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第6章不等式、推理与证明 第2节 一元二次不等式及其解法


第六章 不等式、推理与证明

第二节 一元二次不等式及其解法

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第六章 不等式、推理与证明

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第六章 不等式、推理与证明

一、一元二次不等式的定义 2 的不等式 只含有一个未知数且未知数的最高次数是 _____ 叫做一元二次不等式. 二、一元二次不等式与相应二次函数及二次方程的关系

判别式 Δ=b -4ac 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象
2

Δ>0

Δ=0

Δ<0

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第六章 不等式、推理与证明

判别式 Δ=b2-4ac 一元二次方程 ax +bx+c =0(a≠0)的根 ax2+bx+c 一元二次不等 式的解集 >0(a>0) ax2+bx+c <0(a>0)
2

Δ>0 有两相异实 根 x=x1 或 x=x2

Δ=0 有两相同

Δ<0

实根 x= 无实根 x1 R

x|x≠x1} {x|x<x1或x>x2} { ________________ ________ {x|x <x<x }

1 2 ________________

? ___

? ___

当 a<0 时, 可以先将二次项系数化为正数, 对照上表求解.

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第六章 不等式、推理与证明

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若不等式 ax2+bx+c<0 的解集为(x1,x2),则方程 ax2 +bx+c=0 的两根为 x1 和 x2.( )

(2)若不等式 ax2+bx+c<0 的解集是(-∞, x1)∪(x2, +∞), 则有 a<0.( )

(3)若方程 ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式 ax2 +bx+c>0 的解集为 R.( )

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第六章 不等式、推理与证明

(4)不等式 ax2+bx+c≤0 在 R 上恒成立的条件是 a<0 且 Δ =b2-4ac≤0. (5)若二次函数 y=ax2+bx+c 的图象开口向下,则不等式 ax2+bx+c<0 的解集一定不是空集.( )

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第六章 不等式、推理与证明

[ 答案及提示] (1)√ 由三个二次间的关系知正确. (2)√ (3)× 当 a<0 时,不等式 ax2+bx+c>0 的解集为?. (4)√ (5)√

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第六章 不等式、推理与证明

2 . (2015· 天津模拟 ) 设集合 A = {x|x2 - x<0} , B = {x|x2 -
2x<3},则( ) B.A∩B=B A.A∪B=B

C.A∩B=?
解析: 选 A

D.A∪B=R
集合 A = {x|0<x<1} ,集合 B = {x| - 1<x<3} ,

所以A?B,所以A∪B=B.故选A.

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第六章 不等式、推理与证明

3. 已知(a2-1)x2-(a-1)x-1<0 对任意实数 x 恒成立, 则 实数 a 的取值范围是( )
? 3 ? B.?-5,1? ? ? ? 3 ? D.?-5,1? ? ?

? 3? A.?-∞,-5?∪(1,+∞) ? ? ? 3 ? C.?-5,1? ? ?

解析:选 D a=1 显然满足题意,a=-1 时不满足题意, 若 a≠± 1,则该不等式为一元二次不等式,则必有 a2<1,由 Δ 3 3 =(a-1) +4(a -1)<0,解得-5<a<1. 综上可知-5<a≤1.
2 2

故选 D.

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第六章 不等式、推理与证明

4.(课本习题改编)设一元二次不等式 ax2+bx+1>0 的解
? ? ? 1 集为?x?-1<x<2 ? ? ? ? ? ?,则 ? ?

a+b=________.

解析: -3

1 b ? ?-1+2=-a 由根与系数的关系得? ?-1×1=1 2 a ?

, 解得 a

=-2,b=-1,∴a+b=-3.

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第六章 不等式、推理与证明

5.(2012· 天津高考)已知集合 A={x∈R||x+2|<3},集合 B = {x ∈ R|(x - m)(x - 2) < 0} ,且 A∩B = ( - 1 , n) ,则 m = ________,n=________.
解析:-1 1 A={x|-5<x<1},因为 A∩B=(-1,n), B={x|(x-m)(x-2)<0},故 m=-1,n=1.

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第六章 不等式、推理与证明

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第六章 不等式、推理与证明

一元二次不等式的解法(☆☆☆☆☆)

[ 典例 1] (1)(2013· 安徽高考)已知一元二次不等式 f(x)<0 的
? 1? ? ? ? 解集为 x|x<-1或x>2?,则 ? ? ? ?

f(10x)>0 的解集为(

)

A.{x|x<-1 或 x>-lg 2} B.{x|-1<x<-lg 2} C.{x|x>-lg 2} D.{x|x<-lg 2}

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第六章 不等式、推理与证明

解析: 选 D

因为一元二次不等式 f(x) < 0 的解集为
? 1? ?x- ?(a<0), f(x)=a(x+1)· 由 2 ? ?
x

? 1? ? ? ?x|x<-1或x> ?, 所以可设 2 ? ? ? ?

f(10x)

>0 得(10 D.

x

? 1? x ?10 - ?<0,所以 +1)· 2? ?

