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6.圆锥曲线练习题答案教师版


圆锥曲线练习题
一、填空、选择题 1、若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与双曲线 A. ?2 答案:D 答案: ?4 3、 圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 15 ? 0 上到直线 x ? 2 y ? 0 的 距离为 5 的点的个数是 分析:圆方程 ,其圆心坐标 半径 _ .答案: 化为标准式为 , B. 2 C. ?4

x2

y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为 2 2
D. 4

2、已知抛物线 x2 ? 4 y 上一点 P 到焦点 F 的距离是 5 ,则点 P 的横坐标是_____.

,由点到直线的距离公式得圆心到直线

的距离 所示,圆上到直线 4、已知双曲线 的距离为

,由右图 的点有 4 个.

x2 y 2 ? 2 ? 1 的一个焦点与抛物线 y2 ? 4 10x 的焦点重合,且双曲线的离心 2 a b

率等于

x2 10 ? y2 ? 1 ,则该双曲线的方程为____答案: 9 3

2 5、以抛物线 y ? 8x ? 0 的顶点为中心、焦点为一个顶点且离心率 e ? 2 的双曲线的标准方

程是( A ) A.

x2 y2 ? ?1 4 12
2 2

B.

x2 y2 ? ?1 16 48

C.

y2 x2 ? ?1 4 12

D.

x2 y2 ? ?1 16 48
( y ? ?2 x )

答案:A 6、已知双曲线 x ? ky ? 1 的一个焦点是( 5, 0 ),则其渐近线方程为
2

x2 y 2 7、已知点 A 是抛物线 C1:y =2px(p>0)与双曲线 C2: 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条 a b
渐近线的交点,若点 A 到抛物线 C1 的准线的距离为 p,则双曲线的离心率等于( 5 )
1

解析:

8、圆心在直线 x ? 2 y ? 7 ? 0 上的圆 C 与 x 轴交于两点 A(?2, 0) 、 B(?4, 0) ,则圆 C 的方 程为__________. 解析: ( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ? 5 直线 AB 的中垂线方程为 x ? ?3 ,代入

x ? 2 y ? 7 ? 0 ,得 y ? 2 ,故圆心的坐标为 C (?3, 2) ,再由两点间的距离公式求得半径

r ?| AC |? 5 ,∴ 圆 C 的方程为 ( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ? 5
9、直线 x ? (a ? 1) y ? 1 ? 0 的倾斜角的取值范围是( B )
2

A. [0,

?

? 3? ? ] B. ? , ? ? 4 ? 4 ?

C. [0,

?

] ( ,? ) 4 2

?

D. ?

? ? ? ? ? 3? ? , ? ? ,? ? 4 ?4 2? ? ?


2 2 10.与圆 C : x ? y ? 2x ? 4 y ? 0 关于直线 l : x ? y ? 0 对称的圆的方程是

答案 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 5
2 2

二、解答题 1、已知点 M ( 4 , 0 ) 、 N (1 , 0 ) ,若动点 P 满足 MN ? MP ? 6 | NP | . (1)求动点 P 的轨迹 C ; (2)在曲线 C 上求一点 Q ,使点 Q 到直线: x ? 2 y ? 12 ? 0 的距离最小. 解:(1)设动点 P ( x , y ) ,又点 M ( 4 , 0 ) 、 N (1 , 0 ) , ∴ MP ? ( x ? 4 , y ) , MN ? ( ? 3 , 0 ) , NP ? ( x ? 1 , y ) . ……… 3 分 由 MN ? MP ? 6 | NP | ,得 ?3( x ? 4 ) ? 6 (1 ? x ) 2 ? ( ? y ) 2 , ……… 4 分 ∴ ( x ? 8 x ? 16 ) ? 4( x ? 2 x ? 1) ? 4 y ,故 3 x ? 4 y ? 12 ,即
2 2 2 2 2

x2 y 2 ? ? 1, 4 3

2

∴轨迹 C 是焦点为 ( ? 1 , 0) 、长轴长 2a ? 4 的椭圆;

……… 7 分

评分说明:只求出轨迹方程,没有说明曲线类型或交代不规范的扣分. (2)椭圆 C 上的点 Q 到直线的距离的最值等于平行于直线: x ? 2 y ? 12 ? 0 且与椭圆 C 相切的直线 l1 与直线的距离. 设直线 l1 的方程为 x ? 2 y ? m ? 0 ( m ? ?12 ) . ……… 8 分

由?

