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河北省唐山一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析


河北省唐山一中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷(理科)
一、选择题(本题共 12 个小题,每题只有一个正确答案,每题 5 分,共 60 分.请把答案涂 在答题卡上) 1. (5 分)若 0<α< A.α ﹣α ,则经过两点 P1(0,cosα) ,P2(sinα,0)的直线的倾斜角为() \frac{π}{2}$+αC.π﹣α D.

>2. (5 分)设 a∈R,则“a=1”是“直线 l1:ax+(1﹣a)y=3”与直线 l2: (a﹣1)x+(2a+3)y=2 互相垂直的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3. (5 分)已知 a,b,c∈R,命题“若 a+b+c=1,则 a +b +c ≤ ”的否命题是() A.若 a +b +c ≥1,则 a+b+c= C. 若 a+b+c≠1,则 a +b +c <
2 2 2 2 2 2 2 2 2

B. 若 a+b+c=1,则 a +b +c < D.若 a+b+c≠1,则 a +b +c >
2 2 2

2

2

2

4. (5 分)已知 a>b>0,椭圆 C1 的方程为

+

=1,双曲线 C2 的方程为



=1,C1 与

C2 的离心率之积为 A.x± y=0

,则 C2 的渐近线方程为() B. x±y=0 C.x±2y=0
2 2

D.2x±y=0

5. (5 分)点 P 是直线 3x+y+10=0 上的动点,PA,PB 与圆 x +y =4 分别相切于 A,B 两点, 则四边形 PAOB 面积的最小值为() A. B. 2 C. 2 D.4 6. (5 分)已知点 A(﹣2,3)在抛物线 C:y =2px 的准线上,过点 A 的直线与 C 在第一象 限相切于点 B,记 C 的焦点为 F,则|BF|的值为() A.3 B. 4 C. 5 D.10 7. (5 分)若直线 y=2x+b 与曲线 y=2﹣ A. B. C. 有公共点,则 b 的取值范围是() D.
2

8. (5 分)已知 F1、F2 分别是双曲线



=1 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与

双曲线交于 A、B 两点,若△ ABF2 为钝角三角形,则该双曲线的离心率 e 的取值范围是() A.(1,+∞) B.(1, ) C.(1,1+ ) D.(1+ ,+∞)

9. (5 分)已知曲线 C:



=1 的左、右顶点分别为 A1,A2,点 P 在 C 上且直线 PA2 斜

率的取值范围是,那么直线 PA1 斜率的取值范围是() A. B.
2 2

C.

D.

10. (5 分)若曲线 C1:x +y ﹣8x=0 与曲线 C2:y(y﹣mx﹣m)=0 有四个不同交点,则实数 m 的取值范围是() A.(﹣ , ) ∪( ,+∞) B.(﹣ ,0)∪(0, ) C. D. (﹣∞,﹣ )

11. (5 分)圆 C1 的方程为 x +y =

2

2

,圆 C2 的方程(x﹣cosθ) +(y﹣sinθ) =

2

2

(θ∈R) ,

过 C2 上任意一点 P 作圆 C1 的两条切线 PM、PN,切点分别为 M、N,则∠MPN 的最大值为 () A. B. C. D.

12. (5 分)已知 F1,F2 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点.且∠F1PF2= 则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为() A. B. C. 3 D.2



二、填空题(本题共 4 个小题,每题 5 分,共计 20 分.请把答案写在答题纸上) 13. (5 分)过点 P(6,﹣1) ,在 x 轴、y 轴上的截距分别为 a、b,且满足 a=3b 的直线方程 为. 14 . (5 分)圆心在直线 x﹣y﹣4=0 上,并且经过圆 x +y +6x﹣4=0 与圆 x +y +6y﹣28=0 交点 的圆的方程为.
2 2 2 2

15. (5 分)设 P,Q 分别为 x +(y﹣6) =2 和椭圆 距离是.

