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高中数学复习函数专题练习题


(2012 年栟茶高级中学高三阶段考试)若函数

f (x)

为定义域 D 上单调函数,且存在区间
b 的值域恰为 ? a, ? ,则称函数
x ?m
2

? a,b ? ? D

b (其中 a ? b ) ,使得当 x ? ? a, ?

时,



f (x)

f (x)

是D

b 上的正函数,区间 ? a, ? 叫做等域区间.如果函数 g ( x ) ? m 的取值范围 数

是 ? ? ? ,0 ? 上的正函数,则实

答案: ( ? 1, ?

3 4

)

(2012 年兴化)已知实数 a , b 分别满足 a ? 3 a ? 5 a ? 1 , b ? 3 b ? 5 b ? 5 ,
3 2 3 2

则 a ? b 的值为 答案: 2



.

说明:由于已知的两个等式结构相似,因此可考虑构造函数。 将已知等式变形为 ( a ? 1) ? 2 ( a ? 1) ? ? 2 , ( b ? 1) ? 2 ( b ? 1) ? 2 ,
3 3

3 构造函数 f ( x ) ? x ? 2 x ,这是一个单调递增的奇函数,因为 f ( a ? 1) ? ? 2 , f ( b ? 1) ? 2

所以 f ( a ? 1) ? ? f ( b ? 1) ? f (1 ? b ) ,从而有 a ? 1 ? 1 ? b , a ? b ? 2 。

(2012 年泰兴)方程 x ? 3 x ? m ? 0 在[0,1]上有实数根,则 m 的最大值是 0
3
3 3 析:可考虑 y ? m , 与 y ? x ? 3 x 在[0,1]上有公共点,数形结合。 ( ? 1, ? )



4

(南师附中最后一卷)已知函数 f(x)=loga(x3-ax)(a>0 且 a≠1),如果函数 f(x)在区间

?-1,0?内单调递增,那么 a 的取值范围是____________. ? 2 ?

3 答案:?4,1? ? ?

(泰州期末)13.设实数 a ? 1 ,使得不等式 x x ? a ? 立,则满足条件的实数 a 的范围是 解析:本题考查不等式的解法,数形结合。 当a ?
3 2 3 2

3 2

? a ,对任意的实数 x ? ?1, 2 ? 恒成

.

y

时,不等式 x x ? a ?

3 2

? a ,对任意的实数 x ? ?1, 2 ? 恒成立,

O
a? 3 2 x
a? 3

1

2

a

x

当a ?

时, 将不等式化为 | x ? a |?

, 作出函数 y ? | x ? a |, y ?
x

2 (1 ? x ? 2 ) 的图

像,如图, 不等式 x x ? a ?
3 2 ? a ,对任意的实数 x ? ?1, 2 ? 恒成立的条件是,函数 y ? | x ? a |, 的图像

3 ? a? ? a? 2 5 ?a ? 2 ? 2 (1 ? x ? 2 ) 全部落在函数 y ? 的图像的上方,由 ? 2 解得 a ? , x 2 ? 3 ?a ? 1 ? a ? ? 2 3 5 综上所述,实数 a 的范围是 [1, ] ? [ , ? ? ) 。 2 2
3

(注:本题关键在于对不等式的合理变形,和由图考出题设成立的条件) (泰州期末) 集合 M ? ? f ( x ) 存在实数 t 使得函数 f ( x ) 满足 f ( t ? 1) ? f ( t ) ? f (1) ? , 14. 下列函数 ( a , b , c , k 都是常数)1) ? kx ? b ( k ? 0 , b ? 0 ) ;2) ? ax ( y ( y (3) y ? a ( 0 ? a ? 1) ;
x

2

? bx ? c ( a ? 0 ) ;

(4) y ?

k x

(k ? 0) ; (5) y ? sin x ;属于 M 的函数有

. (只须填序号)

解析:本题考查基本初等函数,解方程。 解法一:对函数(1) ,若 k ( t ? 1) ? b ? ( kt ? b ) ? ( k ? b ) ,则 b ? 0 ,与条件矛盾;
2 2 对函数(2) ,若 a ( t ? 1) ? b ( t ? 1) ? c ? ( a t ? b t ? c ) ? ( a ? b ? c ) ,解得 t ?

