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定积分与微积分知识强化主讲2-2


定积分与微积分知识强化主讲:陈逸
一、知识概述

二、重难点知识归纳 (1)定积分的定义:分割—近似代替—求和—取极限

这里,a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函数 f(x) 叫做被积函数,x 叫做积分变量,f(x)dx 叫做被积式. (2)定积分几何意义:



表示 y=f(x)与 x 轴,x=a,x=b 所围成曲边梯形的面积.

② 反数. (3)定积分的基本性质:

表示 y=f(x)与 x 轴,x=a,x=b 所围成曲边梯形的面积的相



(k 为常数);





③ (4)求定积分的方法:

(其中 a<c<b).

①定义法:分割—近似代替—求和—取极限. ②利用定积分几何意义.

③微积分基本公式 (5)定积分的简单应用 ①定积分在几何中的应用; ②定积分在物理中的应用. 三、典型例题剖析 例 1、计算下列定积分

,其中



(1)

(2)

(3)

解:(1)原式 (2)原式



(3)原式



例 2、求曲线

与 x 轴所围成的图形的面积.

解:首先求出函数

的零点:







又易判断出在(-1,0)内,图形在 x 轴下方,在(0,2)内,图形在 x 轴上方, 所以所求面积为



例 3、已知

,求 k 的值,使



解:分 2<k<3 和-2≤k≤2 两种情况讨论. (1)当 2<k<3 时,

整理得,k3+3k+4=0,即有 k3+k2-k2+3k+4=0, 所以(k+1)(k2-k+4)=0,∴ k=-1.

又∵2<k<3,∴ k=-1 舍去. (2)当-2≤k≤2 时,

,即 k=0 或 k=-1,综上所述,k=0 或 k=-1

例 4、抛物线 y=ax2+bx 在第一象限内与直线 x+y=4 相切.此抛物线与 x 轴所围成的图 形的面积记为 S.求使 S 达到最大值的 a、b 值,并求 Smax.

解:依题设可知抛物线为凸形,它与 x 轴的交点的横坐标分别为 x1=0,x2=



所以

(1)

又直线 x+y=4 与抛物线 y=ax2+bx 相切,即它们有唯一的公共点,

由方程组 得 ax2+(b+1)x-4=0,其判别式必须为 0,即(b+1)2+16a=0.

于是

,代入(1)式得:





令 S'(b)=0,在 b>0 时得唯一零点 b=3,且当 0<b<3 时,S'(b)>0;当 b>3 时, S'(b)<0.故在 b=3 时,S(b)取得极大值,也是最大值,即 a=-1,b=3 时,S 取得最大

值,且




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