2

2

=1 上的点,则 P,Q 两点间的最大

16. (5 分)若 F1,F2 为椭圆的两个焦点,过 F2 的直线交椭圆于 P,Q 两点,PF1⊥PQ,且 4|PF1|=3|PQ|,则椭圆的离心率为.

三、解答题(本题共 6 个小题共计 70 分.请把解答过程写在答题纸上) 2 17. (10 分)已知命题 p:关于 x 的一元二次方程 x +2x+m=0 没有实数根,命题 q:函数 f(x) =lg(mx ﹣x+ 范围. 18. (12 分)已知圆 c 关于 y 轴对称,经过抛物线 y =4x 的焦点,且被直线 y=x 分成两段弧长 之比为 1:2,求圆 c 的方程.
2 2

m)的定义域为 R,若 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,求实数 m 的取值

19. (12 分)已知双曲线

及点 P(2,1) ,是否存在过点 P 的直线 l,使直线 l 被双

曲线截得的弦恰好被 P 点平分?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 20. (12 分)一座拱桥桥洞的截面边界由抛物线弧段 COD 和矩形 ABCD 的三边组成,拱的顶 部 O 距离水面 5m,水面上的矩形的高度为 2m,水面宽 6m,如图所示,一艘船运载一个长方 体形的集装箱,此箱平放在船上,已知船宽 5m,船面距离水面 1.5m,集装箱的尺寸为长×宽× 高=4×3×3(m) .试问此船能否通过此桥?并说明理由.

21. (12 分)已知直线 l 与圆 x +y +2x=0 相切于点 T,且与双曲线 x ﹣y =1 相交于 A、B 两 点.若 T 是线段 AB 的中点,求直线 l 的方程.
2

2

2

2

2

22. (12 分)设 F1、F2 分别是椭圆

+y =1 的左、右焦点. 的取值范围;

(1)若 P 是该椭圆上的一个动点,求向量乘积

(2)设过定点 M(0,2)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 M、N,且∠MON 为锐角(其中 O 为坐标原点) ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围. (3)设 A(2,0) ,B(0,1)是它的两个顶点,直线 y=kx(k>0)与 AB 相交于点 D,与椭 圆相交于 E、F 两点.求四边形 AEBF 面积的最大值.

河北省唐山一中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本题共 12 个小题,每题只有一个正确答案,每题 5 分,共 60 分. 请把答案涂 在答题卡上) 1. (5 分)若 0<α< A. α cosα}{sinα} ,则经过两点 P1(0,cosα) ,P2(sinα,0)的直线的倾斜角为() \frac{π}{2}\frac{﹣ \frac{π}{2} \frac{π}{2} \frac{π}{2}$+α. 故选:B. 点评: 本题考查直线的斜率,正确运用斜率与倾斜角的关系是关键. 2. (5 分)设 a∈R,则“a=1”是“直线 l1:ax+(1﹣a)y=3”与直线 l2: (a﹣1)x+(2a+3)y=2 互相垂直的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据直线垂直得出 a(a﹣1)+(1﹣a) (2a+3)=0,求出 a=1 或 a=﹣3,再根据充分 必要条件的定义可判断. 解答: 解:∵“直线 l1:ax+(1﹣a)y=3”与直线 l2: (a﹣1)x+(2a+3)y=2 互相垂直, ∴a(a﹣1)+(1﹣a) (2a+3)=0, 即 a=1 或 a=﹣3, 根据充分必要条件的定义可判断: “a=1”是“直线 l1:ax+(1﹣a)y=3”与直线 l2: (a﹣1)x+(2a+3)y=2 互相垂直的充分不必要 条件, 故选: A 点评: 本题考查了直线的方程,位置关系,充分 必要条件的定义属于容易题. 3. (5 分)已知 a,b,c∈R,命题“若 a+b+c=1,则 a +b +c ≤ ”的否命题是()
2 2 2

