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导数单元测试题(含答案)


导数单元测试题(实验班用)
一、选择题 1.曲线 y ? ? x ? 3 x 在点 (1, 2 ) 处的切线方程为(
3 2

) D. y ? 2 x

A. y ? 3 x ? 1

B. y ? ? 3 x ? 5

C. y ? 3 x ? 5 ).

2.函数 f ( x) ? x 2 ? e x ?1 , x ? ?? 2,1? 的最大值为( A. 4e ?1
3

B. 0

C. e 2

D. 3e 2 )

3.若函数 f ( x ) = x - 3 x + a 有 3 个不同的零点,则实数 a 的取值范围是( A. (- 2, 2 )
3

B. [- 2, 2 ]

C. (- ? ,

1)

D. (1, +

)

4.若函数 f ( x ) = x - 6 b x + 3 b 在 (0 ,1) 内有极小值,则实数 b 的取值范围是( A. (0 , )
2 1



B. (1 3

,1)
3 2

C. (0 , +

)

D. (0 ,1) )

5.若 a ? 2 ,则函数 f ( x ) = A. 0 个零点
x

x - a x + 1 在区间 ( 0 , 2 ) 上恰好有(

B. 3 个零点
2

C. 2 个零点

D. 1 个零点 )

6.曲线 y ? e 在点 ( 2, e ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(
9 4

A.

e

2

B. 2 e

2

C. e

2

D.

e

2

2

7.函数 f ( x ) 的图象如图所示,下列数值排序正确的是( A. 0 ? f ? ( 2 ) ? f ? (3) ? B. 0 ? f ? (3) ?
f (3) ? f ( 2 ) 3?2 ? f ?( 2 )

).

f (3) ? f ( 2 ) 3?2

C. 0 ? f ? (3) ? f ? ( 2 ) ? ? D. 0 ?
f (3) ? f ( 2 ) 3?2

f (3) ? f ( 2 ) 3?2

? f ? ( 2 ) ? f ? (3)
' '

8 设 f ( x ), g ( x ) 分别是 R 上的奇函数和偶函数, 当 x < 0 时, f ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ( x ) > 0 ,

且 g (- 3) = 0 ,则不等式 f ( x ) g ( x ) < 0 解集是(
A. (- 3, 0 ) ? (3, C. (- ? ,
3) ? (3, ) )

)
(0 , 3) 3) (0, 3)

B. (- 3, 0 ) D. (- ? ,

9.已知函数 f ( x ) ? ln a ? ln x 在 [1, +
x

) 上为减函数,则实数 a 的取值范围是(
C. a ? e D. 0 ? a ? 1
e

)

A. a ? e

B. 0 < a

e

10.若函数 f ( x ) 的导数是 f ? ( x ) ? ? x ( x ? 1) ,则函数 g ( x ) ? f ( ? x ? 1) 的单调减区间是 ( ) B. ( ? ? , ? 1), (0, ? ? ) C. ( ? 2, ? 1) D. ( ? ? , ? 2 ), ( ? 1, ? ? )

A. ( ? 1, 0 )

11.已知二次函数 f ( x ) ? a x ? b x ? c 的导数为 f '( x ) , f '(0 ) ? 0 ,对于任意实数 x 都
2

有 f ( x ) ? 0 ,则

f (1) f '( 0 )

的最小值为(
5 2


3 2

A. 3

B.

C. 2

D.

2 12.已知函数 f ( x ) ? ln x ? a x ? 2 x 存在单调递减区间,则 a 的取值范围是(

2



(A) [ ? 1, ? ? ) 二、填空题

(B) ( ? 1, ? ? )

(C) ( ? ? , ? 1)

(D) ( ? ? , ? 1]

13.若函数 f ( x ) ? 2 x ? ln x 在其定义域内的一个子区间 ( k ? 1, k ? 1) 内不是单调函数,
2

则实数 k 的取值范围是 14.点 P 在曲线 y ? x ? x ?
3

.
2 3

上移动,设在点 P 处的切线的倾斜角为为 ? ,则 ? 的取

值范围是

15.已知函数 f ( x ) ? x ? 1 2 x ? 8 在区间 [ ? 3, 3] 上的最大值与最小值分别为 M , m ,则
3

M ? m ? _________

16.已知函数 f ? x ? 的定义域为 ? ? 1 , 5 ? ,部分对应值如下表, f ? x ? 的导函数 y ? f ? ? x ? 的图象如图所示. 下列关于 f ? x ? 的命题: ①函数 f ? x ? 的极大值点为 0 , 4 ; ②函数 f ? x ? 在 ? 0 , 2 ? 上是减函数;
f
x

-1 1

0 2

4 2

5 1

?x?

