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云南省2012年第二次高中毕业生复习统一检测理科数学质量分析报告


2012 年云南省第二次高中毕业生复习统一检测 理科数学质量分析报告

一、试题分析
1.题型、题量 全卷包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷为选择题.第Ⅱ卷为非选择题.考试 时间为 120 分钟,总分为 150 分.试题分选择题、填空题和解答题.其中,选择题 有 12 个小题,每题 5 分,共计 60 分;填空题有 4 个小题,每题 5 分,共计 20

分;解答题有 8 个题,其中第 17 题~21 题各 12 分,第 22~24 题(各 10 分) 选答一题内容分别为选修 4—1(几何选讲) 、选修 4—4(坐标系与参数方程) 、4 —5(不等式选讲) ,共计 70 分.全部试题都要求在答题卡上作答.题型、题量同 教育部考试中心近几年命制的新高考数学理科卷相同. 2.试题考查内容 试题内容与考试要求都与 2012 年新课程高考《考试大纲》的考试内容与要 求相吻合, 考查的知识内容与方法分布与高中数学新课标和考试大纲所规定的相 同. 3.试题考查的知识和方法 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 主要内容 复数 解析几何 统计 三解函数 积分 三角函数 立体几何 函数 解析几何 向量 复数运算 直线、圆相交问题、弦长问题 正态分布 同角三角函数关系、恒等变换 定积分的基本概念及其计算 正切函数的图象性质、逻辑符号及表示 正方体、点面距离、等体积法 向量运算、逻辑符号及表示、不等式的恒成立 直线、双曲线的标准方程、渐近线 向量运算 知识与方法

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11 12 13 14 15 16 17 18 19

椭圆 数列 函数 算法 概率 立体几何 数列 立体几何 概率

椭圆性质、正弦定理 等差数列及性质、等比中项、二次函数最值 函数的增减性与导数 程序框图、选择结构、循环结构 函数与概率、几何概型 三视图、求表面积 等差数列的通项公式及前 n 项和公式、裂项法求和、 不等式证明、放缩法 线线、线面位置关系、球的概念、异面直线所成角 古典概型、独立事件同时发生的概率、对立事件概率 的计算 抛物线的概念和性质、直线和抛物线的位置关系、基 本数学思想和方法、运算求解能力 函数与导数、导数研究函数的性质、证明不等式恒成 立、简单三次不等式的解法 圆幂定理、相交弦定理、推理论证、计算能力 直线参数方程的求法和几何意义、普通方程与极坐标 方程的互化、直曲相交问题 新情景设问、绝对值不等式的证明、绝对值不等式的 解法

20

解析几何

21 22 23

函数 平面几何 极坐标

24

不等式

二、抽样统计分析
1.抽样全卷基本情况
样本数 1086 满分值 150 平均分 81.67 难度 0.54 标准差 24.88 及格 人数 428 及格率 39.41 最高分 144

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2.抽样分数段
分数段 人数 合计 分数段 人数 合计 90~99 100~109 0~49 50~59 60~69 70~79 80~89 抽样总数 1086 140~150

110

102

131
658 110~119

162
120~129

153
130~139

153

118

87
428

50

16

4

学生数 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 49分以下 50~59 60~69 70~79

理科数学分数段分布表

80~89

90~99

100~109 110~119 120~129 130~139 140~150 分数段

3.各小题抽样情况
(1)选择题
题 满 分 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 值 正 确 选 项 A 人 数 A 比 例% B 人 数 B 比 例% C 人 数 C 比 例% D 人 数 D 比 例% 未 (多) 选人数 未 (多) 选 例% 比

5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

B D A A B D D C A C A B

15 24 972 834 54 8 96 36 945 111 667 127

1.38 2.21 89.5 76.8 4.97 0.74 8.84 3.31

1027 59 73 147 910 54 237 120

94.57 5.43 6.72 13.54 83.79 4.97 21.82 11.05 5.06 3.41 15.84 50.28

15 112 13 71 78 95 314 844 59 506 190 199

1.38 10.31 1.2 6.54 7.18 8.75 28.91 77.72 5.43 46.59 17.5 18.32

29 890 28 34 42 929 437 86 27 430 55 211

2.67 81.95 2.58 3.13 3.87 85.54 40.24 7.92 2.49 39.59 5.06 19.43

0 1 0 0 2 0 2 0 0 2 2 3

0 0.09 0 0 0.18 0 0.18 0 0 0.18 0.18 0.28

87.02 55 10.22 37 61.42 172 11.69 546

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题 号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

满分值

平均分

难度

区分度

标准差

满分 人数 1027 890 972 834 910 929 437 844 945 506 667 546

满分率

5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

4.73 4.1 4.48 3.84 4.19 4.28 2.01 3.89 4.35 2.33 3.07 2.51

0.95 0.82 0.9 0.77 0.84 0.86 0.4 0.78 0.87 0.47 0.61 0.5

0.19 0.42 0.42 0.46 0.39 0.41 0.42 0.48 0.39 0.36 0.47 0.39

1.13 1.92 1.52 2.11 1.84 1.75 2.45 2.07 1.68 2.49 2.44 2.5

94.57 81.95 89.5 76.8 83.79 85.54 40.24 77.72 87.02 46.59 61.42 50.28

题 号

满 分 值

平 均 分



区 分

标 准 差

及 格 人 数

及 格 率

满 分 人 数

满 分 率

最 高 分





选 择 题

60

43.77

0.73

0.43

11.43

801

73.76

94

8.66

60

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(2)填空题 题 满 分 号 值 平 均 分 度 难 区 分 度 标 准 差 及 格 人 数 13 14 15 16
填 空 题

及 格 率

满 分 人 数

满 分 率

最 高 分

5 5 5 5

0.27 4.17 1.71 3.76

0.05 0.83 0.34 0.75

0.3 0.17 0.51 0.31

1.12 1.86 2.37 2.16

58 905 372 817

5.34 83.33 34.25 75.23

58 905 372 817

5.34 83.33 34.25 75.23

5 5 5 5

20

9.91

0.5

0.27

4.38

298

27.44

31

2.85

20

(3)解答题 题 满 分 号 值 平 均 分 度 难 区 分 度 标 准 差 及 格 人 数 17 18 19 20 21 22 23 24
解 答 题

及 格 率

满 分 人 数

满 分 率

最 高 分

选 考 人 数

未 考 人 数

12 12 12 12 12 10 10 10

5 4.73 6.95 3.71 2.09 4.39 6.2 3.85

0.42 0.39 0.58 0.31 0.17 0.44 0.62 0.39

0.61 0.57 0.66 0.62 0.45 0.62 0.52 0.47

4.39 3.7 4.74 3.19 1.6 2.61 3.12 2.59

342 235 522 92 20 18 533 26

31.49 21.64 48.07 8.47 1.84 23.68 62.93 26.8

194 130 413 35 4 7 241 5

17.86 11.97 38.03 3.22 0.37 9.21 28.45 5.15

12 12 12 12 12 10 10 10

70

28

0.4

0.6

13.82

198

18.23

0

0

69

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(4)第 II 卷 题 满 分 号 第 II 卷 70 28 0.4 0.6 13.82 198 18.23 0 0 69 值 平 均 分 度 难 区 分 度 标 准 差 及格 人数 及 格 率 满分 人数 满 分 率 最 高 分

