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知识要点-空间直角坐标系


第5讲
1.右手直角坐标系

空间直角坐标系
★知识梳理★

①右手直角坐标系的建立规则: x 轴、 y 轴、 z 轴互相垂直,分别指向右手的拇指、食指、 中指; ②已知点的坐标 P( x, y, z) 作点的方法与步骤(路径法) : 沿 x 轴正方向( x ? 0 时)或负方向( x ? 0 时)移动 | x | 个单

位,再沿 y 轴正方向( y ? 0 时)或负方向( y ? 0 时)移动 | y | 个单位,最后沿 x 轴正方向( z ? 0 时)或负方向( z ? 0 时)移动 | z | 个单位,即可作出点 ③已知点的位置求坐标的方法: 过 P 作三个平面分别与 x 轴、 y 轴、 z 轴垂直于 A, B, C ,点 A, B, C 在 x 轴、 y 轴、 z 轴 的坐标分别是 a, b, c ,则 (a, b, c) 就是点 P 的坐标 2、在 x 轴上的点分别可以表示为 (a,0,0), (0, b,0), (0,0, c) , 在坐标平面 xOy , xOz , yOz 内的点分别可以表示为 (a, b,0), (a,0, c), (0, b, c) ; 3、点 P(a, b, c) 关于 x 轴的对称点的坐标为 (a,?b,?c) 点 P(a, b, c) 关于 y 轴的对称点的坐标为 (?a, b,?c) ; 点 P(a, b, c) 关于 z 轴的对称点的坐标为 (?a,?b, c) ; 点 P(a, b, c) 关于坐标平面 xOy 的对称点为 (a, b,?c) ; 点 P(a, b, c) 关于坐标平面 xOz 的对称点为 (a,?b, c) ; 点 P(a, b, c) 关于坐标平面 yOz 的对称点为 (?a, b, c) ; 点 P(a, b, c) 关于原点的对称点 (?a,?b,?c) 。 4. 已知空间两点 P( x1 , y1 , z1 )Q( x2 , y2 , z2 ) ,则线段 PQ 的中点坐标为

(

x1 ? x2 y1 ? y2 z1 ? z2 , , ) 2 2 2
1

5.空间两点间的距离公式 已知空间两点 P( x1 , y1 , z1 )Q( x2 , y2 , z2 ) , 则两点的距离为 | PQ |?

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? ( z1 ? z 2 ) 2 , x2 ? y2 ? z 2 ;

特殊地,点 A( x, y, z ) 到原点 O 的距离为 | AO |?

5.以 C ( x0 , y0 , z0 ) 为球心, r 为半径的球面方程为 ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? ( z ? z0 )2 ? r 2 特殊地,以原点为球心, r 为半径的球面方程为 x2 ? y 2 ? z 2 ? r 2 ★重难点突破★ 重点:了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系表示点的位置,会推导和使用空间两点间 的距离公式 难点:借助空间想象和通过与平面直角坐标系的类比,认识空间点的对称及坐标间的关系 重难点: 在空间直角坐标系中,点的位置关系及空间两点间的距离公式的使用 1.借助空间几何模型进行想象,理解空间点的位置关系及坐标关系 问题 1:点 P(a, b, c) 到 y 轴的距离为 [解析]借助长方体来思考, 以点 O, P 为长方体对角线的两个顶点, 点 P(a, b, c) 到 y 轴的距 离为长方体一条面对角线的长度,其值为 a 2 ? c 2 2.将平面直角坐标系类比到空间直角坐标系
2 2 2 2 2 2 问题 2:对于任意实数 x, y , z ,求 x ? y ? z ? ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? ( z ? 1) 的最小


2 2 2 2 2 2 [解析]在空间直角坐标系中, x ? y ? z ? ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? ( z ? 1) 表示空间点

( x, y, z ) 到点 (0, 0, 0) 的距离与到点 (?1, 2,1) 的距离之和,它的最小值就是点 (0, 0, 0) 与点 (?1, 2,1) 之间的线段长,所以 x 2 ? y 2 ? z 2 ? ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? ( z ? 1) 2 的最小值为