c 2a



对函数(3) ,若 a 对函数(4) ,若

t ?1

? a ? a ,由于函数 y ? a (0 ? a ? 1) 为减函数,故不成立;
t
x

k t ?1

?

k t

? k ,整理得 t ? t ? 1 ? 0 ,此方程无实数解;
2

对函数(5) ,显然 f (0 ? 1) ? f (0 ) ? f (1) 。 综上所述,属于 M 的函数有(2) 。 (5) 解法二: f ( t ? 1) ? f ( t ) ? f (1) 可化为
f ( t ? 1) ? f ( t ) ( t ? 1) ? t ? f (1) ? 0 1? 0



此式表示点 A ( t ? 1, f ( t ? 1)), B ( t , f ( t )), C (1, f (1)), D (0, 0 ) 满足 k A B ? k C D , 依次作出五个函数的图像,画出线段 CD,作 CD 的平行线,判断能否作出弦长为 1 的平行 线即可。 (注:解法二不是人人都能学会的,没这个智力的人需对自己合理定位)

(南京三模).若函数 f ( x ) ? ? 是 ▲ .
3, ?? )

? x ? 2 x, x ? 0 ?
2

?? x ? ax, x ? 0 ?
2

是奇函数,则满足 f ( x ) ? a 的 x 的取值范围

答案: ( ? 1 ?

(南通三模)若函数 f ( x ) ? | 2 x ? 1 | ,则函数 g ( x ) ? f ( f ( x )) ? ln x 在 (0 ,1) 上不同的零点

个数为 ▲ . 解析:考查数形结合法的应用、函数图象的作法。 考虑函数 y ? f ( f ( x )) ? 2 2 x ? 1 ? 1 与 y ? ? ln x 的图象交 点的个数。
3 ? 4 x ? 3, x ? ? 4 ? ? ? 4 x ? 3, 1 ? x ? 3 ? 2 4 而函数 y ? 2 2 x ? 1 ? 1 ? ? ,由图象易见结 ? 4 x ? 1, 1 ? x ? 1 ? 4 2 ? 1 ? ? 4 x ? 1, x ? 4 ?

果为 3. 另外,也可按如下步骤做出 y ? f ( f ( x )) ? 2 2 x ? 1 ? 1 的图象: 先作 y ? 2 2 x ? 1 ? 1 的图象,再作 y ? 2 2 x ? 1 ? 1 的图象。

答案:3

(盐城二模)若 y ? f ( x ) 是定义在 R 上周期为 2 的周期函数, 且 f ( x ) 是偶函数, 当
x ? [0 ,1] 时, f ( x ) ? 2 ? 1 , 则函数 g ( x ) ? f ( x ) ? lo g 5 | x | 的零点个数为
x



.

答案:4 解析:数形结合,作出 y=f(x)与 y ? lo g 5 | x | 在 x 轴右边图像,有 2 个交点,又 2 个函数为 偶函数,根据对称性有 4 个交点

(2012 年常州)对于函数 y ? f ( x )( x ? R ) ,给出下列命题: (1)在同一直角坐标系中,函数 y ? f (1 ? x ) 与 y ? f ( x ? 1) 的图象关于直线 x ? 0 对称; (2)若 f (1 ? x ) ? f ( x ? 1) ,则函数 y ? f ( x ) 的图象关于直线 x ? 1 对称; (3)若 f (1 ? x ) ? f ( x ? 1) ,则函数 y ? f ( x ) 是周期函数; (4)若 f (1 ? x ) ? ? f ( x ? 1) ,则函数 y ? f ( x ) 的图象关于点(0,0)对称。 其中所有正确命题的序号是 答案: (3) (4) 。

( 常 州 期 末 ) 11 、 设 函 数 y ? f ( x ) 在 R 内 有 定 义 , 对 于 给 定 的 正 数 k , 定 义 函 数
? f ( x ), f ( x ) ? k , 1 fk ( x) ? ? ,若函数 f ( x ) ? lo g 3 | x | ,则当 k ? 时,函数 f k ( x ) 的单调减 3 ?k , f (x) ? k.

