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2014年高考数学(文)试题分类汇编:专题3 三角函数


2014 年高考数学(文)试题分类汇编
三角函数
C1 角的概念及任意角的三角函数 2.[2014· 全国卷] 已知角 α 的终边经过点(-4,3),则 cos α =( 4 A. 5 3 B. 5 4 D.- 5 )

3 C.- 5 2.D

C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 18.[2014· 福建卷] 已

知函数 f(x)=2cos x(sin x+cos x). (1)求 f? 5π ? ? 4 ?的值;

(2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间. 18.解:方法一: (1)f? 5π ? 5π 5π ? 5π ? ? 4 ?=2cos 4 ?sin 4 +cos 4 ?

π π π =-2cos ?-sin -cos ?=2. 4? 4 4? (2)因为 f(x)=2sin xcos x+2cos2x =sin 2x+cos 2x+1 π = 2sin?2x+ ?+1, 4? ? 2π 所以 T= =π ,故函数 f(x)的最小正周期为π . 2 π π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 2 4 2 3π π 得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 8 8 3π π 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ - ,kπ + ?,k∈Z. 8 8? ? 方法二:f(x)=2sin xcos x+2cos2x =sin 2x+cos 2x+1 π = 2sin?2x+ ?+1. 4? ? (1)f? 11π 5π ? ? 4 ?= 2sin 4 +1 π +1 4

= 2sin =2.

2π (2)因为 T= =π ,所以函数 f(x)的最小正周期为π . 2 π π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 2 4 2 3π π 得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 8 8 3π π 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ - ,kπ + ?,k∈Z. 8 8? ? 2.[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 若 tan α >0,则( ) A.sin α >0 B.cos α >0 C.sin 2α >0 D.cos 2α >0 2.C 17.[2014· 山东卷] △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a=3,cos A = π 6 ,B=A+ . 3 2 (1)求 b 的值; (2)求△ABC 的面积. 17.解:(1)在△ABC 中, 由题意知,sin A= 1-cos2A= π 又因为 B=A+ , 2 π 6 所以 sin B=sin?A+ ?=cos A= . 3 2? ? asin B 由正弦定理可得,b= = sin A 3× 6 3 =3 2. 3 3 3 . 3

π π 3 (2)由 B=A+ 得 cos B=cos?A+ ?=-sin A=- . 2 3 2? ? 由 A+B+C=π ,得 C=π -(A+B), 所以 sin C=sin[π -(A+B)] =sin(A+B) =sin Acos B+cos Asin B = 3 ? 6 6 3 × - ?+ × 3 ? 3? 3 3

1 = . 3 1 1 1 3 2 因此△ABC 的面积 S= absin C= ×3×3 2× = . 2 2 3 2 C3 三角函数的图象与性质 16.[2014· 安徽卷] 设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别是 a,b,c,且 b=3,c =1,△ABC 的面积为 2.求 cos A 与 a 的值.

16.解: 由三角形面积公式,得 1 2 2 ×3×1·sin A= 2,故 sin A= . 2 3 因为 sin2A+cos2A=1, 所以 cos A=± 1-sin2A=± 8 1 1- =± . 9 3

1 1 ①当 cos A= 时,由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A=32+12-2×1×3× =8, 3 3 所以 a=2 2. 1? 1 ②当 cos A=- 时,由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A=32+12-2×1×3×? ?-3?= 3 12,所以 a=2 3. π 7.[2014· 福建卷] 将函数 y=sin x 的图像向左平移 个单位,得到函数 y=f(x)的图像, 2 则下列说法正确的是( ) A.y=f(x)是奇函数 B.y=f(x)的周期为π π C.y=f(x)的图像关于直线 x= 对称 2 π D.y=f(x)的图像关于点?- ,0?对称 ? 2 ? 7.D

图 12 5.[2014· 江苏卷] 已知函数 y=cos x 与 y=sin(2x+φ)(0≤φ<π ),它们的图像有一个横 π 坐标为 的交点,则 φ 的值是________. 3 5. π 6

7.[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y= π π cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos?2x+ ?,④y=tan?2x- ?中,最小正周期为π 的所有 6? 4? ? ? 函数为( ) A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③ 7.A 函数 y ? A sin(? x ? ?) 的图象与性质

C4

8.[2014· 天津卷] 已知函数 f(x)= 3sin ω x+cos ω x(ω>0),x∈R.在曲线 y=f(x)与直 π 线 y=1 的交点中,若相邻交点距离的最小值为 ,则 f(x)的最小正周期为( ) 3

π 2π A. B. 2 3 8.C

C.π

D.2π

7.[2014· 安徽卷] 若将函数 f(x)=sin 2x+cos 2x 的图像向右平移 φ 个单位,所得图像关 于 y 轴对称,则 φ 的最小正值是( ) π A. 8 3π C. 8 7.C π π 13.[2014· 重庆卷] 将函数 f(x)=sin(ωx+φ)?ω >0,- ≤φ < ?图像上每一点的横坐 2 2? ? π π 标缩短为原来的一半, 纵坐标不变, 再向右平移 个单位长度得到 y=sin x 的图像, 则 f? ? 6 ?6? =________. 2 13. 2 π 16.[2014· 北京卷] 函数 f(x)=3sin?2x+ ?的部分图像如图 14 所示. 6? ? π B. 4 3π D. 4

图 14 (1)写出 f(x)的最小正周期及图中 x0,y0 的值; π π (2)求 f(x)在区间?- ,- ?上的最大值和最小值. 12? ? 2 16.解:(1)f(x)的最小正周期为π . x0= 7π ,y0=3. 6

π π π 5π (2)因为 x∈?- ,- ?,所以 2x+ ∈?- ,0?. 6 ? 6 12? ? 2 ? π 于是,当 2x+ =0, 6 π 即 x=- 时,f(x)取得最大值 0; 12 π π 当 2x+ =- , 6 2 π 即 x=- 时,f(x)取得最小值-3. 3 18. , ,[2014· 福建卷] 已知函数 f(x)=2cos x(sin x+cos x).

(1)求 f?

5π ? ? 4 ?的值;

(2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间. 18.解:方法一: (1)f? 5π 5π ? 5π 5π =2cos ?sin +cos ? 4 4 4 4 ? ? ? ?