A.若 a +b +c ≥1,则 a+b+c= C. 若 a+b+c≠1,则 a +b +c <
2 2 2

2

2

2

B. 若 a+b+c=1,则 a +b +c < D.若 a+b+c≠1,则 a +b +c >
2 2 2

2

2

2

考点: 四种命题. 专题: 简易逻辑. 分析: 本题考察命题的否命题,否定原命题的条件做为否命题的条件,原命题的结论否定 作为否命题的结论即可. 解答: 解:命题“若 a+b+c=1,则 a +b +c ≤ ”的否命题是“若 a+b+c≠1,则 a +b +c > ”, 故选:D. 点评: 注意否命题和命题的否定的区分,命题的否定不是四种命题中的任何一种,而且是 对整个命题的否定,与原命题真假性相反.
2 2 2 2 2 2

4. (5 分)已知 a>b>0,椭圆 C1 的方程为

+

=1,双曲线 C2 的方程为



=1,C1 与

C2 的离心率之积为 A.x± y=0

,则 C2 的渐近线方程为() B. x±y=0 C.x±2y=0 D.2x±y=0

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出椭圆与双曲线的离心率,然后推出 ab 关系,即可求解双曲线的渐近线方程. 解答: 解:a>b>0,椭圆 C1 的方程为 + =1,C1 的离心率为: ,

双曲线 C2 的方程为



=1,C2 的离心率为:



∵C1 与 C2 的离心率之积为









= ,

, ,即 x± y=0.

C2 的渐近线方程为:y=

故选:A. 点评: 本题考查椭圆与双曲线的基本性质,离心率以及渐近线方程的求法,基本知识的考 查.

5. (5 分)点 P 是直线 3x+y+10=0 上的动点,PA,PB 与圆 x +y =4 分别相切于 A,B 两点, 则四边形 PAOB 面积的最小值为() A. B. 2 C. 2 D.4 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 由题意可得,PA=PB,PA⊥OA,PB⊥OB 则要求 SPAOB=2S△ PAO=2PA 的最小值,转 2 2 化为求 PA 最小值,由于 PA =PO ﹣4,当 PO 最小时,PA 最小,结合点到直线的距离公式可 知当 PO⊥l 时,PO 有最小值,由点到直线的距离公式可求 解答: 解:由题意可得,PA=PB,PA⊥OA,PB⊥OB,SPAOB=2S△ PAO=2PA 2 2 又∵在 Rt△ PAO 中,由勾股定理可得,PA =PO ﹣4,当 PO 最小时,PA 最小,此时所求的面 积也最小 点 P 是直线 l:3x+y+10=0 上的动点, 当 PO⊥l 时,PO 有最小值 d= ,PA= 所求四边形 PAOB 的面积的最小值为 2 . 故选:C. 点评: 本题主要考查了直线与圆的位置关系中的重要类型:相切问题的处理方法,解题中 要注意对性质的灵活应用,体现了转化思想在解题中的应用. 6. (5 分)已知点 A(﹣2,3)在抛物线 C:y =2px 的准线上,过点 A 的直线与 C 在第一象 限相切于点 B,记 C 的焦点为 F,则|BF|的值为() A.3 B. 4 C. 5 D.10 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由题意先求出准线方程 x=﹣2,再求出 p,从而得到抛物线方程,写出第一象限的抛 物线方程,设出切点,并求导,得到切线 AB 的斜率,再由两点的斜率公式得到方程,解出方 程求出切点,再由两点的距离公式可求得. 2 解答: 解:∵点 A(﹣2,3)在抛物线 C:y =2px 的准线上, 即准线方程为:x=﹣2, ∴p>0,﹣ =﹣2 即 p=4, ∴抛物线 C:y =8x,在第一象限的方程为 y=2 设切点 B(m,n) ,则 n=2 , 又导数 y′=2 ∴ 解得: =2 即 ,则在切点处的斜率为 m+2 或( =2 ﹣3 , ,
2 2

2

2



(舍去) ,

∴切点 B(8,8) ,又 F(2,0) , ∴|BF|= 故选 B. =10

点评: 本题主要考查抛物线的方程和性质,同时考查直线与抛物线相切,运用导数求切线 的斜率等,是一道基础题. 7. (5 分)若直线 y=2x+b 与曲线 y=2﹣ A. B. C. 有公共点,则 b 的取值范围是() D.

