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陕西省西安中学2011届高三第十三次模拟考试(数学文)


西安中学高2011届高考第十三次模拟考试
数学(文科)试题
考试说明:本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,满分150分,考 试时间120分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共50分) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (本大题共10小题, 每小题5分,共50分) , 1. 若函数 f ( x) ? 1 ? x 的定义域为A

,函数 g ( x) ? lg x , x ?[1,10] 的值域为B,则A ? B为 A. (??,1] B. (??,1) C. [0,1] D. [0,1)

z?
2.复数 A.2

2 ?1? i 1? i ,则复数z的模等于
B. 2 2 C. 2 D.4

f ( x) ? e x ?
3.函数

1 x 的零点所在的区间是

1 (0, ) 2 A.

1 ( , 1) B. 2

3 (1, ) C. 2

3 ( , 2) D. 2

f ( x) ? cos 2 ( x ? ) ? sin 2 ( x ? ), x ? R 4 4 4. 设函数 ,则函数 f ( x) 是
A.最小正周期为 ? 的奇函数 B.最小正周期为 ? 的偶函数

?

?

?
C.最小正周期为 2 的奇函数
2

?
D.最小正周期为 2 的偶函数

5.方程 x ? x ? n ? 0(n ? (0,1)) 有实根的概率是

1 A. 2

1 B. 5

1 C. 3

1 D. 4

6.若一个螺栓的底面是正六边形,它的正视图和俯视图如图所示,则它的体积是

3 3 32 ? ? 25 A. 2

3 3?
B.

32 ? 25

9 3?
C.

32 ? 25

9 3?
D.

128 ? 25

7.在平面内,三解形的面积为s,周长为c,则它的内切圆的半径

r?

2s c .在空间中,三棱

锥的体积为V,表面积为S,利用类比推理的方法,可得三棱锥的内切球(球面与三棱锥 的各个面均相切)的半径R为

2V A. S

3V B. S

V C. S

3S D. V

8. 如果两个实数之和为正数,则这两个数 A. 一个是正数,一个是负数 C. 至少有一个是正数
?

B. 两个都是正数 D. 两个都是负数

1 2 ? 9.已知 a, b ? R ,且 a ?b ? 1 ,则 a b 的最小值是
A. 4 2
2

B. 1

C. 2 2

D. 3+2 2

10.过抛物线 y ? 2 x 的焦点作一条直线与抛物线交于两点,它们的横坐标之和等于2,则 这样的直线 B A.有且只有两条 B.有且只有一条 C.有且只有三条 D.有且只有四条

第Ⅱ卷(非选择题 共100分) 二、填空题:把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题,每小题5分,共25 分) . 11. 某大型超市销售的乳类商品有四种:纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉,且纯奶、酸 奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有30种、10种、35种、25种不同的品牌.现采用分层抽 样的方法从中抽取一个容量为n的样本进行三聚氰胺安全检测,若抽取的婴幼儿奶粉的品牌 数是7,则n= .

12. 由下面的流程图输出的s为

13. “已知数列

?an ? 为等差数列,它的前 n 项和为 Sn ,若存在正整数 m, n ? m ? n? ,使得

Sm ? Sn ,则 Sm?n ? 0 。”,类比前面结论,若正项数列 ?bn ? 为等比数列,

14. 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种.按照生产的要求, 600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍.假设截得的500mm钢管 x 根,截得的600mm 钢管 y 根则满足上述所有条件的线性约束条件为 15. (考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分) A.(不等式选讲) 若

f ? x? ? x ? t ? 5 ? x

的最小值为3, 则实数 t 的值是________.

B.(平面几何选讲) 已知C点在圆O直径BE的延长线上, CA切圆O于A点, DC是∠ACB的平 分线交AE于点F,交AB于D点. ?ADF =_______.

4 ? ?x ? 1? 5 t ? ? ? ? y ? ?1 ? 3 t ? ? 2 cos(? ? ) ? 5 ( t为参数 )被曲线 4 所截的 C. (极坐标与参数方程) 直线 ?
弦长为_______. 三、解答题: .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,请在答题区域内书写,否则无 效. (本大题共6小题,共75分) 16. (本小题满分12分) 如右图,在四边形ABCD中,已知 AD ? CD, AD ? 10,

AB ? 14, ?BDA ? 60? , ?BCD ? 135? ,求BC的长.

17. (本小题满分12分) 某班 t 名学生在2011年某次数学测试中,成绩全部介于80分与130分之间,将测试 结果按如下方式分成五组,第一组[80,90) ;第二组[90,100)…第五组[120,130],下表 是按上述分组方法得到的频率分布表: 分 组 [80,90) [90,100) [100,110) [110,120) [120,130] 频 数 频 率 0.04

x
9

y
0.38 0.34 0.06

z
17 3

(1) 求 t 及分布表中 x, y, z 的值; (2)校长决定从第一组和第五组的学生中随机抽取2名 进行交流,求第一组至少有一名学生被抽到的概率; (3)设从第一组或第五组中任意抽取的两名学生的数学 测试成绩分别记为 m, n ,求事件“ | m ? n |? 10 ”的概 率.