π π π =-2cos ?-sin -cos ?=2. 4? 4 4? (2)因为 f(x)=2sin xcos x+2cos2x =sin 2x+cos 2x+1 π = 2sin?2x+ ?+1, 4? ? 2π 所以 T= =π ,故函数 f(x)的最小正周期为π . 2 π π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 2 4 2 3π π 得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 8 8 3π π 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ - ,kπ + ?,k∈Z. 8 8? ? 方法二:f(x)=2sin xcos x+2cos2x =sin 2x+cos 2x+1 π = 2sin?2x+ ?+1. 4? ? (1)f? 11π 5π ? = 2sin +1 4 4 ? ? π +1 4

= 2sin =2.

2π (2)因为 T= =π ,所以函数 f(x)的最小正周期为π . 2 π π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 2 4 2 3π π 得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 8 8 3π π 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ - ,kπ + ?,k∈Z. 8 8? ? 9.[2014· 广东卷] 若空间中四条两两不同的直线 l1,l2,l3,l4 满足 l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4, 则下列结论一定正确的是( ) A.l1⊥l4 B.l1∥l4 C.l1 与 l4 既不垂直也不平行 D.l1 与 l4 的位置关系不确定

9.D [解析] 本题考查空间中直线的位置关系,构造正方体进行判断即可. 如图所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,设 BB1 是直线 l1,BC 是直线 l2,AD 是直线 l3,则 DD1 是直线 l4,此时 l1∥l4;设 BB1 是直线 l1,BC 是直线 l2,A1D1 是直线 l3,则 C1D1 是直线 l4,此时 l1⊥l4.故 l1 与 l4 的位置关系不确定.

18.[2014· 湖北卷] 某实验室一天的温度(单位:℃)随时间 t(单位:h)的变化近似满足函 数关系: π π f(t)=10- 3cos t-sin t,t∈[0,24). 12 12 (1)求实验室这一天上午 8 时的温度; (2)求实验室这一天的最大温差. 2π 2π π π 18.解:(1)f(8)=10- 3cos? ×8?-sin? ×8? =10- 3cos -sin =10- 3× 3 3 ?12 ? ?12 ? ?-1?- 3=10. ? 2? 2 故实验室上午 8 时的温度为 10 ℃. π π 3 π 1 π (2)因为 f(t)=10-2? cos t+ sin t?=10-2sin? t+ ?, ?12 3 ? ? 2 12 2 12 ? 又 0≤t<24, π π π 7π π π 所以 ≤ t+ < ,所以-1≤sin? t+ ?≤1. 3 12 3 3 ?12 3 ? π π 当 t=2 时,sin? t+ ?=1; ?12 3 ? π π 当 t=14 时,sin? t+ ?=-1. ?12 3 ? 于是 f(t)在[0,24)上取得最大值 12,最小值 8. 故实验室这一天最高温度为 12 ℃,最低温度为 8 ℃,最大温差为 4 ℃. π π 11.[2014· 辽宁卷] 将函数 y=3sin?2x+ ?的图像向右平移 个单位长度,所得图像对 2 3? ? 应的函数( ) π 7π A.在区间? , ?上单调递减 ?12 12 ? π 7π B.在区间? , ?上单调递增 12 12 ? ? π π C.在区间?- , ?上单调递减 ? 6 3? π π D.在区间?- , ?上单调递增 ? 6 3? 11.B 14.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 函数 f(x)=sin(x+φ)-2sin φ cos x 的最大值为________. 14.1 7.[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y= π π cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos?2x+ ?,④y=tan?2x- ?中,最小正周期为π 的所有 6? 4? ? ?

函数为( ) A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③ 7.A 12. ,[2014· 山东卷] 函数 y= 12.π π 2.[2014· 陕西卷] 函数 f(x)=cos?2x+ ?的最小正周期是( 4? ? π A. 2 2.B 4.[2014· 浙江卷] 为了得到函数 y=sin 3x+cos 3x 的图像,可以将函数 y= 2cos 3x 的 图像( ) π A.向右平移 个单位 12 π B.向右平移 个单位 4 π C.向左平移 个单位 12 π D.向左平移 个单位 4 4.A 3.[2014· 四川卷] 为了得到函数 y=sin(x+1)的图像,只需把函数 y=sin x 的图像上所 有的点( ) A.向左平行移动 1 个单位长度 B.向右平行移动 1 个单位长度 C.向左平行移动π 个单位长度 D.向右平行移动π 个单位长度 3.A π 17.[2014· 四川卷] 已知函数 f(x)=sin?3x+ ?. 4? ? (1)求 f(x)的单调递增区间; α π 4 (2)若 α 是第二象限角,f? ?= cos?α + ?cos 2α ,求 cos α -sin α 的值. 4? ?3? 5 ? π π 17.解:(1)因为函数 y=sin x 的单调递增区间为?- +2kπ , +2kπ ?,k∈Z, 2 ? 2 ? π π π π 2kπ π 2kπ 由- +2kπ ≤3x+ ≤ +2kπ ,k∈Z,得- + ≤x≤ + ,k∈Z, 2 4 2 4 3 12 3 π 2kπ π 2kπ ? 所以函数 f(x)的单调递增区间为?- + ,k∈Z. , + 3 12 3 ? ? 4 π π 4 (2)由已知,得 sin?α + ?= cos?α + ?(cos2α -sin2α ). 4? 5 ? 4? ? π π 所以 sin α cos +cos α sin = 4 4 π π? 4? (cos2α -sin2α ), 5?cos α cos 4 -sin α sin 4 ? B.π C.2π D.4π ) 3 sin 2x+cos2x 的最小正周期为________. 2

4 即 sin α +cos α = (cos α -sin α )2(sin α +cos α ). 5 3π 当 sin α +cos α =0 时,由 α 在第二象限内,得 α= +2kπ ,k∈Z. 4 此时,cos α -sin α =- 2. 5 当 sin α +cos α ≠0 时,(cos α -sin α )2= . 4 5 由 α 是第二象限角,得 cos α-sin α <0,此时 cos α -sin α =- . 2 5 综上所述,cos α -sin α =- 2或- . 2 C5 两角和与差的正弦余弦正切 9.[2014· 广东卷] 若空间中四条两两不同的直线 l1,l2,l3,l4 满足 l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4, 则下列结论一定正确的是( ) A.l1⊥l4 B.l1∥l4 C.l1 与 l4 既不垂直也不平行 D.l1 与 l4 的位置关系不确定 9.D

