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1-直线、平面垂直的判定与性质


直线、平面垂直的判定与性质

2.平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直,则一个 [知识能否忆起] 性质定理 平面内垂直于交线的直 线垂直于另一个平面 图形语言 符号语言

一、直线与平面垂直 1.直线和平面垂直的定义 直线 l 与平面 α 内的任意一条直线都垂直,就说直线 l 与平面 α 互相垂直. 2.直线与平面垂直的判定定理

及推论 文字语言 一条直线与一个平面 判定定理 内的两条相交直线都 垂直,则该直线与此平 面垂直 如果在两条平行直线 推论 中,有一条垂直于平 面,那么另一条直线也 垂直这个平面 A.A1D 3.直线与平面垂直的性质定理 文字语言 性质定理 垂直于同一个平面的两 条直线平行 图形语言 符号语言 a⊥α? ? ??a∥b ? b⊥α? C.A1D1
? a∥b? ??b⊥α ? a⊥α?

? ? ? ?l⊥α α∩β=a ? ? l⊥a
α⊥β l?β

[小题能否全取] 1.(教材习题改编)已知平面 α,β,直线 l,若 α⊥β,α∩β=l,则( ) 符号语言

图形语言

A.垂直于平面 β 的平面一定平行于平面 α B.垂直于直线 l 的直线一定垂直于平面 α C.垂直于平面 β 的平面一定平行于直线 l D.垂直于直线 l 的平面一定与平面 α、β 都垂直 2.(2012· 厦门模拟)如图,O 为正方体 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 的中心,则下列直线中与 B1O 垂直的是 ( )

? a∩b=O? ? ?l⊥α l⊥a ? ? l⊥b
a,b?α

B.AA1 D.A1C1 )

3.已知 α,β 是两个不同的平面,m,n 是两条不重合的直线,则下列命题中正确的是( A.若 m∥α,α∩β=n,则 m∥n B.若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α C.若 m⊥α,n⊥β,α⊥β,则 m⊥n D.若 α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则 m⊥β

二、平面与平面垂直 1.平面与平面垂直的判定定理 文字语言 一个平面过另一个平面 判定定理 的垂线,则这两个平面 垂直 l?β? ? ??α⊥β ? l⊥α? 图形语言 符号语言

4.如图,已知 PA⊥平面 ABC,BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为________.

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5.(教材习题改编)如图,已知六棱锥 P-ABCDEF 的底面是正六边形,PA⊥平面 ABC,PA=2AB.则下列命 题正确的有________.

由题悟法 解决此类问题常用的方法有:①依据定理条件才能得出结论的,可结合符合题意的图形作出判断;②否定命 题时只需举一个反例.③寻找恰当的特殊模型(如构造长方体)进行筛选. 以题试法 1.(2012· 长春模拟)设 a,b 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,则下列四个命题: ①若 a⊥b,a⊥α,b?α,则 b∥α;②若 a∥α,a⊥β,则 α⊥β;③若 a⊥β,α⊥β,则 a∥α 或 a?α;④若 a ⊥b,a⊥α,b⊥β,则 α⊥β.

①PA⊥AD;②平面 ABC⊥平面 PBC;③直线 BC∥平面 PAE;④直线 PD 与平面 ABC 所成角为 30° . 1.在证明线面垂直、面面垂直时,一定要注意判定定理成立的条件.同时抓住线线、线面、面面垂直 的转化关系,即:

其中正确命题的个数为( A.1 C .3

) B .2 D.4

直线与平面垂直的判定与性质

2.在证明两平面垂直时,一般先从现有的直线中寻找平面的垂线,若这样的直线图中不存在,则可通过作 辅助线来解决,如有平面垂直时,一般要用性质定理. 3.几个常用的结论: (1)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直. (2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直.

