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高中数学北师大版必修2:第二章 解析几何初步 单元同步测试


第二章 解析几何初步 单元同步测试
时间 120 分钟 满分 150 分 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在下列四个选项中, 只有一项是符合题意的) 1.已知点 P(- 3,1),点 Q 在 y 轴上,且直线 PQ 的倾斜角为 120° ,则 Q 点的坐标为( A.(0,2) C.(2,0) ) B.(0,-2) D.(-2,0)

/>
y-1 解析 设 Q(0,y),由 k= =- 3,得 y=-2. 3 答案 B 2.已知两条直线 y=ax-2 和 y=(a+2)x+1 互相垂直,则 a 等于( A.2 C.0 B.1 D.-1 )

解析 由题意,得 a(a+2)=-1,得 a=-1. 答案 D 3.已知过点 A(-2,m)和 B(m,4)的直线与直线 2x+y-1=0 平行,则 m 的 值为( A.0 C.2 4-m 解析 由 =-2,得 m=-8. m+2 答案 B 4.若点 A 是点 B(1,2,3)关于 x 轴对称的点,点 C 是点 D(2,-2,5)关于 y 轴 对称的点,则|AC|=( A.5 ) B. 13 ) B.-8 D.10

C.10

D. 10

解析 A(1,-2,-3),C(-2,-2,-5)代两点间距离公式即可. 答案 B 5.直线 y+4=0 与圆 x2+y2-4x+2y-4=0 的位置关系是( A.相切 B.相交,但直线不经过圆心 C.相离 D.相交且直线经过圆心 答案 A 6.已知 M(-2,0),N(2,0),则以 MN 为斜边的直角三角形直角顶点 P 的轨迹 方程是( ) B.x2+y2=4 D.x2+y2=2 )

A.x2+y2=4(x≠± 2) C.x2+y2=2(x≠± 2)

解析 由题可知,点 P 的轨迹是以 MN 为直径的圆(除去 M、N 两点),∴点 P 的轨迹方程是 x2+y2=4(x≠± 2). 答案 A 7.若直线 3x+2y-2m-1=0 与直线 2x+4y-m=0 的交点在第四象限,则 实数 m 的取值范围是( A.(-∞,-2) 2? ? C.?-∞,-3?
? ? ? ?3x+2y-2m-1=0, 由? ?2x+4y-m=0, ?

) B.(-2,+∞)
? 2 ? D.?-3,+∞? ? ?

解析

+2 , ?x=3m4 得? -m-2 y = ? 8 .

+2 >0, ?3m4 由题意,得? m+2 - ? 8 <0, 答案 D

2 得 m>-3.

8.已知圆 C 的方程为 x2+y2-4x=0,若圆 C 被直线 l:x+y+a=0 截得的 弦长为 2 3,则 a=( A.2+ 2 C.2± 2 解析 由弦长公式,得 3=4-? ? 得 a=-2± 2. 答案 D 9.将直线 2x-y+λ=0 沿 x 轴向左平移 1 个单位,所得直线与 x2+y2+2x- 4y=0 相切,则实数 λ 的值为( A.-3 或 7 C.0 或 10 ) B.-2 或 8 D.1 或 11 ) B. 2 D.-2± 2
? 2+a ? ?2 2 2? , ? 1 +1 ?

解析 将直线平移后得到 y=2(x+1)+λ=2x+2+λ, |-2-2+2+λ| 由题可知, = 5, 22+?-1?2 得 λ=-3,或 λ=7,故选 A. 答案 A 2 10.若圆 x2+y2-2x-4y=0 的圆心到直线 x-y+a=0 的距离为 2 ,则 a 的 值为( ) 1 3 B.2或2

A.-2 或 2

C.2 或 0

D.-2 或 0

|1-2+a| 2 解析 圆的圆心(1,2),∴d= = 2 ,得 a=0,或 a=2. 2 答案 C 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中横线 上) 11.当 a 为任意实数时,直线 ax-y+1-3a=0 恒过定点________. 解析 原方程可化为 a(x-3)-(y-1)=0,∴直线 l 过(3,1). 答案 (3,1) 12.直线 x-2y+5=0 与圆 x2+y2=8 相交于 A,B 两点,则|AB|=________. 解析 圆心到该直线的距离 d= 5 = 5, 5

∴弦长=2 ?2 2?2-? 5?2=2 3. 答案 2 3 13.两圆相交于两点(1,3)和(m,-1),两圆圆心都在直线 x-y+c=0 上,且 m、c 均为实数,则 m+c=________. 解析 根据两圆相交的性质可知,两点(1,3)和(m,-1)的中点?
?1+m

,1?在直 ? 2 ?

?

线 x-y+c=0 上,并且过两点的直线与 x-y+c=0 垂直,故有 m ?1+ 2 -1+c=0, ?3-?-1? ? 1-m ×1=-1, ∴m=5,c=-2,∴m+c=3. 答案 3 14.若不同两点 P,Q 的坐标分别为(a,b),(3-b,3-a),则线段 PQ 的垂直 平分线 l 的斜率为________; 圆(x-2)2+(y-3)2=1 关于直线 l 对称的圆的方程为

________. 3-a-b 解析 ∵kPQ= =1,又 kl· kPQ=-1 3-b-a ∴kl=-1,又(2,3)关于 l 的对称点为(0,1), 故所求的圆的方程为 x2+(y-1)2=1. 答案 -1 x2+(y-1)2=1

15.过圆 x2+y2-x+y-2=0 与 x2+y2=5 的交点,且圆心在直线 3x-4y-1 =0 上的圆的方程为________. 解析 设所求的圆的方程为 x2+y2-x+y-2+ λ(x2+y2-5)=0,即 (1+λ)x2+(1+λ)y2-x+y-2-5λ=0.
? 1 1 ? ∴圆心为?2?1+λ?,-2?1+λ??. ? ?