?3 x 2 ? 4 y 2 ? 12 ,消去 y 得 4 x 2 ? 2mx ? m 2 ? 12 ? 0 (*). ?x ? 2 y ? m ? 0
2 2

依题意得 ? ? 0 ,即 4m ? 16( m ? 12 ) ? 0 ,故 m 2 ? 16 ,解得 m ? ?4 . 当 m ? 4 时,直线 l1 : x ? 2 y ? 4 ? 0 ,直线与 l1 的距离 d ?

| 4 ? 12 | 16 5 . ? 5 1? 4

当 m ? ?4 时,直线 l1 : x ? 2 y ? 4 ? 0 ,直线与 l1 的距离 d ?

| ?4 ? 12| 8 5 . ? 5 1? 4

由于

8 5 16 5 8 5 ,故曲线 C 上的点 Q 到直线的距离的最小值为 .…12 分 ? 5 5 5
2

当 m ? ?4 时,方程(*)化为 4 x 2 ? 8 x ? 4 ? 0 ,即 ( x ? 1) ? 0 ,解得 x ? 1 . 由 1 ? 2 y ? 4 ? 0 ,得 y ? ∴ 曲线 C 上的点 Q (1 ,

3 3 ,故 Q (1 , ) . 2 2
……… 14 分

……… 13 分

3 ) 到直线的距离最小. 2

2、设椭圆

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左右顶点分别为 A(?2,0), B(2,0) ,离心率 e ? . 2 a b 2

过该椭圆上任一点 P 作 PQ ? x 轴,垂足为 Q ,点 C 在 QP 的延长线上,且 | QP |?| PC | . (1)求椭圆的方程; (2)求动点 C 的轨迹 E 的方程; (3)设直线 AC ( C 点不同于 A, B )与直线 x ? 2 交于点 R , D 为线段 RB 的中点, 试判断直线 CD 与曲线 E 的位置关系,并证明你的结论.
3

解析:(1)由题意可得 a ? 2 , e ? ∴ b ? a ? c ?1,
2 2 2

c 3 ,∴ c ? 3 , ? a 2

-----------------2 分

所以椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

-----------------4 分

? x0 ? x ? x ? x0 ? (2)设 C ( x, y ) , P( x0 , y0 ) ,由题意得 ? ,即 ? 1 , -----------------6 分 y ? x ? y ? 2 y0 0 ? ? 2

2 x0 x2 1 2 ? y0 ? 1,代入得 ? ( y)2 ? 1 ,即 x2 ? y 2 ? 4 . 4 4 2

即动点 C 的轨迹 E 的方程为 x2 ? y 2 ? 4 . (3)设 C (m, n) ,点 R 的坐标为 (2, t ) , ∵ A, C , R 三点共线,∴ AC // AR ,

-----------------8 分

而 AC ? (m ? 2, n) , AR ? (4, t ) ,则 4n ? t (m ? 2) ,∴ t ? ∴点 R 的坐标为 (2,

4n , m?2
-----------------10 分

4n 2n ) ,点 D 的坐标为 (2, ), m?2 m?2

∴直线 CD 的斜率为 k ?

n?

2n m ? 2 ? (m ? 2)n ? 2n ? mn , m?2 m2 ? 4 m2 ? 4

而 m2 ? n2 ? 4 ,∴ m2 ? 4 ? ?n2 , ∴k ?

mn m ?? , 2 ?n n

-----------------12 分

∴直线 CD 的方程为 y ? n ? ?

m ( x ? m) ,化简得 mx ? ny ? 4 ? 0 , n

∴圆心 O 到直线 CD 的距离 d ? 所以直线 CD 与圆 O 相切.

4 m2 ? n 2

?