三、各题质量分析
第 1 题:已知 i 是虚数单位,则复数 (A) ? (C)
1 1 ? i 2 2 i 等于 1? i

(B) ? (D)

1 1 ? i 2 2

1 1 ? i 2 2

1 1 ? i 2 2

解:∵

i i (1 ? i ) ?1? i 1 1 ? ? ?? ? i, 1 ? i (1 ? i )(1 ? i ) 2 2 2
1 1 i 等于 ? ? i . 2 2 1? i

∴复数

故选(B). 第 2 题:已知直线 y ? k x 与圆 x 2 ? y 2 ? 3 相交于 M 、 N 两点,则 MN 等于 (A)

1? k2 3 2 1? k2 3

(B) 3 (D) 2 3

(C)

解:∵直线 y ? k x 经过圆 x 2 ? y 2 ? 3 的圆心, ∴ MN ? 2 3 . 故选(D). 答题分析:1.本题需要注意圆心 O 就在直线 y ? k x 上这一隐含条件,从而 容易得出弦长就是直径. 2.本题的另一解法是由 ?
? y ? kx
2 2 ?x ? y ? 3

,消 y 后得 ?1 ? k 2 ? x 2 ? 3 ? 0 ,根据弦长公

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3 2 式得 MN ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ? ?? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ? ? 1 ? k 2 ? 4 ? ? ?

1? k2

? 2 3 .当

然这一解法对于求圆的弦长来说,并不是一种好的解法. 第 3 题:已知随机变量 X 服从正态分布 N ( 0 , 1 ) ,在某项测量中,若 X 在
(? 1.96, 1.96 ) 内取值的概率等于 0.95 ,则 X 在 ? 1.96 , ? ? 内取值的概率等于 ?

(A) 0.025 (C) 0.95 解:∵ X ~ N ( 0 , 1 ) , ∴ P ( X ? 1.96 ) ? 故选(A).

(B) 0.05 (D) 0.975

1 ? 0.95 ? 0.025 . 2

答题分析:可能有的学校不重视正态分布等统计知识的教学,实际上本题甚 为基本,只涉及正态分布的对称性,做错实在可惜. 第 4 题:已知 tan ? ? 2 ,则 (A) (C)
13 9

sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 等于 2 sin 2 ? ? cos2 ?

(B)

11 9

6 7

(D)

4 7

sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 3 sin 2 ? ? cos2 ? 3 tan2 ? ? 1 ? ? 解:∵ , tan ? ? 2 , 2 sin 2 ? ? cos2 ? 2 sin 2 ? ? cos2 ? 2 tan2 ? ? 1



sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 13 ? . 2 sin 2 ? ? cos2 ? 9

故选(A). 答题分析:已知 tan ? ? 2 ,要求 上靠,这样问题便容易解决了. 第 5 题:设由直线 x ? 积等于 S ,则 S 等于 (A)
sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 的值,容易想到往齐次式 2 sin 2 ? ? cos2 ?

? ,直线 x ? ? , x 轴,以及 y ? sin x 围成的封闭图形的面 2

1 2

(B) 1

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(C) 2 解:∵ ?? sin xdx ? ? cos x ? ?1 , ?
2 2

(D) ?
?

∴ S ? 1. 故选(B). 第 6 题: 已知 f ( x ) ? 3 tan x 的定义域是集合 P , 如果 ? x1 ? P ,? x2 ? P ,x1 ? x2 , 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,那么 x2 ? x1 的最小值等于 (A) 4? (C) 2? (B) 3? (D) ?

解:∵ f ( x ) ? 3 tan x 的最小正周期为 ? , x1 ? x2 ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , ∴ x2 ? x1 的最小值等于 ? 故选(D). 答题分析:一些考生没有真正弄懂“如果 ? x1 ? P , ? x2 ? P , x1 ? x2 ,且 那么 x2 ? x1 的最小值” 这句话的含义, 其实质是求 f ( x ) ? 3 tan x f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 的最小正周期.说明考生对数学语言、数学符号的理解能力有待加强. 第 7 题:在棱长为 2 的正方体 ABCD? A1 B1C 1 D1 中,点 E 、F 分别是棱 AB 、BC 的中点,则点 C 1 到平面 B1EF 的距离等于
2 (A) 3
D F A E B

C

2 2 (B) 3 2 3 (C) 3
4 (D) 3

D1 A1

C1 B1

解:设点 C1 到平面 B1EF 的距离等于 d , ∵ VC1 ? B1EF ?
VE ? B1FC1 ?

1 1 1 3 2 1 S ?B1EF ? d ? ? ? 2 ? ?d ? d , 3 3 2 2 2

1 1 1 2 S ?B1FC1 ? BE ? ? ? 2 ? 2 ? 1 ? , 3 3 2 3

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VC1 ?B1EF ? VE ?B1FC1 ,
∴d ?
4 . 3

故选(D). 答题分析:1.本题如果想直接作出点 C1 到平面 B1EF 的垂线段,那么将“跑” 到正方体外,解答会比较困难. 2.求点到平面的距离,经常使用三棱锥的等体积法来进行求解. 第 8 题:设 R 是实数集,平面向量 a ? ( 2 , sin
x x x ) , b ? ( cos 2 , 2 cos ) , 3 3 3

f ( x ) ? a ? b . 若 ? n ? R , ?x ? R , f ( x ) ? f (n) ,则 f ( n ) 等于
(A) 4 (C) 1 ? 2 (B) 1 ? 2 (D)
2?2 2 3

1 1 1 解:∵ a ? ( 2 , sin x ) , b ? ( cos 2 x , 2 cos x ) , 3 3 3

∴ f ( x ) ? a? b 1 1 1 2 2 2 ? ? 2 cos 2 x ? 2 sin x cos x ? cos x ? sin x ? 1 ? 2 sin( x ? ) ? 1 , 3 3 3 3 3 3 4 ∴ f ( x ) ? a ? b 的最大值等于 1 ? 2 . 故选(C). 答题分析:1.一些考生不能正确化简 f ( x ) ? a ? b ,导致出错. 2.一些考生没有真正弄懂“ ? n ? R , ?x ? R , f ( x ) ? f (n) ”的含义,实际 上, f ? n ? 是 f ? x ? 的最大值. 第 9 题:已知 m ? 0 ,直线 y ? (A) (C)
3 2 3 x2 y2 x 是双曲线 ? 2 ? 1 的渐近线,则 m 等于 4 4 m

(B) (D)

3 3 2
16 3

8 3

解:∵ m ? 0 ,直线 y ?