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 先将曲线化简并作出图象,分析直线,做出判断,找出截距最大和最小的两条直线, 求解. 解答: 解:曲线 y=2﹣ 化简为(x﹣2) +(y﹣2) =4(y≤2) ,如图,是以(2,2)
2 2

为圆心,以 2 为半径的圆的下半部分, 直线 y=2x+b 与曲线有公共点,则满足条件的直线斜率为 2,在过(0,2)和圆的切 线之间的 一族平行线,b 为直线在 y 轴上的截距, 可求,当直线 y=2x+b 平移到过点(0,2)时,方程为 y=2x+2,此时 b=2, 当直线平移到与曲线相切时,有圆心(2,2)到直线的距离 d 等于半径长 2,即 解得 b=2 ﹣2(舍去)或 b=﹣2﹣2 综上,b 的取值范围是, 故选:C. , =2,

点评: 本题考察圆与直线的位置关系,需要注意曲线不是整个的圆,而是半圆.

8. (5 分)已知 F1、F2 分别是双曲线



=1 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与

双曲线交于 A、B 两点,若△ ABF 2 为钝角三角形,则该双曲线的离心率 e 的取值范围是() A.(1,+∞) B.(1, ) C.(1,1+ ) D.(1+ ,+∞) 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 由过 F1 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点可知△ ABC 为等腰三角形,所 以△ ABF2 为钝角三角形只要∠AF2B 为钝角即可,由此可知 ,从而能够推导出该双

曲线的离心率 e 的取值范围. 解答: 解:由题设条件可知△ ABC 为等腰三角形,只要∠AF2B 为钝角即可,

所以有

,即 2ac<c ﹣a ,解出 e∈(1+

2

2

,+∞) ,

故选 D. 点评: 本题考查双曲线的离心率和锐角三角形的判断,在解题过程中要注意隐含条件的挖 掘.

9. (5 分)已知曲线 C:



=1 的左、右顶点分别为 A1,A2,点 P 在 C 上且直线 PA2 斜

率的取值范围是,那么直线 PA1 斜率的取值范围是() A. B. C. D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由曲线 C: ﹣ =1 可知 =﹣ ,利用直线 PA2 斜率的取值范围是,

可得直线 PA1 斜率的取值范围. 解答: 解:由曲线 C: ∴ =﹣ , ﹣ =1 可知﹣ =﹣ ,

∵直线 PA2 斜率的取值范围是, ∴直线 PA1 斜率的取值范围是 故选:D. 点评: 熟练掌握双曲线的标准方程及其性质、斜率的计算公式、不等式的性质等是解题的 关键. 10. (5 分)若曲线 C1:x +y ﹣8x=0 与曲线 C2:y(y﹣mx﹣m)=0 有四个不同交点,则实数 m 的取值范围是() A.(﹣ , ) ∪( ,+∞) B.(﹣ ,0)∪(0, ) C. D. (﹣∞,﹣ )
2 2

考点: 圆的一般方程. 专题: 直线与圆. 分析: 曲线 C1 表示以 C1: (4,0)为圆心、半径等于 4 的圆;①当 m≠0 时,曲线 C2 表示 x 轴及过点(﹣1,0)且斜率为 m 的直线,要使两条曲线有四个不同交点,需 y=m(x+1)和 2 2 圆 (x﹣4) +y =16 相交,根据圆心到此直线的距离小于半径,求得 m 的范围.②当 m=0 时,检验不满足条件.综合可得 m 的范围.

