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【高优指导】2017版高考数学一轮复习 滚动测试卷一 文 北师大版


滚动测试卷一(第一~三章)
(时间:120 分钟 满分:150 分) 滚动测试卷第 1 页 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 2 1.(2015 河北保定月考)设集合 A={x|x +x-6≤0},集合 B 为函数 y=的定义域,则 A∩B=( )

A.(1,2) B.[1,2] C.[1,2) D.(1,2] 答案

:D 解析:A={x|-3≤x≤2},B={x|x>1}, ∴A∩B={x|1<x≤2},∴选 D. 2.(2015 广西桂林模拟)已知集合 A={x|x>5},集合 B={x|x>a},若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充 分不必要条件,则实数 a 的取值范围是( ) A.(-∞,5) B.(-∞,5] C.(5,+∞) D.[5,+∞) 答案:A 解析:由题意可知,A? B,又 A={x|x>5},B={x|x>a},如图所示,由图可知,a<5.故应选 A.

3.若幂函数的图像经过点(3,),则该函数的解析式为( ) 3 -1 A.y=x B.y= C.y= D.y=x 答案:B α α 解析:设幂函数为 y=x ,则=3 , ∴α =,y=.故选 B. 4.(2015 河南信阳模拟)下列函数中,既是奇函数,又在(0,+∞)上递增的是( ) 2 3 |x| A.y=sin x B.y=-x + C.y=x +3x D.y=e 答案:C 解析:选项 A,C 中函数为奇函数,又函数 y=sin x 在(0,+∞)上不是单调函数,故选 C. 5.(2015 南昌模拟)下列说法正确的是( ) 2 2 A.命题“存在 x∈R,x +x+2 015>0”的否定是“任意 x∈R,x +x+2 015<0” B.两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件 C.命题“函数 f(x)=在其定义域上是减函数”是真命题 D.给定命题 p,q,若“p 且 q”是真命题,则p 是假命题 答案:D 2 2 解析:对于 A,命题“存在 x∈R,x +x+2 015>0”的否定是“任意 x∈R,x +x+2 015≤0”,因此选项 A 不正确;对于 B,由两个三角形的面积相等不能得知这两个三角形全等,因此选项 B 不正确;对于 C, 注意到函数 f(x)=在其定义域上不是减函数,因此选项 C 不正确;对于 D,由“p 且 q”是真命题得 p 为真命题,故p 是假命题,因此选项 D 正确. 2 6.若函数 y=x -3x-4 的定义域为[0,m],值域为,则 m 的取值范围是( ) A.(0,4] B. C. D. 答案:C 2 解析:y=x -3x-4=.当 x=0 或 x=3 时,y=-4,所以≤m≤3. 7.(2015 西安模拟)已知函数 f(x)=若 f(f(0))=4a,则实数 a=( ) A. B. C.2 D.9 答案:C 0 解析:f(0)=2 +1=2,f(f(0))=f(2)=4+2a=4a,解得 a=2. sin x 8.函数 y=e (-π ≤x≤π )的大致图像为( )