区间为



答案: ( ? ? , ? 3 3 ] (南通一模)如图,矩形 ABCD 的三个顶点 A、B、C 分别在函数
y ? lo g x

2 2



1

y ? x2

,y

?

? ?
2 2

x

的图象上,且矩形 y

的边分别平行于两坐标轴. 若点 A 的纵坐标为 2,则 点 D 的坐标为 答案: ▲ . 2 A 1 D O 第9题
y A ? x A ? xD

B

? 1 ,1 ? 2 4
; yA
? y B ? x B ? xC ? y C ? y D .

1
(第 9 题)

C

x

(天一)5.已知定义域为 R 的函数

f (x) ?

?2 ? 1
x

2

x ?1

? a

是奇函数,则 a

?

▲ .

答案;2 (天一)13.将一个长宽分别是 a , b (0 ?

b ? a)

的铁皮的四角切去相同的正方形,然后折成一
a b

个无盖的长方体的盒子,若这个长方体的外接球的体积存在最小值,则 ▲ . 答案: (1, )
4 5

的取值范围是

(天一) (天一)8.若方程 lg kx 答案: k
?0

? 2 lg ? x ? 1 ?

仅有一个实根,那么 k 的取值范围是 ▲ .

或k

? 4

(南师大信息卷)函数
x ? ( ? ? ,1)

f ( x)

在定义域 R 内可导,若

f ( x) ? f (2 ? x)

,且当

时, ( x ? 1) f

'( x ) ? 0

,设 a

1 ? f (0 ), b ? f ( ), c ? f (3) 2

,则 a , b , c 的大小关

系为 c<a<b. 提示:依题意得,当 又
x ? 1 时,有 f '( x ) ? 0



f ( x)

为增函数;

f (3) ? f ( ? 1) ,且 ? 1 ? 0 ?

1

1 ? 1 ,因此有 f ( ? 1) ? f (0 ) ? f ( ) , 2 2

即有

1 f (3) ? f ( 0 ) ? f ( ) , c ? a ? b 2

.

( 苏 锡 常 一 模 ) 写 出 一 个 满 足 f ( xy ) ? f ( x ) ? f ( y ) ? 1 ( x , y ? 0 ) 的 函 数
f (x) ?

.

答案: lo g a x ? 1 (苏锡常一模)已知 a , b 为正实数,函数 f ( x ) ? ax ? bx ? 2 在 ?0 ,1 ? 上的最大值为
3 x

4 ,则 f ( x ) 在 ?? 1, 0 ? 上的最小值为

.

答案: ?

3 2

(南师大信息卷)定义在 D 上的函数 常数 M ? 0 ,都有 为函数
f (x)

f (x)

,如果满足:对任意 x ? D ,存在
f (x)
2

f (x) ? M

成立,则称

是 D 上的有界函数,其中 M 称 .
f (x)

的上界.已知函数

f ( x ) ? 1 ? x ? ax

(1) 当 a ? ? 1 时,求函数

f (x)

0 在 ? - ? , ? 上的值域,判断函数

0 在 ?- ? , ? 上

是否为有界函数,并说明理由; (2) 若函数
f (x)

在 x ? ?1, 4 ? 上是以 3 为上界的有界函数, 求实数 a 的取值范围.
f (x) ? 1 ? x ? x
2

解:(1) a ? ? 1 时,

? ?(x ?

1 2

) ?
2

5 4

,

? f ( x ) 在 x ? ( ?? , 0 )
? f ( x ) ? ? (0 ? 1 2 )
2

上单调递增,
? 5 4 ? 1,

故函数 又?
?

f (x)

0 在 ? - ? , ? 上的值域为 ( ?? ,1).

f ( x ) ? 1,? f ( x ) ? [ 0 , ?? )

, 都成立.

不存在常数 M ? 0 ,使

f (x) ? M

故函数

f (x)

0 在 ? - ? , ? 上不是有界函数.

