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【世纪金榜】2016届高三文科数学总复习课件:3.3三角函数的图象与性质


第三节 三角函数的图象与性质

【知识梳理】

1.必会知识

教材回扣

填一填

(1)周期函数: 非零常数T 使得当x取___ 定 ①周期函数:对于函数f(x),如果存在一个__________,

义域 内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那

么函数f(x)就叫做周期 _____
非零常数T 叫做这个函数的周期. 函数,__________ 最小的正 ②最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_________ 数 那么这个_________ 最小正数 就叫做f(x)的最小正周期. ___,

(2)正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质: 函数 y=sinx y=cosx y=tanx

图象
?

定义域 值域 最小正周期

R __
[-1,1] ________ 2π

R __
[-1,1] ________ 2π

{x|x∈R且x≠ + _______________ 2 k π ,k∈Z} _______________ R __ π

函数 奇偶性

y=sinx 奇函数 递增区间是
? ? [2k? ? , 2k? ? ] ______________ 2 2

y=cosx 偶函数

y=tanx 奇函数

递增区间是 [2kπ -π , ___________ 2kπ ](k∈Z), ___________ 递减区间是 [2kπ ,2kπ + _____________

(k∈Z) ______, 单调性 递减区间是
? 3? [2k? ? , 2k? ? ] ______________ 2 2

递增区间是
? ? (k? ? , k? ? ) __________ 2 2

(k∈Z) _______

π ](k∈Z) __________

(k∈Z) _____

函数

y=sinx
? ? 2k?(k ? Z) x=___________ 时, 2

y=cosx 2kπ (k∈Z) 时, x=___________ ymax=1; π +2kπ (k∈Z) x=______________ 时,ymin=-1

y=tanx

最值

ymax=1;

无最大值
和最小值

? ? ? 2k?(k ? Z) x=____________ 2

时,ymin=-1

函数 对称 对 中心 称 性 对称 轴

y=sinx

y=cosx
? (k? ? ,0), k ? Z 2 ____________ (

y=tanx
k? ,0), k ? Z 2 ___________

(kπ ,0), ___________ k∈Z _____
? x ? k? ? , k ? Z ____________ 2

x=kπ ,k∈Z ____________

无对称轴

2.必备结论

教材提炼

记一记

对称与周期
①正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是

半周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是 1 周期.
4

②正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期.

3.必用技法

核心总结

看一看

(1)常用方法:数形结合法.
(2)数学思想:函数与方程、数形结合. (3)记忆口诀:正(余)弦曲线,都是一条波浪线 波峰取得最大值,波谷处见最小值 波峰、波谷相连间,要么递增要么减 两条曲线很完美,中心对称轴对称

【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判

(1)正弦函数y=sin x在其任一周期内都只有一个增区间,一个减区 间.( ) )

(2)余弦函数y=cos x的对称轴是y轴.(

(3)正切函数y=tan x在定义域内是增函数.(

)

(4)若非零实数T是函数f(x)的周期,则kT(k是非零整数)也是函数f(x)

的周期.(

)

【解析】(1)错误.如正弦函数y=sin x在[0,2π)上有两个增区间 [0,
? ]和[ 3 ? ,2π).(2)错误.余弦函数y=cos x的对称轴有无穷多 2 2