18. (本小题满分12分)

AB C AB PA 如图, 是 ? O 的直径, 垂直 ? O 所在的平面, 为 ? O 上一点, ? 2 , AC ? 1 ,

? 二面角 P ? BC ? A 为 4 .
(1)求证 BC ? 面 PAC ; (2)求三棱锥 P ? ABC 体积; (3)求点 A 到面 PBC 的距离。

19. (本小题满分12分) 若S n 是公差不为0的等差数列 (1) 求数列 (2) 若

?an ? 的前n项和,且 S1 , S2 , S4 成等比数列。

S1 , S 2 , S 4 的公比;
,求

S2 ? 4

?an ? 的通项公式.

20. (本题满分13分)

1 a f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 2a 2 x ? 1 (a ? 0) 3 2 已知函数
(1)求函数 f ( x) 的极值; (2)若函数 y ? f ( x) 的图象与值线 y ? 0 恰有三个交点,求实数 a 的取值范围; (3)已知不等式 f '( x) ? x ? x ? 1 对任意 a ? (1, ??) 都成立,求实数 x 的取值范围。
2

21. (本小题满分14分)

2 F1 、 F2 在 y 轴上,短轴长为 2 2 ,离心率为 2 , P 是椭圆在第一象 已知椭圆两焦点 ???? ???? ? PF1 ? PF2 ? 1 ,过P作关于直线F P对称的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、 限弧上一点,且
1

B两点。 (1)求P点坐标; (2)求证直线AB的斜率为定值;

西安中学高2011届高考第十三次模拟
数学(文科)参考答案
第Ⅰ卷(选择题 共50分) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (本大题共10小题, 每小题5分,共50分) , 题号 答案 1 C 2 B 3 B 4 A 5 D 6 C 7 B 8 C 9 D 10 A

第Ⅱ卷(非选择题 共100分) 二、填空题:把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题,每小题5分,共25 分) . 11.20; 12.256; 13.正项数列

?bn ? 为等比数列,它的前 n 项乘积为 Tn ,若 Tm ? Tn ,则 Tm?n ? 1 ;

?500 x ? 600 y ? 4000, ?3x ? y, ? ? ?x ? N , ? 14. ? y ? N . ;
15.A. t=2 或 8;
? B. 45 ;

7 C. 5 .

三、解答题: .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,请在答题区域内书写,否则无 效. (本大题共6小题,共75分) 16. (本小题满分12分)
2 2 2 解: 在 ? ABD 中,由余弦定理有 AB ? AD ? BD ? 2 AD ? BD cos ?ADB 2 2 2 ? 2 设 BD ? x ,则有 14 ? 10 ? x ? 2 ?10 x cos 60 ? x ? 10 x ? 96 ? 0



? x1 ? 16, x2 ? ?6 (舍去) ,即BD=16
? ? ? ? 在 ? DBC 中, ?CBD ? 90 ? 60 ? 30 , ?BCD ? 135 ,BD=16由正弦定理

BC BD 16 ? BC ? ? sin 30? ? 8 2 sin ?CDB sin ?BCD 可得 sin135?

17. (本小题满分12分)

t?
解:(1)

3 ? 50, x ? 50 ? 0.04 ? 2, y ? 1 ? 0.04 ? 0.38 ? 0.34 ? 0.06 ? 0.18 0.06
z ? 50 ? 0.38 ? 19

(2)设第5组的3名学生分别为 生中抽取两位学生有:

A1 , A2 , A3

,第1组的2名学生分别为

B1 , B2

,则从5名学

( A1 , A2 ),( A1 , A3 ),( A1 , B1 ),( A1 , B2 ),( A2 , A3 ),( A2 , B1 ),( A2 , B2 ),( A3 , B1 ),( A3 , B2 ),( B1, B2 )
10种可能. 其中第一组的2位学生

,共

B1 , B2

至少有一位学生入选的有: ,共7种可能,

( A1 , B1 ),( A1 , B2 ),( A2 , B1 ),( A2 , B2 ),( A3 , B1 ),( A3 , B2 ),( B1, B2 )
7 7 ? 所以第一组至少有一名学生被校长面试的概率为 10 10 。

(3)第1组 [80,90) 中有2个学生,数学测试成绩设为 a, b 第5组[120,130]中有3个学生,

数学测试成绩设为 A, B, C

则 m, n 可能结果为

(a, b),(a, A),(a, B),(a, C ),(b, A),(b, B),(b, C ),( A, B),( A, C ),( B, C ) 共10种
使 | m ? n |? 10 成立有 (a, b),( A, B),( A, C ),( B, C ) 共4种

P(| m ? n |? 10) ?
所以 18. (本小题满分12分)

4 2 2 ? 10 5 即事件“ | m ? n |? 10 ”的概率为 5 。

证明: (1)? PA ? ? O 所在平面,且 BC 为 ? O 的弦

? PA ? BC
? AB 为 ? O 的直径

? BC ? AC
而 PA ? AC ? A

? BC ? 面 PAC
(2)由 BC ? 面 PAC 得 BC ? PC 又由(1)知 BC ? AC

所以 ?PCA 是二面角 P ? BC ? A 的平面角

? ? CA? P 4

?