(2) 若函数 则

f (x)

在 ?1, 4 ? 上是以 3 为上界的有界函数,

f (x) ? 3

在 ?1, 4 ? 上恒成立.
2

即?3?
? 4? x x
2

f ( x ) ? 3 ,? ? 3 ? 1 ? x ? ax
? a ? 1 x 1 x 2? x x
2

? 3,

. ? 1 x 2 x
2


?(

? 4 x x
2 2

? ?

? a ?

2 x
2

在 x ? ?1, 4 ? 上恒成立.
? 1 x ) min .

? 4

) max ? a ? (



1 x

? t,则 t ?

?1 ? ,1 ?4 ? ? ?


?1 ? ,1 ?4 ? ? ? 1 8 1 4 ? ? 1 2 1? . 8? ? 1

? (?4t

2

? t ) max ? a ? ( 2 t

2

? t ) min , t ?

.
1? ? ? ? 5,? ? 16 2? ? ? 1



g (t ) ? ? 4 t

2

?t

,则 g ( t )

? ? 4 (t ?

) ?
2

.

令 h (t )

? 2t

2

?t

,则 h ( t )

? 2 (t ?

) ?
2

? 1 ? ? ? ,1 ? 8 ? 8 ? ?

.

实数 a 的取值范围为 ? ?
?

,?

(盐城二模)因客流量临时增大, 某鞋店拟用一个高为 50 ㎝(即 E F =50 ㎝)的平面 镜自制一个竖直摆放的简易鞋镜. 根据经验,一般顾客 A B 的眼睛 B 到地面的距离 x (cm ) 在区间 [1 4 0 ,1 8 0 ] 内. 设支架 F G 高为 h ( 0 ? h ? 9 0 ) ㎝, A G ? 1 0 0 ㎝, 顾客可 视的镜像范围为 C D (如图所示), 记 C D 的长度为 y ( y ? G D ? G C ). (1) 当 h ? 4 0 ㎝时, 试求 y 关于 x 的函数关系式和 y 的最大值; (2) 当顾客的鞋 A 在镜中的像 A1 满足不等关系 G C ? G A1 ? G D (不计鞋长)时, 称顾

客可在镜中看到自己的鞋. 若使一般顾客都能在镜中看到自己的鞋, 试求 h 的取值 范围. B

E F
·

A
GC ? AG AB

G

C

A1 D

第 17 题

解: (1) 因为 F G ? 4 0 , A G ? 1 0 0 ,所以由 即
GC 40 ? G C ? 100 x

GC FG

?

,

,解得 G C ?
GD EG ?

4000 x ? 40 AB

, , 即
GD 90 ? G D ? 100 x





,



GD ? AG

,





GC ?

9000 x ? 90

…………………………………2 分 以
9 x ? 90 ? 4 x ? 40 ) ? 5000 ? x x ? 130 x ? 3600
2


y ? G D ? G C ? 1000 ? (

, x ? [1 4 0 ,1 8 0 ] …

…… 5 分 因为 y ? ? 5 0 0 0 ? 故 当
3600 ? x
2 2 2

( x ? 130 x ? 3600)

? 0 , 所以 y 在 [1 4 0,1 8 0 ] 上单调递减,

x ? 140





,

y













140

㎝………………………………………………………………8 分 另法: 可得 y ?
x? 5000 3600 x ? 130 , x ? [1 4 0 ,1 8 0 ] , 因为 x ?

3600 x

? 1 3 0 在 [1 4 0,1 8 0 ] 上单

调递增, 所 以 y 在 [1 4 0,1 8 0 ] 上 单 调 递 减 , 故 当 x ? 1 4 0 ㎝ 时 , y 取 得 最 大 值 为 140 ㎝…………………………8 分 (2)由
GC h ? G C ? 100 x

,得 G C ?

100h x?h

,由

GD h ? 50

?

G D ? 100 x

,得 G D ?

100(h ? 50) x ? h ? 50

,所

以由题意知 G C ? A1G ? A G ? G D ,即

100h x?h

? 100 ?