条,y轴只是其中的一条.(3)错误.正切函数y=tan x在每一个区间 (kπ- ? ,kπ+ ? )(k∈Z)上都是增函数,但在定义域内不是单调函
2 2

数,故不是增函数.(4)正确.周期函数的周期不只一个,其某一周期 的非零整数倍全是其周期. 答案:(1)× (2)× (3)× (4)√

2.教材改编

链接教材

练一练
3

(1)(必修4P40T3(2)改编)函数f(x)=4-2cos 1 x的最小值是_____,取

得最小值时,x的取值集合为______.
【解析】f(x)min=4-2=2,此时, 1 x=2kπ(k∈Z),x=6kπ(k∈Z),所以
3

x的取值集合为{x|x=6kπ,k∈Z}
答案:2 {x|x=6kπ,k∈Z}

(2)(必修4P44例6改编)函数y=tan( ? x ? ? )的最小正周期是______,
2 3

单调增区间是_________.
? ? ? ? 【解析】T ? ? ? ? ? 2, 由 ? ? k? ? x ? ? ? k? ,得 ? 1 ? 2k <x

| ?|

< 5 ? 2k ,即函数的增区间是 (? 1 ? 2k, 5 ? 2k)(k ? Z).
3 3 3

? 2

2

2

3

2

3

答案: 2

1 5 (? ? 2k, ? 2k)(k ? Z) 3 3

3.真题小试

感悟考题

试一试
4

(1)(2014·陕西高考)函数f(x)=cos(2x+ ? )的最小正周期是(
A. ? 2 B.? C.2? D.4?

)

【解析】选B.由 T ? 2? ? 2? ? ? ,故B正确.
? 2

(2)(2014·福建高考)将函数y=sin x的图象向左平移 ? 个单位,得
2

到函数y=f(x)的函数图象,则下列说法正确的是(
A.y=f(x)是奇函数

)

B.y=f(x)的周期是π
C.y=f(x)的图象关于直线x=
2 ? 对称 2

D.y=f(x)的图象关于点(- ? ,0)对称

【解析】选D.将函数y=sin x的图象向左平移 ? 个单位, 得到函数
y=sin(x+
? )=cos x的图象.该函数是偶函数,故A错;周期为2π, 2 2

故B错;该函数图象的对称轴为x=kπ(k∈Z),故C错;对称中心为
( ? +kπ,0)(k∈Z),故D正确.
2

5? ? (3)(2015·长春模拟)已知ω >0,0<φ<π ,直线x= 和x= 是函数 4 4

f(x)=sin(ω x+φ)图象的两条相邻的对称轴,则φ=(
A. ? 4 B. ? 3 C.

)

? 3? D. 2 4 ? 【解析】选A.由于直线x= 和x= 5? 是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象 4 4

的两条相邻的对称轴,所以函数f(x)的最小正周期T=2π,所以ω=1, 所以 +φ=kπ+
? 4

(k∈Z).又0<φ<π,所以φ=

? 2

? . 4

考点1

三角函数的定义域及简单的三角不等式
6 ? B.{x | x ? ? } 12 k? ? D.{x | x ? ? (k ? Z)} 2 6

【典例1】(1)函数f(x)=-2tan(2x+ ? )的定义域是(
? A.{x | x ? } 6 ? C.{x | x ? k? ? (k ? Z)} 6

)

(2)不等式 3 +2cos x≥0的解集是_________. (3)函数f(x)= 64 ? x 2 +log2(2sin x-1)的定义域是___________.

【解题提示】(1)利用正切函数的定义域求解.
(2)利用余弦函数的图象求解.

(3)由题意列不等式组求解.

【规范解答】(1)选D.由正切函数的定义域,得 2x ? ? ? k? ? ? , 即
x? k? ? (k∈Z),故选D. ? 2 6 6 2

(2)由 3 +2cos x≥0, 得cos x≥ ? 3 ,
2

由余弦函数的图象,得 在一个周期[-π,π]上,不等式cos x≥? ≤ ?}, 故原不等式的解集为 {x | ? 5 ? ? 2k? ? x ? 5 ? ? 2k?, k ? Z}.
6 6 5 5 答案: {x | ? ? ? 2k? ? x ? ? ? 2k?, k ? Z} 6 6 5 6

3 5? 的解集为{x|≤x 6 2

?64 ? x 2 ? 0,① (3)由题意,得 ? ?2sin x ? 1 ? 0,② 由①得-8≤x≤8,由②得sin x> 1 ,由正弦曲线得 ? +2kπ<x 6 2 < 5 ? +2kπ(k∈Z). 6 所以不等式组的解集为 (? 11 ?, ? 7 ?) ( ? , 5 ?) (13? ,8]. 6 6 6 6 6 答案:(? 11 ?, ? 7 ?) ( ? , 5 ?) (13? ,8] 6 6 6 6 6

【易错警示】解答本例(3)有三点容易出错:

(1)考虑问题不全面致错.
(2)列错不等式2sin x-1≥0,或解错不等式2sin x-1>0.

