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不等式中恒成立问题(有答案)


恒成立问题
高三数学复习中的恒成立问题,涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、 化归、数形结合、函数与方程等思想方法,有利于考查学生的综合解题能力,在培养思维的 灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在 解题过程中大致可分为以下几种类型:①一次函数型;②二次函数型;③变量分离型;④根 据函数的奇偶性、周期性等性质;⑤直

接根据函数的图象。 一、一次函数型: 给定一次函数 y=f(x)=ax+b(a≠0),若 y=f(x)在[m,n]内恒有 f(x)>0,则根据函数的图象(直 线)可得上述结论等价于 ⅰ) ?
?a ? 0 ? f (m ) ? 0

或ⅱ) ?

?a ? 0 ? f (n) ? 0

亦可合并定成 ?
? f (m ) ? 0 ? f (n) ? 0

? f (m ) ? 0 ? f (n) ? 0

同理,若在[m,n]内恒有 f(x)<0,则有 ?
y

y

o m

n

x

o m

n

x

例1、 对于满足|p| ? 2 的所有实数 p,求使不等式 x2+px+1>2p+x 恒成立的 x 的取值范围。 分析:在不等式中出现了两个字母:x 及 P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量,另 一个作为常数。显然可将 p 视作自变量,则上述问题即可转化为在[-2,2]内关于 p 的一次函 数大于 0 恒成立的问题。 略解: 不等式即(x-1)p+x2-2x+1>0,设 f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,则 f(p)在[-2,2]上恒大于 0, 故有:
? f (?2) ? 0 ? ? f (2) ?
? 2 ?x ? 4x ? 3 ? 0 即? 2 ?x ? 1 ? 0 ?

解得: ?

? x ? 3或 x ? 1 ? x ? 1或 x ? ? 1

∴x<-1 或 x>3. 二、二次函数型 若二次函数 y=ax2+bx+c=0(a≠0)大于 0 恒成立,则有 ?
?a ? 0 ?? ? 0

若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求 解。 例2、 设 f(x)=x2-2ax+2,当 x ? [-1,+ ? )时,都有 f(x) ? a 恒成立,求 a 的取值范围。 分析:题目中要证明 f(x) ? a 恒成立,若把 a 移到等号的左边,则把原题转化成左边二次 函数在区间[-1,+ ? )时恒大于 0 的问题。 解:设 F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a. ⅰ)当 ? =4(a-1)(a+2)<0 时,即-2<a<1 时,对一切 x ? [-1,+ ? ),F(x) ? 0 恒成立; ⅱ)当 ? =4(a-1)(a+2) ? 0 时由图可得以下充要条件:

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? ?? ? 0 ? ( a ? 1)( a ? 2 ) ? 0 ? ? 即 ?a ? 3 ? 0 ? f ( ? 1) ? 0 ? a ? ? 1, ? ? 2a ? ?? ? ? 1, 2 ?

y

-1

o

x

得-3 ? a ? -2; 综合可得 a 的取值范围为[-3,1]。 例3、 关于 x 的方程 9x+(4+a)3x+4=0 恒有解,求 a 的范围。 分析:题目中出现了 3x 及 9x,故可通过换元转化成二次函数型求解。 解法 1(利用韦达定理) : x 设 3 =t,则 t>0.则原方程有解即方程 t2+(4+a)t+4=0 有正根。
?? ? 0 ? ? ? x1 ? x 2 ? ? ( 4 ? a ) ? 0 ?x ? x ? 4 ? 0 2 ? 1

即?

? ( 4 ? a ) 2 ? 16 ? 0 ?a ? ?4

? a ? 0或 a ? ? 8 ?? ?a ? ?4

解得 a ? -8. 解法 2(利用根与系数的分布知识) : 2 即要求 t +(4+a)t=0 有正根。设 f(x)= t2+(4+a)t+4. 10. ? =0,即(4+a)2-16=0,∴a=0 或 a=-8. a=0 时,f(x)=(t+2)2=0,得 t=-2<0,不合题意; a=-8 时, f(x)=(t-2)2=0,得 t=2>0,符合题意。 ∴ 0 ? >0,即 a<-8 或 a>0 时, 2. ∵ f(0)=4>0, 故 只 需 对 称 轴 ?
4? a 2 ? 0

a=-8.
y 4

,即

a<-4.