3 x2 y2 x 是双曲线 ? 2 ? 1 的渐近线, 4 4 m

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m 3 3 ? ,解得 m ? . 2 4 2

3 ∴m ? . 2

∴(A)正确. 故选(A). 答题分析:一些考生记错了双曲线的渐进线方程,错误得到
8 m ? ,选(C). 3

2 3 ? ,从而 m 4

第 10 题:已知平面向量 a ? 3 ,) b ? x , 6 ) ,设 a 与 b 的夹角的正切值等 ( 1 , ( ? 于?
4 ,则 x 的值为 3

(A)

26 3

(B) 2 (D) ? 2 ,
26 3

(C) ? 2

解:∵ a ? 3 ,) b ? x , 6 ) , a 与 b 的夹角等于 ? , ( 1 , ( ? ∴ a ? b ? 3x ? 6 ? 10 x 2 ? 36 cos? . ∴ cos? ?
3x ? 6 10 x 2 ? 36

.

∵ ? 的正切值等于 ? ∴
3x ? 6

4 3 , ∴ cos ? ? ? . 3 5

3 ? ? ,即 3x 2 ? 20x ? 52 ? 0 . 5 10 x 2 ? 36
26 . 3

解方程得 x1 ? ?2 , x 2 ? 经过检验, x 2 ? ∴ x ? ?2 . 故选(C).

26 是增根, x1 ? ?2 满足要求. 3

答题分析:1.不少考生没有进行检验,从而误选(C).这里之所以要检验,

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是因为解无理方程

3 ? ? ,两边平方有可能产生增根. 5 10 x 2 ? 36

3x ? 6

2.凡是选择题的备选答案中有多解的情况时,务必驻足,回头重新审视解题 过程,检查是否会有增根或失根产生. 第 11 题:已知椭圆 E 上存在点 P ,在 P 与椭圆 E 的两个焦点 F1 、 F2 构成的

? F1 PF2 中, sin ?P F1 F2 : sin ?F1 P F2 : sin ? PF2 F1 ? 7 : 10 : 11 ,则椭圆 E 的离
心率等于 (A) (C)
5 9
11 17

(B) (D)

7 11
1 3

解:∵ P 、 F1 、 F2 不在一条直线上, 且 sin ?P F1 F2 : sin ?F1 P F2 : sin ? PF2 F1 ? 7 : 10 : 11 , ∴在 ?F1 PF2 中,根据正弦定理得 P F2 : F1 F2 : P F1 ? 7 : 10 : 11. 设 PF2 ? 7m , F1 F2 ? 10m , PF ? 11m ,则 1
2c ? 10m , 2a ? PF ? PF2 ? 18m . 1

∴椭圆 E 的离心率 e ? 故选(A).

c 2c 5 ? ? . a 2a 9

答题分析:1.面对比例式 sin ?P F1 F2 : sin ?F1 P F2 : sin ? PF2 F1 ? 7 : 10 : 11 , 一些考生没有想到用正弦定理把它转化为边的关系. 2.对于三项(或者更多项)的比例式,常用的手法是把其中的一份设为 k , 这样每个量都可以用 k 表示出来,并且很容易把它们代入相关式子进行计算. 第 12 题:已知公差不等于 0 的等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,如果 S3 ? ? 21,

a7 是 a1 与 a5 的等比中项,那么在数列 ? n an ? 中,数值最小的项是
(A)第 4 项 (C)第 2 项 (B)第 3 项 (D)第 1 项

3a1 ? 3d ? ?21 ? 解:设 ? an ? 的公差等于 d ,则 d ? 0 .根据已知得 ? , 2 ?(a1 ? 6d ) ? a1 (a1 ? 4d )

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? a ? ?9 解得 ? 1 . ? d ?2
∴ an ? 2n ? 11. ∴ nan ? 2n 2 ? 11n . ∴数列 ? n an ? 中数值最小的项是第 3 项. 故选(B). 答题分析:1.出错的还比较多,可能是计算错误吧. 2.根据题意, 可以求出等差数列 ?an ?的通项公式 an ? 2n ? 11, 接下来问题转 化为求当 n 等于多少时, nan ? 2n 2 ? 11n 取得最小值.
? 第 13 题: 已知 f ( x ) ? x 2 ? 2 a x ? 3 ln ( 2 x ? 1 ) 在 ( 0 , ? ) 上是增函数, 则常数 a

的取值范围是



解:∵ f ( x ) ? x 2 ? 2 a x ? 3 ln ( 2 x ? 1 ) ,0 ∴ f ?( x ) ? 2 x ? 2a ?

6 . 2x ? 1

? ∵ f ( x ) ? x 2 ? 2 a x ? 3 ln ( 2 x ? 1 ) 在 ( 0 , ? ) 上是增函数,

∴ f ?( x ) ? 2 x ? 2a ?
? 在 ( 0 , ? ) 上恒成立.

6 3 ? 0 在 ( 0 , ? ) 上恒成立,即 a ? ? x ? ? 2x ? 1 2x ? 1

? ? ? ? 1 3 1 3 1 ? ? ?( x ? ) ? ∵? x ? ?? ?? 6? , 2x ? 1 2 2( x ? 1 ) ? 2 2 ? 2 ? ?
∴a ?
1 ? 6. 2

答题分析:1.值得注意的是, 下列做法是错误的.原因在于 f ? x ? 是增函数与 导函数 f ? ? x ? ? 0 并不等价.
? ∵ f ( x ) ? x 2 ? 2 a x ? 3 ln ( 2 x ? 1 ) 在 ( 0 , ? ) 上是增函数,

∴ f ?( x ) ? 2 x ? 2a ?
( 0 , ? ) 上恒成立. ?