100(h ? 50) x ? h ? 50

对 x ? [1 4 0,1 8 0 ] 恒成

立……………………12 分
x 140 ? ? h ? h? ? 70 ? ? ? ? 2 2 从而 ? 对 x ? [1 4 0,1 8 0 ] 恒成立,解得 ? ,故 h 的取值范围是 x 180 ?h ? ? 50 ?h ? ? 50 ? 40 ? ? ? 2 ? 2

? 4 0 , 7 0 ? …14 分
(注: 讲评时可说明, 第(2)题中 h 的范围与 AG 的长度无关, 即去掉题中 AG=100 ㎝的条件 也可求解)

(盐城二模)

已知函数 f 1 ( x ) ? e

| x ? 2 a ? 1|

, f2 ( x) ? e

| x ? a |? 1

,x? R .

(1) 若 a ? 2 , 求 f ( x ) ? f 1 ( x ) + f 2 ( x ) 在 x ? [2,3]上的最小值; (2) 若 x ? [ a , ? ? ) 时, f 2 ( x ) ? f 1 ( x ) , 求 a 的取值范围; (3) 求函数 g ( x ) ? 20 .
| x ? 3|

f1 ( x ) ? f 2 ( x ) 2

?

| f1 ( x ) ? f 2 ( x ) | 2

在 x ? [1,6]上的最小值.
x?


?e

:(1)
| x ? 2 |? 1


3? x


?e
x ?1

a ? 2

,
? 2 e e


3 x

[2



3],





f (x) ? e

? e

?

e e

3 x

?

e

x

?

e

x

? 2e ,

e

e

当 且 仅 当 x=2 时 取 等 号 , 所 以 f ( x ) 在 x ? [2 , 3] 上 的 最 小 值 为
3 e …………………………………4 分

(2) 由 题 意 知 , 当 x ? [ a , ? ? ) 时 , e 立……………… 6 分

| x ? 2 a ? 1|

?e

| x ? a |? 1

, 即 | x ? 2 a ? 1 |? | x ? a | ? 1 恒 成

所以 | x ? 2 a ? 1 |? x ? a ? 1 ,即 2 a x ? 3 a ? 2 a 对 x ? [ a , ? ? ) 恒成立,
2





2a ? 0 ? ? 2 2 ? 2 a ? 3a ? 2 a

,







a













0 ? a ? 2 ……………………………………………9 分

(3) 记 h1 ( x ) ? | x ? ( 2 a ? 1) |, h 2 ( x ) ? | x ? a | ? 1 ,则 h1 ( x ), h 2 ( x ) 的图象分别是以(2a-1,0) 和(a,1)为顶点开口向上的 V 型线,且射线的斜率均为 ? 1 . ① 当 1 ? 2a ? 1 ? 6 即 1 ? a ? ,
f 1 ( 2 a ? 1 ) e ? ……10 分 ? 1
0

7 2

时 , 易 知 g ( x ) 在 x ? [1 , 6] 上 的 最 小 值 为

②当 a<1 时,可知 2a-1<a,所以 ( ⅰ ) 当 h1 (1) ? h 2 (1) , 得 | a ? 1 |? 1 , 即 0 ? a ? 1 时 , g ( x ) 在 x ? [1 , 6] 上 的 最 小 值 为
f 1 (1) ? e
2?2a

…11 分

( ⅱ ) 当 h1 (1) ? h 2 (1) , 得 | a ? 1 |? 1 , 即 a ? 0 时 , g ( x ) 在 x ? [1 , 6] 上 的 最 小 值 为

f 2 (1) ? e

2?a

………12 分
7 2

③当 a ?

时,因为 2a-1>a,可知 2 a ? 1 ? 6 ,
7 2 ? a ? 4 时 , g ( x ) 在 x ? [1 , 6] 上 的 最 小 值 为

( ⅰ ) 当 h1 ( 6 ) ? 1 , 得 | 2 a ? 7 |? 1 , 即
f 1 (6 ) ? e
2a?7

…13 分

( ⅱ ) 当 h1 (6 ) ? 1 且 a ? 6 时 , 即 4 ? a ? 6 , g ( x ) 在 x ? [1 , 6] 上 的 最 小 值 为
f 2 ( a ) ? e ? e ………14 分
1

(ⅲ)当 a ? 6 时,因为 h1 (6 ) ? 2 a ? 7 ? a ? 5 ? h 2 (6 ) ,所以 g ( x ) 在 x ? [1,6]上的最小值 为
f 2 (6 ) ? e
a?5

………………………………………………………………………………………… 函 数
g (x)

15 分 综 上 所 述 ,
?e ? 2?2a ?e ? ? 1 ? ? ?e 2a?7 ? ? e ? ? e a?5 ?
2?a



x?

