 时, OA · +S 取得最大值. OP ? ? 4
6.(2013· 西安模拟)已知函数 f(x)=cos x(x∈(0,2π))有两个不同的零点 x1,x2,且方程 f(x) =m 有两个不同的实根 x3,x4.若把这四个数按从小到大的排列构成等差数列,则实数 m 的 值为( 1 A. 2 C. 3 2 ) 1 B.- 2 D.- 3 2

π 解析: D 假设方程 f(x)=m 的两个实根 x3<x4.由函数 f(x)=cos x(x∈(0,2π))的零点为 , 选 2 3π π 3π π 3π ,又四个数按从小到大排列构成等差数列,可得 <x3<x4< ,由题意得 x3+x4= + =2π 2 2 2 2 2 π 5π 5π 3 ①,2x3= +x4②,则由①②可得 x3= ,所以 m=cos =- . 2 6 6 2 二、填空题 7.若方程 sin2x+2sin x+a=0 有解,则实数 a 的取值范围是________ 解析:令 f(x)=sin2x+2sin x,则 f(x)的值域是[-1,3],因为方程 sin2x+2sin x+a=0 一 定有解,所以-1≤-a≤3,所以实数 a 的取值范围是[-3,1]. 答案:[-3,1] 8.已知数列{an}是递增数列,且对于任意的 n∈N*,an=n2+λn 恒成立,则实数 λ 的取 值范围是________. 解析:由{an}是递增数列,得 an<an+1 对 n∈N*恒成立,即 n2+λn<(n+1)2+λ(n+1),整 理得 λ>-(2n+1).而-(2n+1)≤-3,所以 λ>-3. 答案:(-3,+∞) 9. f(x), 设 g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数, x<0 时, 当 f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0, 且 g(-3)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是________. 解析:设 F(x)=f(x)g(x),由于 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数 和偶函数, F(-x)=f(-x)· 得 g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x), F(x)为奇函数. 即 又当 x<0 时,F′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,所以 x<0 时,F(x)为 增函数. 因为奇函数在对称区间上的单调性相同,

2

所以 x>0 时,F(x)也是增函数. 因为 F(-3)=f(-3)g(-3)=0=-F(3). 所以 F(x)<0 的解集是(-∞,-3)∪(0,3)(如图). 答案:(-∞,-3)∪(0,3) 三、解答题 10.(2013· 贵阳模拟)已知公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,S7=70,且 a1, a2,a6 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; 2Sn+48 (2)设 bn= ,数列{bn}的最小项是第几项,并求出该项的值. n 解:(1)设公差为 d,则有
? ? ?7a1+21d=70, ?a1+3d=10, ? 2 即? 2 ? ? ?a2=a1a6, ??a1+d? =a1?a1+5d?, ?a1=1, ?a1=10, ? ? 解得? 或? (舍去), ?d=3 ?d=0 ? ?

所以 an=3n-2. 3n2-n n (2)Sn= [1+(3n-2)]= , 2 2 3n2-n+48 48 所以 bn= =3n+ -1≥2 n n 48 当且仅当 3n= ,即 n=4 时取等号, n 故数列{bn}的最小项是第 4 项,该项的值为 23. 11.已知函数 f(x)=ax3+(2-a)x2-x-1(a>0). (1)若 a=4,求 f(x)的单调区间; x1 1 (2)设 x1,x2,1 为关于 x 的方程 f(x)=0 的实根,若 ∈?2,2?,求 a 的取值范围. ? x2 ? 解:(1)∵当 a=4 时,f(x)=4x3-2x2-x-1, ∴f′(x)=12x2-4x-1=(6x+1)(2x-1), 1 1 由 f′(x)>0 得 x<- 或 x> , 6 2 1 1 由 f′(x)<0 得- <x< , 6 2 1 1 ∴f(x)的单调递增区间为?-∞,-6?,?2,+∞?, ? ? ? ? 1 1 单调递减区间为?-6,2?. ? ? (2)∵f(x)=(x-1)(ax2+2x+1),
3

48 3n· -1=23, n

∴f(x)=0 一根为 1,另两根为 ax2+2x+1=0 的解,
?a>0, ? 由? 得 0<a≤1, ? ?Δ=4-4a≥0

由韦达定理知 ax2+2x+1=0 的解均为负值. x1 ∵ >0,x1,x2 为 ax2+2x+1=0 的根, x2

?-2?2 ? a? 4 ?x1+x2?2 x1 x2 ∴ = + +2= = . x1x2 x2 x1 1 a a
1 x1 1 令 t= ,u(t)=t+ +2,t∈?2,2?, ? ? x2 t 1 1 则 u′(t)=1- 2,∴u(t)在?2,1?上递减,在[1,2]上递增, ? ? t 9 9 8 4 ∴u(t)∈?4,2?,即 ∈?4,2?,故 a∈?9,1?. ? ? ? ? ? a ?

4


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