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2012高三一模理科分类;导数


2012 北京市高三一模数学理分类汇编 2:导数.
【2012 北京市海淀区一模理】 (12)设某商品的需求函数为 Q = 1 0 0 - 5 P ,其中 Q , P 分别表
EQ EP
EQ EP Q ' Q

示需求量和价格,如果商品需求弹性

大于 1(其中

= -

P , Q ' 是 Q 的导数) ,则

商品价格 P 的取值范围是 【答案】 (1 0 , 2 0 )

.

【2012 北京市门头沟区一模理】10.曲线 y ? x 与直线 x ? 1 及 x 轴所围成的图形的面积
3

为 【答案】
1 4



【2012 北京市门头沟区一模理】18.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? ln x ? a x ? (Ⅰ)当 0 ? a ?
1 2 1? a x ?1 .

时,讨论函数 f ( x ) 的单调性;
2

( Ⅱ ) 设 g ( x ) ? x ? 2 b x? 4, 当 a ?

1 4

时 , 若 对 任 意 x1 ? ( 0 , 2 ) , 当 x 2 ? [ 1 , 2 ] , 时

f ( x 1 ) ? g ( x 2 ) 恒成立,求实数 b 的取值范围.

【答案】解: (Ⅰ) f ( x ) ?
/

1 x

? a ?

1? a x
2

?

? a x ? x ? (1 ? a )
2

x
(x ? 0)

2

……………2 分

? ?
/

[ a x ? (1 ? a )]( x ? 1) x
2

令 f (x) ? 0 得 x1 ? 当a ?
1? a a 1 2 , x2 ? 1

……………3 分 ………4 分

时, f ? ( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 在 ( 0 , ? ? ) 上单减
1 2

当0 ? a ?

时,

1? a a

?1,

在 ( 0 ,1) 和 ( 在 (1,
1? a a

1? a a

, ? ? ) 上,有 f ? ( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 单减,
f ? ( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 单增

) 上,

……………6 分

-1-

(Ⅱ)当 a ?

1 4

时,

1? a a

? 3 , f ( x ) ? ln x ?

1 4

x?

3 4x

?1

由(Ⅰ)知,函数 f ( x ) 在 ( 0 ,1) 上是单减,在 (1, 2 ) 上单增 所以函数 f ( x ) 在 ( 0 , 2 ) 的最小值为 f (1) ? ?
1 2

…………………8 分

若对任意 x 1 ? ( 0 , 2 ) ,当 x 2 ? [1, 2 ] 时, f ( x 1 ) ? g ( x 2 ) 恒成立, 只需当 x ? [1, 2 ] 时, g m a x ( x ) ? ?
1 2

即可

1 ? g (1) ? ? ? ? 2 所以 ? ,…………………11 分 ? g (2) ? ? 1 ? ? 2

代入解得

b ?

11 4

所以实数 b 的取值范围是 [

11 4

, ?? ) .

…………………13 分

【2012 北京市朝阳区一模理】18. (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x ) ?
e
2 ax

x ?1

,a ? R .

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x ) 在点 ( 0 , f ( 0 )) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 单调区间. 【答案】解:因为 f ( x ) ?
e
2 ax

x ?1
e
2 x

, 所以 f ? ( x ) ?

e

ax

(ax ? 2 x ? a )
2

( x ? 1)
2 2

2

.

(Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x ) ?

x ?1

, f ?( x ) ?

e ( x ? 2 x ? 1)
x

( x ? 1)
2

2

,

所以 f ( 0 ) ? 1,

f ?( 0 ) ? 1 .

所以曲线 y ? f ( x ) 在点 ( 0 , f ( 0 )) 处的切线方程为 x ? y ? 1 ? 0 .
e
ax

……………4 分

(Ⅱ)因为 f ? ( x ) ?

(ax ? 2 x ? a )
2

( x ? 1)
2

2

?

e
2

ax 2

( x ? 1)

(ax ? 2 x ? a ) ,
2

……………5 分

(1)当 a ? 0 时,由 f ? ( x ) ? 0 得 x ? 0 ;由 f ? ( x ) ? 0 得 x ? 0 . 所以函数 f ( x ) 在区间 ( ? ? , 0 ) 单调递增, 在区间 ( 0 , ? ? ) 单调递减. ……………6 分 (2)当 a ? 0 时, 设 g ( x ) ? a x ? 2 x ? a ,方程 g ( x ) ? a x ? 2 x ? a ? 0 的判别式
2 2

-2-

? ? 4 ? 4a

2

? 4 (1 ? a )(1 ? a ),

……………7 分

①当 0 ? a ? 1 时,此时 ? ? 0 . 由 f ?( x ) ? 0 得 x ?
1? 1? a a 1? 1? a a
2 2

,或 x ?