π 5π 3 2 16.[2014· 广东卷] 已知函数 f(x)=Asin?x+ ?,x∈R,且 f? ?= ? 3? ? 12 ? 2 . (1)求 A 的值; π π (2)若 f(θ)-f(-θ)= 3,θ∈?0, ?,求 f? -θ?. 2? ? ?6 ? 18.[2014· 湖北卷] 某实验室一天的温度(单位:℃)随时间 t(单位:h)的变化近似满足函 数关系: π π f(t)=10- 3cos t-sin t,t∈[0,24). 12 12 (1)求实验室这一天上午 8 时的温度; (2)求实验室这一天的最大温差. 2π 2π π π 18.解:(1)f(8)=10- 3cos? ×8?-sin? ×8? =10- 3cos -sin =10- 3× 3 3 ?12 ? ?12 ? ?-1?- 3=10. ? 2? 2 故实验室上午 8 时的温度为 10 ℃. π π 3 π 1 π (2)因为 f(t)=10-2? cos t+ sin t?=10-2sin? t+ ?, ?12 3 ? ? 2 12 2 12 ? 又 0≤t<24, π π π 7π π π 所以 ≤ t+ < ,所以-1≤sin? t+ ?≤1. 3 12 3 3 ?12 3 ?

π π? ?12t+ 3 ?=1; π π 当 t=14 时,sin? t+ ?=-1. ?12 3 ? 当 t=2 时,sin? 于是 f(t)在[0,24)上取得最大值 12,最小值 8. 故实验室这一天最高温度为 12 ℃,最低温度为 8 ℃,最大温差为 4 ℃. 19. [2014· 湖南卷] 如图 14 所示, 在平面四边形 ABCD 中, DA⊥AB, DE=1, EC= 7, 2π π EA=2,∠ADC= ,∠BEC= . 3 3 (1)求 sin∠CED 的值; (2)求 BE 的长.

图 14 19.解:设∠CED=α. (1)在△CDE 中,由余弦定理,得 EC2=CD2+DE2-2CD· DE· cos∠EDC, 于是由题设知,7=CD2+1+CD,即 CD2+CD- 6=0,解得 CD=2(CD=-3 舍去). EC CD 在△CDE 中,由正弦定理,得 = . sin∠EDC sin α 2π 3 CD·sin 2× 3 2 21 于是,sin α = = = ,即 EC 7 7 21 sin∠CED= . 7 π (2)由题设知,0<α < ,于是由(1)知, 3 21 2 7 cos α = 1-sin2α = 1- = . 49 7 2π 而∠AEB= -α,所以 3 2π 2π 2π cos∠AEB=cos? -α?=cos 3 cos α +sin 3 sin α ? 3 ? 1 3 =- cos α + sin α 2 2 1 2 7 3 21 7 =- × + × = . 2 7 2 7 14 EA 2 在 Rt△EAB 中,cos∠AEB= = ,故 BE BE 2 2 BE= = =4 7. cos∠AEB 7 14 π 16.[2014· 江西卷] 已知函数 f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+θ )为奇函数,且 f? ?=0,其中 ?4? a∈R,θ ∈(0,π ). (1)求 a,θ 的值;

α? π? 2 ?π ? ? (2)若 f? ?4?=-5,α∈? 2 ,π ?,求 sin?α + 3 ?的值. 16.解:(1)因为 f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+θ)是奇函数,而 y1=a+2cos2x 为偶函数,所 π 以 y2=cos(2x+θ )为奇函数.又 θ∈(0,π ),得 θ= , 2 2 所以 f(x)=-sin 2x·(a+2cos x). π 由 f? ?=0 得-(a+1)=0,即 a=-1. ?4? 1 (2)由(1)得,f(x)=- sin 4x. 2 α 1 2 因为 f? ?=- sin α =- , 2 5 4 ? ? π 4 所以 sin α = ,又 α∈? ,π ?, 5 ?2 ? 3 从而 cos α =- , 5 π π 4-3 3 π 所以有 sin?α + ?=sin α cos +cos α sin = . 3 3 10 3 ? ? 18. [2014· 全国卷] △ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c.已知 3acos C=2ccos A, 1 tan A= ,求 B. 3 18.解:由题设和正弦定理得 3sin Acos C=2sin Ccos A, 故 3tan Acos C=2sin C. 1 因为 tan A= , 3 所以 cos C=2sin C, 1 所以 tan C= , 2 所以 tan B=tan[180°-(A+C)] =-tan(A+C) = tan A+tan C tan Atan C-1

=-1, 所以 B=135°. 14.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 函数 f(x)=sin(x+φ)-2sin φ cos x 的最大值为________. 14.1 [解析] f(x)=sin(x+φ)-2sin φ cos x=sin xcos φ +cos xsin φ -2sin φ cos x =sin xcos φ -cos xsin φ =sin(x-φ),其最大值为 1. 17. , ,[2014· 山东卷] △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a=3,cos A = π 6 ,B=A+ . 3 2 (1)求 b 的值; (2)求△ABC 的面积. 17.解:(1)在△ABC 中, 由题意知,sin A= 1-cos2A= π 又因为 B=A+ , 2 3 . 3

π 6 所以 sin B=sin?A+ ?=cos A= . 3 2? ? asin B 由正弦定理可得,b= = sin A 3× 6 3 =3 2. 3 3

π π 3 (2)由 B=A+ 得 cos B=cos?A+ ?=-sin A=- . 2 3 2 ? ? 由 A+B+C=π ,得 C=π -(A+B), 所以 sin C=sin[π -(A+B)] =sin(A+B) =sin Acos B+cos Asin B = 3 ? 6 6 3? × + × 3 ?- 3 ? 3 3

1 = . 3 1 1 1 3 2 因此△ABC 的面积 S= absin C= ×3×3 2× = . 2 2 3 2 8.[2014· 四川卷] 如图 13 所示,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯角分 别为 75°,30°,此时气球的高度是 60 m,则河流的宽度 BC 等于( )

图 13 A.240( 3-1)m B.180( 2-1)m C.120( 3-1)m D.30( 3+1)m 8.C π 17.[2014· 四川卷] 已知函数 f(x)=sin?3x+ ?. 4? ? (1)求 f(x)的单调递增区间; α π 4 (2)若 α 是第二象限角,f? ?= cos?α + ?cos 2α ,求 cos α -sin α 的值. 4? ?3? 5 ? π π 17.解:(1)因为函数 y=sin x 的单调递增区间为?- +2kπ , +2kπ ?,k∈Z, 2 ? 2 ? π π π π 2kπ π 2kπ 由- +2kπ ≤3x+ ≤ +2kπ ,k∈Z,得- + ≤x≤ + ,k∈Z, 2 4 2 4 3 12 3 π 2kπ π 2kπ ? 所以函数 f(x)的单调递增区间为?- + ,k∈Z. , + 3 12 3 ? ? 4 π π 4 (2)由已知,得 sin?α + ?= cos?α + ?(cos2α -sin2α ). 4? 5 ? 4? ? π π 所以 sin α cos +cos α sin = 4 4 π π? 4? (cos2α -sin2α ), 5?cos α cos 4 -sin α sin 4 ?