4 ?2?r, 4

-----------------14 分

4

3、如图 5, 已知抛物线 P : y 2 ? x ,直线 AB 与抛物线 P 交于 A, B 两点,

y

uur uuu r uuu r OA ^ OB , OA + OB = OC , OC 与 AB 交于点 M .
(1) 求点 M 的轨迹方程;
O M

A

C x

(2) 求四边形 AOBC 的面积的最小值.
B

解法一: (1)解:设 ∵ ∴ 是线段 , 的中点. …………… 2 分 ,



,①

…………… 3 分

. ∵ ∴ 依题意知 ∴ . , ∴ . , .



…………… 4 分

…………… 5 分



…………… 6 分

把②、③代入①得:

,即

.

…………… 7 分

∴点

的轨迹方程为

. 是矩形,

…………… 8 分

(2)解:依题意得四边形 ∴四边形 的面积为

…………… 9 分

5

. ∵ ∴ ∴四边形 解法二: (1)解:依题意,知直线 的斜率存在,设直线 的斜率为 , . 的面积的最小值为 . ,当且仅当

…………… 11 分 时,等号成立, …………… 12 分 …………… 13 分 …………… 14 分

由于

,则直线

的斜率为

.

…………… 1 分

故直线

的方程为

,直线

的方程为

.



消去

,得

.

解得



.

…………… 2 分

∴点

的坐标为 的坐标为 , 是线段 的中点. ,

. .

…………… 3 分 …………… 4 分

同理得点 ∵ ∴ 设点

…………… 5 分

的坐标为


6

…………… 6 分

消去 ,得

.

…………… 7 分

∴点

的轨迹方程为

. 是矩形,

…………… 8 分

(2)解:依题意得四边形 ∴四边形 的面积为

…………… 9 分

………… 10 分

…………… 11 分 . …………… 12 分

当且仅当 ∴四边形 4.设椭圆 M :

,即

时,等号成立. .

…………… 13 分 …………… 14 分

的面积的最小值为

x2 y 2 ? ? 1 a ? 2 的右焦点为 F1 ,直线 l : x ? a2 2

?

?

a2 a ?2
2

与 x 轴交于点 A ,

O 为坐标原点). 若 OF 1 ? 2F 1 A (其中
(1)求椭圆 M 的方程; (2)设 P 是椭圆 M 上的任意一点, EF 为圆 N : x 2 ? ? y ? 2? ? 1 的任意一条直径( E 、
2

F 为直径的两个端点),求 PE ? PF 的最大值.
解:(1)由题设知, A(

a2 a ?2
2
2

, 0) , F1

?

a2 ? 2 , 0 ,………………………………1 分

?

? a2 ? 2 ? ? ,…………………………3 分 a ? 2 ? 2 ? a ? 2 由 OF ,得 ? 2 AF ? 0 1 1 ? 2 ? ? a ?2 ? 2 解得 a ? 6 .所以椭圆 M 的方程为 x2 y2 M: ? ? 1 .…………………………………………………………4 分 6 2
7

(2)方法 1:设圆 N : x 2 ? ? y ? 2? ? 1 的圆心为 N ,
2

则 PE ? PF ? NE ? NP ? NF ? NP ………………………………………………6 分

?

? ? NF ? NP ? NF ? NP …………………………………………7 分

?

??

??

?

?

? NP ? NF ? NP ?1 .………………………………………………………………8 分
从而求 PE ? PF 的最大值转化为求 NP 的最大值.……………………………………9 分
2 2

2

2

2

2

因为 P 是椭圆 M 上的任意一点,设 P ? x0 , y0 ? ,………………………………………10 分

x y 2 2 所以 0 ? 0 ? 1 ,即 x0 ? 6 ? 3 y0 .………………………………………………11 分 6 2
因为点 N ?0,2? ,所以 NP ? x0 ? ? y 0 ? 2? ? ?2? y 0 ? 1? ? 12 .…………………12 分
2 2 2 2

因为 y0 ? ? ? 2 , 2 ? ,所以当 y0 ? ?1 时, NP 取得最大值 12.…………………13 分

2

?

?