6。
3.利用空间两点间的距离公式,可以解决的几类问题 (1)判断两条相交直线是否垂直 (2)判断空间三点是否共线

2

(3)得到一些简单的空间轨迹方程

★热点考点题型探析★ 考点 1: 空间直角坐标系 题型 1: 认识空间直角坐标系 [例 1 ](1)在空间直角坐标系中, y ? a 表示 A. y 轴上的点 C.垂直于 y 轴的平面 B.过 y 轴的平面 D.平行于 y 轴的直线 ( )

(2)在空间直角坐标系中,方程 y ? x 表示 A.在坐标平面 xOy 中,1,3 象限的平分线 C.经过 z 轴的一个平面 B.平行于 z 轴的一条直线 D.平行于 z 轴的一个平面

【解题思路】认识空间直角坐标系,可以类比平面直角坐标系,如在平面直角坐标系坐标系 中, 方程 x ? 1 表示所有横坐标为 1 的点的集合 [解析](1) y ? a 表示所有在 y 轴上的投影是点 (0, a,0) 的点的集合,所以 y ? a 表示经 过点 (0, a,0) 且垂直于 y 轴的平面 (2)方程 y ? x 表示在任何一个垂直于 z 轴的一个平面内,1,3 象限的平分线组成的集合 【名师指引】(1)类比平面直角坐标系,可以帮助我们认识空间直角坐标系 (2)要从满足某些特殊条件的点的坐标特征去思考问题。如: 经过点 (a,0,0) 且垂直于 x 轴的平面上的点都可表示为 (a, y, z ) 题型 2: 空间中点坐标公式与点的对称问题 [例 2 ] 点 P(a, b, c) 关于 z 轴的对称点为 P1 ,点 P1 关于平面 xOy 的对称点为 P2 ,则 P2 的 坐标为 【解题思路】类比平面直角坐标系中的对称关系,得到空间直角坐标系中的对称关系 [解析]因点 P 和 P1 关于 z 轴对称, 所以点 P 和 P1 的竖坐标相同,且在平面 xOy 的射影关 于原点对称,故点 P1 的坐标为 (?a,?b, c) , 又因点 P1 和 P2 关于平面 xOy 对称, 所以点 P2 坐标为 (?a,?b,?c) 【名师指引】解决空间点的对称问题,一要借助空间想象,二要从它们在坐标平面的射影找
3

关系,如借助空间想象,在例 2 中可以直接得出点 P2 为点 P(a, b, c) 关于原点的对称点,故坐 标为 (?a,?b,?c) 【新题导练】 1 .已知正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1 D 1 的顶点坐标分别为 A(0,0,0), B(2,0,0), D(0, 2,0) ,

A1 (0,0,5) ,则 C1 的坐标为



[解析]正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1 D 1 过点 A 的三条棱恰好是坐标轴,

? C1 的坐标为(2,2,5)
2 .平行四边形 ABCD 的两个顶点的的坐标为 A(?1,1,3), B(3,2,?3) ,对角线的交点为

M (1,0,4) ,则顶点 C 的坐标为

, 顶点 D 的坐标为

[解析]由已知得线段 AC 的中点为 M ,线段 BD 的中点也是 M ,由中点坐标公式易得

C (3,?1,5) , D(?1,?2,11)
3.已知 M (4,3, ?1) ,记 M 到 x 轴的距离为 a , M 到 y 轴的距离为 b , M 到 z 轴的距离 为 c ,则( ) B. c ? b ? a C. c ? a ? b D. b ? c ? a

A. a ? b ? c

[解析]借助长方体来思考, a 、 b 、 c 分别是三条面对角线的长度。

? a ? 10, b ? 17, c ? 5 ,选 C
考点 2:空间两点间的距离公式 题型:利用空间两点间的距离公式解决有关问题 [例 3 ] 如图:已知点 A(1,1, 0) ,对于 Oz 轴正半轴上任意一点 P ,在 Oy 轴上是否存在一 Z 点 B ,使得 PA ? AB 恒成立?若存在,求出 B 点的坐标;若不存在,说明理由。 P 【解题思路】转化为距离问题,即证明 PA ? AB ? PB
2 2 2