6 3 ? 0 在 ( 0 , ? ) 上恒成立, a ? ? x ? ? 即 在 2x ? 1 2x ? 1

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? ? ? ? 1 3 1 3 1 ∵ ?x ? ? ? ?( x ? ) ? ?? ?? 6? , 2x ? 1 2 2( x ? 1 ) ? 2 2 ? 2 ? ?
∴a ?
1 ? 6. 2 1 1 ? 6, ,漏了 a ? ? 6 的情形. 2 2

2.很多考生填的都是 a ? 第 14 题:按下列程序框图运算:

开始

输入 x

乘以 3

减去 2

大于 244? 否



结束

规定:程序运行到“判断结果是否大于 244 ”为 1 次运算. 若输入 x ? 5 ,程序 经过 n 次运算才结束,则 n ? .

解:第一次运算得 13 ,第二次运算得 37 ,第三次运算得 109 ,第四次运算 得 325 ,所以运行四次. 即n ? 4. 答题分析:本题也可如下求解. 设 an ?1 ? 3an ? 2 ,则 an ?1 ? 1 ? 3? an ? 1? , 所以 an ? 1 ? ? a0 ? 1? 3n ,即 an ? 4 ? 3n ? 1 ? 244 . 解得 n ? 4 ,所以 n ? 4 . 第 15 题:在 [ ? 6 , 9 ] 内任取一个实数 m ,设 f ( x ) ? ? x 2 ? m x ? m ?
f ( x ) 的图象与 x 轴有公共点的概率等于
5 ,则函数 4



解:∵ y ? f ( x ) 的图象与 x 轴有公共点, ∴ ? ? m2 ? 4m ? 5 ? 0 ,解得 m ? ?5 或 m ? 1 . ∴当 ? 6 ? m ? ?5 或 1 ? m ? 9 时, y ? f ( x ) 的图象与 x 轴有公共点.
3 ∴ y ? f ( x ) 的图象与 x 轴有公共点的概率等于 . 5

答题分析:有的考生可能是忙中出错,填成没有公共点的概率
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2 . 5

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第 16 题:如图是一个空间几何体的三视图,其中正视图是长、宽分别等于 5 和 3 的长方形, 侧视图是长、 宽分别等于 5 和 4 的长方形, 俯视图是直角边长分别为 3 和 4 的直角三角形,则这个几何体的表面积等于 .

解:由所给三视图可知该几何体为一个三棱柱,侧棱与底面垂直.且底面为直 角三角形,直角边长分别为 3 和 4 ,斜边长为 5 ,三棱柱的 高为 5 ,所以表面积为 3 ? 4 ? (3 ? 4 ? 5) ? 5 ? 72 . 答题分析:本题的难点在于由三视图还原出立体图形.
5 3 4

2 第 17 题:已知数列 ? an ?是等差数列, a 2 ?1 ? an ? 8n ? 4 ,设数列 ? an n

?的

?1? 前 n 项和为 S n ,数列 ? ? 的前 n 项和为 Tn . ? Sn ?

(Ⅰ)求数列 ? an ?的通项公式; (Ⅱ)求证:
1 ? Tn ? 1 . 2

解: (Ⅰ)设等差数列 ? an ?的公差为 d ,则 an ? a1 ? (n ? 1)d .
2 2 ∵ an ?1 ? an ? 8n ? 4 ,

∴ (an?1 ?a n )(an?1 ? an ) ? d (2a1 ? d ? 2nd ) ? 8n ? 4 . 当 n ? 1 时, d (2a1 ? d ) ? 12 , 当 n ? 2 时, d (2a1 ? 3d ) ? 20 .

? d ( 2a1 ? d ) ? 12, ?a1 ? 2, ?a1 ? ?2, 解方程组 ? 得? 或? ?d ( 2a1 ? 3d ) ? 20 ? d ? 2, ? d ? ?2.
经过检验, an ? 2n 或 an ? ?2n 都满足要求. ∴ an ? 2n 或 an ? ?2n . (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知: an ? 2n 或 an ? ?2n . ∴ an ? 2n .∴ Sn ? n ( n ? 1 ) .

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1 1 1 1 ? ? ? . S n n (n ? 1) n n ? 1
1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? 1? . 2 2 3 n n ?1 n ?1

∴ Tn ? 1 ? ∴

1 ? Tn ? 1 . 2

答题分析:1.第(Ⅰ)问得到 (an ?1 ? a n )(an ?1 ? an ) ? d (2a1 ? d ? 2nd ) ? 8n ? 4 后,实质上是一个关于 n 的等式恒成立的问题. 2. 第(Ⅰ)问的上述解法之所以要检验,是因为 n ? 1 、 n ? 2 成立只是 成立的必要条件. d (2a1 ? d ? 2 nd) ? 8n ? 4
? 2d 2 ? 8 3. 第(Ⅰ)问也可以直接解方程组 ? ,得到 a1 和 d ,进而得出 ? d (2a1 ? d ) ? 4

通项 an . 4.第(Ⅱ)问考查用裂项法求数列的前 n 项和,并用放缩法证明简单的不等 式. 第 18 题:在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面 ABC , BC ? AB ,点 D 在棱 PC 上,
1 且 CD ? CP . 3
P

(Ⅰ)求证:点 P 、 A 、 B 、 C 在同一个球面上; (Ⅱ)设 PA ? AB ? BC ? 2 ,求异面直线 BD 与 AC 的夹角的余弦值.
A D C

B

解: (I)证明:设 M 是棱 PC 的中点, ∵ PA ? 平面 ABC , AC ? 平面 ABC ,
BC ? 平面 ABC ,

P M D A B C

∴ PA ? AC , PA ? BC . 又∵ BC ? AB , PA ? AB ? A , ∴ BC ? 平面 PAB .

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∴ BC ? PB . ∴ BM ? PM ? CM . ∵ PA ? AC , ∴ AM ? PM ? CM . ∴ PM ? AM ? BM ? CM . ∴点 P 、 A 、 B 、 C 在以棱 PC 的中点 M 为球心, 上. (II)解:∵ BC ? AB , PA ? AB ? BC ? 2 , ∴ ? ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形. 以 AC 为 y 轴, AP 为 z 轴建立如图所示的空 间直角坐标右手系 A ? xyz , 则
A(0 , 0 , 0 ) ,
A D C y x B z P

PC 为半径的球面 2

B( 2 , 2 , 0 ) , C(0 , 2 2 , 0 ) ,
P(0 , 0 , 2 ) , AC ? ( 0 , 2 2 , 0 ) ,

CP ? ( 0 , ? 2 2 , 2 ) , CD ? ( xD , yD ? 2 2 , z D ) .
? ? x D ? 0, ? 1 1 4 2 ? ∵ CD ? CP , ∴ CD ? CP ,即 ? y D ? , 3 3 3 ? ? zD ? 2 . ? 3 ?
∴ D( 0 ,
2 2 4 2 2 , ). , ) , BD ? ( ? 2 , 3 3 3 3

设异面直线 BD 与 AC 的夹角等于 ? ,则 cos? ?