? ?PAC ?

?
2

, AC ? 1

? P A ?1, P C? 2

1 1 3 3 ?VP ? ABC ? S?ABC ? PA ? ? ?1 ? 3 3 2 6
(3)设点 A 到面 PBC 距离为 h

? BC ? 3 , PC ? 2 , BC ? PC
1 6 ?VP ? ABC ? VA? PBC ? ? ?h 3 2
19. (本小题满分12分) 解: (1)设数列

? S?PBC ? 2 2

6 2

?h ?

?an ? 的公差为 d ,由题意,得

S 2 2 ? S1 ? S 4

?

所以

(2a1 ? d ) 2 ? a1 (4a1 ? 6d )

d ? 2a1 因为 d ? 0 ,所以
q?
故公比 (2)因为 所以

S2 ?4 S1

S 2 ? 4, d ? 2a1 , S 2 ? 2a1 ? 2a1 ? 4a1 ,
因此

a1 ? 1, d ? 2

a2 ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1.

20. (本题满分13分) 解析: (1)? f '( x) ? x ? ax ? 2a , 令 f '( x) ? x ? ax ? 2a ? 0 ,则 x ? ? a 或 x ? 2a 。
2 2 2 2

? f '( x) ? x 2 ? ax ? 2a 2 ? 0 时, x ? ?a 或, x ? 2a ,

? x ? ?a 时 , f ( x) 取 得 极 大 值
f (2a) ? ? 10 3 a ?1 3 ;

f (?a) ?

7 3 a ? 1, x ? 2a 6 时 , f ( x) 取 得 极 小 值

(2)要使函数 y ? f ( x) 的图象与直线 y ? 0 恰有三个交点,则函数 y ? f ( x) 的极大值 大于零,极小值小于零;

?7 3 ?6 a ?1 ? 0 ? ? 3 3 300 ?? 10 a 3 ? 1 ? 0 a?3 ? ? 10 10 ; 由(1)的极值可得: ? 3 , 解之得
(3)要使 f '( x) ? x ? x ? 1 对任意 a ? (1, ??) 都成立
2

即 x ? ax ? 2a ? x ? x ? 1
2 2 2

? a ? (1, ??) (1 ? a ) x ? 2a 2 ? 1 ?1 ? a ? 0

2a 2 ? 1 2a 2 ? 1 x? 1 ? a 对任意 a ? (1, ??) 都成立,则 x 大于 1 ? a 的最大值。 2a 2 ? 1 2(a ? 1) 2 ? 4(a ? 1) ? 3 3 ? ?? ? ?[2(a ? 1) ? ? 4] 1? a a ?1 a ?1
由 a ? (1, ??) ,

a ? 1 ? 0,? 2(a ? 1) ?

3 ?2 6 a ?1 ,

a ? 1?
当且仅当

6 2 时取等号,

?

2a 2 ? 1 2a 2 ? 1 ? ?(2 6 ? 4) x?( ) max ? ?(4 ? 2 6) 1? a 1? a ,故

21. (本小题满分14分)

y 2 x2 ? 2 ?1 2 b 解析: (1)设椭圆方程为 a , y 2 x2 ? ?1 2 由题意可得 a ? 2, b ? 2, c ? 2 2 ,方程为 4 ;
F1 (0, 2), F2 (0, ? 2)
则 ,设

P( x0 , y0 )( x0 ? 0, y0 ? 0)

???? ???? ? PF1 ? (? x0 , 2 ? y0 ), PF2 ? (? x0 , ? 2 ? y0 ),

???? ???? ? 2 2 ? PF1 ? PF2 ? x0 ? (2 ? y0 ) ? 1
2 2 x0 y0 ? ? 1. 4 ? 点 P( x0 , y0 ) 在曲线上,则 2 2 ? x0 ? 2 4 ? y0 2

2 4 ? y0 2 ? (2 ? y0 ) ? 1 y ? 2 从而 2 ,得 0 ,则点 P 的坐标为 (1, 2) ;

(2)由(1)知

PF1 // x 轴,直线PA、PB斜率互为相反数,设PB斜率为 k (k ? 0) ,则

PB的直线方程为: y ? 2 ? k ( x ? 1) ;

? y ? 2 ? k ( x ? 1) ? 2 ?x y2 ?1 ? ? 2 2 2 4 由? 2 得 (2 ? k ) x ? 2k ( 2 ? k ) x ? ( 2 ? k ) ? 4 ? 0



B( xB , yB ),



xB ?

2k (k ? 2) k 2 ? 2 2k ? 2 ?1 ? 2 ? k2 2 ? k2

k 2 ? 2 2k ? 2 4 2k xA ? x A ? xB ? 2 2?k 2 ? k2 ; 同理可得 ,则
y A ? yB ? ?k ( x A ? 1) ? k ( xB ? 1) ? 8k 2 ? k2

k AB ?
所以:AB的斜率

y A ? yB ? 2 x A ? xB 为定值。

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