4 即 sin α +cos α = (cos α -sin α )2(sin α +cos α ). 5 3π 当 sin α +cos α =0 时,由 α 在第二象限内,得 α= +2kπ ,k∈Z. 4 此时,cos α -sin α =- 2. 5 当 sin α +cos α ≠0 时,(cos α -sin α )2= . 4 5 由 α 是第二象限角,得 cos α-sin α <0,此时 cos α -sin α =- . 2 5 综上所述,cos α -sin α =- 2或- . 2 18.[2014· 重庆卷] 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a+b+c =8. 5 (1)若 a=2,b= ,求 cos C 的值; 2 B A (2)若 sin Acos2 +sin Bcos2 =2sin C, 2 2 9 且△ABC 的面积 S= sin C,求 a 和 b 的值. 2 7 18.解:(1)由题意可知 c=8-(a+b)= . 2 a2+b2-c2 由余弦定理得 cos C= = 2ab 5?2 ?7?2 22+? ?2? -?2? 1 =- . 5 5 2×2× 2 B A (2)由 sin Acos2 +sin Bcos2 =2sin C 可得 2 2 1+cos B 1+cos A sin A· +sin B· =2sin C, 2 2 化简得 sin A+sin Acos B+sin B+sin Bcos A=4sin C. 因为 sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)=sin C,所以 sin A+sin B=3sin C. 由正弦定理可知 a+b=3c.又 a+b+c=8,所以 a+b=6. 1 9 由于 S= absin C= sin C,所以 ab=9,从而 a2-6a+9=0,解得 a=3,所以 b=3. 2 2 C6 二倍角公式 18. , ,[2014· 福建卷] 已知函数 f(x)=2cos x(sin x+cos x). (1)求 f? 5π ? ? 4 ?的值;

(2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间. 18.解:方法一: (1)f? 5π 5π ? 5π 5π =2cos ?sin +cos ? 4 ? 4 4 ? ? 4 ?

π π π =-2cos ?-sin -cos ?=2. 4? 4 4? (2)因为 f(x)=2sin xcos x+2cos2x =sin 2x+cos 2x+1

π = 2sin?2x+ ?+1, 4? ? 2π 所以 T= =π ,故函数 f(x)的最小正周期为π . 2 π π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 2 4 2 3π π 得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 8 8 3π π 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ - ,kπ + ?,k∈Z. 8 8? ? 方法二:f(x)=2sin xcos x+2cos2x =sin 2x+cos 2x+1 π = 2sin?2x+ ?+1. 4? ? (1)f? 11π 5π ? = 2sin +1 4 ? 4 ? π +1 4

= 2sin =2.

2π (2)因为 T= =π ,所以函数 f(x)的最小正周期为π . 2 π π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 2 4 2 3π π 得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 8 8 3π π 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ - ,kπ + ?,k∈Z. 8 8? ? 14.[2014· 全国卷] 函数 y=cos 2x+2sin x 的最大值为________. 3 14. 2 16.[2014· 全国卷] 直线 l1 和 l2 是圆 x2+y2=2 的两条切线.若 l1 与 l2 的交点为(1,3), 则 l1 与 l2 的夹角的正切值等于________. 4 16. 3

2.[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 若 tan α >0,则(

)

A.sin α >0 B.cos α >0 C.sin 2α >0 D.cos 2α >0 2.C π 17.[2014· 四川卷] 已知函数 f(x)=sin?3x+ ?. 4? ? (1)求 f(x)的单调递增区间; α π 4 (2)若 α 是第二象限角,f? ?= cos?α + ?cos 2α ,求 cos α -sin α 的值. 4? ?3? 5 ? π π 17.解:(1)因为函数 y=sin x 的单调递增区间为?- +2kπ , +2kπ ?,k∈Z, 2 ? 2 ? π π π π 2kπ π 2kπ 由- +2kπ ≤3x+ ≤ +2kπ ,k∈Z,得- + ≤x≤ + ,k∈Z, 2 4 2 4 3 12 3 π 2kπ π 2kπ ? 所以函数 f(x)的单调递增区间为?- + ,k∈Z. , + 3 12 3 ? ? 4 π π 4 (2)由已知,得 sin?α + ?= cos?α + ?(cos2α -sin2α ). 4? 5 ? 4? ? π π 所以 sin α cos +cos α sin = 4 4 π π? 4? (cos2α -sin2α ), 5?cos α cos 4 -sin α sin 4 ? 4 即 sin α +cos α = (cos α -sin α )2(sin α +cos α ). 5 3π 当 sin α +cos α =0 时,由 α 在第二象限内,得 α= +2kπ ,k∈Z. 4 此时,cos α -sin α =- 2. 5 当 sin α +cos α ≠0 时,(cos α -sin α )2= . 4 5 由 α 是第二象限角,得 cos α-sin α <0,此时 cos α -sin α =- . 2 5 综上所述,cos α -sin α =- 2或- . 2 C7 三角函数的求值化简与证明

π 5π 3 2 16.[2014· 广东卷] 已知函数 f(x)=Asin?x+ ?,x∈R,且 f? ?= ? 3? ? 12 ? 2 . (1)求 A 的值; π π (2)若 f(θ)-f(-θ)= 3,θ∈?0, ?,求 f? -θ?. 2 ? ? ?6 ? 18.[2014· 湖北卷] 某实验室一天的温度(单位:℃)随时间 t(单位:h)的变化近似满足函 数关系: π π f(t)=10- 3cos t-sin t,t∈[0,24). 12 12 (1)求实验室这一天上午 8 时的温度; (2)求实验室这一天的最大温差. 2π 2π π π 18.解:(1)f(8)=10- 3cos? ×8?-sin? ×8? =10- 3cos -sin =10- 3× 3 3 ?12 ? ?12 ? ?-1?- 3=10. ? 2? 2 故实验室上午 8 时的温度为 10 ℃.