解答: 解:曲线 C1:x +y ﹣8x=0 即 (x﹣4) +y =16,表示以 C1: (4,0)为圆 心、半 径等于 4 的圆. 对于曲线 C2:y(y﹣mx﹣m)=0,①当 m≠0 时,曲线 C2 即 y=0,或 y=m(x+1) ,表示 x 轴 及过点(﹣1,0)且斜率为 m 的直线, 2 2 要使两条曲线有四个不同交点,需 y=m(x+1)和圆 (x﹣4) +y =16 相交, 故有 <4,求得﹣ <m< ,且 m≠0.
2

2

2

2

2

②当 m=0 时,曲线 C2:即 y =0,即 y=0,表示一条直线,此时曲线 C2 和曲线 C1 只有一个 交点,不满足条件. 综上可得,实数 m 的取值范围是(﹣ ,0)∪(0, ) , 故选:B. 点评: 本题主要考查曲线的方程,直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式,体现了转 化的数学思想,属于基础题.
2 2 2 2

11. (5 分)圆 C1 的方程为 x +y =

,圆 C2 的方程(x﹣cosθ) +(y﹣sinθ) =

(θ∈R) ,

过 C2 上任意一点 P 作圆 C1 的两条切线 PM、PN,切点分别为 M、N,则∠MPN 的最大值为 () A. B. C. D.

考点: 圆的切线方程. 专题: 直线与圆. 分析: 首先判断圆与圆的位置关系,进一步利用特殊位置把结论转化为解三角形问题,最 后求出∠MPN 的最大值. 解答: 解:圆 C1 的方程为 x +y =
2 2 2

,圆心坐标为:C1(0,0)半径 r=
2

圆 C2 的方程(x﹣cosθ) +(y﹣sinθ) =
2 2

,圆心坐标为:C2(cosθ,sinθ)半径 R=

由于 cos θ+sin θ=1 |c1c2|>R+r 所以两圆相离. 过 C2 上任意一点 P 作圆 C1 的两条切线 PM、PN,切点分别为 M、N,则要求∠MPN 的最大 值 只需满足:在圆 c2 找到距离圆 c1 最近点即可. 所以:如下图所示:|PC1|=1﹣ = |MC1|= 在 Rt△ MPC1 中,根据|PC1|= ,|MC1|=

解得: 所以:∠MPN= 即∠MPN 的最大值为:

故选:C 点评: 本题考查的知识要点:圆于圆的位置关系,特殊位置出现相关的三角形知识,及角 的最值问题.

12. (5 分)已知 F1,F2 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点.且∠F1PF2= 则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为() A. B. C. 3 D.2



考点: 椭圆的简单性质;余弦定理;双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据双曲线和椭圆的性质和关系,结合余弦定理即可得到结论. 解答: 解:设椭圆的长半轴为 a,双曲线的实半轴为 a1, (a>a1 ) ,半焦距为 c, 由椭圆和双曲线的定义可知, 设|PF1|=r1,|PF2|=r2,|F1F2|=2c, 椭圆和双曲线的离心率分别为 e1,e2 ∵∠F1PF2= ,
2 2 2

∴由余弦定理可得 4c =(r1) +(r2) ﹣2r1r2cos 在椭圆中,①化简为即 4c =4a ﹣3r1r2, 即 ,②
2 2 2 2

,①

在双曲线中,①化简为即 4c =4a1 +r1r2, 即 ,③

联立②③得,

=4,

由柯西不等式得(1+ ) (

)≥(1×

+

),

2

即(



=



,d 当且仅当

时取等号,

法 2:设椭圆的长半轴为 a1,双曲线的实半轴为 a2, (a1>a2) ,半焦距为 c, 由椭圆和双曲线的定义可知, 设|PF1|=r1,|PF2|=r2,|F1F2|=2c, 椭圆和双曲线的离心率分别为 e1,e2 ∵∠F1PF2= ,
2 2 2