1?

1? a a

2



由 f ?( x ) ? 0 得

? x ?

1?

1? a a

2

.

所以函数 f ( x ) 单调递增区间是 ( ? ? ,

1?

1? a a

2

) 和(

1?

1? a a

2

, ?? ) ,

单调递减区间 (

1?

1? a a

2

,

1?

1? a a

2

).

……………9 分

②当 a ? 1 时,此时 ? ? 0 .所以 f ? ( x ) ? 0 , 所以函数 f ( x ) 单调递增区间是 ( ? ? , ? ? ) . ③当 ? 1 ? a ? 0 时,此时 ? ? 0 . 由 f ?( x ) ? 0 得
1? 1? a a 1? 1? a a
2 2

……………10 分

? x ?

1?

1? a a 1?

2



由 f ?( x ) ? 0 得 x ?

,或 x ?

1? a a

2

.

所以当 ? 1 ? a ? 0 时,函数 f ( x ) 单调递减区间是 ( ? ? ,

1?

1? a a

2

) 和(

1?

1? a a

2

, ?? ) ,

单调递增区间 (

1?

1? a a

2

,

1?

1? a a

2

).

……………12 分

④当 a ? ? 1 时, 此时 ? ? 0 , f ? ( x ) ? 0 ,所以函数 f ( x ) 单调递减区间是 ( ? ? , ? ? ) . 【2012 北京市东城区一模理】(18)(本小题共 14 分) 已知函数 f ( x ) ?
1 2 x ? 2 e x ? 3 e ln x ? b 在 ( x 0 , 0 ) 处的切线斜率为零.
2 2

(Ⅰ)求 x 0 和 b 的值; (Ⅱ)求证:在定义域内 f ( x ) ≥ 0 恒成立; (Ⅲ) 若函数 F ( x ) ? f ?( x ) ?
a x

有最小值 m ,且 m ? 2 e ,求实数 a 的取值范围.

-3-

【答案】 (Ⅰ)解: f ? ( x ) ? x ? 2 e ?

3e x

2

.

…………2 分

由题意有 f ? ( x 0 ) ? 0 即 x 0 ? 2 e ? 得 f (e) ? 0 即
1 2
2 2 2

3e

2

x0

.…4 分 ? 0 ,解得 x 0 ? e 或 x 0 ? ? 3 e (舍去)
1 2 e .
2

e ? 2 e ? 3 e ln e ? b ? 0 ,解得 b ? ?
2

…………5 分

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知 f ( x ) ?

1 2

x ? 2 e x ? 3 e ln x ?
2 2

e

(x ? 0) ,

2

f ?( x )

? x ? 2e ?

3e x

2

?

( x ? e )( x ? 3 e ) x

(x ? 0) .

在区间 ( 0 , e ) 上,有 f ? ( x ) ? 0 ;在区间 ( e , ? ? ) 上,有 f ? ( x ) ? 0 . 故 f ( x ) 在 ( 0 , e ) 单调递减,在 ( e , ? ? ) 单调递增, 于是函数 f ( x ) 在 ( 0 , ? ? ) 上的最小值是 f ( e ) ? 0 . 故当 x ? 0 时,有 f ( x ) ≥ 0 恒成立. (Ⅲ)解:
F ( x ) ? f ?( x ) ? a x ? x? a ? 3e x
2

…………9 分

…………10 分 .

? 2e ( x ? 0)
2

当a

? 3e

2

时,则 F ( x ) ? x ?

a ? 3e x

? 2e ? 2

a ? 3e

2

? 2 e ,当且仅当 x ?

a ? 3e

2

时等号成立,故 F ( x ) 的最小值 m ? 2 a ? 3e ? 2 e ? 2 e ,符合题意;
2

…………13 分

当a 题意; 当a

? 3e

2

时,函数 F ( x ) ? x ? 2 e 在区间 ( 0 , ? ? ) 上是增函数,不存在最小值,不合

? 3e

2

时,函数 F ( x ) ? x ?

a ? 3e x

2

? 2 e 在区间 ( 0 , ? ? ) 上是增函数,不存在最小

值,不合题意. 综上,实数 a 的取值范围是 ( 3 e , ? ? ) .
2

…………14 分

【2012 北京市石景山区一模理】18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? x ? 2 a ln x .
2

(Ⅰ)若函数 f ( x ) 的图象在 ( 2 , f ( 2 )) 处的切线斜率为 1 ,求实数 a 的值;

-4-

(Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若函数 g ( x ) ?
2 x ? f ( x ) 在 [1, 2 ] 上是减函数,求实数 a 的取值范围.
2 x ? 2a
2

【答案】解:(Ⅰ) f '( x ) ? 2 x ?

