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充分条件与必要条件教案


新授课:1.2.1 充分条件与必要条件
一、【教学目标】 重点: 充分条件、必要条件的概念. 难点:充分条件、必要条件的判断. 知识点:使学生理解充分条件、必要条件的概念;能正确判断是否是充分条件或必要条件. 能力点:通过引导学生观察、归纳,培养学生的观察能力和归纳能力. 教育点:通过以学生为主体的教学方法,让学生自己构造数学命题,发展体验获取知识的感受. 自主探究点:

通过“会观察”,“敢归纳”,“善建构”,培养学生自主学习,勇于创新,敢于把错误 的思维过程及弱点暴露出来,并在问题面前表现出浓厚的兴趣和不畏困难、勇于进取的精神. 考试点:理解充分条件、必要条件的概念,能正确判断是否是充分条件或必要条件. 易错易混点:复杂的问题中分类讨论的标准搞不清楚. 拓展点:从集合的角度解释充分必要条件. 二、【引入新课】 我来自墨子故里——滕州,送给大家一件礼物,请语文课代表接受我的礼物,并给大家朗读翻译.早在战 国时期,《墨经》中就有这样一段话“有之则必然,无之则未必不然,是为大故”“无之则必不然,有之 则未必然,是为小故”. 生活中也有这样的逻辑: 1.若我是枣庄一中的学生,则我是山东省的学生. 2.要想在高考中取得好成绩,平时的努力学习是必要的. 在数学中,也讲“充分”和“必要” ,让我们共同学习这个有意义的课题——充分条件与必要条件. (板书) 【设计意图】用生活中的事例来说明数学中对应研究的概念、关系,这样会使学生感到亲切自然,有助于 提高兴趣和深入领会概念的内容,特别是必要条件的理解. 三、【探究新知】 问题 1:前面讨论了“若 p 则 q ”形式的命题的真假判断,请同学们判断下列命题的真假.
(1)全等三角形的面积相等;

探究一:将命题写成“若 p 则 q ”的形式,说明由条件经过推理可以得到结论吗,并判断此命题的真假? 若 p :两个三角形是全等三角形,则 q :这两个三角形的面积相等. “若 p 则 q ”为真,是指由 p 经过推理

p q 可以得出 q ,也就是说,如果 p 成立,那么 q 一定成立,记作 p ? q .“若 则 ”为假,记作 p
书)

q(板

探究二:要想说明两个三角形的面积相等, 有两个三角形是全等三角形这个条件就足够了吗? 足够了,也就是充分了. 探究三:如果两个三角形面积不相等,这两个三角形能全等吗? 探究四:要想说明两个三角形是全等三角形,这两个三角形的面积相等必须成立吗? 两个三角形的面积相等是两个三角形是全等三角形的必须具备,必不可少的条件,也就是必要条件. (2)若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ;
1

探究一:由条件经过推理可以得到结论吗,并判断此命题的真假? 探究二:要想说明 ab=0, 有 a=0 这个条件就足够了吗? 探究三:如果 ab=0 不成立, a=0 成立吗? 命题真假 探究四:要想说明 a=0 , ab=0 必须成立吗? (学生口答) 推出关系 条件关系 真

p ?q
p 是 q 的足够(充分) 条件, q 是 p 的必不可
少的(必要)条件

【设计意图】按照上述探究的问题加深学生对定义的理解. 学生类比上述命题填表,加深理解. 四、【理解新知】 【师生活动】讨论:你能总结出充分条件与必要条件的定义吗? 学生回答,教师板书定义: .定义:一般地,如果已知 p ? q ,那么我们就说, p 是 q 的充分条件,也就是说为使 q 成立,具备条件 p

p q 就足够了, q 是 p 的必要条件,也就是说,要使 成立,就必须 成立.
强调说明:①“ p ? q ” , “ p 是 q 的充分条件” , “ q 是 p 的必要条件”是同一逻辑关系的三种不同描 述形式,前者是符号表示,后两者是文字表示.②充分条件的含义用通俗的语言来说是指“有它就行” ,即 “有之必然” ;必要条件的含义用通俗的语言来说是指“缺它不行” ,即“无之必不然”. 五、【运用新知】 例 1:下列“若 p ,则 q ”形式的命题中,哪些命题中的 p 是 q 的充分条件? (1)若 x ? 1 ,则 x ? 4 x ? 3 ? 0 ;
2