BD ? AC BD AC

?

3 . 6

∴异面直线 BD 与 AC 的夹角的余弦值等于

3 . 6

答题分析:1.第(Ⅰ)问实际上是证明四点共球.这里只要能找到一个定点, 使得该定点到 P 、 A 、 B 、 C 四点的距离相等即可. 2. 第(Ⅱ)问给出条件 PA ? AB ? BC ? 2 ,加上题设中的条件,实际上三 棱锥 A ? PBC 的大小和形状已经确定了.
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3. 第(Ⅱ)问也可以用传统的综合法来解决:过点 D 作 AC 的平行线 DE 交
PA 于 E , ?B E (或它的补角) 则 D 即为所求角, 接下来问题转化为解三角形 BDE .

第 19 题:甲同学有一只装有 a 个红球, b 个白球, c 个黄球的箱子. 假设 a ? 0 ,
b ? 0 , c ? 0 , a ? b ? c ? 6 . 乙同学有一只装有 3 个红球, 2 个白球,1 个黄球的

箱子. 甲乙两同学各自从自己的箱子中随机取出一个球,然后对取出的球的颜色 进行比较,规定颜色相同时为甲同学胜,颜色不同时为乙同学胜,假设甲同学箱 子中的每个球被取出的概率相等,乙同学箱子中的每个球被取出的概率也相等. (Ⅰ )求证:乙同学胜的概率等于 (Ⅱ )假设甲同学胜的概率等于
24 ? a ? c ; 36

1 ,求 a 、 b 、 c 的值. 2

解: (Ⅰ)证明:设甲同学胜的概率为 P( 甲 ) ,乙同学胜的概率为 P( 乙 ) , 显然甲同学胜与乙同学胜为对立事件,所以 P( 乙 ) ? 1 ? P( 甲 ) . 甲同学胜分为三个基本事件: (1) A1 : “甲乙均取到红球”(2) A2 : ; “甲 乙均取到白球”(3) A3 : ; “甲乙均取到黄球”. ∵ P ( A1 ) ?
c ?1 c a ?3 a b?2 b ? ? , P ( A3 ) ? ? , P ( A2 ) ? , 6 ? 6 12 6 ? 6 18 6 ? 6 36

∴ P( 甲 ) ? P( A1 ) ? P ( A2 ) ? P( A3 ) ? ∵a ? b ? c ? 6, ∴ b ? 6 ? a ? c , P( 甲 ) ? ∴ P( 乙 ) ? 1 ? P( 甲 ) ? 1 ? ∴乙同学胜的概率为

3a ? 2b ? c . 36

3a ? 2b ? c 3a ? 2(6 ? a ? c) ? c 12 ? a ? c ? ? . 36 36 36

12 ? a ? c 24 ? a ? c ? . 36 36

24 ? a ? c . 36 24 ? a ? c . 36

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知:乙同学胜的概率 P( 乙 ) ? ∵甲同学胜的概率等于 ∴ P( 乙 ) ?

1 , P( 乙 ) ? 1 ? P( 甲 ) , 2

24 ? a ? c 1 ? . 36 2
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b c c ∵ a ? 0 , ? 0 , ? 0 ,a ? b ? c ? 6 , a ? 6 , ? 0 .∴ ? a ? ?6 , ? 0 . ∴ c

∴ P( 乙 ) ?

24 ? a ? c 24 ? 6 1 ? ? . 36 36 2

?a ? 6, “ ? ”成立的充要条件为 ? ? c ? 0.
∴b ? 6 ? a ? c ? 0. 此时, a ? 6 , b ? c ? 0 . ∴当甲同学胜的概率等于
1 时, a ? 6 , b ? c ? 0 . 2

答题分析:1.本题设问方式较为新颖. 2.第(Ⅰ)问求所求的概率并不是定值,而是一个关于 a 、 c 的式子. 3.第(Ⅰ)问涉及独立事件同时发生的概率的计算、对立事件概率的计算.
? 24 ? a ? c 1 ? ? 4.第(Ⅱ)问的本质是解方程组 ? 36 2 ,一些考生所迷惑的是三个 ?a ? b ? c ? 6 ?

未知数二个方程,感觉解不出来而放弃.实际上,是在非负整数的范围内解这个 方程组的,即 a ? 0 , b ? 0 , c ? 0 .这样便可以解出 a 、 b 、 c 的值了. 第 20 题: 已知抛物线 P 的顶点在原点, 焦点 F 在 x 轴的正半轴上, 经过点 H ( 4 , 0 ) 作直线与抛物线 P 相交于 A 、B 两点, A ( x1 , y1 ) 、B ( x2 , y2 ) , y1 y2 ? ? 16 . 设 且 (Ⅰ)求抛物线 P 的方程; (Ⅱ) 是否存在常数 a , 当点 M 在抛物线 P 上运动时, 直线 x ? a 都与以 MF 为直径的圆相切?若存在,求出所有 a 的值;若不存在,请说明理由. 解: (I)设抛物线 P 的方程为 y 2 ? 2 p x ( p ? 0) , ∵ A ( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) , H ( 4 , 0 ) , ∴ HA ? ( x1 ? 4, y1 ) , HB ? ( x2 ? 4, y2 ) . ∵ A ( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) , H ( 4 , 0 ) 在一条直线上, ∴ ( x1 ? 4) y2 ? ( x2 ? 4) y1 ? 0 . ∵ A ( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) 都在抛物线 P 上,∴ x1 ?
y12 y2 , x2 ? 2 . 2p 2p

2 yy y12 y2 ∴( ? 4) y2 ? ( ? 4) y1 ? 0 ,即 1 2 ( y1 ? y 2 ) ? ?4( y1 ? y 2 ) . 2p 2p 2p

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∵ y1 y2 ? ? 16 ,∴ y1 ? y2 . ∴

?16 ? ? 4 .∴ p ? 2 . 2p

∴抛物线 P 的方程为 y 2 ? 4 x . (II)解:存在. ∵ F 是抛物线 P 的焦点,∴ F ( 1, 0) .设 M ( x , y ) ,且 y 2 ? 4 x , 则 MF 的中点为 N (

x ?1 y , ) , MF ? 1 ? x . 2 2
x ?1 y , ) 到直线 2 2

∵直线 x ? a 与以 MF 为直径的圆相切的充要条件是 N (
x ? a 的距离等于

MF 2

,即

x ?1 1? x ?a ? , 2 2

∴ ax ? a 2 ? a . ∵对于抛物线 P 上的任意一点 M ,直线 x ? a 都与以 MF 为直径的圆相切, ∴关于 x 的方程 ax ? a 2 ? a 对任意的 x ? 0 都要成立.