2a x

?

…………1 分

x

由已知 f '( 2 ) ? 1 ,解得 a ? ? 3 . (II)函数 f ( x ) 的定义域为 ( 0 , ? ? ) .

…………3 分

(1)当 a ? 0 时, f '( x ) ? 0 , f ( x ) 的单调递增区间为 ( 0 , ? ? ) ; ……5 分
2(x ? ? a )( x ? x ?a )

(2)当 a ? 0 时 f '( x ) ?

.

当 x 变化时, f '( x ), f ( x ) 的变化情况如下:
x
(0, ?a )

?a

(

?a , ?? )

f '( x )

-

0

+

f (x)

极小值

由上表可知,函数 f ( x ) 的单调递减区间是 ( 0 , ? a ) ; 单调递增区间是 ( ? a , ? ? ) . (II)由 g ( x ) ?
2 x ? x ? 2 a ln x 得 g '( x ) ? ?
2

…………8 分
2 x
2

? 2x ?

2a x

,…………9 分

由已知函数 g ( x ) 为 [1, 2 ] 上的单调减函数, 则 g '( x ) ? 0 在 [1, 2 ] 上恒成立, 即?
2 x
2

? 2x ?

2a x

? 0 在 [1, 2 ] 上恒成立.

即a ?

1 x

? x 在 [1, 2 ] 上恒成立.
2

…………11 分
1 x
m in
2

令h(x) ?

1 x

? x ,在 [1, 2 ] 上 h '( x ) ? ?
2

? 2 x ? ?(

1 x
2

? 2 x) ? 0 ,

所以 h ( x ) 在 [1, 2 ] 为减函数. h ( x ) 所以 a ? ?
7 2

? h(2) ? ?

7 2

,
…………14 分

.

-5-

【2012 年北京市西城区高三一模理】18.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? e
ax

?(

a x

? a ? 1) ,其中 a ? ? 1 .

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间. 【答案】 (Ⅰ)解:当 a ? 1 时, f ( x ) ? e x ? ( 由于 f (1) ? 3 e , f ? (1) ? 2 e , 所以曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是 2 e x ? y ? e ? 0 . (Ⅱ)解: f ? ( x ) ? a e a x
( x ? 1)[( a ? 1) x ? 1] x
2

1 x

? 2 ) , f ?( x ) ? e ? (
x

1 x

? 2?

1 x
2

) . ……2 分

……4 分 ………6 分

,x ? 0 .

① 当 a ? ? 1 时,令 f ? ( x ) ? 0 ,解得 x ? ? 1 .
f ( x ) 的单调递减区间为 ( ? ? , ? 1) ;单调递增区间为 ( ? 1, 0 ) , ( 0 , ? ? ) ……8 分

当 a ? ? 1 时,令 f ? ( x ) ? 0 ,解得 x ? ? 1 ,或 x ?

1 a ?1


1 a ?1 , ? ? ) ;单调递增区间

② 当 ? 1 ? a ? 0 时, f ( x ) 的单调递减区间为 ( ? ? , ? 1) , ( 为 ( ? 1, 0 ) , ( 0 ,
1 a ?1 ).

…………10 分 ……11 分 单调递增区间为 ( ? ? , ? 1) , );

③ 当 a ? 0 时, f ( x ) 为常值函数,不存在单调区间. ④ 当 a ? 0 时,f ( x ) 的单调递减区间为 ( ? 1, 0 ) , 0 , (
( 1 a ?1 , ?? ) .
1 a ?1

…………13 分

【2012 北京市海淀区一模理】(18)(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? e
? kx

(x ? x ?
2

1 k

) (k ? 0) .

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)是否存在实数 k ,使得函数 f ( x ) 的极大值等于 3 e 请说明理由. 【答案】解: (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 R .
? kx
?2

?若存在,求出 k 的值;若不存在,

f '( x ) ? ? k e

(x ? x ?
2

1 k

)?e

? kx

( 2 x ? 1) ? e

? kx

[? kx ? (2 ? k ) x ? 2] ,
2

-6-

即 f '( x ) ? ? e

? kx

( k x ? 2 )( x ? 1) ( k ? 0 ) .

………………………………………2 分

令 f '( x ) ? 0 ,解得: x ? ? 1 或 x ?

2 k

.

当 k ? ? 2 时, f '( x ) ? 2 e ( x ? 1) ? 0 ,故 f ( x ) 的单调递增区间是 ( - ? ,
2x 2

).