1 10 < ,解得 x<-lg 2.故选 2

(2)解关于 x 的不等式 kx2-2x+k<0(k∈R).

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第六章 不等式、推理与证明

解:①当 k=0 时,不等式-2x<0,解得 x>0. ②当 k>0 时,若 Δ = 4 - 4k2>0 ,即 0<k<1 ,解不等式得 1- 1-k2 1+ 1-k2 <x< ; k k 若 Δ≤0,即 k≥1,不等式无解. ③当 k<0 时,若 Δ=4-4k2>0,即-1<k<0, 1+ 1-k2 1- 1-k2 解得 x< 或 x> ; k k 若 Δ<0,即 k<-1,不等式的解集为 R; 若 Δ=0,即 k=-1,不等式的解为 x≠-1.

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第六章 不等式、推理与证明

综上所述,当 k≥1 时,不等式的解集为?; 当 0<k<1 时,不等式的解集为
?1- x? ? ?

1-k2 1+ 1-k2 ; < x < k k

当 k=0 时,不等式的解集为{x|x>0}; 当-1<k<0 时,不等式的解集为
? ? ? 1+ ? ?x?x< ? ? ? ? 1- 1-k2? 1-k2 ?; 或x> k ? k ?

当 k=-1 时,不等式的解集为{x|x≠-1}; 当 k<-1 时,不等式的解集为 R.

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第六章 不等式、推理与证明

1.解一元二次不等式的步骤 (1)将不等式变形为 ax2+bx+c>0(a>0)或 ax2+bx+c<0(a>0) 的形式; (2)计算相应的判别式; (3)当 Δ≥0 时,求出相应的一元二次方程的根; (4)根据对应二次函数的图象,写出不等式的解集.

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第六章 不等式、推理与证明

2.解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)二次项若含有参数应讨论是等于 0, 小于 0, 还是大于 0, 然后将不等式转化为二次项系数为正的形式. (2)判断方程的根的个数,讨论判别式 Δ 与 0 的关系. (3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要 讨论两根的大小关系,从而确定解集形式.

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第六章 不等式、推理与证明

1.(2013· 重庆高考)关于 x 的不等式 x2-2ax-8a2<0(a>0) 的解集为(x1,x2),且 x2-x1=15 ,则 a= ( 5 A.2 15 C. 4 7 B.2 15 D. 2 )

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第六章 不等式、推理与证明

解析: 选 A 方法一: ∵不等式 x2-2ax-8a2<0 的解集为 (x1,x2), ∴x1,x2 是方程 x2-2ax-8a2=0 的两根.
? ?x1+x2=2a, 由题意知? 2 ? x x =- 8 a , ? 1 2

∴x2-x1= ?x1+x2?2-4x1x2= ?2a?2-4?-8a2?=15, 5 又 a>0,∴a= .故选 A. 2

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第六章 不等式、推理与证明

方法二:由 x2-2ax-8a2<0,得(x+2a)(x-4a)<0, ∵a>0,∴不等式 x2-2ax-8a2<0 的解集为(-2a,4a), 又不等式 x2-2ax-8a2<0 的解集为(x1,x2), ∴x1=-2a,x2=4a. 5 ∵x2-x1=15,∴4a-(-2a)=15,解得 a= .故选 A. 2

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第六章 不等式、推理与证明

2.(2013· 江苏高考)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数.当 x >0 时,f(x)=x2-4x,则不等式 f(x)>x 的解集用区间表示为 ________.
解析:(-5,0)∪(5,+∞) ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(0)=0, 又当 x<0 时,-x>0, ∴f(-x)=x2+4x.

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第六章 不等式、推理与证明

又 f(x)为奇函数, ∴f(-x)=-f(x), ∴f(x)=-x2-4x(x<0), ?x2-4x, ? ∴f(x)=?0, ?-x2-4x, ? x>0, x=0, x<0.

①当 x>0 时,由 f(x)>x 得 x2-4x>x,解得 x>5; ②当 x=0 时,f(x)>x 无解; ③当 x<0 时,由 f(x)>x 得-x2-4x>x,解得-5<x<0. 综上可得不等式 f(x)>x 的解集为(-5,0)∪(5,+∞).

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第六章 不等式、推理与证明

一元二次不等式的实际应用(☆☆)

[典例2] 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面 有关销售的统计规律:每生产产品x(百台),其总成本为G(x)万 元,其中固定成本为 2万元,并且每生产 100台的生产成本为 1 万元(总成本=固定成本+生产成本),销售收入(万元)R(x)满足

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第六章 不等式、推理与证明

2 ? ?-0.4x +4.2x-0.8,0≤x≤5, R(x)=? ? ?10.2,x>5.