[1 , 6] 上 的 最 小 值 为

a ? 0 0? a ?1 1? a ? 7 2 4? a ? 6 a ? 6 7 2 ? a ? 4

………………………………16 分

(天一)省环保研究所对市中心每天环境放 射性污染情况进行调查研究后,发现一天中环

境综合放射性污染指数 f ? x ? 与时刻 x (时) 的关系为 f ? x ? ? 其中 a 是与气象有关的参数,且 a ? [0 , 染指数,并记作 M ? a ? . (1)令 t
? x x ?1
2

x x ?1
2

? a ? 2a ?

2 3

, x ? ?0, 24 ? ,

1 2

] ,若用每天 f

? x ? 的最大值为当天的综合放射性污

, x ? ? 0, 2 4 ? ,求 t 的取值 范围;

(2)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过 2,试问目前市中心的综合放射 性 污染指数是否超标? 17. 解: (1)当 x ? 0 时,t=0; 当 0 ? x ? 2 4 时, x ? ∴t ?
x x ?1
2

1 x

? 2 (当 x ? 1 时取等号) ,

?

? 1? ? ? 0, ?, 1 ? 2? x? x 1
? ? 1? ?

即 t 的取值范围是 ? 0 , ? . 2 (2)当 a ? ? 0 , ? 时,记 g ? t ? ? t ? a ? 2 a ? 3 ? 2?
2 ? ?t ? 3a ? , 0 ? t ? a ? ? 3 则 g ?t ? ? ? ? t ? a ? 2 ,a ? t ? 1 ? 3 2 ?
? 1?

……………………4 分
2

……………………6 分

∵ g ? t ? 在 ? 0 , a ? 上单调递减,在 ? a , ? 上单调递增, 2
? ?

?

1?

且 g ? 0 ? ? 3a ?

7 1? ?1? ?1? ? , g ? ? ? a ? , g ?0? ? g ? ? ? 2 ? a ? ? . 3 6 4? ?2? ?2? ? 2

? ?1? ?g ? ?,0 ? a ? ? 2 故M ?a? ? ? ? ? 1 ? g ?0?, ? a ? ? ? 4

7 1 ? a ? ,0 ? a ? ? 4 ? 6 4 . ? ? 2 1 1 1 ?3a ? , ? a ? ? 3 4 2 ? 2 1

……………………12 分

∴当且仅当 a ? 故当 0 ? a ?

4 9

时, M ? a ? ? 2 . 时不超标,当
4 9 ? a ? 1 2

4 9

时超标.

……………………14 分

(南京三模)17. (本小题满分 14 分) 在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为 30 米的水底进行作业.其用氧量包含 3 个方面: ①下潜时,平均速度为 v (米/单位时间),单位时间内用氧量为 c v ( c 为正常数);②在水底作业 需 5 个单位时间,每个单位时间用氧量为 0.4;③返回水面时,平均速度为 位时间用氧量为 0.2.记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为 y . (1)将 y 表示为 v 的函数; (2)设 0< v ≤5,试确定下潜速度 v ,使总的用氧量最少.
v 2
2

(米/单位时间), 单

(南通三模)如图,矩形 ABCD 中,AB=3,AD=2,一质点从 AB 边上的点 P0 出发,沿与 AB 的夹角为 ? 的方向射到边 BC 上点 P1 后,依次反射(入射角与反射 角相等)到边 CD、DA 和 AB 上的 P2 、 P3 、 P4 处。 D P3 P1 A P4 P0 B P2 C

(第 18 题)