? a?0 ∴? 2 ,解得 a ? 0 . ?a ? a ? 0
∴存在常数 a ,并且仅有 a ? 0 满足: “当点 M 在抛物线 P 上运动时,直线
x ? a 都与以 MF 为直径的圆相切”.

答题分析:1. 第(Ⅰ)问的上述解答,是用向量共线的充要条件来做的.当
? x ? m y? 4 然 也 可 以 设 过 H ? 4,0? 的 直 线 为 x ? my ? 4 , 得 ? 2 .消去 x 后得 ?y ? 2 p x

y2 ? 2 p m y 8 p 0 ? ? ,从而 y1 y2 ? ? 8 p ? ?16 ,所以 p ? 2 .即抛物线 P 的方程为 y2 ? 4 x .
2.有的考生在做第(Ⅰ)问时,没有审清题意,错误地认为所作直线 AB 是 过抛物线焦点的直线,从而错用公式 y1 y2 ? ? p2 ? ?16 ,得 p ? 4 . 3. 第 ( Ⅱ ) 问 本 质 上 是 恒 成 立 问 题 求 参 数 的 值 . 即 关 于 x 的 方 程

x ?1 1? x ?a ? 对任意的 x ? 0 都要成立,求参数 a 的值. 2 2

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第 21 题: 已知 a 、b 都是实数,f ( x ) ? a x 3 ? x 2 ? b x ? 4 的图象在点 ( 1 , f (1) ) 处 的切线与 y 轴垂直. ( Ⅰ ) 假 设 关 于 x 的 不 等 式 f ( x) ? 2 x ? 1 ?6a x 的 解 集 是

? 2? ? x x?R , x ? ? ,求 a 的值; 3? ?
(Ⅱ)当 ?
1 ? a ? 0 , 0 ? x1 ? 1 , 3

0 ? x2 ? 1 时 , 求 证 :

? 1 ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 1 .
解(I)由已知得 f ?(1) ? 0 .∵ f ?( x ) ? 3 ax2 ? 2 x ? b , ∴ 3 a ? 2 ? b ? 0 ,即 b ? 3 a ? 2 . ∴ f ( x ) ? a x 3 ? x 2 ? ( 3a ? 2 ) x ? 4 . 将 f ( x ) ? 2 x ? 1 ? 6 a x 化简为 a x 3 ? x 2 ? 3 a x ? 3 ? 0 , 即 ( a x ? 1 ) ( x 2 ? 3) ? 0 . ∵ x 2 ? 3 ? 0 ,∴ a x ? 1 ? 0 .

? 1 ? ∴当 a ? 0 时,不等式 f ( x ) ? 2 x ? 1 ? 6 a x 的解集为 ? x x ? R , x ? ? ?, a ? ? ? 1 ? 当 a ? 0 时,不等式 f ( x ) ? 2 x ? 1 ? 6 a x 的解集为 ? x x ? R , x ? ? ?, a ? ?
当 a ? 0 时,不等式 f ( x ) ? 2 x ? 1 ? 6 a x 的解集为实数集 R .

? 2? ∵关于 x 的不等式 f ( x ) ? 2 x ? 1 ? 6 a x 的解集是 ? x x ? R , x ? ?, 3? ?
∴?
1 2 3 ? ,解得 a ? ? . a 3 2
3 . 2

∴a ? ?

(II)证明:由已知得 f ?( x ) ? 3ax2 ? 2 x ? 3a ? 2 , ∴ f ?( x ) ? 3a( x ? 1)( x ? 1 ? ∵?
2 ). 3a

1 2 ? a ? 0 ,∴ 1 ? ? ?1 . 3 3a

∴当 x ? ? 0 , 1 ?时, f ?( x ) ? 0 .
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∴当 ?

1 ? a ? 0 , x ? ? 0 , 1 ?时, f (x) 是减函数. 3

∴当 x ? ? 0 , 1 ?时, f (x) 的最大值为 f ( 0 ) ? 4 , 最小值为 f ( 1 ) ? ?2a ? 3 . ∴当 ?
1 ? a ? 0 , 0 ? x1 ? 1 , 0 ? x2 ? 1 时, 3

f (1) ? f (0) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( 0 ) ? f ( 1 ) ,
f ( 0 ) ? f ( 1 ) ? 2a ? 1 ? 1 , f (1) ? f (0) ? ?2a ? 1 ? ?1 .

∴当 ?

1 ? a ? 0 , 0 ? x1 ? 1 , 0 ? x2 ? 1 时, 3

? 1 ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 1 .
答题分析:1.第(Ⅰ)问根据条件,可以消去 b ,从而问题转化为已知不等

? 2? 式 a x 3 ? x 2 ? 3 a x ? 3 ? 0 的解集是 ? x x ? R , x ? ? ,求 a 的值.接下来的关键 3? ?
是要看出对该三次型不等式进行因式分解. 2.第(Ⅱ)问的本质是:消去 b 后,问题转化研究当 ?
1 ? a ? 0 时,函数 3

并证明此时 f ? x ? 的最 f ( x ) ? a x 3 ? x 2 ? ( 3a ? 2 ) x ? 4 在区间 ?0,1? 上的单调性, 大值与最小值之差的绝对值小于或等于 1. 第 22 题:选修 4 ? 1 :几何证明选讲 如图,⊙O 的半径 OB 垂直于直径 AC . M 是半径 OA 上的点, BM 的延长线 与⊙O 交于点 N ,⊙O 的经过 N 的切线与 CA 的延长线交于点 P . (Ⅰ)求证: PM 2 ? PA ? PC ; (Ⅱ)设⊙O 的半径等于 2 3 , BM ? MN ? 8 ,求 PA 的长.
B

C

O

M

A

P

N

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解: (I)证明:连接 ON . ∵ PN 是⊙ O 的切线, ∴ PN 2 ? PA ? PC ,
?ONM ? ?MNP ? 90? .

B

∵ OB ? AC , ∴ ?OBM ? ?BMO ? 90? . ∵ ?OBM ? ?ONM , ?PMN ? ?BMO , ∴ ?PMN ? ?PNM . ∴ PM ? PN . ∴ PM 2 ? PA ? PC .