(3)不知道辨析大小而取错交集,导致答案错误.

【互动探究】本例(2)改为求不等式 3 +2cos x<0的解集,如何求?
【解析】由 3 +2cos x<0,得cos x< ? 3 .
2

由余弦函数的图象得,其解集为 {x | 5 ? ? 2k? ? x ? 7 ? ? 2k?, k ? Z}.
6 6

【规律方法】 1.三角函数定义域的求法 (1)应用正切函数y=tan x的定义域求函数y=Atan (ω x+φ)的定义域. (2)转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域. 2.简单三角不等式的解法 (1)利用三角函数线求解. (2)利用三角函数的图象求解.

【变式训练】(2015·深圳模拟)函数 y ? sin x ? cos x 的定义域为___. 【解析】要使函数有意义,必须使sin x-cos x≥0. 利用图象.在同一坐标系中画出[0,2π]上y=sin x和y=cos x的图 象,如图所示.

5? 再结合正弦、余弦函 在[0,2π]内,满足sin x=cos x的x为 ? , ,

数的周期是2π,所以定义域为 {x | ? ? 2k? ? x ? 5? ? 2k?, k ? Z}.
? 5? 答案: {x | ? 2k? ? x ? ? 2k?, k ? Z} 4 4 4 4

4 4

【加固训练】函数 y ? 1 ? tan 2 x 的定义域是_______. 【解析】由1-tan2x≥0得tan2x≤1,即-1≤tan x≤1,由正切函数的图 象得不等式的解集为 {x | ? ? ? k? ? x ? ? ? k?, k ? Z}.
? ? 答案: {x | ? ? k? ? x ? ? k?, k ? Z} 4 4 4 4

考点2

三角函数的最值与值域
6 6

【典例2】(1)函数y=-2sin x-1,x∈[ 7 ?, 13 ? )的值域是(
A.[-3,1] B.[-2,1] C.(-3,1] D.(-2,1]

)

(2)(2015·成都模拟)函数y=cos2x-2sin x的最大值与最小值分别
为( )

A.3,-1

B.3,-2

C.2,-1

D.2,-2

【解题提示】(1)弄清角x的取值范围,结合正弦曲线求解. (2)换元转化为二次函数的最值. 【规范解答】(1)选D.由正弦曲线知y=sin x在[ 7 ?, 13 ? )上,-1≤ sin x< 1 ,所以函数y=-2sin x-1,x∈[ 7 ? , 13 ? )的值域是(-2,1].
2 6 6 6 6

(2)选D.y=cos2x-2sin x=1-sin2x-2sin x =-sin2x-2sin x+1, 令t=sin x,则t∈[-1,1], y=-t2-2t+1

=-(t+1)2+2,
所以ymax=2,ymin=-2.

【互动探究】本例(2)中,若x∈[ ?, ? ],试求函数的值域. 【解析】因为y=cos2x-2sin x =-sin2x-2sin x+1. 令t=sin x,则t∈[ ? 1 , 1 ],
2 2

5 6

7 6

y=-t2-2t+1 =-(t+1)2+2, 所以ymax= 7 ,ymin= ? 1 ,
4 4 故函数的值域是[ ? 1 , 7 ]. 4 4

【规律方法】三角函数最值或值域的三种求法 (1)直接法:利用sin x,cos x的值域.

(2)化一法:化为y=Asin(ω x+φ)+k的形式,确定ω x+φ的范围,
根据正弦函数单调性写出函数的值域.

(3)换元法:把sin x或cos x看作一个整体,转化为二次函数,求给
定区间上的值域(最值)问题.

【变式训练】1.(2015·青岛模拟)函数y=2sin( ?x ? ? )(0≤x≤9)的
6 3

最大值与最小值之和为(
A.2 ? 3 B.0 C. ?1

)
D. ?1 ? 3

【解析】选A.利用三角函数的性质先求出函数的最值.
因为0≤x≤9,所以 ? ? x ? ? 所以 sin( ? x ? ? ) ?[? 3 ,1].
6 3 2
? 3 ? 6 ? 3 7? , 6

所以y∈[- 3 ,2],所以ymax+ymin=2- 3 .