(2)因为 f(t)=10-2?

3 π 1 π ? ?π π ? cos t+ sin t =10-2sin 12t+ 3 , 2 12 2 12 ? ? ? ?

又 0≤t<24, π π π 7π π π 所以 ≤ t+ < ,所以-1≤sin? t+ ?≤1. 3 12 3 3 ?12 3 ? π π 当 t=2 时,sin? t+ ?=1; ?12 3 ? π π 当 t=14 时,sin? t+ ?=-1. ?12 3 ? 于是 f(t)在[0,24)上取得最大值 12,最小值 8. 故实验室这一天最高温度为 12 ℃,最低温度为 8 ℃,最大温差为 4 ℃. 5.[2014· 江苏卷] 已知函数 y=cos x 与 y=sin(2x+φ)(0≤φ<π ),它们的图像有一个横 π 坐标为 的交点,则 φ 的值是________. 3 5. π 6 π π π 1 2 [解析] 将 x= 分别代入两个函数,得到 sin?2× +φ?= ,解得 π +φ= + 3 3 6 3 ? ? 2

5π π π 2 2kπ (k∈Z)或 π +φ= +2kπ (k∈Z),化简解得 φ=- +2kπ (k∈Z)或 φ= +2kπ 3 6 2 6 π (k∈Z).又 φ∈[0,π ),故 φ= . 6 15.[2014· 江苏卷] 已知 α∈? (1)求 sin? π ? ? 4 +α?的值; 5π ? ? 6 -2α?的值. π 5 ? ? 2 ,π ?,sin α = 5 .

(2)求 cos?

π 5 15.解: (1)因为 α∈? ,π ?,sin α = , 5 ?2 ? 2 所以 cos α =- 1-sin2α =- 5 5 .

π π π 故 sin? +α?=sin cos α +cos sin α = 4 4 ?4 ? 2 ? 2 5? 2 5 10 × + × =- . 2 ?- 5 ? 2 5 10 (2)由(1)知 sin 2α =2sin α cos α =2× 5 × 5

?-2 5?=-4, 5 5 ? ?
cos 2α =1-2sin2α =1-2×? 所以 cos? 5?2 3 = , ?5? 5

5π 5π 5π ? ? 6 -2α?=cos 6 cos 2α +sin 6 sin 2α =

?- 3?×3+1×?-4?=-4+3 3. 10 ? 2 ? 5 2 ? 5?
π 16.[2014· 江西卷] 已知函数 f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+θ )为奇函数,且 f? ?=0,其中 ?4?

a∈R,θ ∈(0,π ). (1)求 a,θ 的值; α? π? 2 ?π ? ? (2)若 f? ?4?=-5,α∈? 2 ,π ?,求 sin?α + 3 ?的值. 16.解:(1)因为 f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+θ)是奇函数,而 y1=a+2cos2x 为偶函数,所 π 以 y2=cos(2x+θ )为奇函数.又 θ∈(0,π ),得 θ= , 2 2 所以 f(x)=-sin 2x·(a+2cos x). π 由 f? ?=0 得-(a+1)=0,即 a=-1. ?4? 1 (2)由(1)得,f(x)=- sin 4x. 2 α 1 2 因为 f? ?=- sin α =- , 2 5 ?4? π 4 所以 sin α = ,又 α∈? ,π ?, 5 ?2 ? 3 从而 cos α =- , 5 π π 4-3 3 π 所以有 sin?α + ?=sin α cos +cos α sin = . 3 3 10 3? ? → → 17. [2014· 辽宁卷] 在△ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且 a>c.已知BA· BC 1 =2,cos B= ,b=3.求: 3 (1)a 和 c 的值; (2)cos(B-C)的值. → → 17.解:(1)由BA·BC=2,得 c· acos B=2, 1 又 cos B= ,所以 ac=6. 3 由余弦定理,得 a2+c2=b2+2accos B, 又 b=3,所以 a2+c2=9+2×2=13. ?ac=6, ?a=2, ? ?a=3, ? ? 联立? 2 2 得? 或? ?a +c =13, ? ?c=3 ?c=2. ? ? 因为 a>c,所以 a=3,c=2. 1?2 2 2 (2)在△ABC 中,sin B= 1-cos2B= 1-? ?3? = 3 . c 2 2 2 4 2 由正弦定理,得 sin C= sin B= × = . b 3 3 9 因为 a=b>c,所以 C 为锐角,因此 cos C= 1-sin2C= 2 4 2? 7 1-? = . ? 9 ? 9 于是 cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C= 1 7 2 2 4 2 23 × + × = . 3 9 3 9 27 21.[2014· 辽宁卷] 已知函数 f(x)=π (x-cos x)-2sin x-2,g(x)=(x-π ) 2x -1.证明: π π (1)存在唯一 x0∈?0, ?,使 f(x0)=0; 2? ? 1-sin x + 1+sin x

π (2)存在唯一 x1∈? ,π ?,使 g(x1)=0,且对(1)中的 x0,有 x0+x1>π . ?2 ? π π 21.证明:(1)当 x∈?0, ?时,f′(x)=π +π sin x-2cos x>0,所以 f(x)在区间?0, ? 2? 2? ? ? 2 π π π 上为增函数.又 f(0)=-π -2<0,f? ?= -4>0,所以存在唯一 x0∈?0, ?,使 f(x0) 2? ?2? 2 ? =0. π cos x 2x (2)当 x∈? ,π ?时,化简得 g(x)=(π -x)· + -1. ?2 ? 1+sin x π π 令 t=π -x 则 t∈?0, ?.记 u(t)=g(π -t)= 2? ? f(t) tcos t 2 - - t+1,则 u′(t)= . 1+sin t π π (1+sin t) π π 由(1)得,当 t∈(0,x0)时,u′(t)<0;当 t∈?x0, ?时,u′(t)>0.所以在?x0, ?上 u(t) 2? 2? ? ? π π π 为增函数,由 u? ?=0 知,当 t∈?x0, ?时,u(t)<0,所以 u(t)在?x0, ?上无零点. 2? 2? ?2? ? ? 在(0,x0)上 u(t)为减函数, 由 u(0)=1 及 u(x0)<0 知存在唯一 t0∈(0,x0),使 u(t0)=0. π 于是存在唯一 t0∈?0, ?,使 u(t0)=0. 2? ? π π 设 x1=π -t0∈? ,π ?,则 g(x1)=g(π -t0)=u(t0)=0.因此存在唯一的 x1∈? ,π ?, ?2 ? ?2 ? 使 g(x1)=0. 由于 x1=π -t0,t0<x0,所以 x0+x1>π . 12. ,[2014· 山东卷] 函数 y= 12.π [解析] 因为 y= 3 sin 2x+cos2x 的最小正周期为________. 2