所以 PE ? PF 的最大值为 11.…………………………………………………………14 分 方法 2:设点 E( x1 , y1 ) , F (x2 , y2 ), P(x0 , y0 ) , 因为 E , F 的中点坐标为 (0, 2) ,所以 ?

? x2 ? ? x1 , ………………………………………6 分 ? y2 ? 4 ? y1.

所以 PE ? PF ? ( x1 ? x0 )( x2 ? x0 ) ? ( y1 ? y0 )( y2 ? y0 ) …………………………………7 分

? ( x1 ? x0 )(? x1 ? x0 ) ? ( y1 ? y0 )(4 ? y1 ? y0 )
2 2 ? x0 ? x12 ? y0 ? y12 ? 4 y1 ? 4 y0
2 2 ? x0 ? y0 ? 4 y0 ? ( x12 ? y12 ? 4 y1 ) .………………………………………9 分 2 因为点 E 在圆 N 上,所以 x1 ? ( y1 ? 2)2 ? 1 ,即 x12 ? y12 ? 4 y1 ? ?3 .………………10 分
2 2 x0 y0 2 2 ? ? 1 ,即 x0 .…………………………11 分 ? 6 ? 3 y0 6 2 2 所以 PE ? PF ? ?2 y0 ? 4 y0 ? 9 ? ?2( y0 ? 1)2 ? 11.……………………………………12 分

因为点 P 在椭圆 M 上,所以

因为 y0 ?[? 2 , 2] ,所以当 y0 ? ?1 时, PE ? PF

?

?

min

? 11 .………………………14 分

方法 3:①若直线 EF 的斜率存在,设 EF 的方程为 y ? kx ? 2 ,………………………6 分 由?

? y ? kx ? 2

k 2 ?1 因为 P 是椭圆 M 上的任一点,设点 P ? x0 , y0 ? ,
2 2

2 2 ? x ? ( y ? 2) ? 1

,解得 x ? ?

1

.……………………………………………7 分

x y 2 2 所以 0 ? 0 ? 1 ,即 x0 ? 6 ? 3 y0 .……………………………………………8 分 6 2 ? ? ? 1 ? 1 k k ? x0 , ? ? 2 ? y0 ? 所以 PE ? ? ? x0 , ? 2 ? y0 ? , PF ? ? ? 2 2 k ?1 k 2 ?1 k 2 ?1 ? ? ? k ?1 ?
…………………………………9 分 所以

PE ? PF ? x0 ?

2

1 k2 2 2 ? ( 2 ? y ) ? ? x0 ? (2 ? y 0 ) 2 ? 1 ? ?2( y 0 ? 1) 2 ? 11. 0 2 2 k ?1 k ?1
……………………………………10 分
8

因为 y0 ? ? ? 2, 2 ? ,所以当 y0 ? ?1 时, PE ? PF 取得最大值 11.……………11 分

?

?

②若直线 EF 的斜率不存在,此时 EF 的方程为 x ? 0 ,由 ?

?x ? 0
2 2 ? x ? ( y ? 2) ? 1

,解得 y ? 1 或

y ? 3.
不妨设, E ? 0 , 3? , F ? 0 , 1? .
2 2

…………………………………………12 分

因为 P 是椭圆 M 上的任一点,设点 P ? x0 , y0 ? ,

x0 y 2 2 ? 0 ? 1 ,即 x0 ? 6 ? 3 y0 . 6 2 所以 PE ? ? ? x0 , 3 ? y0 ? , PF ? ? ? x0 , 1 ? y0 ? .
所以 所以 PE ? PF ? x02 ? y02 ? 4 y0 ? 3 ? ?2( y0 ?1)2 ?11. 因为 y0 ? ? ? 2 , 2 ? ,所以当 y0 ? ?1 时, PE ? PF 取得最大值 11.……………13 分

?

?