∴a<-8 x o 综合可得 a ? -8. 三、变量分离型 若在等式或不等式中出现两个变量,其中一 个变量的范围已 知,另一个变量的范围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两 边,则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。 例4、 已知当 x ? R 时,不等式 a+cos2x<5-4sinx+ 5 a ? 4 恒成立,求实数 a 的取值范围。 分析:在不等式中含有两个变量 a 及 x,其中 x 的范围已知(x ? R) ,另一变量 a 的范围 即为所求,故可考虑将 a 及 x 分离。 解:原不等式即:4sinx+cos2x< 5 a ? 4 -a+5 要使上式恒成立,只需 5 a ? 4 -a+5 大于 4sinx+cos2x 的最大值,故上述问题转化成求 f(x)=4sinx+cos2x 的最值问题。 f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx-1)2+3 ? 3, ∴ 5 a ? 4 -a+5>3 即 5 a ? 4 >a+2
?a ? 2 ? 0 ? 上式等价于 ? 5 a ? 4 ? 0 ? 2 ?5 a ? 4 ? (a ? 2 )

或?

?a ? 2 ? 0 ?5 a ? 4 ? 0

解得

4 5

?

a<8.
第 2 页 共 6 页

注:注意到题目中出现了 sinx 及 cos2x,而 cos2x=1-2sin2x,故若把 sinx 换元成 t,则可把原 不等式转化成关于 t 的二次函数类型。 另解:a+cos2x<5-4sinx+ 5 a ? 4 即 a+1-2sin2x<5-4sinx+ 5 a ? 4 ,令 sinx=t,则 t ? [-1,1], 整理得 2t2-4t+4-a+ 5 a ? 4 >0,( t ? [-1,1])恒成立。 设 f(t)= 2t2-4t+4-a+ 5 a ? 4 则二次函数的对称轴为 t=1, ? f(x)在[-1,1]内单调递减。 ? 只需 f(1)>0,即 5 a ? 4 >a-2.(下同) 四、直接根据图象判断 若把等式或不等式进行合理的变形后,能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象, 则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。 例 5、当 x ? (1,2)时,不等式(x-1)2<logax 恒成立,求 a 的取值范围。 分析: 若将不等号两边分别设成两个函数, 则左边为二次函数, y1=(x-1)2 图象是抛物线, 右边为常见的对数函数的图象, 故可以通过图象求 y 解。 y2=logax 解:设 y1=(x-1)2,y2=logax,则 y1 的图象为右图所示的抛物线, 1 要使对一切 x ? (1,2),y1<y2 恒成立, 显然 a>1,并且必须也只需当 x=2 时 y2 的函数值大于等于 y1 的函数值。 x o 2 故 loga2>1,a>1,? 1<a ? 2. 例 6、已知关于 x 的方程 lg(x2+20x)-lg(8x-6a-3)=0 有唯一解,求实数 a 的取值范围。 分析:方程可转化成 lg(x2+20x)=lg(8x-6a-3),从而得 x2+20x=8x-6a-3>0,注意到若将等号两 边看成是二次函数 y= x2+20x 及一次函数 y=8x-6a-3,则只需考虑这两个函数的图象在 x 轴上 方恒有唯一交点即可。 解:令 y1= x2+20x=(x+10)2-100,y2=8x-6a-3,则如图所示,y1 的图象 y 为一个定抛物线,y2 的图象是一条斜率为定值 8,而截距不定的直线, 要使 y1 和 y2 在 x 轴上有唯一交点,则直线必须位于 l1 和 l2 之间。 (包括 l1 l l1 但不包括 l2) 当直线为 l1 时, 直线过点 (-20, 此时纵截距为-6a-3=160,a= ? 0) 当直线为 l2 时,直线过点(0,0) ,纵截距为-6a-3=0,a= ? 范围为[ ?
163 6

163 6

;

l2 x -20 o

1 2

∴a 的

,?