∴由余弦定理可得 4c =(r1) +(r2) ﹣2r1r2cos

=(r1) +(r2) ﹣r1r2,

2

2



,得





=



令 m=

=

=





时,m



∴ 即∴

, 的最大值为 ,

故选:A 点评: 本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质,利用余弦定理和柯西不等式是解决本题 的关键.难度较大. 二、填空题(本题共 4 个小题,每题 5 分,共计 20 分.请把答案写在答题纸上)

13. (5 分)过点 P(6,﹣1) ,在 x 轴、y 轴上的截距分别为 a、b,且满足 a=3b 的直线方程 为 y=﹣ x+1 或 y=﹣ x.

考点: 专题: 分析: 解答:

直线的截距式方程. 计算题. 设出直线方程,求出 a,b,利用 a=3b,求出直线的斜率,然后求出直线方程. 解:设直线的斜率为 k,所以直线方程为:y=k(x﹣6)﹣1.

由题意可知 a= +6,b=﹣6k﹣1,因为 a=3b,所以 +6=3(﹣6k﹣1) , 解得 k=﹣ 或 k=﹣ , 故所求的直线方程为:y=﹣ x+1 或 y=﹣ x. 故答案为:y=﹣ x+1 或 y=﹣ x. 点评: 本题考查直线方程的求法,直线的截距式方程的应用,考查计算能力. 14. (5 分)圆心在直线 x﹣y﹣4=0 上,并且经过圆 x +y +6x﹣4=0 与圆 x +y +6y﹣28=0 交点 2 2 的圆的方程为 x +y ﹣x+7y﹣32=0. 考点: 圆的一般方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 设要求的圆的方程 为 (x +y +6x﹣4) +λ (x +y +6y﹣28) =0, 根据它的圆心 (﹣ ﹣ )在直线 x﹣y﹣4=0 上,求出 λ 的值,可得所求圆的方程.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2



解答: 解:设经过两圆 x +y +6x﹣4=0 和 x +y +6y﹣28=0 的交点的圆的方程为(x +y +6x 2 2 ﹣4)+λ(x +y +6y﹣28)=0, 即 x +y +
2 2

x+

y﹣

=0,则它的圆心坐标为(﹣ ﹣(﹣

,﹣

) .

再根据圆心在直线 x﹣y﹣4=0 上,可得﹣
2 2

)﹣4=0,解得 λ=﹣7,

故所求的圆的方程为 x +y ﹣x+7y﹣32=0, 2 2 故答案为:x +y ﹣x+7y﹣32=0. 点评: 本题主要考查利用待定系数法求满足条件的圆的方程,属于中档题.

15. (5 分)设 P,Q 分别为 x +(y﹣6) =2 和椭圆 距离是 .

2

2

=1 上的点,则 P,Q 两点间的最大

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: 设椭圆
2 2

=1 上的点 Q(4cosθ,2sinθ) (θ∈
2

(2a﹣n) +(m+n) =(2a﹣m) .
2 2

联立

,化为 n=a,代入可得 a =2c .

解得 e=

. .

故答案为:

点评: 本题考查了椭圆的定义及其性质、勾股定理,考查了推理能力与计算能力,属于中 档题. 三、解答题(本题共 6 个小题共计 70 分.请把解答过程写在答题纸上) 2 17. (10 分)已知命题 p:关于 x 的一元二次方程 x +2x+m=0 没有实数根,命题 q:函数 f(x) =lg(mx ﹣x+ 范围. 考点: 复合命题的真假. 专题: 函数的性质及应用 ;简易逻辑. 分析: 先将命题 p,q 化简,然后由“p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题”得 p 和 q 一真一假, 分类讨论即可. 2 解答: 解:∵方程 x +2x+m=0 没有实数根, ∴△=4﹣4m<0,解得 m>1,即命题 p:m>1, ∵函数 f(x)=lg(mx ﹣x+
2 2 2

m)的定义域为 R,若 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,求实数 m 的取值

m)的定义域为 R,

∴mx ﹣x+

m>0 对 x∈R 恒成立,即

,解得 m>2,即命题 q:m>

2, 又∵若 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,∴p 和 q 一真一假, 若 p 真 q 假,则 1<m≤2, 若 p 假 q 真,则 m≤1 且 m>2,无解, 综上,实数 m 的取值范围是 1<m≤2.

