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海淀区高二年级第一学期期末练习(理科)答案


海淀区高二年级第一学期期末练习

数 学(理科)
参考答案及评分标准
2015.1 一. 选择题:本大题共 8 小题, 每小题 4 分,共 32 分. 题号 答案 1 D 2 A 3 B 4 C 5 B 6 C 7 A 8 A

二.填空题:本大题共 6 小题, 每小题 4 分,共 24 分. 9. 1 或 ?1 12.

10. y ? 13.

3 3 x或 y ?? x 4 4

11. 1 或 ?1 14. ④

1 2

5 2

说明:9,10,11 题每个答案两分,丢掉一个减两分,14 题多写的不给分 三.解答题:本大题共 4 小题,共 44 分. 15. (本小题满分 10 分) 解: (I)由题意,所求直线的斜率存在. 设切线方程为 y ? kx ? 2 ,即 kx ? y ? 2 ? 0 , 所以圆心 O 到直线的距离为 d ? -------------1 分

2 k2 ?1



-------------3 分

所以 d ?

2 k2 ?1

? 1 ,解得 k ? ? 3 ,

-------------4 分

所求直线方程为 y ? 3x ? 2 或 y ? ? 3x ? 2 . (II)设点 P ( x, y ) , 所以 OP ? ( x, y ) , AP ? ( x, y ? 2) , 所以 OP ? AP ? x 2 ? y 2 ? 2 y . 因为点 P 在圆上,所以 x 2 ? y 2 =1 ,所以 OP ? AP ? 1 ? 2 y . 又因为 x 2 ? y 2 =1 ,所以 ?1 ? y ? 1 , 所以 OP ? AP ?[?1,3] .
高二数学试题答案 理科 第 1 页 共 5 页

-------------5 分

-------------6 分 -------------7 分 -------------8 分 -------------9 分 -------------10 分

16. (本小题满分 12 分) 解: (I)设点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 因为 ?

? y2 ? 4x , 消元化简得 4 x 2 ? ( 4t ? 4) x ? t 2 ? 0 y ? 2 x ? t ?

-------------2 分

? ? ? ? 16t 2 ? 32t ? 16 ? 16t 2 ? 16 ? 32t ? 0 ? 4 ? 4t ? ? 1? t 所以 ? x1 +x2 ? 4 ? ? t2 x x ? 1 2 ? ? 4
所以 |AB|= 1 ? 22 | x1 ? x2 |? (II) 因为 |AB | ? 3 5 , 所以 5 (1 ? 2t ) ? 3 5 , 解得 t ? ?4 经检验,此时 ? ? 16 ? 32t ? 0 . 所以 x1 ? x2 ? 1 ? t ? 5 , 所以有 |AF | ? | BF |? ( x1 ? 又 |AB |? 3 5 , 所以 △ AFB 的周长为 7+3 5 .

-------------4 分

5 1 16(1 ? 2t ) ? 5 (1 ? 2t ) ,其中 t ? . -------------6 分 4 2

-------------8 分

p p ) ? ( x2 ? ) ? x1 ? x2 ? p ? 5 ? 2 ? 7 . 2 2

-------------10 分

-------------12 分

17.(本小题满分 12 分) 解: (I)法一:取点 C (0,2,0) 则 CB ? (2,0,0), OA ? (2,0,0) ,所以 CB ? OA ,所以 OA∥CB -------------1 分 -------------2 分

1 又 OD ? ,所以 CE ? OD ,所以 OD∥ CE (0,2,0), CE ? (0,1,0) 2
又 OA OD ? D, CE 所以平面 OAD∥CBE 所以 BE∥平面 ADO

CB ? C
-------------3 分 -------------4 分

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理科

第 2 页 共 5 页

法二: 由题意,点 A, D , O 所在的平面就是 xOz 平面, 取其法向量为 n ? (0,1,0) , 而 BE ? (?2,0,1) ,所以 BE ? n ? 0 ,即 BE ? n , 又显然点 B, E 不在平面 ADO 上, 所以 BE∥平面 ADO . (II)设平面 ABD 的法向量为 m ? (a, b, c) , 因为 AB ? (0,2,0), AD ? ( ?2,0,2) , -------------4 分 -------------1 分 -------------3 分

? ? AB ? m ? 2b ? 0 所以 ? , AD ? m ? ? 2 a ? 2 c ? 0 ? ?
又 OB ? (2,2,0),

所以可取 m ? (1,0,1) .