典题导入 [例 2] (2012· 广东高考)如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,AB⊥平面 PAD,AB∥CD,PD=AD,E 是 PB 1 的中点,F 是 DC 上的点且 DF= AB,PH 为△PAD 中 AD 边上的高. 2 (1)证明:PH⊥平面 ABCD; (2)若 PH=1,AD= 2,FC=1,求三棱锥 E-BCF 的体积; (3)证明:EF⊥平面 PAB.

垂直关系的基本问题

典题导入 [例 1] (2012· 襄州模拟)若 m,n 为两条不重合的直线,α,β 为两个不重合的平面,给出下列命题:①若 m, n 都平行于平面 α,则 m,n 一定不是相交直线;②若 m、n 都垂直于平面 α,则 m,n 一定是平行直线;③已知 α, β 互相垂直,m,n 互相垂直,若 m⊥α,则 n⊥β;④m,n 在平面 α 内的射影互相垂直,则 m,n 互相垂直.其中 的假命题的序号是________.

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面面垂直的判定与性质 由题悟法 证明直线和平面垂直的常用方法有: (1)利用判定定理. (2)利用判定定理的推论(a∥b,a⊥α?b⊥α). (3)利用面面平行的性质(a⊥α,α∥β?a⊥β). (4)利用面面垂直的性质. 当两个平面垂直时,在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面. 以题试法 2.(2012· 启东模拟)如图所示,已知 PA⊥矩形 ABCD 所在平面,M,N 分别是 AB,PC 的中点. (1)求证:MN⊥CD; (2)若∠PDA=45° ,求证:MN⊥平面 PCD. 典题导入 [例 3] (2012· 江苏高考)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1B1=A1C1,D,E 分别是棱 BC,CC1 上的点(点 D 不同于点 C),且 AD⊥DE,F 为 B1C1 的中点. 求证:(1)平面 ADE⊥平面 BCC1B1; (2)直线 A1F∥平面 ADE.

由题悟法 1.判定面面垂直的方法: (1)面面垂直的定义. (2)面面垂直的判定定理(a⊥β,a?α?α⊥β). 2.在已知平面垂直时,一般要用性质定理进行转化,转化为线面垂直或线线垂直. 转化方法:在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直. 以题试法 3.(2012· 泸州一模)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,∠BAD=60° ,Q 为 AD 的中点. (1)若 PA=PD,求证:平面 PQB⊥平面 PAD; (2)若点 M 在线段 PC 上,且 PM=tPC(t>0),试确定实数 t 的值,使得 PA∥平面 MQB.

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6.(2012· 济南名校模拟)如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB, BAD=90° ,将△ABD 沿 BD 折起,使平面 ABD⊥平面 BCD,构成三棱锥 A 1.(2012· 杭州模拟)设 a,b,c 是三条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,则 a⊥b 的一个充分条件是( A.a⊥c,b⊥c C.a⊥α,b∥α B.α⊥β,a?α,b?β D.a⊥α,b⊥α ) 棱锥 A-BCD 中,下面命题正确的是( A.平面 ABD⊥平面 ABC C.平面 ABC⊥平面 BDC ) B.平面 ADC⊥平面 BDC D.平面 ADC⊥平面 ABC

∠BCD=45° ,∠ - BCD ,则在三

2.设 α,β,γ 是三个不重合的平面,l 是直线,给出下列命题 ①若 α⊥β,β⊥γ,则 α⊥γ;②若 l 上两点到 α 的距离相等,则 l∥α;③若 l⊥α,l∥β,则 α⊥β;④若 α∥β, l?β,且 l∥α,则 l∥β. 其中正确的命题是( A.①② C.②④ 3.给出命题: (1)在空间里,垂直于同一平面的两个平面平行; (2)设 l,m 是不同的直线,α 是一个平面,若 l⊥α,l∥m,则 m⊥α; (3)已知 α,β 表示两个不同平面,m 为平面 α 内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件; (4)a,b 是两条异面直线,P 为空间一点,过 P 总可以作一个平面与 a,b 之一垂直,与另一个平行. 其中正确命题个数是( A.0 C.2 ) B .1 D.3 ) B.②③ D.③④

7.如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,且底面各边都相等,M 是 PC 上的一动点,当点 M 满足________时,平面 MBD⊥平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)

8.(2012· 忻州一中月考)正四棱锥 S-ABCD 的底面边长为 2,高为 2,E 是 BC 的中点, 动点 P 在四棱锥的表面上运动,并且总保持 PE⊥AC,则动点 P 的轨迹的长为________.