2.函数y=-2cos( 1 x ? ? )+1的最大值是__________,此时x的取值集合
2 3

为__________.
【解析】ymax=-2×(-1)+1=3,

此时,1 x ? ? =2kπ+π,即x=4kπ+
2 3

8? (k∈Z). 3

答案:3 {x | x ? 4k? ? 8 ?, k ? Z}
3

【加固训练】1.函数y=sin x-cos x+sin xcos x,x∈[0,π ]的 最小值是_________.

【解析】设sin x-cos x=t,t ? 2sin(x ? ),
? 3 4 4 2 1 ? t 所以t∈[-1, 2 ],sin xcos x= , 2 2 1? t 1 所以 y ? t+ ? ? (t ? 1) 2+, 1 2 2

因为x∈[0,π],所以 x ? ? [? , ?],

? 4

? 4

当t=-1时,ymin=-1.
答案:-1

2.函数 y ? cos x ? 5 的值域为________.

2 ? cos x 2y ? 5 【解析】由 y ? cos x ? 5 ,得 cos x ? . 2 ? cos x y ?1 2y ? 5 因为-1≤cos x≤1,所以-1≤ ≤1,解得 4 ? y ? 6. y ?1 3 因此,原函数的值域为 [ 4 ,6]. 3 4 答案: [ , 6] 3

【一题多解】本题还可如下求解:
cos x ? 2 ? 7 7 y? ? ?1 ? . 2 ? cos x 2 ? cos x

因为-1≤cos x≤1,所以1≤2-cos x≤3.
7 7 4 7 ? ? 7, ? ?1 ? ? 6. 3 2 ? cos x 3 2 ? cos x 即原函数的值域为 [ 4 ,6]. 3 4 答案: [ , 6] 3

考点3

三角函数的性质 知·考情

求三角函数的单调区间,或已知函数在某区间上单调求参数的取 值范围,以及对三角函数奇偶性的考查是高考的重点,每年必考,常 以选择题、填空题的形式出现.

明·角度 命题角度1:三角函数的奇偶性与周期性 【典例3】(2015·吉林模拟)函数 y ? 2cos 2 (x ? ? ) ? 1 是(
4

)

A.最小正周期为π 的奇函数 B.最小正周期为π 的偶函数 C.最小正周期为 ? 的奇函数
2 ? D.最小正周期为 的偶函数 2

【解题提示】利用二倍角公式降幂化简再判断.

【规范解答】选A. y ? 2cos 2 (x ? ) ? 1

? 4 ? ? ? ? cos 2(x ? ) ? cos(2x ? ) ? cos( ? 2x) ? sin 2x. 4 2 2

则函数为最小正周期为π的奇函数.

命题角度2:三角函数的单调性 【典例4】(2015·石家庄模拟)若f(x)=2sin ω x+1(ω >0)在区间
? 2? ]上是增函数,则ω 的取值范围是________. 2 3 【解题提示】根据[ ? ? , 2? ]是相应增区间的子集构造不等式求解 . 2 3

[? ,

【规范解答】由 2k? ? ? ? ?x ? 2k?+ ? ,k ? Z,
2 2 得f(x)的增区间是 [ 2k? ? ? , 2k? ? ? ],k ? Z. ? 2? ? 2? 因为f(x)在[ ? ? , 2? ]上是增函数, 2 3 所以 [? ? , 2? ] ? [? ? , ? ]. 2 3 2? 2 ? 所以 ? ? ? ? ? 且 2? ? ? ,所以ω∈ (0, 3 ]. 3 2? 4 2 2? 3 答案: (0, ] 4

【一题多解】解答本题,还有以下两种解法: 方法一:因为x∈[ ? ? , 2? ],ω>0.
2 3 所以ωx∈[ ? ?? , 2?? ], 2 3 又f(x)在区间[ ? ? , 2? ]上是增函数, 2 3 ?? 2?? ? ? 所以 [? , ] ? [? , ], 2 3 2 2 ? ? ?? ? ? ? , ? 2 2 又ω>0, 则 ? ? ? 2?? ? ? , ? 2 ? 3 得0<ω≤ 3 . 4

