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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年高中数学苏教版选修2-2【备课资源】1.2.1常见函数的导数


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1.2.1

1.2.1 常见函数的导数
【学习要求】
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1 1.能根据定义求函数 y=c,y=kx+b,y=x,y=x2,y= 的导 x 数. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数. 【学法指导】 1.通过定义求导数的过程,培养归纳、探求规律的能力,提高 学习兴趣. 2.本节公式是后面几节课的基础,记准公式是学好本章内容的 关键.记公式时,要注意观察公式之间的联系.

填一填·知识要点、记下疑难点

1.2.1

1.几个常用函数的导数
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原函数 f(x)=kx+b f(x)=C(C 为常数) f(x)=x f(x)=x2 1 f(x)= x

导函数 f′(x)=k f′(x)= 0 f′(x)= 1 f′(x)= 2x

1 - 2 f′(x)= x

填一填·知识要点、记下疑难点
2.基本初等函数的导数公式 原函数 f(x)=xα(α 为常数)
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1.2.1

导函数
α-1 f′(x)= αx

f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax f(x)=ex f(x)=logax f(x)=ln x

f′(x)= cos x f′(x)= -sin x
x f′(x)= a ln a (a>0,且 a≠1)

f′(x)= ex
1 f′(x)= xln a

(a>0 且 a≠1)

1 f′(x)= x

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1.2.1

探究点一 几个常用函数的导数
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问题 1 怎样利用定义求函数 y=f(x)的导数?

Δy 答案 (1)计算 ,并化简; Δx
Δy (2)观察当 Δx 趋近于 0 时, 趋近于哪个定值; Δx Δy (3) 趋近于的定值就是函数 y=f(x)的导数. Δx

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1.2.1

问题 2 利用定义求下列常用函数的导数:
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①y=c ②y=kx+b ③y=x ④y=x
答案 ①y′=0 1 ⑤y′=- 2 x

2

1 ⑤y= x
④y′=2x

②y′=k ③y′=1

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例 1 已知 f(x)=x3,求 f′(x).
Δy f?x+Δx?-f?x? 解 = Δx Δx ?x+Δx?3-x3 = Δx [x3+3x2·Δx+3x· 2+?Δx?3]-x3 ?Δx? = Δx =3x2+3x·(Δx)+(Δx)2

1.2.1

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Δy 从而,当 Δx→0 时, →3x2,∴f′(x)=3x2. Δx Δy 小结 利用函数概念求函数的导数, 要利用公式对 进行适 Δx Δy 当变形;同时,要理解导函数是 Δx→0 时, 无限趋近于 Δx
的一个确定值.

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跟踪训练 1 已知 f(x)= x,利用定义求 f′(x).
x+Δx- x Δy f?x+Δx?-f?x? 解 = = Δx Δx Δx ? x+Δx- x?? x+Δx+ x? = Δx· x+Δx+ x? ? Δx = Δx· x+Δx+ x? ? 1 = . x+Δx+ x
Δy 1 从而,当 Δx→0 时, → . Δx 2 x 1 ∴f′(x)= . 2 x

1.2.1

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1.2.1

探究点二 基本初等函数的导数公式 问题
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利用导数的定义可以求函数的导函数,但运算比较繁

杂,有些函数式子在中学阶段无法变形,怎样解决这个问 题?

答案 可以使用给出的导数公式进行求导,简化运算过程, 降低运算难度.

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例 2 求下列函数的导数: 4 3 π 1 x (1)y=sin ;(2)y=5 ;(3)y= 3;(4)y= x ; 3 x (5)y=log3x.
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1.2.1

解 (1)y′=0;

(2)y′=(5x)′=5xln 5;
?1? (3)y′=?x3?′=(x-3)′=-3x-4; ? ?

(4)y′=(

4

3 3 x )′=(x 4

3 -1 3 4 )′=4x = ; 4 4 x

1 (5)y′=(log3x)′= . xln 3

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1.2.1

小结
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对于教材中出现的基本初等函数的导数公式, 要想在解

题过程中应用自如,必须做到以下两点:一是正确理解,如 ? π 3 π? sin = 是常数, 而常数的导数一定为零, 就不会出现?sin ?′ 3 2 3? ? π =cos 这样的错误结果.二是准确记忆,灵活变形. 3

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1.2.1

跟踪训练 2 求下列函数的导数: 1 (1)y=x8;(2)y=( )x;(3)y=x x;(4)y=log 1 x. 2 3
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解 (1)y′=8x7;
1x 1 1x (2)y′=( ) ln =-( ) ln 2; 2 2 2 (3)∵y=x
3 3 1 x=x 2 ,∴y′= x 2

2



1 (4)y′= 1=-xln 3. xln 3

1

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例 3 判断下列计算是否正确. π 求 f(x)=cos x 在 x= 处的导数,过程如下: 3 ?π? ? π? π 3 ? ? =?cos ? ′=-sin =- f′ . 3? 3 2 ?3 ? ?

