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必修5解三角形单元测试题


数学必修 5 解三角形单元测试题(高二理科数学)
(时间 120 分钟,满分 150 分) 一、选择题: (每小题 5 分,共计 60 分) 1. 在△ABC 中,a=10,B=60°,C=45°,则 c 等于 ( ) A. 10 ? 3 B. 10

二、填空题(每小题 4 分,满分 16 分) 13.在△ABC 中,有等式:①asinA=bsin

B;②asinB=bsinA;③acosB=bcosA;④

a b?c . 其中恒成 ? sin A sin B ? sin C


?

3 ?1
0

?

C. 3 ? 1 )

D. 10 3

立的等式序号为______________ 14. 在等腰三角形 ABC 中,已知 sinA∶sinB=1∶2,底边 BC=10,则△ABC 的周长是 15. 在△ABC 中,已知 sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的度数等于________.

2. 在△ABC 中,b= 3 ,c=3,B=30 ,则 a 等于(

A. 3 B.12 3 C. 3 或 2 3 D.2 3. 不解三角形,下列判断中正确的是( ) 0 0 A.a=2,b=4,A=30 有两解 B.a=30,b=25,A=150 有一解 0 0 C.a=6,b=9,A=45 有两解 D.a=9,c=10,B=60 无解 4. 已知△ABC 的周长为 9,且 sin A : sin B : sin C ? 3 : 2 : 4 ,则 cosC 的值为 A. ?

a2 ? b2 ? c2 16. 已知△ABC 的三边分别是 a、b、c,且面积 S ? ,则角 C=____________. 4
三、解答题(74 分) 17. 在△ABC 中,已知 AB ? 10 2 ,A=45°,在 BC 边的长分别为 20, ( ) 题满分 12 分)

20 (本 3 ,5 的情况下,求相应角 C。 3

1 4

B.

1 4

C. ?

2 3

D.

5. 在△ABC 中,A=60°,b=1,其面积为 3 ,则 A.3 3 B.

2 39 3

C.

8 3 3

a?b?c 等于( sin A ? sin B ? sin C 39 D. 2

2 3

)

6. 在△ABC 中,AB=5,BC=7,AC=8,则 AB ? BC 的值为( ) A.79 B.69 C.5 D.-5 7.已知锐角三角形的边长分别为 1,3,a,则 a 的范围是( ) A. ?8,10 ? 8.在△ABC 中,若 B.

?

8 , 10

?

C.

?

8 ,10

?

D.

? 10 ,8?


cos A cos B sin C ,则△ABC 是( ? ? a b c

A.有一内角为 30°的直角三角形 C.有一内角为 30°的等腰三角形
2 2

B.等腰直角三角形 D.等边三角形 D.45°

9. △ABC 中,若 c= a ? b ? ab ,则角 C 的度数是( ) A.60° B.120° C.60°或 120°

10. 在△ABC 中,若 b=2 2 ,a=2,且三角形有解,则 A 的取值范围是( ) A.0°<A<30° B.0°<A≤45° C.0°<A<90° D.30°<A<60° 11.在△ABC 中, tan A ? sin B ? tan B ? sin A ,那么△ABC 一定是 ( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形
2 2

18. 在△ABC 中,已知 a-b=4,a+c=2b,且最大角为 120°,求△ABC 的三边长. (本题满分 12 分) )

12. 已知△ABC 的三边长 a ? 3, b ? 5, c ? 6 ,则△ABC 的面积为 ( A. 题号 答案



14
1

B. 2 14 2 3

C. 15 4 5

D. 2 15 6 7 8 9 10 11 12

19. 在△ABC 中,证明:

cos 2 A cos 2 B 1 1 ? ? 2 ? 2 。 (本题满分 13 分) 2 2 a b a b

21. 如图,甲船在 A 处,乙船在 A 处的南偏东 45°方向,距 A 有 9 海里并以 20 海里/时的速度沿南偏西 15°方 向航行,若甲船以 28 海里/时的速度航行,用多少小时能尽快追上乙船? (本题满分 12 分) 北 A 45° B 15°