1 2

]。

第 3 页 共 6 页

针对性练习
例1、 设 f ( x ) ? x ? 2 ax ? 2 , ( a ? R ) ,当 x ? [ ? 1, ?? ) 时, f ( x ) ? a 恒成立,求 a 的取值范围。
2

分析:方法一:当 x ? [ ? 1, ?? ) 时, f ( x ) ? a 恒成立, 即当 x ? [ ? 1, ?? ) 时, x ? 2 ax ? 2 ? a 恒成立
2

而 f ( x ) ? x ? 2 ax ? 2 ? ( x ? a ) ? 2 ? a 在 x ? [ ? 1, ?? ) 上的最小值是
2 2 2

? 2 ? a 2 , a ? [ ? 1, ?? ) f min ( x ) ? ? ? 3 ? 2 a , a ? ( ?? , ? 1)

由 f min ( x ) ? a 知 ?

?a ? ?1 ?2 ? a
2

? a

或?

?a ? ?1 ?3 ? 2 a ? a

得 a ? [ ? 3 ,1]

方法二:当 x ? [ ? 1, ?? ) 时, f ( x ) ? a 恒成立, 即当 x ? [ ? 1, ?? ) 时, x ? 2 ax ? 2 ? a 恒成立
2

即当 x ? [ ? 1, ?? ) 时, x ? 2 ax ? 2 ? a ? 0 恒成立的充要条件是
2

① ? ? 0 ? a ? [ ? 2 ,1]

?? ? 0 ? ? a ? [ ? 3, ? 2 ] ② ?a ? ?1 ? f ( ? 1) ? 0 ?

综合起来,得 a ? [ ? 3 ,1] 方法三:当 x ? [ ? 1, ?? ) 时, f ( x ) ? a 恒成立, 即当 x ? [ ? 1, ?? ) 时, x ? 2 ax ? 2 ? a 恒成立
2

即当 x ? [ ? 1, ?? ) 时, ( 2 x ? 1) a ? x ? 2 恒成立,
2

分三种情况 2 x ? 1 ? 0 , 2 x ? 1 ? 0 , 2 x ? 1 ? 0 讨论 评注:本例适宜用二次函数的最值来处理,不宜用参变量分离。

例2、 已知函数 f (t ) 对任意实数 x , y 都有
f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ) ? 3 xy ( x ? y ? 2 ) ? 3 , f (1) ? 1

(1)若 t 为自然数,试求 f (t ) 的表达式; (2)若 t 为自然数,且 t ? 4 时, f ( t ) ? mt
2

? ( 4 m ? 1) t ? 3 m 恒成立,求 m 的最大值。

第 4 页 共 6 页

解(1) f ( t ) ? t ? 3 t ? 3 , ( t ? N )
3 2

(2)由题意, t ? 3 t ? 3 ? mt
3 2

2

? ( 4 m ? 1) t ? 3 m 当 t ? 4 , t ? N 时恒成立

m ( t ? 4 t ? 3 ) ? t ? 3 t ? t ? 3 当 t ? 4 , t ? N 时恒成立
2 3 2

? t ? 4 ? t ? 4t ? 3 ? 0 ? m ?
2

( t ? 3 )( t

2

? 1)

( t ? 1)( t ? 3 )

? t ? 1 当 t ? 4 , t ? N 时恒成立

记 h ( t ) ? t ? 1 , t ? [ 4 , ?? ] , 函数 h ( t ) ? t ? 1 , t ? [ 4 , ?? ] 的图象表示在 t ? [ 4 , ?? ] 上的一条射线, 所以要使问题恒成立,只要 m ? h min ( t ) ? h ( 4 ) ? 3
? m ? 3 ,? m max ? 3

评注:本例不适宜用三次函数的最值来处理,宜用参变量分离。

例 3、函数 f ( x ) ?

x ? 2x ? a
2

, x ? [1, ?? )

x

若对任意 x ? [1, ?? ) , f ( x ) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。 分析:若对任意 x ? [1, ?? ) , f ( x ) ? 0 恒成立,
x ? 2x ? a
2

即对 x ? [1, ?? ) , f ( x ) ?