③如果当 x ? ? ? 1 ,t ? 时, f ? x ? 的最大值是 2,那么 t 的最大值为 4; ④当 1 ? a ? 2 时,函数 y ? f ? x ? ? a 有 4 个零点; ⑤函数 y ? f ? x ? ? a 的零点个数可能为 0,1,2,3,4 个. 其中正确命题的序号是 三、解答题 17 . 已 知 函 数 f ( x ) ? ax ? bx
3 2



? cx ( a ? 0 ) , 当 x ? ? 1 时 f ( x ) 取 得 极 值 5 , 且

f (1) ? ? 11 .

(1)求 f ( x ) 的单调区间和极小值; (2)证明对任意 x 1 , x 2 ? ( ? 3 , 3 ) ,不等式 | f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) |? 32 恒成立.

18.已知函数 f ( x ) ? ax

2

? 2 ln( x ? 1) ,其中 a 为实数.

(1)若 f ( x ) 在 x ? 1 处有极值,求 a 的值;
3 (2) 若 f ( x ) 在 [ 2,] 上是增函数,求 a 的取值范围.

19.已知函数 f ( x ) ? x ? a x ? a ln ( x ? 1) ( a ? R ) .
2

(1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的最值; (2)求函数 f ( x ) 的单调区间.

20.某食品厂进行蘑菇的深加工,每公斤蘑菇的成本 20 元,并且每公斤蘑菇的加工费为
t 元( t 为常数,且 2 ≤ t ≤ 5) ,设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为 x 元( 25 ≤ x ≤ 40 ) ,

根据市场调查,日销售量 q 与 e 成反比,当每公斤蘑菇的出厂价为 3 0 元时,日销售量为
x

1 0 0 公斤.

(1)求该工厂的每日利润 y 元与每公斤蘑菇的出厂价 x 元的函数关系式; (2)若 t ? 5 ,当每公斤蘑菇的出厂价 x 为多少元时,该工厂的利润 y 最大,求最大值.

21.已知函数 f ( x ) ? 1 ? ln x .
x

(1)若函数在区间 ( a , a ? 1 ) ( a ? 0 ) 上存在极值,求实数 a 的取值范 围;
2

(2)如果当 x ≥ 1 时,不等式 f ( x ) ≥

k 恒成立,求实数 k 的取值范围. x ?1

22.设函数 f ( x ) ? (1 ? x ) ? 2 ln (1 ? x ).
2

(1)求函数 f ( x ) 的单调区间;
轾 1 犏 e 臌

(2)当 x ? 犏

1, e - 1 时 , 不 等 式 f ( x ) ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围;

(3)若关于 x 的方程 f ( x ) ? x ? x ? a 在 [0 , 2 ]上恰有两个相异实根,求实数 a 的取值
2

范围.

导数单元测试题答案
一、选择题
ACAAD DBDAA CB
3 2

二、填空题 13. 1 ? k 三、解答题

0 14. 觋,

轹 p 轹 鼢 3 p,p ? 鼢 鼢 4 觋 2? 腚

15. 3 2

16. ①②⑤

2 17.解: (1) f ? ( x ) ? 3 a x ? 2 b x ? c ( a ? 0 ),

? f (1) ? ? 1 1 ? 由题意得 ? f ( ? 1) ? 5 ? f ? ( ? 1) ? 0 ?
3 2

?a ? b ? c ? ?11 ? a ? 1, ? ? ,即 ? ? a ? b ? c ? 5 ,解得 ? b ? ? 3, ?3a ? 2b ? c ? 0 ?c ? ?9. ? ?

因此 f ( x ) ? x ? 3 x ? 9 x ,
2 f ? ( x ) ? 3 x ? 6 x ? 9 ? 3( x ? 1)( x ? 3) .

当 x ? ( ?? , ? 1) ? ( 3 , ?? ) 时, f '( x ) ? 0 ;当 x ? ( ? 1, 3 ) 时, f '( x ) ? 0 . 所以函数 f ( x ) 的单调增区间为 ( ?? , ? 1) 和 ( 3 , ?? ) ;单调减区间为 ( ? 1, 3 ) . 故函数 f ( x ) 在 x ? 3 处取得极小值, f ( x ) 极 小 值 ? f (3) ? ? 2 7
3 2



(2)由(Ⅰ)知 f ( x ) ? x ? 3 x ? 9 x 在 ( ? 3 , ? 1) 上递增,在 ( ? 1, 3 ) 上递减, 所以 f ( x ) m ax ? f ( ? 1) ? 5 ; f ( x ) m in ? f ( ? 3) ? ? 2 7 . 所以,对任意 x 1 , x 2 ? ( ? 3 , 3 ) 恒有 | f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |? | 5 ? ( ? 2 7 ) | ? 3 2 .
? 18.解: (1)由已知得 f ( x ) 的定义域为 ( ? 1, ? ) .

又 f ?( x ) ? 2 a x ?