1.2.1

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解 错误.应为 f′(x)=-sin x,
?π? ∴f′?3?=-sin ? ?

π 3 3=- 2 .

小结 函数 f(x)在点 x0 处的导数等于 f′(x)在点 x=x0 处的函 数值.在求函数在某点处的导数时可以先利用导数公式求出 导函数,再将 x0 代入导函数求解,不能先代入后求导.

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1 跟踪训练 3 求函数 f(x)= 在 x=1 处的导数. 3 x

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1.2.1

f′(x)=(

1 3

)′=(x



1 1 -1-1 3 )′=- x 3

3



1 -4 =- x 3 =- , 3 3 4 3 x

x 1

1 ∴f′(1)=- =- , 3 3 3 1

1

1 ∴函数 f(x)在 x=1 处的导数为-3.

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探究点三 例4 导数公式的综合应用

1.2.1

已知直线 x-2y-4=0 与抛物线 y2=x 相交于 A、B 两

点,O 是坐标原点,试在抛物线的弧 AOB 上求一点 P,使
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△ABP 的面积最大.

解 设 P(x0,y0),过点 P 与 AB 平行的直 线为 l,如图. 由于直线 x-2y-4=0 与抛物线 y2=x 相交 于 A、B 两点,
所以|AB|为定值,要使△ABP 的面积最大,只要 P 到 AB 的 距离最大,
而 P 点是抛物线的弧 AOB 上的一点,

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因此点 P 是抛物线上平行于直线 AB 的切线的切点,
由图知点 P 在 x 轴上方,y= x,y′= , 2 x
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1.2.1

1

1 由题意知 kAB=2. 1 1 ∴kl= =2,即 x0=1,∴y0=1.∴P(1,1). 2 x0
小结 利用基本初等函数的求导公式, 结合导数的几何意义可 以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题.解题时可先 利用图象分析取最值时的位置情况, 再利用导数的几何意义准 确计算.

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1.2.1

跟踪训练 4 点 P 是曲线 y=ex 上任意一点,求点 P 到直线 y =x 的最小距离.
解 根据题意设平行于直线 y=x 的直线与
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曲线 y=ex 相切于点(x0,y0),该切点即为 与 y=x 距离最近的点,如图.

则在点(x0,y0)处的切线斜率为 1.
∵y′=(ex)′=ex,
∴ex 0=1,得 x0=0,代入 y=ex,得 y0=1,即 P(0,1).

2 利用点到直线的距离公式得距离为 2 .

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.2.1

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1.给出下列结论: 1 3 ①若 y= 3,则 y′=- 4; x x 3 13 ②若 y= x,则 y′= x; 3 1 - ③若 y= 2,则 y′=-2x 3; x ④若 f(x)=3x,则 f′(1)=3. 其中正确的序号是________.

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1 解析 ①y= 3=x-3, x 3 -4 则 y′=-3x =- 4; x
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1.2.1

②y=

3

1 x=x 3

1 -2 1 3 ,则 y′= · 3 ≠ x; x 3 3

1 - - ③y= 2=x 2,则 y′=-2x 3. x ④由 f(x)=3x,知 f′(x)=3, ∴f′(1)=3.∴①③④正确. 答案 ①③④

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1.2.1

3 6 2.函数 f(x)= x,则 f′(3)=________.
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解析

∵f′(x)=( x)′= , 2 x
1

1

3 ∴f′(3)= = . 2 3 6

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1.2.1

3.设正弦曲线 y=sin x 上一点 P,以点 P 为切点的切线为直线

π 3π [0, ]∪[ ,π) 4 4 l,则直线 l 的倾斜角的范围是_______________.
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解析 ∵(sin x)′=cos x,

∵kl=cos x, π 3π ∴-1≤kl≤1,∴αl∈[0,4]∪[ 4 ,π).

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1.2.1

4.曲线 y=ex 在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积
1 2 e 2 为________.
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解析 ∵y′=(ex)′=ex,∴k=e2,
∴曲线在点(2,e2)处的切线方程为 y-e2=e2(x-2), 即 y=e2x-e2. 当 x=0 时,y=-e2,当 y=0 时,x=1.
1 1 2 2 ∴S△= ×1×|-e |= e . 2 2

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1.2.1

1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数,
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其关键是牢记和运用好导数公式.解题时,能认真观察函数 的结构特征,积极地进行联想化归. 2.有些函数可先化简再应用公式求导. 2x 2x 如求 y=1-2sin 的导数.因为 y=1-2sin =cos x, 2 2 所以 y′=(cos x)′=-sin x. 3.对于正余弦函数的导数,一是注意函数的变化,二是注意符 号的变化.


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