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2014年普通高等学校招生全国统一考试广东卷(数学理)


2014 年普通高等学校招生全国统一考试·广东卷(理科)
一、选择题 1.(2014·广东高考理科)已知集合 M={-1,0,1},N={0,1,2},则 M∪N= A.{0,1} C.{-1,0,1,2} B.{-1,0,2} D.{-1,0,1} ( ) ( )

2.(2014·广东高考理科)已知复数 z 满足(3+4i)z=25,则 z= A

.-3+4i B.-3-4i C.3+4i D.3-4i 3.(2014·广东高考理科)若变量 x,y 满足约束条件 和 n,则 m-n= ( A.5 B.6 C.7 D.8 4.(2014·广东高考理科)若实数 k 满足 0<k<9,则曲线 A.焦距相等 C.虚半轴长相等 A.(-1,1,0) B.(1,-1,0) C.(0,-1,1) D.(-1,0,1) B.实半轴长相等 D.离心率相等 )

且 z=2x+y 的最大值和最小值分别为 m

=1 与曲线

- =1 的 (

)

5.(2014·广东高考理科)已知向量 a=(1,0,-1),则下列向量中与 a 成 60°夹角的是 (

)

6.(2014· 广东高考理科)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和图 2 所示,为了解该地区中 小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视 人数分别是 ( )

A.200,20 C.200,10 正确的是 ( )

B.100,20 D.100,10

7.(2014·广东高考理科)若空间中四条两两不同的直线 l1,l2,l3,l4 满足 l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定 A.l1⊥l4 B.l1∥l4 C.l1 与 l4 既不垂直也不平行 D.l1 与 l4 的位置关系不确定 8.(2014·广东高考理科)设集合 A={(x1,x2,x3,x4,x5)|xi∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集合 A 中满足条件“1 ≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为 A.60 B.90 C.120 D.130 二、填空题 ( )

9.(2014·广东高考理科)不等式
-5x

+

≥5 的解集为

. .

10.(2014·广东高考理科)曲线 y=e +2 在点(0,3)处的切线方程为

11.(2014·广东高考理科)从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取 7 个不同的数,则这 7 个数的中位数是 6 的概率 为 . 12.(2014 · 广东高考理科 ) 在△ ABC 中 , 角 A,B,C 的对 边分别 为 a,b,c, 已知 bcosC+ccosB=2b, 则 = +lna20= . . 13.(2014 · 广 东 高 考 理 科 ) 若 等 比 数 列 {an} 的 各 项 均 为 正 数 , 且 a10a11+a9a12=2e5, 则 lna1+lna2+ ? 14.(2014·广东高考理科)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线 C1 与 C2 的方程分别为ρsin2θ =cosθ与ρsinθ=1,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,则曲线 C1 与 C2 交点的直角坐标为 . 15.(2014 · 广东高考理科 )( 几何证明选讲选做题 ) 如图 ,在平行四边形 ABCD 中 ,点 E 在 AB 上且

EB=2AE,AC 与 DE 交于点 F,则 三、解答题

=

. ,x∈R,且 f = .

16.(2014·广东高考理科)(12 分)已知函数 f(x)=Asin (1)求 A 的值. (2)若 f(θ)+f(-θ)= ,θ∈ 获得数据如下: ,求 f .

17.(2014· 广东高考理科)(13 分)随机观测生产某种零件的某工厂 25 名工人的日加工零件数(单位:件), 30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36, 根据上述数据得到样本的频率分布表如下: 分组 [25,30] (30,35] (35,40] (40,45] (45,50] 频数 3 5 8 n1 n2 频率 0.12 0.20 0.32 f1 f2

(1)确定样本频率分布表中 n1,n2,f1 和 f2 的值. (1)根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图. (3)根据样本频率分布直方图,求在该厂任取 4 人,至少有 1 人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率. 18.(2014·广东高考理科)(13 分)四边形 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,∠DPC=30°,AF⊥PC 于点 F,FE∥CD,交 PD 于点 E.