………………………………………3 分 当 ? 2 ? k ? 0 时,
f ( x ) , f '( x ) 随 x 的变化情况如下:

x

(?? ,

2 k

)

2 k
0

(

2 k

, ? 1)

?1

( ? 1, ? ? )

f '( x )

?

?

0

?

f (x)

?

极大值
2

?

极小值
2

?

所以,函数 f ( x ) 的单调递增区间是 ( ? ? , ) 和 ( ? 1, ? ? ) ,单调递减区间是 ( , ? 1) .
k k

………………………………………5 分 当 k ? ? 2 时,
f ( x ) , f '( x ) 随 x 的变化情况如下:

x

( ? ? , ? 1)

?1

( ? 1,

2 k

)

2 k
0

(

2 k

, ?? )

f '( x )

?

0

?

?

f (x)

?

极大值

?
2 k

极小值

?
2 k

所以,函数 f ( x ) 的单调递增区间是 ( ? ? , ? 1) 和 (

, ? ? ) ,单调递减区间是 ( ? 1,

).

………………………………………7 分 (Ⅱ)当 k = - 1 时, f ( x ) 的极大值等于 3 e 当 k ? ? 2 时, f ( x ) 无极大值.
2 4 k
2

?2

. 理由如下:

当 ? 2 ? k ? 0 时, f ( x ) 的极大值为 f ( ) ? e (
k

?2

?

1 k

),

………………………………………8 分

-7-

令e (

?2

4 k
2

?

1 k

) ? 3e

?2

,即

4 k
2

?

1 k

? 3, 解得 k ? ? 1 或 k ?

4 3

(舍).

………………………………………9 分 当 k ? ? 2 时, f ( x ) 的极大值为 f ( ? 1) ? ?
e
k

.

k

………………………………………10 分 因为
e

k

? e

?2



0 ? ?

1 k

?

1 2 ,

所以 ?

e

k

?

1 2

e

?2

.

k

因为

1 2

e

?2

? 3e

?2



所以 f ( x ) 的极大值不可能等于 3 e

?2

.

………………………………………12 分
?2

综上所述,当 k ? ? 1 时, f ( x ) 的极大值等于 3 e

.

………………………………………13 分 【2012 北京市房山区一模理】18. (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x ) ? ln( 1 ? x ) ? mx . (I)当 m ? 1 时,求函数 f ( x ) 的单调递减区间; (II)求函数 f ( x ) 的极值; (III)若函数 f ( x ) 在区间 ? 0 , e 2 ? 1 ? 上恰有两个零点,求 m 的取值范围. ? ? 【答案】解: (I)依题意,函数 f ( x ) 的定义域为 ? ? 1, ?? ? , 当 m ? 1 时, f ( x ) ? ln (1 ? x ) ? x ,
? f ?( x ) ?

1 1? x

?1 1 ? 1 ? 0 ,即
?x 1? x ? 0

……………………2 分

由 f ?( x ) ? 0 得

1? x

解得 x ? 0 或 x ? ? 1 , 又? x ? ? 1 ,? x ? 0
? f (x)

的单调递减区间为 ( 0 , ? ? ) .

……………………4 分

-8-

(II) f ? ( x ) ?

1 1? x

? m , ( x ? ? 1)

(1) m ? 0 时, f ? ( x ) ? 0 恒成立
f ( x ) 在 ( ? 1 , ? ? ) 上单调递增,无极值.

……………………6 分

(2) m ? 0 时,由于
? ? 1

1 m

? 1 ? ?1

所以 f ( x ) 在 ? ? 1 ,

? ? 1 ? ? 1 上单调递增,在 ? 1 , ? ? ? 上单调递减, ? ? m ? ?m ?

从而 f ( x ) 极大值 ? f (

1 m

? 1 ) ? m ? ln m ? 1 .

……………………9 分

(III)由(II)问显然可知, 当 m ? 0 时, f ( x ) 在区间 ? 0 , e 2 ? 1 ? 上为增函数, ? ?
?

在区间 ? 0 , e 2 ? 1 ? 不可能恰有两个零点. ? ?
1 m

……………………10 分
? 1) ,

当 m ? 0 时,由(II)问知 f ( x ) 极 大 值 = f ( 又 f ( 0 ) ? 0 ,? 0 为 f ( x ) 的一个零点.

……………………11 分
? f ( e ? 1) ? 0 ? ? 1 2 ?1? e ?1 ?0 ? m ?
2

?

若 f ( x ) 在 ? 0 , e 2 ? 1 ? 恰有两个零点,只需 ? ?

? 2 ? m ( e ? 1) ? 0 2 ? 即? ? 2 ? m ?1 1 e ?1 ? m ?1 ? 2 e ?
2

……………………13 分

(注明:如有其它解法,酌情给分)

-9-


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