(1)若 P4 与 P0 重合,求 tan ? 的值; (2)若 P4 落在 A、 P0 两点之间,且 A P0 ? 2 。设 tan ? ? t ,将五边形 P0 P1 P2 P3 P4 的面积 S 表示为 t 的函数,并求 S 的最大值。 分析: 为了刻画点 P0 , P1 , P2 , P3 , P4 位置, P0 B ? x 0 , 设 通过四个相似的直角三角形结合角 ? 表示 P1 B , P1 C , P2 C , P2 D , P3 D , P3 A , P4 A ,再由题意分别推算 tan ? ? 得出多边形面积时用矩形面积减去四个直角三角形的面积. 解 : (1)设
P0 B ? x 0
P1 C ta n ?

2 3

和多边形的面积,在

,则
?

P1 B ? x 0 tan ?


2

P1 C ? 2 ? x 0 tan ?
? x0


2 ta n ?

P2 C ?

2 ? x 0 ta n ? ta n ?

=

ta n ?



P2 D ? 3 ? x 0 ?



P3 D ? (3 ? x 0 ) tan ? ? 2
A P4 ? ta n ? ? 2 3 4 ta n ? ? (3 ? x 0 )



P3 A ? 4 ? (3 ? x 0 ) tan ?


? P0 B ? 3

.由于

P4



P0

重合, A P4

,所以

4 ta n ?

? 6

,即


? 4 ta n ? ? 4

(2)由(1) ,可知 A P4


2 3
? S ?P
A P4

因为 P4 落在 A、P0 两点之间,所以 S=S 四边形 ABCD
? 6? 1 2 ?
? S ?P
B P1

? ta n ? ? 1 ,即

2 3

? t ?1.

0

? S ?P CP ? S ?P
1 2

2 D P3

3

ta n ? ?

1

? 2 ? ( 2 ? ta n ? ) ? ? 1? 2 ? ta n ? ?

1? 2 ? 1 ? 4 ? ? 4? ?4 ? ? ( 4 ta n ? ? 2 ) ? ( 4 ? 4 ta n ? ) ? 2? ta n ? ? 2 ? ta n ? ? 24 ? ? ? 5 8 ? ? 3 4 ta n ? ? ? ta n ? ? ? 12 ? ? ? 32 ? ?17t ? ? t ? ?



由于

2 3

12 ? 12 ? ? t ? 1 ,所以 3 2 ? ? 1 7 t ? =32 ? 4 51 ? ≤ 32 ? 2 17t ? t ? t ?



故 S 的最大值为 3 2 ?

4 51



(南通一模)将 52 名志愿者分成 A,B 两组参加义务植树活动,A 组种植 150 捆白杨 树苗,B 组种植 200 捆沙棘树苗.假定 A,B 两组同时开始种植.

(1)根据历年统计,每名志愿者种植一捆白杨树苗用时 2 小时,种植一捆沙棘树苗用
5

时 1 小时.应如何分配 A,B 两组的人数,使植树活动持续时间最短?
2

(2)在按(1)分配的人数种植 1 小时后发现,每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍 为 2 小时,
5

而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时 2 小时,于是从 A 组抽调 6 名志愿者加
3

入 B 组继 续种植,求植树活动所持续的时间. 解: (1)设 A 组人数为
x

,且 0 ?

x ? 52



x?N

*



150 ?

则 A 组活动所需时间

f (x) ?

2 5

x

?

60 x



B

1 2 ? 100 组活动所需时间 g ( x ) ? 52 ? x 52 ? x 200 ?
f (x) ? g (x)


39 2



,即 6 0
x

?

100 52 ? x

,解得 x

?



所以两组同时开始的植树活动所需时间
* ? 60 , x ≤ 1 9, x ? N , ? x F (x) ? ? ? 1 0 0 , x≥ 2 0 , x ? N * . ? 52 ? x



F (1 9 ) ?

60 25 ,F ( 2 0 ) ? , 19 8



F (1 9 ) ? F ( 2 0 )



所以当 A、B 两组人数分别为 20,32 时,使植树活动持续时间最短.
150 ? 2 ? 20 ? 1 6 5 ? 3 20 ? 6 7 2 ? 32 ? 1 2 3 ? 3 32 ? 6 3

(2)A 组所需时间为 1+

(小时)

200 ?