1+cos 2x 3 sin 2x+ = 2 2

2π π 1 sin?2x+ ?+ ,所以该函数的最小正周期 T= =π . 2 6? 2 ? π 17.[2014· 四川卷] 已知函数 f(x)=sin?3x+ ?. 4? ? (1)求 f(x)的单调递增区间; α π 4 (2)若 α 是第二象限角,f? ?= cos?α + ?cos 2α ,求 cos α -sin α 的值. 4? ?3? 5 ? π π 17.解:(1)因为函数 y=sin x 的单调递增区间为?- +2kπ , +2kπ ?,k∈Z, 2 ? 2 ? π π π π 2kπ π 2kπ 由- +2kπ ≤3x+ ≤ +2kπ ,k∈Z,得- + ≤x≤ + ,k∈Z, 2 4 2 4 3 12 3 π 2kπ π 2kπ ? 所以函数 f(x)的单调递增区间为?- + ,k∈Z. , + 3 12 3 ? ? 4 π π 4 (2)由已知,得 sin?α + ?= cos?α + ?(cos2α -sin2α ). 4? 5 ? 4? ? π π 所以 sin α cos +cos α sin = 4 4 π π? 4? (cos2α -sin2α ), 5?cos α cos 4 -sin α sin 4 ? 4 即 sin α +cos α = (cos α -sin α )2(sin α +cos α ). 5

当 sin α +cos α =0 时,由 α 在第二象限内,得 α= 此时,cos α -sin α =- 2. 5 当 sin α +cos α ≠0 时,(cos α -sin α )2= . 4

3π +2kπ ,k∈Z. 4

由 α 是第二象限角,得 cos α-sin α <0,此时 cos α -sin α =- 综上所述,cos α -sin α =- 2或- 5 . 2

5 . 2

16.[2014· 天津卷] 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a-c= b,sin B= 6sin C. (1)求 cos A 的值; π (2)求 cos?2A- ?的值. 6? ? 16.解:(1)在△ABC 中,由 =

6 6

b c = ,及 sin B= 6sin C,可得 b= 6c.又由 a-c sin B sin C

6 b,有 a=2c. 6 b2+c2-a2 6c2+c2-4c2 6 所以 cos A= = = . 2 2bc 4 2 6c (2)在△ABC 中,由 cos A= 6 10 1 ,可得 sin A= .于是 cos 2A=2cos2A-1=- ,sin 2A 4 4 4

=2sin A·cos A=

15 . 4 π π 15- 3 π 所以 cos?2A- ?=cos 2A·cos +sin 2A·sin = . 6 6 8 6? ? C8 解三角形 A-B 2

18.[2014· 浙江卷] 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 4sin2 +4sin Asin B=2+ 2. (1)求角 C 的大小; (2)已知 b=4,△ABC 的面积为 6,求边长 c 的值. 18.解:(1)由已知得 2[1-cos(A-B)]+4sin Asin B=2+ 2, 化简得-2cos Acos B+2sin Asin B= 2, 故 cos(A+B)=- 2 , 2

3π π 所以 A+B= ,从而 C= . 4 4 1 (2)因为 S△ABC= absin C, 2 π 由 S△ABC=6,b=4,C= ,得 a=3 2. 4 由余弦定理 c2=a2+b2-2abcos C,得 c= 10. 16.[2014· 安徽卷] 设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别是 a,b,c,且 b=3,c

=1,△ABC 的面积为 2.求 cos A 与 a 的值. 16.解: 由三角形面积公式,得 1 2 2 ×3×1·sin A= 2,故 sin A= . 2 3 因为 sin2A+cos2A=1, 所以 cos A=± 1-sin2A=± 8 1 1- =± . 9 3

1 1 ①当 cos A= 时,由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A=32+12-2×1×3× =8, 3 3 所以 a=2 2. 1? 1 ②当 cos A=- 时,由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A=32+12-2×1×3×? ?-3?= 3 12,所以 a=2 3. 1 12. [2014· 北京卷] 在△ABC 中, a=1, b=2, cos C= , 则 c=________; sin A=________. 4 12.2 15 8

14.[2014· 福建卷] 在△ABC 中,A=60°,AC=2,BC= 3,则 AB 等于________. 14.1 7.[2014· 广东卷] 在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,则“a≤b” 是“sin A≤sin B”的( ) A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件 7.A π 13.[2014· 湖北卷] 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 A= ,a 6 =1,b= 3,则 B=________. π 2π a b 1 3 3 13. 或 [解析] 由正弦定理得 = ,即 = ,解得 sin B= .又因为 3 3 sin A sin B 2 π sin B sin 6 π 2π b>a,所以 B= 或 . 3 3 19. [2014· 湖南卷] 如图 14 所示, 在平面四边形 ABCD 中, DA⊥AB, DE=1, EC= 7, 2π π EA=2,∠ADC= ,∠BEC= . 3 3 (1)求 sin∠CED 的值; (2)求 BE 的长.

图 14 19.解:设∠CED=α.