2 , 因为 f ( x ) 在 x ? 1 处有极值, x ?1

? f ? (1) ? 2 a ? 1 ? 0 ,解之得 a ? ? 1 . 2
3] (2)依题意得 f ? ( x ) ≥ 0 对 ? x ? [ 2, 恒成立,

即 ?ax ?
?a ? 1

2 ≥ 0 对 ? x ? [ 2, 恒成立. 3] x ?1
? 1 对 ? x ? [ 2, 恒成立. 3] 2 ?(x ? 1 ) ? 1 2 4
? [ ? 1 2, ? 6 ],

?x ? x
2

2 ? x ? [ 2, , ? ? ( x ? 1 ) ? 1 3] 2 4

? ? (x ?

1 1 2 ) ?
2

1 4

? [ ? 1 , ? 1 ], ? a ≥ ? 1 . 6 12 12

19.解: (1)函数 f ( x ) ? x ? a x ? a ln ( x ? 1) ( a ? R ) 的定义域是 (1, ? ? ) .
2

当 a ? 1 时, f ? ( x ) ? 2 x ? 1 ? 1 ? x ?1
2 2

2 x(x ? 3 ) 2 , x ?1

所以 f ( x ) 在 (1, 3 ) 为减函数在 ( 3 , ? ? ) 为增函数, 所以函数 f ( x ) 的最小值为 f ( 3 ) ? 3 ? ln 2 .
2 4
2 x(x ? a ? 2 ) 2 , x ?1 2 x(x ? a ? 2 ) 2 >0 在 (1, ? ? ) 恒成立, x ?1

(2) f ? ( x ) ? 2 x ? a ? a ? x ?1

①若 a ≤ 0 时,则 a ? 2 ≤ 1, f ( x ) ? 2 所以 f ( x ) 的增区间为 (1, ? ? ) .

a ②若 a ? 0 , 则 a ? 2 ? 1 ,故当 x ? (1, ? 2 ) , f ? ( x ) ? 2 2

2 x(x ? a ? 2 ) 2 ≤ 0 ; x ?1

当 x ? [ a ? 2 , ? ? ) 时, f ( x ) ? 2

2 x(x ? a ? 2 ) 2 ≥ 0 . x ?1

所以当 a

? 0

时,

f ( x ) 的减区间为 (1,

a ? 2) 2



f ( x ) 的增区间为 (

a ? 2 , ?? ) 2

.

30 20.解: (1)设日销量 q ? kx , 则 k 0 ? 1 0 0 ,? k ? 1 0 0 e , ………………2 分 3

e

e

所以日销量 q ? 1 0 0 xe
e

30



? y ?

100e

30

( x ? 20 ? t) e
x

(25 ≤ x ≤ 40) .

………………7 分

(2)当 t ? 5 时, y ?

100e

30

( x ? 25)
x



………………8 分

e 100e
30

? y? ?

(26 ? x)
x



………………9 分

e

由 y ? ≥ 0 得 x ≤ 2 6 ,由 y ? ≤ 0 得 x ≥ 2 6 , ? y 在 [ 2 5, 6 ]上 单 调 递 增 , 在 [ 2 6, 0 ]上 单 调 递 减 . 2 4
? 当 x ? 2 6时 , y m ax ? 1 0 0 e .
4

………………11 分
4

当每公斤蘑菇的出厂价为 26 元时,该工厂的利润最大,最大值为 1 0 0 e 元.……12 分 21.解: (Ⅰ)因为
f ( x ) ? 1 ? ln x , x >0,则 f ? ( x ) ? ? ln 2x , x x

当 0 ? x ? 1 时, f ? ( x ) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ? ( x ) ? 0 . 所以 f ( x ) 在(0,1)上单调递增;在 (1, ? ? ) 上单调递减, 所以函数 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极大值. 因为函数 f ( x ) 在区间 ( a , a ? 1 ) (其中 a ? 0 )上存在极值,
2

? a ? 1, ? 所以 ? 1 ? a ? 2 ? 1, ?

解得 1 ? a ? 1 .
2
( x ? 1)(1 ? ln x ) k , 即为 x ?1 x

(Ⅱ)不等式 f ( x ) ≥ 记 g (x) ? 所以 g ? ( x ) ?

≥ k,

( x ? 1)(1 ? ln x ) x

, 则 k ≤ g ( x ) m in , x ≥ 1 .

[( x ? 1)(1 ? ln x )]? x ? ( x ? 1)(1 ? ln x ) x
2

? x ? ln x . 2 x

令 h ( x ) ? x ? ln x ,则 h ? ( x ) ? 1 ? 1 ,
x

? x ≥ 1 ,? h ? ( x ) ≥ 0, ? h ( x ) 在 ?1 , ? ? ) 上单调递增,

[

? h ( x ) m in ? h (1) ? 1 ? 0 ,从而 h ( x ) ≥ h (1) ? 0



所以 g ? ( x ) ? 0 ,故 g ( x ) 在 ?1 , ? ? ) 上也单调递增, 所以 g ( x ) m in ? g (1) ? 2 . 所以 k
≤ 2



22.解: (2)函数的定义域为 ( ? 1, ? ? ).


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