9.(2013· 蚌埠模拟)点 P 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的面对角线 BC1 上运动,给出下列四个命题: ①三棱锥 A-D1PC 的体积不变; ②A1P∥平面 ACD1; ③DP⊥BC1; ④平面 PDB1⊥平面 ACD1. 其中正确的命题序号是________. 10. 如图所示,已知三棱锥 A-BPC 中,AP⊥PC,AC⊥BC,M 为 的中点,且△PMB 为正三角形. (1)求证:DM∥平面 APC; (2)求证:平面 ABC⊥平面 APC. AB 的中点,D 为 PB

4.(2013· 济南模拟)如图,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90° ,BC1⊥AC,则 C1 在底面 ABC 上的射影 H 必在( )

A.直线 AB 上 B.直线 BC 上 C.直线 AC 上 D.△ABC 内部 5.(2012· 曲阜师大附中质检)如图所示,直线 PA 垂直于⊙O 所在的平面,△ABC 内接于⊙O,且 AB 为⊙O 的 直径,点 M 为线段 PB 的中点.现有结论:①BC⊥PC;②OM∥平面 APC;③点 B 到平面 PAC 的距离等于线段 BC 的长.其中正确的是( A.①② C.① ) B.①②③ D.②③

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A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 11.(2012· 珠海摸底)如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是梯形,AB∥CD,四边形 ACFE 是矩形, π 平面 ACFE⊥平面 ABCD,AD=DC=CB=AE=a,∠ACB= . 2 (1)求证:BC⊥平面 ACFE; (2)若 M 是棱 EF 上一点,AM∥平面 BDF,求 EM 的长. 3.(2012· 莆田模拟)如图,在三棱锥 P-ABC 中,△PAC,△ABC 分别是以 A,B 为直角顶点的等腰直角三角 形,AB=1. (1)现给出三个条件:①PB= 3;②PB⊥BC;③平面 PAB⊥平面 ABC.试从中任意选取一个作为已知条件, 并证明:PA⊥平面 ABC; (2)在(1)的条件下,求三棱锥 P-ABC 的体积.

1.(2012· 福建高考)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=1, DD1 上的一点. (1)求三棱锥 A-MCC1 的体积; (2)当 A1M+MC 取得最小值时,求证:B1M⊥平面 MAC.

AA1 = 2 , M 为棱

1.如图,在三棱锥 D-ABC 中,若 AB=CB,AD=CD,E 是 AC 的中点,则下列正确的是( A.平面 ABC⊥平面 ABD B.平面 ABD⊥平面 BDC C.平面 ABC⊥平面 BDE,且平面 ADC⊥平面 BDE D.平面 ABC⊥平面 ADC,且平面 ADC⊥平面 BDE

)

2.(2012· 江西模拟)如图,已知 E,F 分别是正方形 ABCD 边 BC,CD 的中点,EF 与 AC 交于点 O,PA,NC 都垂直于平面 ABCD,且 PA=AB=4,NC=2,M 是线段 PA 上的一动点. (1)求证:平面 PAC⊥平面 NEF; (2)若 PC∥平面 MEF,试求 PM∶MA 的值.

2.如图所示,b,c 在平面 α 内,a∩c=B,b∩c=A,且 a⊥b,a⊥c,b⊥c,若 C∈a,D∈b,则△ACD 是 ( )

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