综上可知, PE ? PF 的最大值为 11.…………………………………………14 分 5、在平面直角坐标系 xOy 中,F1 (?4 , 0) ,F2 (4 , 0) ,P 是平面上一点, 使三角形 PF1 F2 的周长为 18 . ⑴求点 P 的轨迹方程; ⑵在 P 点的轨迹上是否存在点 P1 、 P2 ,使得顺次连接点 F1 、 P1 、 F2 、 P2 所得到的四边形

F1 P1 F2 P2 是矩形?若存在,请求出点 P1 、 P2 的坐标;若不存在,请简要说明理由
解:⑴依题意, | PF 1 | ? | PF 2 |?| F 1 F2 |? 18……1 分,

| F1 F2 |? 8 ,所以 | PF1 | ? | PF2 |? 10 ,点 P 的轨迹是椭圆……2 分,
x2 y2 2a ? 10 , 2c ? 8 ……3 分, c ? 4, b ? 3, ? ? 1 …… 所以 a ? 5 , 椭圆的方程为 25 9 4 分,因为 PF1 F2 是三角形,点 P 不在直线 F1 F2 上(即不在 x 轴上),所以点 P 的轨迹方
程为

x2 y2 ? ? 1 ( y ? 0 )……5 分. 25 9
1 | F1 F2 |? 4 (或 k P1F1 ? k P1F2 ? ?1)……7 分, 2

⑵根据椭圆的对称性, F1 P 1 F2 P 2 是矩形当且仅当直线 P 1P 2 经过原点 O ,且 ?F 1P 1 F2 是 直角……6 分,此时 | OP1 |?

? 2 175 ? 5 7 ? x2 y2 x ? x ? ? ? ? ?1 ? ? ? 16 ? 4 ……10 分,所以 设P ……9 分,解得 ? ,? 9 1 ( x , y ) ,则 ? 25 ? y 2 ? 81 ? y ? ? 9 ? x 2 ? y 2 ? 16 ? ? ? 16 ? 4 ? 5 7 9 5 7 9 , ) 、 (? , ? )或 有 2 个这样的矩形 F1 P 1 F2 P 2 ,对应的点 P 1、 P 2 分别为 ( 4 4 4 4 5 7 9 5 7 9 (? , )、( , ? ) ……12 分. 4 4 4 4
9

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率为 ,连接椭圆的四个顶点得到的 2 a b 3 四边形的面积为 2 6 . (1)求椭圆 C1 的方程;
6、已知椭圆 C1 : (2)设椭圆 C1 的左焦点为 F 1 ,右焦点为 F2 ,直线 l1 过点 F 1 且垂直于椭圆的长轴,动直 线 l2 垂直 l1 于点 P ,线段 PF2 的垂直平分线交 l2 于点 M,求点 M 的轨迹 C2 的方程; (3)设 O 为坐标原点,取 C2 上不同于 O 的点 S,以 OS 为直径作圆与 C2 相交另外一点 R, 求该圆面积的最小值时点 S 的坐标. 解:(1)解:由 e ?

3 6 2 2 2 2 2 ,得 a ? 3c ,再由 c ? a ? b ,解得 a ? b …………1 分 3 2 1 由题意可知 ? 2a ? 2b ? 2 6 ,即 a ? b ? 6 …………………………2 分 2 ? 6 b ?a ? 解方程组 ? 2 得 a ? 3, b ? 2 ………………………………3 分 ? ab ? 6 ?

x2 y 2 ? ? 1 ……………………………………3 分 所以椭圆 C1 的方程是 3 2 (2)因为 MP ? MF2 ,所以动点 M 到定直线 l1 : x ? ?1 的距离等于它到定点 F2 (1,
0)的距离,所以动点 M 的轨迹 C2 是以 l1 为准线, F2 为焦点的抛物线,…6 分 所以点 M 的轨迹 C2 的方程为 y 2 ? 4 x ……………………………………7 分 (3)因为以 OS 为直径的圆与 C2 相交于点 R ,所以∠ORS = 90°,即 OR ? SR ? 0 …………………………………………………………………………8 分 设 S ( x1 , y1 ) ,R( x2 , y2 ) , SR =( x2 - x1 , y2 - y1 ) , OR =( x2 , y2 )

y2 2 ( y2 2 ? y12 ) ? y2 ( y2 ? y1 ) ? 0 16 ? 16 ? 因为 y1 ? y2 , y2 ? 0 ,化简得 y1 ? ? ? y2 ? ? ……………………10 分 y2 ? ?
所以 OR ? SR ? x2 ( x2 ? x1 ) ? y2 ( y2 ? y1 ) ? 所以 y1 ? y2 ?
2 2

