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数学(文)一轮教学案:第五章第2讲 平面向量的数量积及应用 Word版含解析


第 2 讲 平面向量的数量积及应用 考纲展示 命题探究 考点一 平面向量的数量积 1 平面向量数量积的有关概念 → → (1)向量的夹角:已知两个非零向量 a 和 b,记OA=a,OB=b, 则∠AOB=θ(0° ≤θ≤180° )叫做向量 a 与 b 的夹角. (2)数量积的定义:已知两个非零向量 a 和 b,它们的夹角为 θ, 则数量|a||b|cosθ 叫做 a 与 b 的数量积,记作 a· b,即 a· b=|a||b|cosθ.规 定:0· a=0. (3)数量积的几何意义:数量积 a· b 等于 a 的模|a|与 b 在 a 的方向 上的投影|b|cosθ 的乘积. 2 平面向量数量积的性质 设 a,b 都是非零向量,e 是与 b 方向相同的单位向量,θ 是 a 与 e 的夹角,则 (1)e· a=a· e=|a|cosθ. (2)a⊥b?a· b=0. (3)当 a 与 b 同向时,a· b=|a||b|;当 a 与 b 反向时,a· b=-|a||b|. 特别地,a· a=|a|2 或|a|= a· a. a· b (4)cosθ= . |a||b| (5)|a· b|≤|a||b|. 3 平面向量数量积的运算律 (1)a· b=b· a(交换律). (2)λa· b=λ(a· b)=a· (λb)(结合律). (3)(a+b)· c=a· c+b· c(分配律). 4 平面向量数量积的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),a,b 的夹角为 θ,则 (1)a· b=x1x2+y1y2. 2 (2)|a|= x2 1+y1.若 A(x1,y1),B(x2,y2), → 则|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2. (3)cosθ= x1x2+y1y2 2 2 2. x2 1+y1· x2+y2 (4)a⊥b?a· b=0?x1x2+y1y2=0. 注意点 数量积的含义和向量垂直与共线的区别 (1)两个向量的数量积是一个数量,而不是向量,它的值为两个 向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积,其符号由夹角的余弦值确 定. (2)x1y2-x2y1=0 与 x1x2+y1y2=0 不同, 前者是两向量 a=(x1, y1), b=(x2,y2)共线的充要条件,后者是它们垂直的充要条件. 1.思维辨析 (1) 一 个 向量 在 另一 个 向 量 方 向 上的 投 影 为 数 量 ,且 有 正 有 负.( ) ) (2)若 a· b=0,则必有 a⊥b.( 运算结果是向量.( ) (3)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的 → → → → (4)在四边形 ABCD 中,AB=DC且AC· BD=0,则四边形 ABCD 为矩形.( 答案 ) (1)√ (2)× (3)√ (4)× 2.(1)已知 a=(-3,2),b=(-1,0),向量 λa+b 与 a-2b 垂直, 则实数 λ 的值为( 1 A.-7 1 C.-6 ) 1 B.7 1 D.6 → → → → → (2)如图, 在△ABC 中, AD⊥AB, BC= 3 BD, |AD|=1, 则AC· AD =( ) A.2 3 3 C. 3 答案 解析 (1)A (2)D (1)由条件得 λa+b=(-3λ-1,2λ),a-2b=(-1,2), 3 B. 2 D. 3 因为 λa+b 与 a-2b 垂直,所以(-3λ-1,2λ)· (-1,2)=0,即 3λ 1 +1+4λ=0,解得 λ=-7. → → → → → (2)AC· A

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