答案:D 1

解析:取 x=-π ,0,π 这三个值,可得 y 总是 1,故排除 A,C; x sin x 当 0<x<时,y=sin x 是增函数,y=e 也是增函数,故 y=e 也是增函数,故选 D. 9.(2015 河北衡水模拟)已知“命题 p:存在 x0∈R,使得 a+2x0+1<0 成立”为真命题,则实数 a 满足 ( ) A.[0,1) B.(-∞,1) C.[1,+∞) D.(-∞,1] 答案:B 解析:(方法一)当 a=0 时,2x+1<0,可得 x<-, 此时存在 x0 使 a+2x0+1<0 成立; 当 a≠0 时,因为存在 x0∈R,a+2x0+1<0 成立, 所以 4-4a>0,即 a<1 且 a≠0. 综上所述,a<1.故应选 B. 2 (方法二)命题 p 的否定是“任意 x∈R,ax +2x+1≥0”. 当 a=0 时,显然命题为假;a≠0 时,命题p 为真的充要条件是 a>0 且 Δ =4-4a≤0,即 a≥1. 故p 为真时,a 的取值范围是 A=[1,+∞),p 为真时,a 的取值范围是?RA=(-∞,1).故应选 B. 3 2 10.(2015 山东师大附中模拟)方程 x -6x +9x-10=0 的实根个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 答案:C 3 2 2 解析:设 f(x)=x -6x +9x-10,f'(x)=3x -12x+9=3(x-1)(x-3),由此可知函数的极大值为 f(1)=-6<0, 3 2 极小值为 f(3)=-10<0,所以方程 x -6x +9x-10=0 的实根个数为 1. 11.(2015 长春模拟)已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x>0 时,不等式 f(x)+x·f'(x)<0 0.2 0.2 成立,若 a=3 ·f(3 ),b=(logπ 2)·f(logπ 2),c=·f,则 a,b,c 间的大小关系为( ) A.c>b>a B.c>a>b C.b>a>c D.a>c>b 答案:A 解析:由题意知,设 F(x)=xf(x),当 x>0 时,F'(x)=[xf(x)]'=f(x)+xf'(x)<0,即函数 F(x)在(0,+∞) 上递减,又 y=f(x)在 R 上是偶函数,则 F(x)在 R 上是奇函数,从而 F(x)在 R 上递减,又 0.2 0.2 0.2 3 >1,0<logπ 2<1,log2<0,即 3 >logπ 2>log2,所以 F(3 )<F(logπ 2)<F,即 a<b<c. 12.(2015 山西忻州模拟)设函数 f(x)=log3-a 在(1,2)内有零点,则实数 a 的取值范围是( ) A.(0,log32) B.(log32,1) C.(-1,-log32) D.(1,log34) 答案:B 解析:f(x)=log3-a=log3-a,则函数 f(x)在(1,2)上是减函数,从而解得 log32<a<1. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知曲线 f(x)=ln x 在点(x0,f(x0))处的切线经过点(0,1),则 x0 的值为 . 2 答案:e 解析:函数的导数为 f'(x)=,所以切线斜率为 k=f'(x0)=, 所以切线方程为 y-ln x0=(x-x0),因为切线过点(0,1), 2 所以代入切线方程得 ln x0=2,解得 x0=e . 14.(2015 山东淄博模拟)已知函数 f(x)为奇函数,当 x>0 时,f(x)=log2x,则满足不等式 f(x)>0 的 x 的取值范围是 . 答案:(-1,0)∪(1,+∞) 解析:由 log2x>0 得 x>1,由 log2x<0 得 0<x<1, 又函数 f(x)为奇函数,则 f(x)>0 的解集为(-1,0)∪(1,+∞). 3 2 15.若函数 f(x)=x -x +ax+4 恰在[-1,4]上递减,则实数 a 的值为 . 答案:-4 3 2 解析:∵f(x)=x -x +ax+4, ∴f'(x)=x2-3x+a. 又函数 f(x)恰在[-1,4]上递减, ∴-1,4 是 f'(x)=0 的两根, ∴a=-1×4=-4. 2 16.(2015 哈尔滨模拟)已知函数 f(x)=x +,g(x)=-m.若任意 x1∈[1,2],存在 x2∈[-1,1]使 f(x1)≥g(x2),则实数 m 的取值范围是 . 答案: 2

