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河南省中原名校2013届高三上学期第一次联考数学理科试题


河南省中原名校 2012—2013 学年上期高三第一次联考

理科数学试题
命题学校:鹤壁高中 考试时间:120 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.设集合 U ? ?1, 2 ,3, 4 ,5 , 6 ? , A ? ?1,3? 则, C U A ? A. ?1,3? B. ?1,3,5? C. ?2,4,5 ,? 6 责任老师:孙新艳 试卷满分:150 分

( D. ?2 , 4 , 6 ?



2.函数 f ( x ) ? ( m 2 ? m ? 1) x m 是幂函数,且在 x ? ( 0 , ?? ) 上为增函数,则实数 m 的值是 ( D.5 )

A .2

B.3

C.4

3.设 a ? 0 且 a ? 1 ,则“函数 y ? a x 在 R 上是减函数”是“函数 f (x) ? (a - 2)x 3 在 R 上 为减函数” 的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 ( B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要
a b



4.已知直线 ax - by - 2 ? 0 与曲线 y ? x 3 在点 P (1,1) 处的切线互相垂直,则 A.
1 3

为(
1 3



B. ?
4? y
2

2 3
2

C.
? 0 对应的曲线是

2 3

D. ?

5.方程 x ?
y

? y?

4?x
y


y y



2

2
x

O
A

O
B

2

x

O

x

O

2 x D

C

6. 若函数 y ? cos( A.
?
2

x?? 3

是奇函数 , ? ? 则 )( ? ? ?0 , 2? ? ) B.
2? 3

( D.
5? 3



C.

3? 2

? 7. 平面向量 a 与 b 的夹角为 60 , a ? ? 2 , 0 ? ,b ? 1 , 若 则

a ? 2b ?

( D.12 ( D. (2, 4 )



A. 3 8.当 0 ? x ? A. ( 0, )
4 1 1 2 1

B. 2 3 时, ( ) x ? log
4

C.4

a

x ,那么 a 的取值范围是



B. ( ,1)
4

1

C. (1, 4)

9.函数 f ( x ) ? ? A.0

? ln x ? 2 x ? 6 ? ? x ( x ? 1)

( x ? 0) ( x ? 0)

的零点的个数 C.2 D.3





B.1
? ?

10. 已知命题 P : ? x ? ? 0 , 围是 A. ? - ,1? 8
? ? ? 9 ?

? ?

, cos 2 x ? cos x ? m ? 0 2? ?

的否定为假命题, 则实数 m 的取值范 ( )

B. ? - , 2 ? 8
? ?

? 9

?

C. ?- 1, ? 2

D. ? ?
?

?

? , ?? ? 8 ? 9

11.已知偶函数 y ? f ( x ) 在区间 ?- 1, 0 ? 上是增函数,且满足 f (1 ? x ) ? f (1 ? x ) ? 0 ,下列 判断中错误的是 A. f ( 5 ) ? 0 C.函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ? 1 对称 ( B.函数 f ( x ) 在 ?1, 2 ? 上单调递减 D.函数 f (x) 的周期是 T ? 4 )

? ? ? ? 12.若 ? , ? ? ? - , ? 且 ? sin ? ? ? sin ? ? 0 .则下列结论正确的是 ? 2 2?





A. ? ? ?

B. ? ? ? ? 0

C. ? ? ?

D. ? 2 ? ?

2

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分). 13.函数 y ? A sin( ? x ? ? ) ( A , ? , ? 为常数, A ? 0, ? ? 0 )在闭区间 [ ? ? , 0] 上的图象 如图所示,则 ? = .
y

-

2? 3

-

?
3

-?

o

x

14.函数 f ( x ) ? 15. f (x) ? e
x

x ? x ? 6 的增区间是
2

. .
x

,?

1 -1

f (x) dx =

16.设方程 x ln x ? 2013 的解为 ? ,方程 xe ? 2013 的解为 ? ,则 ? ? ? 的值为 三、解答题(共 70 分)

.

17. (本题 10 分)已知集合 A ? ?x a ? 1 ? x ? 2 a ? 1? , B ? ?x 0 ? x ? 1? ,若 A ? B ? ? , 求实数 a 的取值范围。

18. (本题 12 分)已知命题 p : 方程 x - mx ? 1 ? 0 有两个不等的正实根;命题 q : 方程
2

4 x ? 4 ( m ? 2 ) x ? 1 ? 0 无实根,若 p ? q 为真, p ? q 为假,求 m 的取值范围。
2

19. 本题 12 分) ( 如图, 把边长为 2 a 的等边 ? ABC 分成面积相等的两部分, 在 AB 上, DE D
E 在 AC 上,设 AD ? x (x ? a) , DE ? y ,

A
x
D B

(1)试用 x 表示 y ; (2)求 DE 的最小值。

y

E

C

20. (本题 12 分)设函数 f ( x ) 满 f (e x ) ? x 2 - 2 ax ? a 2 -( a ? R) , 1 (1)求函数 y ? f ( x ) 的解析式; (2)若 f ( x ) 在区间 ?1, e ? 上恰有一个零点,求 a 的取值范围。

21. (本题 12 分) ? ABC 中内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,向量 m ? ( 2 sin B , ? 3 ) ,
n ? (cos 2 B , 2 cos
2

B 2

? 1) 且 m // n .

(1)求锐角 B 的大小;

(2)如果 b ? 1 ,求 ? ABC 的面积 S ? ABC 的最大值。

22. (本题 12 分) 已知 f ( x ) ? ax ? ln x , x ? ?0 , e ? ,g ( x ) ? (1)讨论 a ? 1 时,函数
f ( x ) 的单调性和极值;

ln x 2x

, 其中 e 是自然常数, ? R . a

(2)求证:在(1)的条件下, f ( x ) ? g ( x ) ?

3 4



(3)是否存在实数 a ,使 h (x) ? f ( x ) - 2 x ? g (x) 的最小值是 3?若存在,求出 a 的值,若 不存在,说明理由。


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