2? 方法二:因为f(x)在区间[ ? ? , 2? ]上是增函数,故原点到 ? ? ,

2 3 2 3 ?? T ? , T ? 的距离不超过 ,即 ? 2 4 得T≥ 8? ,即 2 ? ≥ 8? ,又ω>0, ? 4 3 ? 3 ? 2? ? T , ? ?3 4 3 得0<ω≤ . 4 答案:(0, 3 ] 4

悟·技法 1.奇偶性与周期性的判断方法 (1)奇偶性:由正、余弦函数的奇偶性可判断y=Asin ω x和 y=Acos ω x分别为奇函数和偶函数. (2)周期性:利用函数y=Asin(ω x+φ),y=Acos(ω x+φ)(ω >0)的周
2? ? 期为 ,函数y=Atan(ω x+φ)(ω >0)的周期为 求解. ? ?

2.求三角函数单调区间的两种方法

(1)代换法:就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作
一个角u(或t),利用基本三角函数的单调性列不等式求解. (2)图象法:画出三角函数的正、余弦曲线,结合图象求它的单调区 间. 提醒:求解三角函数的单调区间时若x的系数为负应先化为正,同时 切莫漏掉考虑函数自身的定义域.

3.已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法

(1)子集法:求出原函数的相应单调区间,由已知区间是所求某区间
的子集,列不等式(组)求解. (2)反子集法:由所给区间求出整体角的范围,由该范围是某相应正、 余弦函数的某个单调区间的子集,列不等式(组)求解. (3)周期法:由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超 过 1 周期列不等式(组)求解.
4

通·一类

1.(2015·临沂模拟)已知函数f(x)=4sin( ? -2x),x∈[-π ,0],则
3

f(x)的单调递减区间是(
7 ? A.[? ?, ? ] 12 12 ? B.[??, ? ] 2 7? ? C.[??, ? ],[? ,0] 12 12 5 ? D.[??, ? ?],[? ,0] 12 12

)

【解析】选C.f(x)= 4sin( ? ? 2x) ? ?4sin(2x ? ? ).

由 ? ? ? 2k? ? 2x ? ? ? ? ? 2k? (k∈Z),得
2 3 2 ?

3

3

? 5 ? k? ? x ? ? ? k?(k ? Z). 12 12 ? 5 所以函数f(x)的减区间是[ ? ? k?, ? ? k? ](k∈Z). 12 12

因为x∈[-π,0],

所以函数f(x)的减区间是 [??, ?

7 ? ?],[? ,0]. 12 12

2.(2015·福州模拟)函数f(x)=sin(xA.x ? ? 4 B.x ? ? 2 C.x ? ? ? 4

? )的图象的一条对称轴是( 4 ? D.x ? ? 2

)

【解析】选C.方法一:(图象特征)
因为正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点,

故令x- ? =kπ+ ? ,k∈Z,所以x=kπ+3? ,k∈Z.
2 取k=-1,则 x ? ? ? . 4 4 4

方法二:(验证法)
? ? ? 时,sin( - )=0,不合题意,排除A;x= ? 时, 4 4 4 2 ? sin( - ? )= 2 ,不合题意,排除B;x=- ? 时,sin(- ? - ? )=-1, 2 4 4 4 4 2 符合题意,C项正确;而x=- ? 时,sin(- ? - ? )= ? 2 , 不合题意,故 2 2 4 2

x=

D项也不正确.

3.(2015·银川模拟)已知函数f(x)=sin( 2x ? 3? )(x∈R),下面结论错
2

误的是(

)

A.函数f(x)的最小正周期为π
B.函数f(x)是偶函数

C.函数f(x)的图象关于直线x= ? 对称
D.函数f(x)在区间[0,
? ]上是增函数 2 4

【解析】选C.f(x)=sin(2x+ 3? )=-cos 2x,故其最小正周期为π,故A
2

正确;易知函数f(x)是偶函数,B正确;由函数f(x)=-cos 2x的图象
可知,函数f(x)的图象不关于直线x=
2 ? 对称,C错误;由函数f(x)的 4

图象易知,函数f(x)在[0, ? ]上是增函数,D正确.