点评: 本题考查复合命题的真假判断,由“p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题”得出 p 和 q 一 真一假为解题的关键. 18. (12 分)已知圆 c 关于 y 轴对称,经过抛物线 y =4x 的焦点,且被直线 y=x 分成两段弧长 之比为 1:2,求圆 c 的方程. 考点: 圆的标准方程. 专题: 计算题. 2 分析: 根据题意设出圆的标准方程,圆 c 关于 y 轴对称,经过抛物线 y =4x 的焦点,被直线 y=x 分成两段弧长之比为 1:2,写出 a,r 的方程组,解方程组得到圆心和半径. 2 2 2 解答: 解:设圆 C 的方程为 x +(y﹣a) =r 2 ∵抛物线 y =4x 的焦点 F(1,0) 2 2 ∴1+a =r ① 又直线 y=x 分圆的两段弧长之比为 1:2, 可知圆心到直线 y=x 的距离等于半径的 ; ∴ ②
2 2

解①、②得 a=±1,r =2 2 2 ∴所求圆的方程为 x +(y±1) =2 点评: 本题考查求圆的标准方程,在题目中有一个条件一定要注意,即圆 c 关于 y 轴对称, 这说明圆心在 y 轴上,设方程的时候,要引起注意.

19. (12 分)已知双曲线

及点 P(2,1) ,是否存在过点 P 的直线 l,使直线 l 被双

曲线截得的弦恰好被 P 点平分?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设点代入双曲线方程, 作差, 假设 P 为 AB 的中点, 求出直线的斜率, 从而可得方程, 再代入双曲线方程验证,可知这样的直线不存在. 解答: 解:假设符合题意的直线 l 存在.…(1 分) 设直线 l 与双曲线的两个交点分别为 A(x1,y1) ,B(x2,y2) .



.…(5 分)

∵P(2,1)为 AB 的中点, ∴x1+x2=4,y1+y2=2.…(7 分) ∴ .…(8 分)

∴直线 l 的方程为 由过 p 与双曲线有两个焦点时 即

…(10 分) …(11 分)

∴不存在符合题意的直线 l.…(12 分) 点评: 本题的考点是双曲线的简单性质,主要考查点差法求解中点弦问题,应注意验证结 论是否满足题意. 20. (12 分)一座拱桥桥洞的截面边界由抛物线弧段 COD 和矩形 ABCD 的三边组成,拱的顶 部 O 距离水面 5m,水面上的矩形的高度为 2m,水面宽 6m,如图所示,一艘船运载一个长方 体形的集装箱,此箱平放在船上,已知船宽 5m,船面距离水面 1.5m,集装箱的尺寸为长×宽× 高=4×3×3(m) .试问此船能否通过此桥?并说明理由.

考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 应用题. 分析: 根据抛物线特点设出二次函数解析式,把 C 坐标代入即可求得解析式,求出 x=2 时 的点距水面的距离,即可得到结论. 解答: 解:设抛物线弧段 COD 的方程为 y=ax ,由题意得 C(3,﹣3) , ∴﹣3=9a,∴a=﹣ ∴y=﹣ x , 当 x=2 时, ,此 时该点距水面 5﹣ = <3+1.5
2 2