解析:任意 x1∈[1,2],存在 x2∈[-1,1],使 f(x1)≥g(x2), 2 只需 f(x)=x +在[1,2]上的最小值大于等于 g(x)=-m 在[-1,1]上的最小值, 因为 f'(x)=2x-≥0 在[1,2]上成立,且 f'(1)=0, 2 所以 f(x)=x +在[1,2]上递增, 2 所以 f(x)min=f(1)=1 +=3. 因为 g(x)=-m 是减函数, 所以 g(x)min=g(1)=-m, 所以-m≤3,即 m≥-. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分)设函数 f(x)=log3(9x)·log3(3x),≤x≤9. (1)若 m=log3x,求 m 的取值范围; (2)求 f(x)的最值,并给出取最值时对应的 x 的值. 解:(1)因为≤x≤9,m=log3x 为增函数, 所以-2≤log3x≤2,即 m 的取值范围是[-2,2]. (2)由 m=log3x 得:f(x)=log3(9x)·log3(3x) =(2+log3x)·(1+log3x) =(2+m)·(1+m)=, 又因为-2≤m≤2, 所以当 m=log3x=-, 即 x=时,f(x)取得最小值-, 当 m=log3x=2,即 x=9 时,f(x)取得最大值 12. 18.(12 分)(2015 广东湛江模拟)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x,恒有 f(x+2)=f(x).当 x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式; (3)求 f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 015)的值. 解:(1)因为 f(x+2)=-f(x), 所以 f(x+4)=-f(x+2)=f(x). 所以 f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)当 x∈[-2,0]时,-x∈[0,2]. 2 2 由已知得 f(-x)=2(-x)-(-x) =-2x-x , 又 f(x)是奇函数, 2 所以 f(-x)=-f(x)=-2x-x , 2 所以 f(x)=x +2x. 又当 x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0], 2 所以 f(x-4)=(x-4) +2(x-4). 又 f(x)是周期为 4 的周期函数, 2 2 2 所以 f(x)=f(x-4)=(x-4) +2(x-4)=x -6x+8.从而求得当 x∈[2,4]时,f(x)=x -6x+8. (3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1. 又 f(x)是周期为 4 的周期函数, 所以 f(0)+f(1)+f(2)+f(3) =f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=? =f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011) =f(2 012)+f(2 013)+f(2 014)+f(2 015)=0. 所以 f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 015)=0. 19.(12 分)(2015 重庆模拟)

3

如图,在半径为 30 cm 的圆形(O 为圆心)铝皮上截取一块矩形材料 OABC,其中点 B 在圆弧上,点 A,C 在两半径上,现将此矩形铝皮 OABC 卷成一个以 AB 为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损 3 耗),设矩形的边长 AB=x cm,圆柱的体积为 V cm . (1)写出体积 V 关于 x 的函数解析式; (2)当 x 为何值时,才能使做出的圆柱形罐子的体积 V 最大? 解:(1)连接 OB,因为 AB=x cm, 所以 OA= cm. 2 2 2 2 设圆柱的底面半径为 r cm,则=2π r,即 4π r =900-x ,所以 V=π r x=π ··x=,其中 0<x<30.

(2)由(1)知 V=(0<x<30), 则 V'=. 由 V'==0,得 x=10, 因此,V=在(0,10)上是增函数, 在(10,30)上是减函数. 所以当 x=10 时,V 有最大值. 2 20.(12 分)已知函数 f(x)=lo(x -2ax+3). (1)若 f(x)的定义域为 R,求 a 的取值范围. (2)若 f(-1)=-3,求 f(x)的单调区间. (3)是否存在实数 a,使 f(x)在(-∞,2)上为增函数?若存在,求出 a 的范围;若不存在,说明理由. 解:(1)因为 f(x)的定义域为 R, 2 所以 x -2ax+3>0 对 x∈R 恒成立, 2 因此必有 Δ <0,即 4a -12<0.解得-<a<. 故 a 的取值范围是(-). (2)由 f(-1)=-3 得 lo(4+2a)=-3. 所以 4+2a=8,所以 a=2. 2 此时 f(x)=lo(x -4x+3), 2 由 x -4x+3>0 得 x>3 或 x<1, 故函数定义域为(-∞,1)∪(3,+∞). 2 令 g(x)=x -4x+3. 则 g(x)在(-∞,1)上递减,在(3,+∞)上递增,又 y=lox 在(0,+∞)上递减, 所以 f(x)的递增区间是(-∞,1),递减区间是(3,+∞). (3)不存在实数 a,使 f(x)在(-∞,2)上为增函数,理由如下: 2 令 g(x)=x -2ax+3,要使 f(x)在(-∞,2)上为增函数,应使 g(x)在(-∞,2)上递减,且恒大于 0. 因此 a 无解. 所以不存在实数 a,使 f(x)在(-∞,2)上为增函数. 3 2 21.(12 分)已知函数 f(x)=-x +ax -4(a∈R). (1)若函数 y=f(x)的图像在点 P(1,f(1))处的切线的倾斜角为,求 f(x)在[-1,1]上的最小值; (2)若存在 x0∈(0,+∞),使 f(x0)>0,求 a 的取值范围. 2 解:(1)f'(x)=-3x +2ax. 根据题意得 f'(1)=tan=1,故-3+2a=1,即 a=2. 3 2 因此,f(x)=-x +2x -4, 2 则 f'(x)=-3x +4x.令 f'(x)=0,得 x1=0,x2=. ((0, x 1, 0 1 1 1) 0)