256 2 256 ? 32 ? 2 y2 ? 2 ? 32 ? 64 , 2 y2 y2

当且仅当 y2 ?
2

256 2 即 y2 =16,y2=±4 时等号成立. ………………12 分 2 y2
2 2

圆的直径|OS|= x1 ? y1 ?
2 2

y14 1 1 ? y12 ? y14 ? 16 y12 ? ( y12 ? 8)2 ? 64 16 4 4

因为 y1 ≥64,所以当 y1 =64 即 y1 =±8 时, OS min ? 8 5 , ………13 分 所以所求圆的面积的最小时,点 S 的坐标为(16,±8)……………14 分

10

7、已知点 P 是圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 16 上的动点,圆心为 B , A(1,0) 是圆内的定点; PA 的中 垂线交 BP 于点 Q . (1)求点 Q 的轨迹 C 的方程; (2)若直线 l 交轨迹 C 于 M , N ( MN 与 x 轴、 y 轴都不平行) 两点,G 为 MN 的中点, 求 kMN ? kOG 的值( O 为坐标系原点). (1)解:由条件知: QA ? QP 1分 2分 3分 4分 5分 6分

? QB ? QP ? 4 ? QB ? QA ? 4

? AB ? 2 ? 4
所以点 Q 的轨迹是以 B, A 为焦点的椭圆

? 2a ? 4,2c ? 2 ?b2 ? 3
所以点 Q 的轨迹 C 的方程是

x2 y2 ? ?1 4 3
x1 ? x2 y1 ? y2 , ) 2 2

7分

(2)解:设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )(x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ,则 G (

8分

?

x12 y12 x2 y2 ? ? 1, 2 ? 2 ? 1 4 3 4 3

9分

1 1 2 2 ? ( x12 ? x2 ) ? ( y12 ? y2 )?0 4 3

10 分

?

2 y12 ? y2 3 ?? 2 2 x1 ? x2 4

11 分

? k MN ?

y1 ? y2 y ? y2 , kOG ? 1 x1 ? x2 x1 ? x2
2 y12 ? y2 3 ?? 2 2 x1 ? x2 4

13 分

? kMN ? kOG ?

14 分

或解:设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )(x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ,直线 MN 的方程为 y ? kx ? b(k ? 0)

11

则 G(

x1 ? x2 y1 ? y2 , ) 2 2

8分 9分 10 分

? y1 ? kx1 ? b, y2 ? kx2 ? b,? y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2b

? kOG ?

y1 ? y2 2b ?k? x1 ? x2 x1 ? x2

将 y ? kx ? b 代入椭圆方程得: (4k 2 ? 3) x 2 ? 8kbx ? 4b2 ?12 ? 0

11 分 12 分

? x1 ? x2 ? ?

8kb 4k 2 ? 3

? kOG ? k ?

2b 4k 2 ? 3 3 ?k? ?? ? 8kb 4k 4k 4k 2 ? 3
3 3 )?? 4k 4
14 分

13 分

所以 k MN ? kOG ? k ? (? 8.已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,左、右两个焦点分别为 F1 、 F2 ,上顶点 A(0, b) , a2 b2

?AF1 F2 为正三角形且周长为 6.
(1)求椭圆 C 的标准方程及离心率; (2)O 为坐标原点, P 是直线 F1 A 上的一个动点,求 | PF2 | ? | PO | 的最小值,并求出 此时点 P 的坐标.

? a ? 2c ? 解:(Ⅰ)解:由题设得 ?a ? a ? 2c ? 6 ? a2 ? b2 ? c2 ?
解得: a ? 2, b ?
2

……………… 2 分

3 , c ? 1 …… 3 分
离心率 e ?

故 C 的方程为

x y2 ? ? 1 . …… 5 分 4 3

1 2

………………… 6 分

(2)直线 F1 A 的方程为 y ?