∴此船不能通过此桥 点评: 本题考查抛物线模型的构建,考查利用数学知识解决实际问题,确定抛物线的解析 式是关键. 21. (12 分)已知直线 l 与圆 x +y +2x=0 相切于点 T,且与双曲线 x ﹣y =1 相交于 A、B 两 点.若 T 是线段 AB 的中点,求直线 l 的方程. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;直线的一般式方程. 专题: 直线与圆. 分析: 设 l 的方程为 x=ky+a, 代入双曲线方程 整理, 利用根与系数的关系求得点 T 的坐标, 2 把点 T 的坐标代入圆的方程得到 k =a+2,由 O'T⊥l 得 kO'T?kl=﹣1,可得 k=0,或 2 k =2a+1.分类讨论求得 a 值,即得 k 值,从而得到所求直线 l 的方程.
2 2 2 2

解答: 解:直线 l 与 x 轴不平行,设 l 的方程为 x=ky+a,代入双曲线方程 整理得(k ﹣1) 2 2 y +2kay+a ﹣1=0. 而 k ﹣1≠0,于是
2

2

,从而

,即 T(



) .

∵点 T 在圆上,∴

,即 k =a+2,
2

2

由圆心 O'(﹣1,0) ,O'T⊥l 得 kO'T?kl=﹣1,则 k=0,或 k =2a+1. 当 k=0 时,由①得 a=﹣2,∴l 的方程为 x=﹣2; 当 k =2a+1 时,由①得 a=1 ,∴l 的方程为 . 故所求直线 l 的方程为 x=﹣2 或 . 点评: 本题考查直线和圆锥曲线的位置关系,两直线垂直的性质,体现了分类讨论的数学 思想,得到 k=0,或 k =2a+1 是解题的关键,属于中档题.
2 2 2

22. (12 分)设 F1、F2 分别是椭圆

+y =1 的左、右焦点. 的取值范围;

(1)若 P 是该椭圆上的一个动点,求向量乘积

(2)设过定点 M(0,2)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 M、N,且∠MON 为锐角(其中 O 为坐标原点) ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围. (3)设 A(2,0) ,B(0,1)是它的两个顶点,直线 y=kx(k>0)与 AB 相交于点 D,与椭 圆相交于 E、F 两点.求四边形 AEBF 面积的最大值. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的简单性质. 专题: 综合题. 分析: (1)由题设知 y) , 则 此能够求出向量乘积 的取值范围. , =x +y ﹣3=
2 2

,设 P(x, . 由

(2) 设直线 l: y=kx﹣2, M (x1, y1) , B (x2, y2) , 联立

, 得:



由韦达定理和根的判别式知: 0?

或k

,又 0°<∠MON<90°?cos∠MON>

>0,由此能求出直线 l 的斜率 k 的取值范围.

(3)由题设|BO|=1,|AO|=2.设 y1=kx1,y2=kx2,由 x2>0,y2=﹣y1>0,故四边形 AEBF 的 面积为 S=S△ BEF+S△ AEF=x2+2y2= 解答: 解: (1)根据题意易知 , 设 P(x,y) ,则 =x +y ﹣3 = = 故﹣2 . .
2 2

,由此能求出 S 的最大值. ,所以

(2)显然直线 x=0 不满足题设条件,可设直线 l:y=kx+2,M(x1,y1) ,B(x2,y2) , 联立 ,消去 y,整理得: ,





由 得: 或k ,



又 0°<∠MON<90°?cos∠MON>0?

>0,

∴x1x2+y1y2>0, 2 又 y1y2=(kx1+2) (kx2+2)=k x1x2+2k(x1+x2)+4 =

=




2



即 k <4,∴﹣2<k<2. 故由①、②得 ,或 .

(3)由题设,|BO|=1,|AO|=2.

设 y1=kx1,y2=kx2,由 x2>0,y2=﹣y1>0, 故四边形 AEBF 的面积为 S=S△ BEF+S△ AEF=x2+2y2= = ≤ =2 ,

当 x2=2y2 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 . 点评: 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉程的求法及直线与椭圆的相 关知识,解题时要注意合理地进行等价转化.


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