3 4 3 - -1=0,得 λ=-2 2?1+λ? 2?1+λ?

故所求的圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=13. 答案 (x+1)2+(y-1)2=13 三、解答题(本大题共有 6 小题,共 75 分.解答时应写出必要的文字说明, 证明过程或演算步骤) 16.(12 分)已知两条直线 l1:mx+8y+n=0 和 l2:2x+my-1=0.试确定 m, n 的值,使 (1)l1 和 l2 相交于点(m,-1); (2)l1∥l2; (3)l1⊥l2,且 l1 在 y 轴上的截距为-1. 解 (1)∵m2-8+n=0,且 2m-m-1=0, ∴m=1,n=7.

(2)由 m· m-8×2=0,得 m=± 4, 由 8×(-1)-n· m≠0,得 n≠± 2, 即 m=4,n≠-2 时,或 m=-4,n≠2 时,l1∥l2. (3)当且仅当 m· 2+8· m=0, n 即 m=0 时,l1⊥l2,又-8=-1,∴n=8. 即 m=0,n=8 时, l1⊥l2,且 l1 在 y 轴上的截距为-1. 17.(12 分)△ABC 中,顶点 A 的坐标为(1,2),高 BE,CF 所在直线的方程分 别为 2x-3y+1=0,x+y=0,求这个三角形三条边所在直线的方程. 3 解 由已知,直线 AC 的斜率为-2, 直线 AB 的斜率为 1. ∴直线 AC 的方程为 3x+2y-7=0, 直线 AB 的方程为 x-y+1=0.
? ?x+y=0, 再由? 可解得 C 点坐标为(7,-7). ? ?3x+2y-7=0, ?2x-3y+1=0, ? 由? 可解得 B 点坐标为(-2,-1) . ?x-y+1=0, ?

于是直线 BC 的方程为 2x+3y+7=0. 18.(12 分)已知圆 x2+y2-12x=0 的圆心为 Q,过点 P(0,2)且斜率为 k 的直 线与圆 Q 相交于不同两点 A,B,求实数 k 的取值范围. 解 x2+y2-12x=0 可化为(x-6)2+y2=36,又直线过点 P(0,2),斜率为 k, 故 l 的方程为 y=kx+2,即 kx-y+2=0,由题意,得 4? ? ∴k 的取值范围是?-∞,3?.
? ?

|6k+2| 4 < 6 ,得 k < 3. k2+1

19.(13 分)已知 P(1,2)为圆 x2+y2=9 内一定点,过 P 点任作直线,与圆相 交,求弦的中点的轨迹方程. 解 设过 P 点的直线与圆相交于 A,B 两点,C 为 AB 的中点,设 C(x,y), 由题意,得 当 P 与 C 不重合时,
?1 ? △OPC 为直角三角形,∴C 点在以 OP 为直径的圆上,又 OP 的中点?2,1?, ? ?

|OP|= 12+22= 5, 1? ? 5 ∴点 C 的轨迹方程为?x-2?2+(y-1)2=4(除去 P 点).
? ?

1? ? 5 又当 x=1,y=2 时上式仍成立,∴点 C 的轨迹方程为?x-2?2+(y-1)2=4.
? ?

20.(13 分)已知方程 x2+y2-2x-4y+m=0. (1)若此方程表示圆,求 m 的取值范围; (2)若(1)中的圆与直线 x+2y-4=0 相交于 M,N 两点,且 OM⊥ON(O 为坐 标原点),求 m; (3)在(2)的条件下,求以 MN 为直径的圆的方程. 解 (1)原方程化为(x-1)2+(y-2)2=5-m. ∵此方程表示圆,

∴5-m>0. ∴m<5. (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2), 则 x1=4-2y1,x2=4-2y2, 得 x1x2=16-8(y1+y2)+4y1y2. ∵OM⊥ON, ∴x1x2+y1y2=0. ∴16-8(y1+y2)+5y1y2=0.①
?x=4-2y, ? 由? 2 2 得 ?x +y -2x-4y+m=0, ?

5y2-16y+m+8=0. 8+m 16 ∴y1+y2= 5 ,y1y2= 5 . 8 代入①得 m=5. (3)以 MN 为直径的圆的方程为 (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0, 即 x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0. 8 16 ∴所求圆的方程为 x2+y2-5x- 5 y=0. 21.(13 分)已知圆 C:x2+y2+2x-4y+1=0,O 为坐标原点,动点 P 在圆 外,过点 P 作圆 C 的切线,设切点为 M. (1)若点 P 运动到(1,3)处,求此时切线 l 的方程; (2)求满足|PM|=|PO|的点 P 的轨迹方程. 解 (1)把圆 C 的方程化为标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4, ∴圆心为(-1,2), 半径为 2. ①当 l 的斜率不存在时,l 的方程为 x=1 满足条件.

②当 l 的斜率存在时,设斜率为 k,则 l:y-3=k(x-1),即 kx-y+3-k= 0. |-k-2+3-k| 3 由题意,得 =2,得 k=-4. 2 1+k ∴l 的方程为 3x+4y-15=0. 综上得,满足条件的切线 l 的方程为 x=1,或 3x+4y-15=0. (2)设 P(x,y),∵|PM|=|PO|, ∴(x+1)2+(y-2)2-4=x2+y2. 整理得 2x-4y+1=0. 即点 P 的轨迹方程为 2x-4y+1=0.


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