? 0 恒成立,

x

考虑到不等式的分母 x ? [1, ?? ) ,只需 x ? 2 x ? a ? 0 在 x ? [1, ?? ) 时恒成立而得
2

方法一:考虑抛物线 g ( x ) ? x ? 2 x ? a 在 x ? [1, ?? ) 的最小值 g min ( x ) ? g (1) ? 3 ? a ? 0 得 a ? ? 3
2

方法二:考虑参数分离只需 a ? ? x ? 2 x 在 x ? [1, ?? ) 时恒成立, 考虑定抛物线 g ( x ) ? ? x ? 2 x 在
2

2

x ? [1, ?? ) 的最大值 g max ( x ) ? g (1) ? ? 3 ,得 a ? ? 3

评注:本例只要适当挖掘隐含条件,无论是用二次函数的最值来处理,还是用参变量分离来处理均可。
2 3

例 4、已知 f ( x ) ? 4 x ? ax

2

?

x ( x ? R ) 在区间 [ ? 1,1] 上是增函数
3

(1)求实数 a 的值组成的集合 A ; (2)设关于 x 的方程 f ( x ) ? 2 x ?
m
2

1 3

x 的两个非零实根为 x 1 , x 2 。试问:是否存在实数 m ,使得不等式

3

? tm ? 1 ? x 1 ? x 2 对任意 a ? A 及 t ? [ ? 1,1] 恒成立?若存在,求 m 的取值范围;若不存在,请说明

理由。
第 5 页 共 6 页

分析: (1)由 f ( x ) ? 4 x ? ax

2

?

2 3

x ( x ? R ) 在区间 [ ? 1,1] 上是增函数
3

2 得 f ? ( x ) ? 0 在 [ ? 1,1] 恒成立,即 ? 2 x ? 2 ax ? 4 ? 0 在 x ? [? 1,1] 恒成立,

所以 x ? ax ? 2 ? 0
2

①在 x ? [? 1,1] 恒成立

令 ? ( x ) ? x ? ax ? 2 , x ? [? 1,1]
2

式①成立的充要条件是

?? ( ? 1) ? ? a ? 1 ? 0 ? ?? (1) ? a ? 1 ? 0

解得 ? 1 ? a ? 1
1 3 2 3
2

(2)由 f ( x ) ? 2 x ?
2

x 得 4 x ? ax
3

2

?

x ? 2x ?
3

1 3

x

3

x 1 ? 0 , x ? ax ? 2 ? 0 由 ? ? a

? 8 ? 0 ,又 a ? A ? a ? [? 1,1]

记 g ( x ) ? x1 ? x 2 ?
2

a

2

? 8 , a ? [ ? 1,1] ? g ( x ) ? x 1 ? x 2 ?

a ?8 ? 3,
2

问题转化为 m ? tm ? 1 ? 3 ,对任意 t ? [ ? 1,1] 恒成立 记 h ( t ) ? mt ? m ? 2 , t ? [ ? 1,1] ,
2

函数 h ( t ) ? mt ? m ? 2 , t ? [ ? 1,1] 图象表示在 [ ? 1,1] 上的一条线段,
2

? h ( ? 1) ? 0 要使问题恒成立,只要 ? ,? ? h (1) ? 0

2 ? ?? m ? m ? 2 ? 0 ? ?m ? m 2 ? 2 ? 0 ?

得解 m ? ? 2 或 m ? 2

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