C

O

M

A

P

N

(II)解:∵ BM ? MN ? CM ? MA , BM ? MN ? 8 , ∴ (4 3 ? MA) ? MA ? 8 ,即 MA2 ? 4 3MA ? 8 ? 0 , 解得 MA ? 2 3 ? 2 . ∵ M 是半径 OA 上的点, ∴ MA ? 2 3 ? 2 . 由(I)知: PM 2 ? PA ? PC . ∴ ( PA ? 2 3 ? 2) 2 ? PA? ( PA ? 4 3 ) . ∴ PA ? 4 ? 2 3 . 答题分析:1.第(I)问,由圆幂定理很容易感觉到要证 PM ? PN .接下来 的难点是作辅助线.怎么作呢?切点不忘连心线,于是就有了连接 ON .再往下问 题就好解决了. 2.第(II)中,由相交弦定理,很容易得到 BM ? MN ? CM ? MA ? 8 ,接下来 可以解出 MA ? 2 3 ? 2 .最后用方程的思想即可解出 PA . 第 23 题:选修 4 ? 4 :坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系 x O y 中,倾斜角等于

? 的直线 l 经过点 P ( ? 1 , 2 ) , 6

在以原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为

? 2 ? 3? cos? ? ? sin ? ? 4 .
(Ⅰ)写出直线 l 的参数方程; (Ⅱ)设 l 与曲线 C 的两个交点为 A 、 B ,求 PA ? PB 的值.
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? ? ? x ? ?1 ? t cos 6 , ( t 为参数 ) , 解: (Ⅰ)直线 l 的参数方程为 ? ? ? y ? 2 ? t sin 6 ?
? ? x ? ?1 ? 即? ? y ?2? ? 3 t, 2 ( t 为参数 ) . 1 t 2

(Ⅱ)把曲线 C 的极坐标方程 ? 2 ? 3? cos? ? ? sin ? ? 4 化为普通方程得

x 2 ? y 2 ? 3x ? y ? 4 ? 0 .
? ? x ? ?1 ? 把? ? y ?2? ?
化简得 t 2 ? ( ∴ t1t2 ? ? 4 . 根据参数 t 的几何意义得 PA PB ? t1t2 ? 4 . ∴ PA PB ? 4 . 答题分析:1.第(1)问比较简单,可以直接写出直线 l 的参数方程. 2. 第(Ⅱ)问有不少的考生是把直线 l 的参数方程转化为普通方程,把曲线
C 的极坐标方程转化为普通方程, 从而把问题转化为解析几何中的典型问题——

3 t, 2 代入 x 2 ? y 2 ? 3x ? y ? 4 ? 0 , 1 t 2

3? 3 )t ? 4 ? 0 . 2

直线和二次曲线相交的问题,最后再用解析几何的方法加以解决.然而因为运算 量比较大,很少有能做对的. 3.第(Ⅱ)问是直线和二次曲线相交的问题,直接利用直线参数方程的意义 来解题非常方便.这应该引起师生的重视. 第 24 题:选修 4 ? 5 :不等式选讲 已知集合 S 中的元素是同时满足以下三个条件的函数 f ( x ) : (1)定义域为 ( ? ? , ? ? ) ; (2) f ( ? 2 ) ? f ( 2 ) ; (3)对任何实数 x1 、 x2 , 如果 x1 ? 2 , x2 ? 2 ,那么 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 .
x2 ?5? S; (Ⅰ)求证: F ( x ) ? 4
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( Ⅱ ) 设 a 是 实 数 , 且 f ( x) ? x ? a x ? S , 解 关 于 x 的 不 等 式
f ( x ? 3) ? f ( x) ? 2 .

(Ⅰ)证明:∵ F ( x ) ?

x2 ?5 , 4

∴ F ( x ) 的定义域为 ( ? ? , ? ? ) , F ( ? 2 ) ? F ( 2 ) ? 6 ,
F ( x2 ) ? F ( x1 ) ? x2 ? x1 x2 ? x1 4 ? x2 ? x1 4 x2 ? x1 .



x1 ? 2 , x2 ? 2 ,
x2 ? x1 x2 ? x1 4 ? x2 ? x1 4 x2 ? x1 ? x2 ? x1 .

∴ F ( x2 ) ? F ( x1 ) ? ∴ F( x ) ? S .

(Ⅱ)解:∵ f ( x) ? x ? a x ? S , ∴ f ( ?2) ? f (2) ,解方程得 a ? 0 . ∴ f ( x) ? x . ∴不等式 f ( x ? 3) ? f ( x) ? 2 可化为 x ? 3 ? x ? 2 . 当 x ? ?3 时,化简 x ? 3 ? x ? 2 得 ? 3 ? 2 ,此不等式成立. 此时,不等式 f ( x ? 3) ? f ( x) ? 2 的解为 x ? ?3 . 当 ? 3 ? x ? 0 时,化简 x ? 3 ? x ? 2 得 2 x ? ?1 ,解得 x ? ? 此时,不等式 f ( x ? 3) ? f ( x) ? 2 的解为 ? 3 ? x ? ?
1 . 2
1 . 2

当 x ? 0 时,化简 x ? 3 ? x ? 2 得 3 ? 2 ,此不等式不成立. 此时,不等式 f ( x ? 3) ? f ( x) ? 2 无解.

? 1 ? 综上,等式 f ( x ? 3) ? f ( x) ? 2 的解集为 ? x x ? R , x ? ? ? . 2? ?
答题分析:1.本题数学符号较多,需要考生认真审题,搞清问题的实质.否 则便无从下手. 2.第(Ⅰ)问只要按图索骥,把 F ? x ? 代入条件 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,即可得到

F ( x2 ) ? F ( x1 ) ?

2 x2 ? x12

4

.接下来的难点是应用绝对值的性质对不等式进行放
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缩,从而证明该不等式. 3.第(Ⅱ)问首先应根据条件 f ( ?2) ? f (2) ,求出 a 的值,从而使问题转化 为解绝对值不等式 x ? 3 ? x ? 2 . 4. 第(Ⅱ)问有考生把题意错误理解为已知 f ( x) ? x ? a , x ? S .