假定该产品销售平衡,那么根据上述统计规律: (1)要使工厂有盈利,产品数量 x 应控制在什么范围? (2) 工厂生产多少台产品时盈利最大?求此时每台产品的 售价为多少?

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第六章 不等式、推理与证明

解:依题意得 G(x)=x+2,设利润函数为 f(x), 则 f(x)=R(x)-G(x), 所以
2 ? ?-0.4x +3.2x-2.8,0≤x≤5, f(x)=? ? ?8.2-x,x>5.

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第六章 不等式、推理与证明

(1)要使工厂有盈利,则有 f(x)>0, 因为 f(x)>0
? ?0≤x≤5, ∴? 2 ? ?-0.4x +3.2x-2.8>0 ? ?0≤x≤5, ∴? 2 ? ?x -8x+7<0 ? ?x>5, 或? ? ?8.2-x>0.

或 5<x<8.2.

∴1<x≤5 或 5<x<8.2,∴1<x<8.2. 所以要使工厂盈利, 产品数量应控制在大于 100 台小于 820 台的范围内.

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第六章 不等式、推理与证明

(2)0≤x≤5 时,f(x)=-0.4(x-4)2+3.6, 故当 x=4 时,f(x)有最大值 3.6.而当 x>5 时,f(x)<8.2-5= 3.2 所以当工厂生产 400 台产品时,盈利最大, R?4? 此时, =2.4(万元/百台)=240(元/台). 4 即每台产品的售价为 240 元.

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第六章 不等式、推理与证明

解不等式应用题的一般步骤 (1)认真审题,把握问题中的关键量,找准不等式关系; (2)利用数学符号,用不等式表示不等关系;

(3)解不等式;
(4)回答实际问题.

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第六章 不等式、推理与证明

3.(2013·陕西高考改编)在如图所示的锐角三角形空地中,

欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分),则其
边长x(单位:m)的取值范围是________.

解析:[10,30]

矩形的一边长为 x m,则其邻边长为(40-

x)m,故矩形面积 S=x(40-x)=-x2+40x,由 S≥300 得-x2 +40x≥300,解得 10≤x≤30.故所求范围为[10,30] .

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第六章 不等式、推理与证明

不等式的恒成立问题(☆☆☆☆)

不等式的恒成立问题是高考中的常见题型,其主要考查方 式为已知不等式恒成立求参数的范围.从近几年的高考试题看 主要有以下几种题型: 题型一 已知f(x)≥0(≤0)在R上恒成立求参数的范围

[典例3] 若a∈R,且对一切实数x都有ax2+ax+a+3>0,那
么a的取值范围是( A.(0,+∞) C.(-∞,-4) ) B.[0,+∞) D.(-∞,-4]∪(0,+∞)

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第六章 不等式、推理与证明

解析:选 B ①当 a=0 时,不等式化为 3>0,满足题意; ②当 a≠0 时,需满足
? ?a>0, ? 2 ? Δ = a -4a?a+3?<0, ? ? ?a>0, 即? 2 ? ?a +4a>0,

解得 a>0.综上可知 a≥0.故选 B.

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第六章 不等式、推理与证明

题型二 已知 f(x)≥0(≤0)在区间[ a,b] 上恒成立,求参数 范围 [ 典例 4] (2015· 郑州调研)若不等式 x2+ax+1≥0 对一切 x
? 1? ∈?0,2?都成立,则 ? ?

a 的最小值是________.

5 1 解析: - 方法一: 由于 x>0, 则由已知可得 a≥-x- 在 2 x
? 1? x∈?0,2?上恒成立,而当 ? ? ? ? 1? 1? 5 x∈?0,2?时,?-x-x ?max=-2, ? ? ? ?

5 5 ∴a≥-2,故 a 的最小值为-2.

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第六章 不等式、推理与证明

a 方法二:设 f(x)=x +ax+1,则其对称轴为 x=-2.
2

? 1? a 1 ①若- ≥ ,即 a≤-1 时,f(x)在?0,2?上单调递减,此时 2 2 ? ?

应有

?1? 5 ? ? f 2 ≥0,从而- ≤a≤-1. 2 ? ? ? 1? a ②若- <0,即 a>0 时,f(x)在?0,2?上单调递增,此时应 2 ? ?

有 f(0)=1>0 恒成立,故 a>0.

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第六章 不等式、推理与证明

? a? a2 a2 a 1 ③若 0≤- < ,即-1<a≤0 时,则应有 f?-2?= - +1 2 2 4 2 ? ?

a2 =1- 4 ≥0 恒成立,故-1<a≤0. 5 5 综上可知 a≥-2,故 a 的最小值为-2.