C

cosA b 4 20. 在△ABC 中,已知边 c=10, 又知 = = ,求 a、b 及△ABC 的内切圆的半径。 (本题满分 13 分) cosB a 3

7 22.在△ABC 中,已知角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,边 c= ,且 tanA+tanB= 3 tanA·tanB- 3 ,又△ 2 3 3 ABC 的面积为 S△ABC= ,求 a+b 的值。 (本题满分 12 分) 2

数学必修 5 解三角形单元测试题参考答案
一、选择题 1 B 2 C 3 B 4 A 5 B 6 D 7 B 8 B 9 B 10 B 11 D 12 B

∴AC=28×

题 号 答 案

二、填空题 13. ②④ 三、解答题 14.50, 15.120 ,
0

3 3 =21 n mile,BC=20× =15 n mile。 4 4 3 15 ? BC sin ? 2 ? 5 3 ,又∵α =120°,∴β 为锐角,β =arcsin 5 3 ,又 根据正弦定理,得 sin ? ? ? 14 AC 21 14 5 3 7 2 5 3 ? 5 3 2 ? 3 < < ,∴arcsin < ,∴甲船沿南偏东 -arcsin 的方向用 h 可以追上乙船。 14 14 14 14 2 4 4 4

16. 45

0

22. 解答:由 tanA+tanB= 3 tanA·tanB- 3 可得

17. 解答:27、解:由正弦定理得 sin C ? (1)当 BC=20 时,sinC=

AB sin A 10 ? BC BC

tan A ? tan B =- 3 ,即 tan(A+B)=- 3 1 ? tan A ? tan B
∴tan(π -C)= - 3 , ∴-tanC=- 3 , ∴tanC= 3 ∵C∈(0, π ), ∴C=

1 ;? BC ? AB ? A ? C ? C ? 30 ° 2

? 3

(2)当 BC=

3 20 ; 3 时, sinC= 2 3

3 3 1 3 3 1 3 3 3 又△ABC 的面积为 S△ABC= ,∴ absinC= 即 ab× = , ∴ab=6 2 2 2 2 2 2 7 2 ? 2 2 2 2 2 又由余弦定理可得 c =a +b -2abcosC ∴( ) = a +b -2abcos 2 3 7 2 2 2 2 ∴( ) = a +b -ab=(a+b) -3ab 2
2 121 ∴(a+b) = , ∵a+b>0, 4

? AB ? sin 45? ? BC ? AB ? C 有两解 ?C ? 60? 或 120° (3)当 BC=5 时,sinC=2>1; ? C 不存在
18. 解答:a=14,b=10,c=6 19. 证明:

11 ∴a+b= 2

? sin 2 A sin 2 B ? cos 2 A cos 2 B 1 ? 2 sin 2 A 1 ? 2 sin 2 B 1 1 ? ? ? ? ? ? ? 2 ? a2 ? b2 ? ? a2 b2 a2 b2 a2 b2 ? ?

由正弦定理得:

sin 2 A sin 2 B ? a2 b2

?

cos 2 A cos 2 B 1 1 ? ? 2 ? 2 2 2 a b a b

cosA b sinB b cosA sinB 20.解答:由 = , = ,可得 = ,变形为 sinAcosA=sinBcosB cosB a sinA a cosB sinA ∴sin2A=sin2B, 又∵a≠b, ∴2A=π -2B, ∴A+B=

? . ∴△ABC 为直角三角形. 2

b 4 a+b-c 6+8-10 2 2 2 由 a +b =10 和 = ,解得 a=6, b=8, ∴内切圆的半径为 r= = =2 a 3 2 2 21. 解析:设用 t h,甲船能追上乙船,且在 C 处相遇。 在△ABC 中,AC=28t,BC=20t,AB=9,设∠ABC=α ,∠BAC=β 。 ∴α =180°-45°-15°=120°。根据余弦定理 AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC cos ? ,
2 2 2

? 28t ?

2

3 9 1 2 (4t-3) (32t+9)=0,解得 t= ,t= (舍) ? 81 ? ? 20t ? ? 2 ? 9 ? 20t ? (? ) ,128t 2 ? 60t ? 27 ? 0 , 4 32 2


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