f' - 0+ (x
4

)

f( - ↘ ↗ x) 1 4 3
故当 x∈[-1,1]时,f(x)的最小值为 f(0)=-4. (2)f'(x)=-3x. ①若 a≤0,则当 x>0 时,f'(x)<0,则 f(x)在(0,+∞)上递减. 又 f(0)=-4,则当 x>0 时,f(x)<-4. 因此当 a≤0 时,不存在 x0>0,使 f(x0)>0. ②若 a>0,则当 0<x<时,f'(x)>0; 当 x>时,f'(x)<0. 从而 f(x)在上递增,在上递减. 3 故当 x∈(0,+∞)时,f(x)max=f=--4=-4.根据题意得-4>0,即 a >27,故 a>3. 综上可知,a 的取值范围是(3,+∞). 22.(12 分)(2015 贵阳模拟)已知函数 f(x)=,其中 a∈R. (1)若 a=0,求函数 f(x)的定义域和极值. (2)当 a=1 时,试确定函数 g(x)=f(x)-1 的零点个数,并证明. 解:(1)函数 f(x)=的定义域为{x|x∈R,且 x≠-1}, f'(x)=. 令 f'(x)=0,得 x=0. 当 x 变化时,f'(x)和 f(x)的变化情况如下: (- (x ∞, 1,0 0 -1) ) f' (x - - 0 ) 极 值 (0,+ ∞)

+

f( 递 递 小 递增 x) 减 减
所以 f(x)的减区间为(-∞,-1),(-1,0);增区间为(0,+∞). 故当 x=0 时,函数 f(x)有极小值 f(0)=1. (2)函数 g(x)存在两个零点.证明过程如下: 由题意,函数 g(x)=-1, 2 因为 x +x+1=>0,所以函数 g(x)的定义域为 R. 求导,得 g'(x)=, 令 g'(x)=0,得 x1=0,x2=1,当 x 变化时,g(x)和 g'(x)的变化情况如下: ((0, (1,+ x ∞, 0 1 1) ∞) 0) g'( + 0 - 0 + x) 极 极 g(x ↗ 大 ↘ 小 ↗ ) 值 值 故函数 g(x)的减区间为(0,1);增区间为(-∞,0),(1,+∞). 当 x=0 时,函数 g(x)有极大值 g(0)=0; 5

当 x=1 时,函数 g(x)有极小值 g(1)=-1. 因为函数 g(x)在(-∞,0)上递增,且 g(0)=0,所以对于任意 x∈(-∞,0),g(x)≠0. 因为函数 g(x)在(0,1)上递减,且 g(0)=0,所以对于任意 x∈(0,1),g(x)≠0. 因为函数 g(x)在(1,+∞)上递增,且 g(1)=-1<0,g(2)=-1>0, 所以函数 g(x)在(1,+∞)上存在唯一 x0,使得 g(x0)=0, 故函数 g(x)存在两个零点(即 0 和 x0).

6


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