[解析]设 P(0,0, c) B(0, b,0) ,

O

B Y

A 对于 Oz 轴正半轴上任意一点 P ,假设在 Oy 轴上存在一点 B ,使得 PA ? AB 恒成立, X 则 PA ? AB ? PB
2 2 2

4

?[(0 ? 1)2 ? (0 ? 1)2 ? (c ? 0)2 ] ? [(1 ? 0)2 ? (1 ? b)2 ? (0 ? 0)2 ] ? (0 ? 0)2 ? (0 ? b)2 ? (c ? 0)2
即 3 ? (b ? 1)2 ? b2 ,解得: b ? 2 所以存在这样的点 B ,当点 B 为 (0, 2, 0) 时, PA ? AB 恒成立 【名师指引】在空间直角坐标系中,利用距离可以证明垂直问题。此外,用距离还可以解 决空间三点共线问题和求简单的点的轨迹。 【新题导练】 4.已知 A( x,5 ? x, 2 x ? 1), B(1, x ? 2, 2 ? x) ,当 A, B 两点间距离取得最小值时, x 的值为 ( ) A.19 B. ?

8 7

C.

8 7

D.

19 14

[解析] | AB |? 当x?

8 5 ( x ? 1)2 ? (3 ? 2 x)2 ? (3x ? 3)2 ? 14x 2 ? 12x ? 19 ? 14( x ? )2 ? 7 7

8 时, | AB | 取得最小值 7
2 2 2

5.已知球面 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? ( z ? 3) ? 9 ,与点 A(?3, 2,5) ,则球面上的点与点 A 距 离的最大值与最小值分别是 。

[解析]球心 C (1,?2,3), AC ? 6 ,球面上的点与点 A 距离的最大值与最小值分别是 9 和 3 6.已知三点 A(?1,1, 2), B(1, 2, ?1), C (a,0,3) ,是否存在实数 a ,使 A、B、C 共线?若存在, 求出 a 的值;若不存在,说明理由。 [解析] AB ?

(?1 ? 1) 2 ? (1 ? 2) 2 ? (2 ? 1) 2 ? 14 ,

AC ? (?1 ? a) 2 ? (1 ? 0) 2 ? (2 ? 3) 2 ? ( a ? 1) 2 ? 2 , BC ? (1 ? a) 2 ? (2 ? 0) 2 ? (?1 ? 3) 2 ? ( a ? 1) 2 ? 20 ,
因为 BC ? AB ,所以,若 A, B, C 三点共线,有 BC ? AC ? AB 或 AC ? BC ? AB ,
2 若 BC ? AC ? AB ,整理得: 5a ? 18a ? 19 ? 0 ,此方程无解; 2 若 AC ? BC ? AB ,整理得: 5a ? 18a ? 19 ? 0 ,此方程也无解。

所以不存在实数 a ,使 A、B、C 共线。

5

★抢分频道★ 基础巩固训练 1.将空间直角坐标系(右手系)画在纸上时,我们通常将 x 轴与 y 轴, x 轴与 z 轴所成的角 画成( ) A. 90
0

B. 135

0

C. 45

0

D. 75

0

解析:选 B 2. 点 P(3, 4,5) 在 yoz 平面上的投影点 P 1 的坐标是 A. (3, 0, 0) B. (0, 4,5) C. (3, 0,5) ( D. (3, 4, 0) )

解析:两点的纵坐标、竖坐标不变,选 B 3. 三棱锥 O ? ABC 中, O(0,0,0), A(2,0,0), B(0,1,0),C (0,0,3) 此三棱锥的体积为( ) A.1 B.2 C. 3 D. 6

[解析] OA, OB, OC 两两垂直, VO? ABC ?