(2)若 f ( x) ? x ,则 f ( x ) 在 (??, ??) 上为增函数; (3)若 x 为无理数,则 x 为无理数; 【师生活动】 (教师引导学生体验:问题的实质是判断命题是否为真) 解:命题(1) (2)是真命题.所以,命题(1) (2)中的 p 是 q 的充分条件. 命题(3)为假命题,所以 p 不是 q 的充分条件,可用符号 “ ?? ”表示.若有 p ?? q ,称 p 不是 q 的充分条件,称 q 不是 p 的必要条件. 问题:同学们,对于命题 (1) 、 (2) ,我们可不可以回答 q 是 p 的必要条件呢? 答:可以称对于命题 (1) 、 (2) q 是 p 的必要条件. 【设计意图】概念的否定是概念理解的重要方面,本例意在让学生在直观理解的基础上给出“充分条件” 和“必要条件”的否定形式.以帮助学生全面认识和理解概念. 练习.下列“若 p ,则 q ”形式的命题中,哪些命题中的 p 是 q 的充分条件? (1) 若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行 (2) 若 x ? 5 ,则 x ? 10 【设计意图】提升学生的认识水平,试图从不同角度帮助同学们理解“充分”和“必要”. 例 2:判断下列各组问题中,哪些 q 是 p 的必要条件?
2 2 (1) 若 x ? y , 则 x ? y
2

(2) 如果一个四边形是菱形,则它的对角线互相垂直
2

(3) 若 a ? b ,则 ac ? bc 解:命题(1) (2)是真命题.所以,命题(1) (2)中的 q 是 p 的必要条件. 命题(3)为假命题,所 以 q 不是 p 的充分条件。 【设计意图】强调说明:充分条件与必要条件判断的关键: ① 认清条件与结论;②考察 p ? q 或 q ? p 的真假. 练习 1. 下列“若 p ,则 q ”形式的命题中,哪些命题中的 q 是 p 的必要条件? (1) 若 a ? 5 是无理数,则 a 是无理数; (2) 若 ( x ? a)( x ? b) ? 0 ,则 x ? a 练习 2.用“充分条件”或“必要条件”填空: ⑴四边形的对角线相等是四边形为矩形的________; ⑵ a ? 5 是 a 为正数的________. 答案:⑴必要条件;⑵充分条件. 练习 3. 用“充分”或“必要”填空,并说明理由: ⒈“ a 和 b 都是偶数”是“ a ? b 也是偶数”的 充分 条件; ⒉“四边相等”是“四边形是正方形”的 必要 条件; 3.“x= 3”是“|x| =3”的充分_条件 4.“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的 充分 条件; 5.“a=2,b=3”是“a+b=5”的 充分 条件 练习 4.课本 10 页 4 题 【设计意图】通过练习题加深学生对概念的理解. 六、【课堂小结】 师生共同回顾本节课的教学过程,小结如下内容: ①充分条件与必要条件的概念. ②判别步骤: (1)找出 p、q; (2)判断“若

p 则 q ” 的真假;

(3) 根据定义下结论. 【设计意图】再现课堂,小结提升,有助于学生明确学习的重点. 七、【布置作业】 必做题: 1.课本第 12 页 A 组 2.3 2判断下列各组问题中, q 是 p 的必要条件吗? ① p : p x x?3

?

? ?

q : p ? x x ? 5? ; q : p ? x x ? 0? ;

② p: p x x?0

?

q :两直线平行; ③ p :同位角相等 q :四边形是平行四边形 ④ p :四边形对角线相等 解:因为在问题②和问题③中都有 p ? q .所以,在问题②和问题③中,q 是 p 的必要条件.在问题①和问 题④中都有 p ?? q .所以,在问题①和问题④中, q 不是 p 的必要条件
选做题: 1.判断下列命题的真假:
2 2 ①“ a ? b ? 0 ”是“ a ? b ”的充分条件;

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2 2 ②“ a ? b ”是“ ac ? bc ”的必要条件;

③“ A ? B ”是“ A ? B ” 的必要条件; (其中 A,B 是集合) ④“函数 f ? x ? 是奇函数”是“ f ? 0? ? 0 ”的充分条件. 八、【教后反思】

九、【板书设计】 1.2.1 充分条件与必要条件 1 1、 命题:若 p 则 q 真、假 符号表示: p ? q, p ? q. 2、定义:已知 p?q,则称 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的 必要条件 3、判断充要条件的步骤: (1) (2) (3) 例 1.

例 2.

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