3 ( x ? 1) ,…… 7 分

设点 O 关于直线 F1 A 对称的点为 M ( x 0 , y 0 ) ,则

3 ? y0 ? ? 3 ? ?1 x0 ? ? ? ? 2 ? x0 ? (联立方程正确,可得分至 8 分) ?? ? 3 y x ? 0 ? 3 ( 0 ? 1) ? y ? 0 ? ?2 2 ? 2 ?
所以点 M 的坐标为

3 3 (? , ) 2 2

……………………………… 9 分
12

∵ PO ? PM , PF2 ? PO ? PF2 ? PM ? MF2 ,…… 10 分

3 3 | PF2 | ? | PO | 的最小值为 | MF2 |? (? ? 1) 2 ? ( ? 0) 2 ? 7 2 2

…………… 11 分

3 ?0 3 2 直线 MF2 的方程为 y ? ( x ? 1) 即 y ? ? ( x ? 1) 3 5 ? ?1 2

…………… 12 分

2 ? ? x?? 3 ? ( x ? 1) ? 3 2 3 ?y ? ? ?? 由? ,所以此时点 P 的坐标为 ( ? , ) …………… 14 分 5 3 3 ? y ? 3 ( x ? 1) ?y ? 3 ? ? 3 ?

9、已知两圆 C1 : x2 ? y2 ? 2x ? 0, C2 : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 的圆心分别为 C1 , C2 , P 为一个动 点,且 | PC1 | ? | PC2 |? 2 2 . (1)求动点 P 的轨迹 M 的方程;(2)是否存在过点 A(2, 0) 的直线 l 与轨迹 M 交于不同的 两点 C、D,使得 | C1C |?| C1D | ?若存在,求直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 解:(1)两圆的圆心坐标分别为 C1 (1,0), 和 C2 (?1, 0) ∵ | PC1 | ? | PC2 |? 2 2 ?| C1C2 |? 2 ∴根据椭圆的定义可知,动点 P 的轨迹为以原点为中心, C1 (1,0), 和 C2 (?1, 0) 为焦点,长 轴长为 2a ? 2 2 的椭圆, a ? 2, c ? 1, b ? a 2 ? c 2 ? 2 ? 1 ? 1 ∴椭圆的方程为 (4 分) (2 分)

x2 x2 ? y 2 ? 1,即动点 P 的轨迹 M 的方程为 ? y 2 ? 1 (6 分) 2 2

(2)(i)当直线 l 的斜率不存在时,易知点 A(2, 0) 在椭圆 M 的外部,直线 l 与椭圆 M 无交点,所以直线 l 不存在。(7 分) (ii)设直线 l 斜率存在,设为 k ,则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) (8 分)

? x2 ? ? y2 ? 1 2 2 2 2 由方程组 ? 2 得 (2k ? 1) x ? 8k x ? 8k ? 2 ? 0 ① ? y ? k ( x ? 2) ?
13

(9 分)

依题意 ? ? ?8(2k 2 ?1) ? 0 解得 ?

2 2 ?k? 2 2

(10 分)

当?

2 2 时,设交点 C( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) ,CD 的中点为 N ( x0 , y0 ) , ?k? 2 2
x1 ? x2 4k 2 8k 2 ? ? 8k 2 ? ? x ? ? ,则 , x ? 0 2 2 2k 2 ? 1 4k 2 ? 2 4k 2 ? 2
? 4k 2 ? ?2 k ? 2? ? 2 2 ? 2k ? 1 ? 2k ? 1
(11 分)

方程①的解为 x1 ?

∴ y0 ? k ( x0 ? 2) ? k ?

要使 | C1C |?| C1D | ,必须 C1 N ? l ,即 k ? kC1N ? ?1

(12 分)

?2k ?1 2 1 2 k ? 1 ∴k? ? ?1 ,即 k 2 ? k ? ? 0 ② 2 2 4k ?0 2 2k ? 1 1 1 2 ∵ ?1 ? 1 ? 4 ? ? ?1 ? 0 或,∴ k ? k ? ? 0 无解 (13 分) 2 2
所以不存在直线 l ,使得 | C1C |?| C1D | 综上所述,不存在直线 l,使得 | C1C |?| C1D | (14 分)

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