(1)在△CDE 中,由余弦定理,得 EC2=CD2+DE2-2CD· DE· cos∠EDC, 于是由题设知,7=CD2+1+CD,即 CD2+CD- 6=0,解得 CD=2(CD=-3 舍去). EC CD 在△CDE 中,由正弦定理,得 = . sin∠EDC sin α 2π 3 CD·sin 2× 3 2 21 于是,sin α = = = ,即 EC 7 7 sin∠CED= 21 . 7

π (2)由题设知,0<α < ,于是由(1)知, 3 21 2 7 cos α = 1-sin2α = 1- = . 49 7 2π 而∠AEB= -α,所以 3 2π 2π 2π ? cos∠AEB=cos? ? 3 -α?=cos 3 cos α +sin 3 sin α 1 3 =- cos α + sin α 2 2 1 2 7 3 21 7 =- × + × = . 2 7 2 7 14 EA 2 在 Rt△EAB 中,cos∠AEB= = ,故 BE BE 2 2 BE= = =4 7. cos∠AEB 7 14 14.[2014· 江苏卷] 若△ABC 的内角满足 sin A+ 2sin B=2sin C,则 cos C 的最小值是 ______. 14. 6- 2 4 [解析] 设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,则由正弦定

理得 a+ 2b=2c.故 a +b -c cos C = = 2ab 2
2 2 2

a2+b2-?

2 ?a+ 2b? ? ? 2 ?

2ab

3 2 1 2 2 3 2 1 2 a + b - ab a+ b 4 2 2 4 2 2 = = - ≥ 2ab 2ab 4

3 2 1 2 a· b 4 2 6- 2 2 - = , 2ab 4 4

a 2 当且仅当 3a2=2b2,即 = 时等号成立. b 3 18.[2014· 江苏卷] 如图 16 所示,为保护河上古桥 OA,规划建一座新桥 BC,同时设 立一个圆形保护区.规划要求:新桥 BC 与河岸 AB 垂直;保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆, 且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80 m. 经测 量,点 A 位于点 O 正北方向 60 m 处,点 C 位于点 O 正东方向 170 m 处(OC 为河岸),tan 4 ∠BCO= . 3 (1)求新桥 BC 的长.

(2)当 OM 多长时,圆形保护区的面积最大?

图 16 18.解: 方法一: (1)如图所示, 以 O 为坐标原点, OC 所在直线为 x 轴, 建立平面直角坐标系 xOy.

由条件知 A(0, 60), C(170,0), 4 直线 BC 的斜率 kBC=-tan∠BCO=- . 3 3 又因为 AB⊥BC, 所以直线 AB 的斜率 kAB= . 4 设点 B 的坐标为(a,b), b-0 b-60 3 4 则 kBC= =- , kAB= = , 3 a-170 a-0 4 解得 a=80, b=120, 所以 BC= (170-80)2+(0-120)2=150. 因此新桥 BC 的长是 150 m. (2)设保护区的边界圆 M 的半径为 r m, OM=d m (0≤d≤60). 4 由条件知, 直线 BC 的方程为 y=- (x-170), 3 即 4x+3y-680=0. 由于圆 M 与直线 BC 相切, 故点 M(0, d)到直线 BC 的距离是 r, |3d - 680| 680-3d 即 r= = . 5 42+32
? ?r-d≥80, 因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于 80 m,所以? ?r-(60-d)≥80, ?

-3d -d≥80, ?6805 即? 680 - 3d ? 5 -(60-d)≥80, 解得 10≤d≤35. 680 - 3d 故当 d=10 时, r = 最大, 即圆面积最大, 5 所以当 OM=10 m 时, 圆形保护区的面积最大. 方法二: (1)如图所示, 延长 OA, CB 交于点 F.

4 因为 tan∠FCO= , 3 4 3 所以 sin∠FCO= , cos∠FCO= . 5 5 因为 OA=60,OC=170, 680 OC 850 500 所以 OF=OC tan∠FCO= , CF= = , 从而 AF=OF-OA= . 3 3 cos∠FCO 3 4 因为 OA⊥OC, 所以 cos∠AFB =sin∠FCO= . 5 400 又因为 AB⊥BC,所以 BF=AFcos∠AFB= , 从而 BC=CF-BF=150. 3 因此新桥 BC 的长是 150 m. (2)设保护区的边界圆 M 与 BC 的切点为 D,连接 MD,则 MD⊥BC,且 MD 是圆 M 的 半径,并设 MD=r m,OM=d m (0≤d≤60). 因为 OA⊥OC, 所以 sin∠CFO=cos∠FCO. 680-3d MD MD r 3 故由(1)知 sin∠CFO= = = = , 所以 r= . MF OF-OM 680 5 5 -d 3 因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于 80 m,
? ?r-d≥80, 所以? ?r-(60-d)≥80, ?

-3d -d≥80, ?6805 即? 680-3d ? 5 -(60-d)≥80, 解得 10≤d≤35. 680 - 3d 故当 d=10 时, r= 最大,即圆面积最大, 5 所以当 OM=10 m 时, 圆形保护区的面积最大. 5.[2014· 江西卷] 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.若 3a=2b,则 2 2 2sin B-sin A 的值为( ) sin2A 1 1 7 A.- B. C.1 D. 9 3 2 5.D → → 17. [2014· 辽宁卷] 在△ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且 a>c.已知BA· BC 1 =2,cos B= ,b=3.求: 3 (1)a 和 c 的值; (2)cos(B-C)的值. → → 17.解:(1)由BA·BC=2,得 c· acos B=2, 1 又 cos B= ,所以 ac=6. 3 由余弦定理,得 a2+c2=b2+2accos B, 又 b=3,所以 a2+c2=9+2×2=13. ? ? ?ac=6, ?a=2, ? ?a=3, 联立? 2 2 得? 或? ? ? ?a +c =13, ? ?c=3 ?c=2. 因为 a>c,所以 a=3,c=2. 1?2 2 2 (2)在△ABC 中,sin B= 1-cos2B= 1-? ?3? = 3 . c 2 2 2 4 2 由正弦定理,得 sin C= sin B= × = . b 3 3 9 因为 a=b>c,所以 C 为锐角,因此 cos C= 1-sin2C= 4 2?2 7 1-? = . ? 9 ? 9 于是 cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C= 1 7 2 2 4 2 23 × + × = . 3 9 3 9 27 18. [2014· 全国卷] △ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c.已知 3acos C=2ccos A, 1 tan A= ,求 B. 3 18.解:由题设和正弦定理得 3sin Acos C=2sin Ccos A, 故 3tan Acos C=2sin C. 1 因为 tan A= , 3 所以 cos C=2sin C, 1 所以 tan C= , 2

所以 tan B=tan[180°-(A+C)] =-tan(A+C) = tan A+tan C tan Atan C-1

=-1, 所以 B=135°. 17.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补,AB=1,BC=3,CD= DA=2. (1)求 C 和 BD; (2)求四边形 ABCD 的面积. 17.解:(1)由题设及余弦定理得 BD2=BC2+CD2-2BC· CDcos C =13-12cos C,① BD2=AB2+DA2-2AB· DAcos A =5+4cos C.② 1 由①②得 cos C= ,故 C=60°,BD= 7. 2 (2)四边形 ABCD 的面积 1 1 S= AB·DAsin A+ BC·CDsin C 2 2 1 1 ? =? ?2×1×2+2×3×2?sin 60°=2 3. 16.[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 如图 13,为测量山高 MN,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点. 从 A 点测得 M 点的仰角∠MAN=60°, C 点的仰角∠CAB=45°, 以及∠MAC =75°,从 C 点测得∠MCA=60°.已知山高 BC=100 m,则山高 MN=________m.