4.(2015·承德模拟)若函数f(x)=sin ω x(ω >0)在[0, ? ]上单调递 增,在区间[ , ]上单调递减,则ω =_____.
? ? 3 2 3

【解析】方法一:由于函数f(x)=sin ωx(ω>0)的图象经过坐标原
点,由已知并结合正弦函数的图象可知, ? 为函数f(x)的 1 周期,
3 4

故 2? ? 4? ,解得 ? ? 3 .
? 3 2 3

方法二:由题意,得f(x)max=f( ? )=sin ? ω=1.

3 ? ? 由已知并结合正弦函数图象可知, ? ? , 解得 ? ? 3 . 3 2 2 3 答案: 2

巧思妙解6

巧用诱导公式解决奇偶性问题

【典例】(2015·合肥模拟)把函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π )的图 象向右平移 为(
A. ? ? 3 ? 个单位,所得图象对应的函数是偶函数,则φ的值 12 ? 3

)
B.0 C. 2 D. ? 3

【常规解法】选D.平移后,所得图象对应的函数是g(x)=
? sin[2(x- ? )+φ]=sin(2x+φ- ),由题意得,g(x)是偶函数,所以 12 6

对x∈R,g(-x)=g(x)恒成立,
因此sin(-2x+φ- )=sin(2x+φ? 6 ? ), 6

? ? )+cos 2xsin(φ- ) 6 6 ? ? =sin 2xcos(φ- )+cos 2xsin(φ- ), 6 6 ? 整理得sin 2xcos(φ- )=0. 6

即-sin 2xcos(φ-

? )=0.又因为0<φ<π, 6 ? ? 故φ- = .所以φ= 2? . 6 2 3

因为x∈R,所以cos(φ-

【巧妙解法】选D.平移后,所得图象对应的函数是g(x)=
? sin[2(x- ? )+φ]=sin(2x+φ- ), 12 6

由题意,g(x)是偶函数.

所以φ即 φ=

2 π+kπ(k∈Z), 3 2 π. 3

? ? = +kπ(k∈Z) 6 2

因为0<φ<π,
所以φ=

【方法指导】 1.诱导公式的应用 (1)应用诱导公式把正弦化为余弦,如sin( ? +x)=cos x,sin( ? -x)
cos x,k是偶数, =cos x,sin( ? +kπ +x)= ? ?
2 2 2

(2)应用诱导公式把余弦化为正弦,如cos( ? +x)=-sin x,
2 ?sin x, k是偶数, ? ? cos( -x)=sin x,cos( +kπ +x)= ? ? 2 2 ?sin x, k是奇数.

??cos x,k是奇数.

2.正、余弦型函数奇偶性的判断技巧 函数y=sin(x+φ),当φ=kπ + 函数y=cos(x+φ),当φ=kπ +
? 时是偶函数. 2

? 时是奇函数. 2

【类题试解】(2015·昆明模拟)若函数f(x)=cos(2x+φ(0<φ<π )是奇函数,则φ=______. 【常规解法】因为f(x)为奇函数, 所以对x∈R,f(-x)=-f(x)恒成立,
? ? 因此cos(-2x+φ- )=-cos(2x+φ- ). 3 3 ? ? 即cos 2xcos(φ- )+sin 2xsin(φ- )= 3 3 ? ? -cos 2x cos(φ- )+sin 2xsin(φ- ), 3 3

? ) 3

? )=0. 3 ? 因为x∈R,所以cos(φ- )=0. 3 ? ? 5? 又因为0<φ<π,故φ- = ,所以φ= . 3 2 6 5? 答案: 6

整理得cos 2xcos(φ-

【巧妙解法】因为f(x)为奇函数,
5? ? ? = +kπ,φ= +kπ,k∈Z. 6 3 2 5? 又因为0<φ<π,故φ= . 6 5? 答案: 6

所以φ-


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