(1)证明:CF⊥平面 ADF. (2)求二面角 DAFE 的余弦值. 19.(2014·广东高考理科)(14 分)设数列 (1)求 a1,a2,a3 的值. (2)求数列{an}的通项公式. 20.(2014·广东高考理科)(14 分)已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的一个焦点为( (1)求椭圆 C 的标准方程. (2)若动点 P(x0,y0)为椭圆 C 外一点,且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直,求点 P 的轨迹方程. 21.(2014·广东高考理科)(14 分)设函数 f(x)= (1)求函数 f(x)的定义域 D(用区间表示). (2)讨论函数 f(x)在 D 上的单调性. (3)若 k<-6,求 D 上满足条件 f(x)>f(1)的 x 的集合(用区间表示). ,其中 k<-2. ,0),离心率为 . 的前 n 项和为 Sn,满足 Sn=2nan+1-3n2-4n,n∈N*,且 S3=15.

参考答案
1.C 2.D 3.B 4.A 5.B 6.A 7.D 8.D 9.{x|x≤-3 或 x≥2}. 10.5x+y-3=0 11. 12.2 13.50 14. (1,1) 15.9 16. 【解析】(1)由 f (2)f(θ)+f(-θ)= ,θ∈ =Asin , =Asin = = 可得 A= .



sin

+

sin +

= , = ,

cosθ= . 因为θ∈ f = 17. 【解析】 (1)由所给的数据,知在(40,45]的有 42,41,44,45,43,43,42,即 n1=7;在(45,50]的有 49,46,即 n2=2,(列 出有关数据,直接写出 n1=7,n2=2 会被扣分)f1= =0.28,f2= =0.08. (2)算得各组的 =0.024, =0.065, 的值分别为: =0.064, = sinθ= . ,所以 sinθ= sin , = sin

=0.04, =0.016,

(要具体算出来,否则要被扣分) “样本分布直方图”如图所示;

(3)根据“样本频率分布直方图”,以频率估计概率,则在该厂任取 1 人,其加工零件数据落在(30,35]的频 率为 0.20,估计其概率为 0.20(这个要写,否则会被扣分,需点明“频率估计概率”),在该厂任取 4 人,至少有 1 人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率为 P(A)=1较为方便),所求的概率为 0.5904. 18. 【解析】(1)因为四边形 ABCD 为正方形, 所以 AD⊥DC. 又 PD⊥平面 ABCD,AD? 平面 ABCD, 所以 PD⊥AD,DC∩PD=D, 所以 AD⊥平面 PCD. 又 CF? 平面 PCD, 所以 CF⊥AD, 而 AF⊥PC,即 AF⊥FC, (0.2)0(1-0.2)4=0.5904(二项分布型概率,间接求

又 AD∩AF=A, 所以 CF⊥平面 ADF. (2)以 D 为原点,DP,DC,DA 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系, 设 DC=2,由(1)知 PC⊥DF,即∠CDF=∠DPC=30°,有 FC= DC=1,DF= DE= DF= ,EF= 则 D(0,0,0),E DE= , ,F ,A(0,0,2),C(0,2,0), = , = , = , FC= ,

设平面 AEF 的法向量为 n=(x,y,z), 由 得 ,则 n=(4,0, = =, . ), ,

取 x=4,有 y=0,z=

又平面 ADF 的一个法向量为 所以 cos<n, >= =

所以二面角 DAFE 的余弦值为 知识点检索号 25 和 32 19. 【解析】(1)由已知得 解得 a1=3,a2=5,a3=7. (2)猜测 an=2n+1. 由 Sn=2nan+1-3n2-4n 得 Sn-1=2(n-1)an-3(n-1)2-4(n-1)(n≥2), 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1, 所以两式相减, 整理得 an=2nan+1-2(n-1)an-6n-1, an+1= an + , 建立 an 与 an+1 的递推关系(n∈N*); 因为当 n=1 时,a1=3, 假设 ak=2k+1 成立,那么 n=k+1 时, ak+1= ak+ = (2k+1)+