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第六章 不等式、推理与证明

题型三 已知 f(x)≥0(≤0)当参数 m∈[ a,b] 时恒成立,求 x 的范围 [ 典例 5] (理)设奇函数 f(x)在[ -1,1] 上是单调函数,且 f(- 1)=-1.若函数 f(x)≤t2-2at+1 对所有的 x∈[ -1,1] 都成立, 则 当 a∈[ -1,1] 时,t 的取值范围是________.

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第六章 不等式、推理与证明

解析:(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞) ∵f(x)为奇函数,f(-1)=-1, ∴f(1)=-f(-1)=1. 又∵f(x)在[ -1,1] 上是单调函数, ∴-1≤f(x)≤1, ∴当 a∈[ -1,1] 时,t2-2at+1≥1 恒成立 , 即 t2-2at≥0 恒成立.

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第六章 不等式、推理与证明

令 g(a)=t2-2at,a∈[ -1,1] ,
2 ? ?t -2t≥0, ∴? 2 ? ?t +2t≥0,

解得 t≥2 或 t=0 或 t≤-2.

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第六章 不等式、推理与证明

(文)不等式 x2-3>ax-a 对一切 3≤x≤4 恒成立,则实数 a 的取值范围是________.
解析:(-∞,3) ∵x2-3>ax-a 对一切 3≤x≤4 恒成立, x2-3 ∴a< 在 x∈[3,4] 恒成立, x-1 x2-3 令 g(x)= ,x∈[3,4] ,即 a<g(x)min, x-1 x2-3 ?x-1?2+2?x-1?-2 2 而 g(x)= = =(x-1)- +2 x-1 x-1 x-1 在 x∈[3,4] 上单调递增, 故 g(x)在 x=3 时取得最小值 3,即 a<3.

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第六章 不等式、推理与证明

1.解决恒成立问题一般利用分离参数法,解题时一定要 搞清谁是自变量,谁是参数.一般地的结论是知道谁的范围,

谁就是变量,求谁的范围,谁就是参数.利用分离参数法时,
常用到函数单调性、基本不等式等. 2.对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的 二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方;恒小于0就是 相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x轴下方.若限 制在某个区间上恒成立,则先求出这个区间上的最值,再转化 为关于最值的不等式问题求解.

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第六章 不等式、推理与证明

思想方法系列之?十??理? 转化思想在解不等式恒成立问题中的应用 ?九??文?

[ 典例 ]

已知 a∈[ - 1,1] ,不等式 x2 + (a - 4)x + 4 - 2a > 0 恒 )

成立,则x的取值范围为(

A.(-∞,2)∪(3,+∞) B.(-∞,1)∪(2,+∞)

C.(-∞,1)∪(3,+∞)
D.(1,3)

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第六章 不等式、推理与证明

[思路点拨] 构造关于a的一次函数,并结合图象求解.
解析:选 C 把不等式的左端看成关于 a 的一次函数,记

f(a)=(x-2)a+(x2-4x+4),则有 f(a)>0 对于任意的 a∈[ -1, 1] 恒成立,故只需 f(-1)=x2-5x+6>0,且 f(1)=x2-3x+2> 0
2 ? ?x -5x+6>0 即可,由? 2 ? ?x -3x+2>0

解得 x<1 或 x>3.故选 C.

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第六章 不等式、推理与证明

[题后总结]

恒成立问题往往以函数、数列、三角函数、

解析几何为载体,具有一定的综合性.解决这类问题,主要是
运用等价转化的数学思想,常根据不等式的结构特征,恰当地 构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论.

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第六章 不等式、推理与证明

[针对训练]
________.

已知函数 f(x) =在 ( - ∞ , 1] 上有意义, a 的取值范围为
?3 ? 解析:?4,+∞? ? ?

函数 f(x)在(-∞,1]上有意义,等价于

1+2x+4xa≥0 在区间(-∞,1]上恒成立, 即 记
??1? ?1? ? x a≥-??4? +?2?x?,x∈(-∞,1]恒成立, ?? ? ? ?? ??1? ?1? ? x g(x)=-??4? +?2?x?,x∈(-∞,1], ?? ? ? ??

g(x)在(-∞,1]上单调递增, 因此 g(x)的最大值为 g(1).

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第六章 不等式、推理与证明

所以 a≥g(x),x∈(-∞,1]恒成立, 3 等价于 a≥g(x)max=g(1)=- . 4 3 于是 a 的取值范围为 a≥- . 4

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第六章 不等式、推理与证明

课时跟踪检测(三十五) 课时跟踪检测(三十四)

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高考数学第六章 不等式、推理与证明
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第六章 不等式推理与证明1
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