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2012高考数学选填题专项训练(8) 导数及其应用


选填题专项训练 8---导数及其应用
一、选择题( 10 小题,每小题 5 分) 1. f ( x ) 与 g ( x) 是定义在 R 上的两个可导函数, f ( x ) , g ( x) 满足 若

f ' ( x) ? g ' ( x) ,则 f ( x) 与

g ( x) 满足(

B. f ( x) ? g ( x) 为常数函数 D. f ( x) ? g ( x) 为常数函数 )

A. f ( x) ? g ( x) C. f ( x) ? g ( x) ? 0

2.函数 y ? f (x) 在一点的导数值为 0 是函数 y ? f (x) 在这点取极值的(

w.w.w.zxxk. c.o. m

A 充分条件
3.若

B 必要条件
k ?0

C 充要条件

D 必要非充分条件 )

f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) 等于( 2k 1 A.-1 B.-2 C.-1 D. 2

f ?( x0 ) ? 2 ,则 lim

4.若函数 y ? f ( x) 在区间 ( a, b) 内可导,且 x0 ? (a, b) 则 lim
h ?0

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) 的值为 h

A. f ' ( x0 )

B. 2 f ' ( x0 )

C. ?2 f ' ( x0 )

D. 0

5.设函数

,其中

,则导数

的取值范

围是 A.
6.函数

B.

C.

D.

f ( x) ? x 3 ? 3ax ? b(a ? 0) 的极大值为 6,极小值为 2,则 f (x) 的减区间是
B. (0,1) C. (-1,0) D. (-2,-1)

A. (-1,1)

7.以下四图,都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像,其中一定不正确的序号是

A.①、②

B.① 、③

C.③、④

D.①、④

8.一个物体的运动方程为 s ? 1 ? t ? t 其中 s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在 3 秒末
2

的瞬时速度是( A. 7 米/秒 C. 5 米/秒
9..若

) B. 6 米/秒 D. 8 米/秒
h ?0
w.w.w.zxxk.c. o. m

f ' ( x0 ) ? ?3 ,则 lim
A. ?3

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? 3h) ?( h
C. ?9

) D. ?12

B. ?6

e x ? e? x 10. 函数 y ? x 的图像大致为( e ? e? x

).

y 1 O 1 x 1

y

y

y

1 O1 x O 1 x O

1 1 D x

A

B

C

二、填空题( 4 小题,每小题 4 分) 11.过原点作曲线 y
3

? e x 的切线,则切点坐标是______________,切线斜率是_________。
1 f (?x ? 1) ? f (1) = , 则 lim ?x ?0 x 2?x
.

12.若函数 f ( x) ? x ?

13.函数 y

? 2x 3 ? 3x 2 ? 12x ? 5 在[0,3]上的最大值和最小值分别是_______.

w.w.

14.

14.若曲线 f ( x) ? ax ? ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实 数 a 取值范围是_____________.
3

4o.m

15. 水以 20 米 /分的速度流入一圆锥形容器,设容器深 30 米,上底直径 12 米,则当水深

3

10 米时,水面上升的速度为

答案 一、选择题( 12 小题,每小题 5 分) 1.B 2.D 3.解析:? f ?( x0 ) ? lim
k ?0

解析: f ( x ) , g ( x) 的常数项可以任意

f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) 2k f ?( x0 ? (?k )? ? f ( x0 ) 1 1 ? ? lim ? ? f ?( x0 ) 2 k ?0 ?k 2 1 ? ? ? 2 ? ?1. 故选 A. 2 f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) ? lim 2[ ] 4.B 解析: lim h ?0 h ?0 h 2h f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) ? 2 lim ? 2 f ' ( x0 ) h ?0 2h
∴ lim
k ?0
w.w.w. zxxk.c. o.m

f ?x0 ? (?k )? ? f ( x0 ) ? 2 (含 ?x ? ? k ) , ?k

5.D

解析: f ?(1) ? sin ? ? x2 ? 3 cos ? ? x

x ?1

? sin ? ? 3 cos ? ? 2sin(? ? ) 3

?

? ? 2 ? ? 5 ? ?? ? ?0, ? ? ? sin(? ? ) ? ? ,1? ? f ?(1) ? ? 2, 2 ? ,选 D。 ? ? 12 ? 3 ? 2 ? ?
6.A 提示 :令

f ' ( x) ? 3x 2 ? 3a ? 0 ,得 x= ? a , f ( a ) ? 2 , f (? a ) ? 6 ,得
' 2

a=1,b=4,当 x ? (?1,1) 时, f ( x) ? 3x ? 3 ? 0 .
7.C 提示:根据 8.C 9.D
'

f ' ( x) ? 0 时, y ? f (x) 递增; f ' ( x) ? 0 时, y ? f (x) 递减可得
'

解析: s (t ) ? 2t ?1, s (3) ? 2 ? 3 ?1 ? 5 解析: lim
h ?0

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? 3h) f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? 3h) ? 4 lim ? 4 f ' ( x0 ) ? ?12 h ?0 h 4h
x ?x

10. 函 数 有 意 义 , 需 使 e ? e

? 0 , 其 定 义 域 为 ?x | x ? 0? , 排 除 C,D, 又 因 为

y?

e x ? e? x e2 x ? 1 2 ? 2x ? 1? 2x ,所以当 x ? 0 时函数为减函数,故选 A. x ?x e ?e e ?1 e ?1

答案:A. 【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点 在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.

二、填空题 11. (1, e), e 解析: 设切点 (t , e ) ,函数 y
t

? e x 的导数 y ' ? e x ,切线的斜率

k ? y ' | x ?t ? et ?

et ? t ? 1, k ? e, 切点 (1, e) t
?x ?0

12.解析: 易知 f ( x ) 为奇函数, 所以 lim

f (?x ? 1) ? f (1) 1 f (1) ? f (1 ? ?x) ? lim ?x ?0 2?x 2 ?x

?

1 / f (1) ? 1 . 2

13.5,-15 ;提示:求出 极值和端点值,比较大小。

14. 【答案】 (??, 0) :
w.w

解析:由题意可知 f ( x) ? 2ax ?
' 2

1 ,又因为存在垂直于 y 轴的切线, x

所以 2ax ?
2
.w.zxxk.c. o. m

1 1 ? 0 ? a ? ? 3 ( x ? 0) ? a ? (??, 0) 。 x 2x

15. 解析:设容器中水的体积在 t 分钟时为 V,水深为 h 则 V=20 t 又 V= ? r h
2

1 3

由图知

r 6 ? h 30

∴r ?

1 h 5

∴V=
3

1 1 ? ( ? · )2· h 3 = h 3 75 3 5
于 是 h? =
3

? h 3 , ∴ h= ∴ 20 t = 75

1500 t

?

1500 1 ? 3 ? ?t . ? 3

2

w.w.w.zxxk.c. o. m

w.w.w.zxxk. c.o. m

当 h =10 时, t = 为

2 ? 3

h? =

5

?

. ∴当 h =10 米时,水面上升速度

5

?

米/分.


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