四、教学建议 1.教师要关注学生心理,学生要树立考试信心 高考复习到了最后一个月是最累、最苦、最紧张的时候,每到这个时候很多 考生都会有或轻或重的心理紧张或波动.有的在困难面前有退缩、惶恐的情绪, 有的烦躁或厌学,严重的甚至失眠.这些都严重的干扰了复习的正常进行.教师 要引导学生以一颗平常心对待高考,要求学生注意体育锻炼,多给学生一些关爱 和鼓励,加强考试技术指导和心理疏导,以期收到事半功倍的效果. 对于考生而言,首要任务就是要树立自己对高考数学的信心.信心足了,做 数学题才会斗志昂扬,学数学才会心情舒畅效率提高,高考时也不会怯场,临场 发挥才会好,甚至才可能是超常发挥.考生可以这样暗示自己:在最后这一个月 的时间里,是我数学提高最快的时期,我肯定会在已有基础上有所进步和提高, 甚至是大踏步的前进. 2.不要迷信猜题押题,不要迷信神卷 现在的网络、各种宣传单,甚至报纸上都充斥着形形色色的某某高考命题专 家、顾问、某某博士猜题押题,正确率超过 80%云云.考生千万不要相信,那绝 对是骗人的.考生不要整天去打听今年是考得难还是简单,因为这样做不会有任 何结果,稳定是前提,各科的考试难度考试大纲里不是写着吗?考生也不要迷信 什么某某学校出的神卷──做了这几套,就压中了高考的绝大多数试题,就高考 无忧了!这可信吗?这些都是商业炒作.越临近高考,这些花样繁多的骗术越会 层出不穷,教师和考生务必火眼金睛,千万别上它们的当! 越临近高考, 考生越应该沉住气, 考生最应该做的就是踏踏实实地进行复习, 认真夯实基础,专心准备考试! 3.回归教材,回归基础 ,切实掌握基本知识、基本方法和基本题型 在最后的复习阶段,考生要回归课本,理清数学的知识主线,构建思想方法
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体系,熟记数学概念、公理、定理、性质、法则、公式.考生应该把课本上的基 本知识、基本方法和基本题型系统全面地再梳理一遍,并针对盲区和易错点及时 查缺补漏. 以解三角形这一章为例:本章主要涉及用正余弦定理来解三角形,那么正弦 定理适用哪些类型—— ASA 、 AAS ;余弦定理适用哪些类型—— SAS 、 SSS ; 而 SSA 型的三角形可能无解、可能一解、也可能两解,此时既可以用正弦定理, 也可以用余弦定理来解决, 那么二者的差别是什么? SSA 型问题的难点应该如何 突破等等.不把这些基本问题弄清楚,学生头脑中的结构框架图肯定是混乱的, 考试中只要一涉及这方面的问题,考生的考试结果一定是可想而知的. 4.保持适量的做题 三天不练手生,每天保持做适量的题甚为必要.当然越接近高考,题目的难 度越要适中,可以用历年的高考题,特别是考试中心命制的新课标高考题. 5.整理反思已做过的题 临近高考,一味地做新题、难题将得不偿失.事实上,学生已经做过很多试 题了(试卷已经有厚厚的一打) ,但是否真正掌握吃透了呢?你应该拿出你以前 做过的习题来进行归纳总结:拿到一道题必须立即判断其题型、考点 ( 知识背 景 ) ,常用解法及特殊解法,解法的具体步骤,解法的关键步,解法的易错步, 此题的常见变式及其解决办法等,以上几点如果你在一两分钟内无法回答出来, 则说明你还未真正掌握此类问题.在高三最后的冲刺阶段,这样的整理和反思训 练远比埋头做题来得重要.具体可如下实施: (1)应把过去做过的题目分类梳理、整理.做这项工作时最好按照知识点的 板块进行,同时兼顾按题型划分. (2)做好分类后,找出自己在基础知识方面的薄弱环节,同时应做专项练习, 提高熟练程度. (3)最基础的定理、公式要熟记.此时的复习应做到回归课本,但回归课本 不是简单地拿着书本翻阅, 而是带着自己在梳理知识中遇到的问题去有重点地看 课本. (4)找出自己做错的地方,认真反思错误原因,并记忆错误原因,争取做到 在高考中不犯同样的错误.错误有很多种,有知识不足的问题,有概念不清的问 题、有题型模式认识不清的问题、也有分类不清的问题,当然还有做题马虎的问
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题等等.考生要在前进中反思,在反思中前进. 6.高度重视运算能力 运算能力是高考数学中最基本且应用最广泛的能力,无论是在代数、还是几 何(立体几何、平面解析几何) ,或是其他数学分支都是这样的.高考中绝大部 分试题都是需要运算的,甚至是大运算量.运算的作用不仅仅是求出结果,有时 还可辅助证明(以算促证) ,运算是思维能力与运算技巧的结合.高考中多数学 生计算能力较差体现在:运算途径、程序出错;计算方法弃简用繁;运算公式记 忆出错;计算速度慢;数值计算出错;忽视运算技巧,一味盲干盲解,费时费力 等. 为了避免或减少上述情况的出现, 在复习中, 要有意加强对运算能力的培养, 要把题目认真地解完,要力争提高运算的合理性、准确性、熟练性和简捷性,而 不能走进只要思路有了,平时为了节约时间就不用算完了的误区. 7.认真审题,忌粗心大意 数学考试中看错题是最大的遗憾.数学上的一字之差,题意很可能就是相悖 的,如真命题与假命题、空集与非空、是与不是等.考生常常审题不严,错看、 漏看、甚至是把题意看反的事情经常发生.又如负号“-”与分式中分子与分母 中间的一横也容易看错, 将负号看漏.审题时要注意分式前是否有负号.俗话说磨 刀不误砍柴工,做数学题时,一定要把关键字、词看清读懂,审题要慢,要仔细, 避免因审题不严而犯错误. 8.答题时一般来说应该是先易后难,从前往后 有的考生喜欢先做大题,再做选择、填空题.我们认为这是不妥当的.通常 试题的难易分布是按每一类题型从前向后,由易到难的.因此,解题顺序也宜按 试卷题号从小到大,从前至后依次解答.当然,中间有难题出现时,可以先跳过 去,总之,总的原则是要先把容易得到的分数拿到手,先易后难,先选择、填空 题,后解答题. 9.字迹清晰,合理规划 这对任何一科考试都很重要, 尤其是对“精确度”较高的数学, 若字迹不清、 较难辨认,极易造成阅卷教师的误判.例如写得较快时,数字 1 和 7 极易混淆等 等.若不清晰就可能使本来正确的失了分.另外,答题卡上书写的位置和大小要 计划好,尽量让卷面安排做到合理整洁,特别地,要在指定区域作答.

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10.学会放弃 高考时,并不是每一道题都会做的.每个考生应该针对自己的实际情况做一 些部署,原则是不会做的让过,把精力放在自己会做、能做的题目上,并确保正 确率.比如说某考生的数学成绩通常在 70 分左右,那么选择题、填空题、解答 题的难题部分完全就可以放弃了,只要集中精力把该得的分拿下就是胜利, “舍 得舍得”有舍才有得.

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