-------------6 分

设 OB 与平面 ABD 所成的角为 ? . 所以 sin ? ?| cos ? OB, m ?|?|

OB ? m |? | OB || m |

2 1 ? . 2 ?2 2 2

-------------8 分

所以直线 OB 和平面 ABD 所成的角为

? . 6

-------------9 分

(Ⅲ) 假设存在点 P ( x, y , z ) ,使得直线 AP 与直线 BD 垂直. 设 BP ? ? BE , 即 ( x ? 2, y ? 2, z ) ? ( ?2? ,0, ? ) . -------------10 分

? x ? 2 ? 2? ? 所以 ? y ? 2 , ?z ? ? ?
所以 AP ? (?2? ,2, ? ) . 又 BD ? (?2, ?2,2) , 所以 AP ? BD ? 4? ? 4 ? 2? ? 0 , 解得 ? ? -------------11 分

2 ,所以在直线 BE 上存在点 P ,使得直线 AP 与直线 BD 垂直, 3 2 2 ( ,2, ) . 点 P 的坐标为 -------------12 分 3 3
高二数学试题答案 理科 第 3 页 共 5 页

18. (本小题满分 10 分) 解: (I)法一:设点 P( x1 , y1 ), A( x2 , y2 ) ,

? x2 ? 2 y2 ? 2 ? 0 因为 ? , 所以 (2k 2 ? 1) x 2 ? 2 y ? kx ?
所以 x 2 ?

2 2k ? 1
2

,所以 P, Q 的横坐标互为相反数, -------------1 分

所以可设 Q( ? x1 , ? y1 ) . 因为直线 PQ 的斜率为 k ,且 k ? 0 , 而 k PA ?

y2 ? y1 y ? ( ? y1 ) y2 ? y1 , k AQ ? 2 , ? x2 ? x1 x2 ? ( ? x1 ) x2 ? x1

-------------2 分

所以 k PA ? k AQ ?

y2 ? y1 y2 ? y1 y2 2 ? y12 ? x2 ? x1 x2 ? x1 x2 2 ? x12
x12 x2 ? y12 ? 1, 2 ? y2 2 ? 1, 2 2
-------------3 分

因为点 P, A 都在椭圆上,所以

所以 kPA ? k AQ ?

y2 ? y ? x2 2 ? x
2 2 1 2 1

(1 ?

x2 2 x2 ) ? (1 ? 1 ) 2 2 x2 2 ? x12

1 2 ( x1 ? x2 2 ) 2 ? x2 2 ? x12

??

1 2

-------------5 分

法二:设点 P( x1 , y1 ), A( x2 , y2 ) ,

? x2 ? 2 y2 ? 2 ? 0 因为 ? , 所以 (2k 2 ? 1) x 2 ? 2 y ? kx ?
所以 x 2 ?

2 2k ? 1
2

,所以 P, Q 的横坐标互为相反数, -------------1 分

所以可设 Q( ? x1 , ? y1 ) . 因为直线 PQ 的斜率为 k ,且 k ? 0 ,所以直线 PA 的斜率存在, 设直线 PA 的方程为 y ? k1 x ? m .

? x2 ? 2 y2 ? 2 ? 0 所以 ? , 消元得到 (1 ? 2k12 ) x 2 ? 4k1mx ? 2m2 ? 2 ? 0 . y ? k x ? m ? 1

-------------2 分

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? ? 2 2 ? ? ? 4(4k1 ? 2m ? 2) ? 0 ? ?4k1m ? 所以 ? x1 ? x2 ? 1 ? 2k12 ? ? 2m 2 ? 2 ? x1 x2 ? 1 ? 2k12 ? ?
又 y1 ? y2 ? (k1 x1 ? m) ? (k1 x2 ? m) ?

-------------3 分

2m . 1 ? 2k12

-------------4 分

所以 k AQ ?

y2 ? ( ? y1 ) y2 ? y1 1 , ? ?? x2 ? ( ? x1 ) x2 ? x1 2k1 1 1 ? k1 ? ? . 2k1 2 y2 ? y1 1 ,而直线 PQ , PA 垂直, ?? x2 ? x1 2k1
-------------6 分 -------------7 分 -------------8 分 -------------9 分 -------------10 分

所以 k PA ? k AQ ? ?

-------------5 分

(II)因为 k AQ ? 所以 k1 ? ?

1 k ,所以 k AQ ? , k 2

k 所以直线 AQ 的方程为 y ? (? y1 ) ? [ x ? (? x1 )] . 2 k 令 y ? 0 ,得 y1 ? ( x ? x1 ) , 2
因为点 P( x1 , y1 ) 在直线 y ? kx 上,所以 y1 ? kx1 , 代入得到 B 的横坐标为 x0 ? x1 ,所以直线 PB 与 x 轴垂直.

说明:解答题有其它正确解法的请酌情给分.

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