1 1 ? ?1 ? 2 ? 3 ? 1 3 2

4. (2007 山东济宁模拟)设点 B 是点 A(2,-3,5)关于平面 xOy 的对称点,则|AB|等于( ) A.10 [解析] A 点 A(2,-3,5)关于平面 xOy 的对称点为 B(2,?3,?5) , B. 10 C. 38 D.38

AB ? (2 ? 2) 2 ? [?3 ? (?3)] 2 ? [5 ? (?5)] 2 ? 10
5. (2007 年湛江模拟)点 P(1,2,3) 关于 y 轴的对称点为 P1 , P 关于平面 xOz 的对称点为

P2 ,则 | P 1P 2 |=
[解析] P ,2,?3) , P2 (1,?2,3) ,? |P 1 (?1 1P 2 |? 56 6.正方体不在同一表面上的两顶点 P(-1,2,-1) ,Q(3,-2,3) ,则正方体的体积是

[解析] ? P, Q 不共面,? PQ 为正方体的一条对角线, PQ ? 4 3 ,正方体的棱长为 4,

6

体积为 64 综合提高训练 7.空间直角坐标系中,到坐标平面 xOy , xOz , yOz 的距离分别为 2,2,3 的点有 A.1 个 B.2 个 C.4 个 D.8 个

解析:8 个。分别为(3,2,2) 、 (3,2,-2) 、 (3,-2,2) 、 (3,-2,-2) 、 (-3,2,2) 、 (-3,2,-2) 、 (-3,-2,2) 、 (-3,-2,-2) 8. (2007 山东昌乐模拟) 三角形 ABC 的三个顶点的坐标为 A(1,?2,11), B(4,2,3),C (6,?1,4) , 则 ?ABC 的形状为( ) A.正三角形 [解析] C B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形

| AB |? (1 ? 4) 2 ? (?2 ? 2) 2 ? (11 ? 3) 2 ? 89 | AC |? (4 ? 6) 2 ? (?2 ? 1) 2 ? (11 ? 4) 2 ? 75 | BC |? (4 ? 6) 2 ? (2 ? 1) 2 ? (3 ? 4) 2 ? 14

? AC2 ? BC2 ? AB2
9.(2008 年佛冈一中模拟)已知空间直角坐标系 O ? xyz 中有一点 A(?1,?1,2) ,点 B 是平 面 xOy 内的直线 x ? y ? 1 上的动点,则 A, B 两点的最短距离是( )

A. 6

B.

34 2

C.3

D.

17 2

[解析]因为点 B 在 xoy 平面内的直线 x ? y ? 1 上,故可设点 B 为 ( x, ? x ? 1, 0) , 所以 AB ?

1 17 ( x ? 1)2 ? (? x ? 2)2 ? (0 ? 2)2 ? 2 x 2 ? 2 x ? 9 ? 2( x ? )2 ? , 2 2

所以当

1 1 1 34 时,AB 取得最小值 ,此时点 B 为 ( , ,0) 。 2 2 2 2

10.如图,以棱长为 a 的正方体的三条棱为坐标轴,建立空间直角坐标系 O ? xyz ,点 P 在 正方体的对角线 AB 上,点 Q 在正方体的棱 CD 上。 (1)当点 P 为对角线 AB 的中点,点 Q 在棱 CD 上运动时,
7

Z B P O A D Q C Y

探究 PQ 的最小值; (2)当点 P 在对角线 AB 上运动,点 Q 为棱 CD 的中点时, 探究 PQ 的最小值; [解析]由已知 A(a, a,0), C (0, a,0), D(0, a, a), B(0,0, a) , (1)当点 P 为对角线 AB 的中点时,点 P 坐标为 ( ,

a a a , ), 2 2 2

设 Q(0, a, z ) ,则 PQ ?

a a2 , ( z ? )2 ? 2 2

当z ?

a 2 时, PQ 取到最小值为 a ,此时 Q 为 CD 的中点。 2 2

( 2 ) 当 点 Q 为 棱 CD 的 中 点 时 , 点 Q 的 坐 标 为 ( 0,a ,

a ), 设 A P : A B? k, 则 2

xP ? a(1? k ), yP ? a(1 ? k ) , zP ? ak ,所以 P 点的坐标为 (a(1 ? k ), a(1 ? k ), ak ) ,
1 2 1 2 a2 a。 所以 PQ ? 3a (k ? ) ? , 当k ? , 即 P 为 AB 的中点时,PQ 取到最小值 2 2 2 2
2

8


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