=2k+3=2(k+1)+1,

对于 n∈N*,有 an=2n+1, 数列{an}的通项公式为 an=2n+1. 20. 【解析】(1)因为 c= 所以 a=3,b=2, 椭圆 C 的标准方程为 + =1. (2)方法一:若有一条切线斜率不存在, ,离心率 e= ,

则另一条斜率为 0, 此时点 P 有四个点, 分别是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2); 当两条切线斜率都存在时, 设切线方程为 y-y0=k(x-x0), 代入 + =1 中, 整理可得(9k2+4)x2+18k(y0-kx0)x+9[(y0-kx0)2-4]=0, 切线与椭圆只有一个公共点, 则Δ=0,即(18k)2(y0-kx0)2-36(9k2+4)[(y0-kx0)2-4]=0, 进一步化简得( -9)k2-2x0y0k+ -4=0. 因为两条切线相互垂直, 所以 k1k2=-1, 也就是 =-1,则 + =13. =13,

显然,点(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)也适合方程 + 所以点 P 的轨迹方程为 + =13. 方法二:若有一条切线斜率不存在, 则另一条斜率为 0,

此时点 P 有四个点,分别是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2); 当两条切线斜率都存在时, 设切点分别为 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 + =1 且 + =1. 两条切线方程分别为 所以 + =1 且 ,k2= =-1, + + =1 和 =1, + =1, 因为两条切线都过点 P(x0,y0), 因为两条切线相互垂直, 所以 k1= 也就是 且 k1k2=-1,

整理得 + =13. 显然,点(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)也适合方程 + 所以点 P 的轨迹方程为 + =13. 21. 【解析】(1)因为 k<-2,令 t=x2+2x+k, 则 t2+2t-3>0 得 t<-3 或 t>1, 由 t<-3 得 x2+2x+k+3<0, 解得-1解得 x<-1<x<-1+ 或 x>-1+ , , 由 t>1 得 x2+2x+k-1>0, =13,

f(x)的定义域 D=(-∞,-1(2)由(1)知-1①当 x<-1<-3,-1时, 令 t=x2+2x+k,u=t2+2t-3,f(x)= . t=x2+2x+k 单调递减, u=t2+2t-3(t>0)单调递增, f(x)= ②当-1t 在(-1t 在(-1,-1+ ③当 x>-1+ 所以 f(x)在(-∞,-1(-1在(-1,-1+ ),(-1+ 单调递减, <x<-1+ ,-1)上单调递减,

)∪(-1<-1,-1+

,-1+

)∪(-1+ >-1,-1+ >1,

,+∞).

这时 f(x)为增函数(“同增异减”是研究复合函数单调性的有效方法); 时,

同理得 f(x)为增函数; )上单调递增, 时,t 单调递增, ), ,+∞)上为减函数(数形结合,明确单调区间). 同理得 f(x)为减函数(同理推断,降低运算量); 同理得 f(x)为减函数; ,-1)上为增函数;

(3)因为 k<-6,f(x)>f(1), 有(x2+2x+k)2+2(x2+2x+k)-3<(3+k)2+2(3+k)-3, 设 m=x2+2x,则(m+k)2+2(m+k)<(3+k)2+2(3+k),(*)(换元,化繁为简). 令函数 g(x)=(x+k)2+2(x+k)=x2+(2k+2)x+k2+2k, 其图象的对称轴为 x=-k-1>5, 设 x=3 关于 x=-k-1 的对称点为 x', 则 =-k-1? x'=-2k-5, 由 g(x)的图象知满足(*)的 m 的范围为 3<m<-2k-5, 即 3<x2+2x<-2k-5,(数形结合,降低运算量) 所以 解得 又-1-1+ (-1+ <-1<-1+ ,-1+ ,-1<-3,-1+ ,-1>1, ) ∪ (-1,-3) ∪ (1,-1+ )∪

,(数形结合,明确端点大小) ).

所以满足题意的 x 的取值范围是 (-1-


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