图 13 16.150 17.[2014· 山东卷] △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a=3,cos A = π 6 ,B=A+ . 3 2 (1)求 b 的值; (2)求△ABC 的面积. 17.解:(1)在△ABC 中, 由题意知,sin A= 1-cos2A= π 又因为 B=A+ , 2 3 . 3

π 6 所以 sin B=sin?A+ ?=cos A= . 3 2? ? asin B 由正弦定理可得,b= = sin A 3× 6 3 =3 2. 3 3

π π 3 (2)由 B=A+ 得 cos B=cos?A+ ?=-sin A=- . 2 3 2 ? ? 由 A+B+C=π ,得 C=π -(A+B), 所以 sin C=sin[π -(A+B)] =sin(A+B) =sin Acos B+cos Asin B = 3 ? 6 6 3? × + × 3 ?- 3 ? 3 3

1 = . 3 1 1 1 3 2 因此△ABC 的面积 S= absin C= ×3×3 2× = . 2 2 3 2 16.[2014· 陕西卷] △ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. (1)若 a,b,c 成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C); (2)若 a,b,c 成等比数列,且 c=2a,求 cos B 的值. 16.解: (1)∵a,b,c 成等差数列,∴a+c=2b.由正弦定理得 sin A+sin C=2sin B. ∵sin B=sin[π -(A+C)]=sin(A+C), ∴sin A+sin C=2sin(A+C). (2)由题设有 b2=ac,c=2a, ∴b= 2a. a2+c2-b2 a2+4a2-2a2 3 由余弦定理得 cos B= = = . 2ac 4a2 4 8.[2014· 四川卷] 如图 13 所示,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯角分 别为 75°,30°,此时气球的高度是 60 m,则河流的宽度 BC 等于( )

图 13 A.240( 3-1)m B.180( 2-1)m C.120( 3-1)m D.30( 3+1)m 8.C 18.[2014· 重庆卷] 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a+b+c =8. 5 (1)若 a=2,b= ,求 cos C 的值; 2 B A (2)若 sin Acos2 +sin Bcos2 =2sin C, 2 2

9 且△ABC 的面积 S= sin C,求 a 和 b 的值. 2 7 18.解:(1)由题意可知 c=8-(a+b)= . 2 2 2 2 a +b -c 由余弦定理得 cos C= = 2ab 2 2 5? ?7? 22+? ?2? -?2? 1 =- . 5 5 2×2× 2 B A (2)由 sin Acos2 +sin Bcos2 =2sin C 可得 2 2 1+cos B 1+cos A sin A· +sin B· =2sin C, 2 2 化简得 sin A+sin Acos B+sin B+sin Bcos A=4sin C. 因为 sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)=sin C,所以 sin A+sin B=3sin C. 由正弦定理可知 a+b=3c.又 a+b+c=8,所以 a+b=6. 1 9 由于 S= absin C= sin C,所以 ab=9,从而 a2-6a+9=0,解得 a=3,所以 b=3. 2 2 C9 单元综合 18.[2014· 湖北卷] 某实验室一天的温度(单位:℃)随时间 t(单位:h)的变化近似满足函 数关系: π π f(t)=10- 3cos t-sin t,t∈[0,24). 12 12 (1)求实验室这一天上午 8 时的温度; (2)求实验室这一天的最大温差. 2π 2π π π 18.解:(1)f(8)=10- 3cos? ×8?-sin? ×8? =10- 3cos -sin =10- 3× 3 3 ?12 ? ?12 ? ?-1?- 3=10. ? 2? 2 故实验室上午 8 时的温度为 10 ℃. π π 3 π 1 π (2)因为 f(t)=10-2? cos t+ sin t?=10-2sin? t+ ?, ?12 3 ? ? 2 12 2 12 ? 又 0≤t<24, π π π 7π π π 所以 ≤ t+ < ,所以-1≤sin? t+ ?≤1. 3 12 3 3 ?12 3 ? π π 当 t=2 时,sin? t+ ?=1; ?12 3 ? π π 当 t=14 时,sin? t+ ?=-1. ?12 3 ? 于是 f(t)在[0,24)上取得最大值 12,最小值 8. 故实验室这一天最高温度为 12 ℃,最低温度为 8 ℃,最大温差为 4 ℃. 19. [2014· 湖南卷] 如图 14 所示, 在平面四边形 ABCD 中, DA⊥AB, DE=1, EC= 7, 2π π EA=2,∠ADC= ,∠BEC= . 3 3 (1)求 sin∠CED 的值; (2)求 BE 的长.

图 14 19.解:设∠CED=α. (1)在△CDE 中,由余弦定理,得 EC2=CD2+DE2-2CD· DE· cos∠EDC, 于是由题设知,7=CD2+1+CD,即 CD2+CD- 6=0,解得 CD=2(CD=-3 舍去). EC CD 在△CDE 中,由正弦定理,得 = . sin∠EDC sin α 2π 3 CD·sin 2× 3 2 21 于是,sin α = = = ,即 EC 7 7 21 sin∠CED= . 7 π (2)由题设知,0<α < ,于是由(1)知, 3 21 2 7 cos α = 1-sin2α = 1- = . 49 7 2π 而∠AEB= -α,所以 3 2π 2π 2π ? cos∠AEB=cos? ? 3 -α?=cos 3 cos α +sin 3 sin α 1 3 =- cos α + sin α 2 2 1 2 7 3 21 7 =- × + × = . 2 7 2 7 14 EA 2 在 Rt△EAB 中,cos∠AEB= = ,故 BE BE 2 2 BE= = =4 7. cos∠AEB 7 14


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