B 组所需时间为 1 ?

(小时) ,

(南京一模)

对于函数 f ( x ) ,若存在实数对( a , b ),使得等式 f ( a ? x ) ? f ( a ? x ) ? b 对
x

定义域中的每一个 x 都成立,则称函数 f ( x ) 是“( a , b )型函数”. (1)判断函数 f ( x ) ? 4 是否为“( a , b )型函数” ,并说明理由;

(2)已知函数 g ( x ) 是“(1,4)型函数”, 当 x ? [0, 2 ] 时,都有 1 ? g ( x ) ? 3 成立,且当
x ? [0 ,1] 时,
g (x) ? x
2

? m ( x ? 1) ? 1 ( m ? 0 ) ,若,试求 m 的取值范围.

19.解: (1)函数 f ( x ) ? 4 x 是“( a , b )型函数” 因为由 f ( a ? x ) ? f ( a ? x ) ? b ,得 1 6 ? b ,所以存在这样的实数对,如 a ? 1, b ? 1 6
a

(2) 由 题 意 得 , g (1 ? x ) g (1 ? x ) ? 4 , 所 以 当 x ? [1, 2 ] 时 , g ( x ) ?
2 ? x ? [0,1] ,

4 g (2 ? x)

,其中

2 2 而 x ? [0 ,1] 时 , g ( x ) ? x ? m (1 ? x ) ? 1 ? x ? m x ? m ? 1 ? 0 , 且 其 对 称 轴 方 程 为

x ?

m 2

,
m 2 ? 1 ,即 m ? 2 时, g ( x ) 在 [0 ,1] 上的值域为 [ g (1), g (0 )] ,即 [ 2, m ? 1] ,则 g ( x )

① 当

?m ? 1 ? 3 ? , 2] ? [ , m ? 1] ,由题意得 ? 4 在 [0, 2 ] 上的值域为 [ 2 , m ? 1] ? [ ,此 m ?1 m ?1 ?1 ? ?m ?1

4

4

时无解 ②当
1 2 ? m 2
m 4
2

? 1 ,即 1 ? m ? 2 时, g ( x ) 的值域为 [ g (

m 2

), g (0 )] ,即 [ m ? 1 ?
4 m ?1 4 m ?1?

m 4

2

, m ? 1] ,所

以则 g ( x ) 在 [0, 2 ] 上的值域为 [ m ? 1 ?

, m ? 1] ? [

,

m 4

2

] ,则由题意

4 ? ? m ?3 ?1 2 ? ?m ? 1 ? m ? ? 4 得? m ?1? 且? ,解得 1 ? m ? 2 4 4 ? ? ?1 m ?1? 3 ? ? m ?1 ? ?
2

③ 当0 ?
g (x)

m 2

?

1 2

,即 0 ? m ? 1 时, g ( x ) 的值域为 [ g (
[0, 2 ]

m 2

), g (1)] ,即 [ m ? 1 ?
m 4
2

m 4

2

, 2 ] ,则













[m ? 1 ?

, 2] ? [2,

4 m ?1? m 4
2

]

=

[m ? 1 ?

m 4

2

,

4 m ?1? m 4
2

],

? m ?1 ? m ?1? 4 2 6 ? ? m ? 1. 则? ,解得 2 ? 4 3 ?3 2 ? m ?m ?1? ? 4
2

综上所述,所求 m 的取值范围是 2 ?

2 6 3

? m ? 2

2 (苏州期末)已知函数 f ( x ) ? | x ? m | 和函数 g ( x ) ? x | x ? m | ? m ? 7 m .

(1) 若方程 f ( x ) ? | m | 在 [ 4, ? ? ) 上有两个不同的解,求实数 m 的取值范围; (2) 若对任意 x1 ? ( ? ? , 4 ] ,均存在 x 2 ? [3, ? ? ) ,使得 f ( x1 ) ? g ( x 2 ) 成立,求实数 m 的取值范 围.


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