当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学易错题(含答案)


高中数学易错题 一.选择题(共 6 小题) 1.已知在△ ABC 中,∠ ACB=90°,BC=4,AC=3,P 是 AB 上一点,则点 P 到 AC,BC 的距离乘积的最大值是( A.2 B.3 C.4 D.5



2.在△ ABC 中,边 AB= A.缺条件,不能求出

,它所对的角为 15°,则此三角形的外接圆直径为( B. C.

) D.

3.在△ ABC 中,边 a,b,c 分别为 3、4、5,P 为△ ABC 内任一点,点 P 到三边距离之和为 d,则 d 的取值范围是 ( ) A.3<d<4 B. C. D.

4.在平面直角坐标系 xoy 中,已知△ ABC 的顶点 A(﹣6,0)和 C(6,0) ,顶点 B 在双曲线 则 A. 等于( ) B. C. D.

的左支上,

5. (2009?闸北区二模)过点 A(1,﹣2) ,且与向量 A.4x﹣3y﹣10=0 B.4x+3y+10=0

平行的直线的方程是( C.3x+4y+5=0



D.3x﹣4y+5=0

6. (2011?江西模拟)下面命题: ① x>0 时, 当 的最小值为 2;

② 过定点 P(2,3)的直线与两坐标轴围成的面积为 13,这样的直线有四条; ③ 将函数 y=cos2x 的图象向右平移 个单位,可以得到函数 y=sin(2x﹣ )的图象;

④ 已知△ ABC,∠ A=60°,a=4,则此三角形周长可以为 12. 其中正确的命题是( ) ② ④ ③ A.①④ B.② C.② 二.填空题(共 10 小题) 7.Rt△ ABC 中,AB 为斜边, ?

④ D.③

=9,S△ABC=6,设 P 是△ ABC(含边界)内一点,P 到三边 AB,BC,AC 的距

离分别为 x,y,z,则 x+y+z 的取值范围是 _________ . 8. (2011?武进区模拟) ABC 中, 在△ , ABC 的面积 S=asinC, a+c 的值= _________ . 且△ 则

9.锐角三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.边长 a,b 是方程 ,则 c 边的长是 _________ . 10.已知在△ ABC 中, ,M 为 BC 边的中点,则|AM|的取值范围是

的两个根,且

_________ .

11.一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上,已知正三棱柱的底面边长为 2,则该三角形的 斜边长为 _________ .
0

12.三角形 ABC 中,若 2

,且 b=2,一个内角为 30 ,则△ ABC 的面积为 _________ .

13.△ ABC 中,AB=AC, _________ .

,则 cosA 的值是

14. (2010?湖南模拟)已知点 P 是边长为 2 所满足的关系式为 _________ .

的等边三角形内一点,它到三边的距离分别为 x、y、z,则 x、y、z

15. (2013?东莞二模)如图,已知△ ABC 内接于⊙ O,点 D 在 OC 的延长线上,AD 切⊙ 于 A,若∠ O ABC=30°,AC=2, 则 AD 的长为 _________ .

16.三角形 ABC 中,三个内角 B,A,C 成等差数列,∠ B=30°,三角形面积为 ,则 b= _________ .

三.解答题(共 12 小题)

17.在△ ABC 中,AC=b,BC=a,a<b,D 是△ ABC 内一点,且 AD=a,∠ ADB+∠ C=π,问∠ 为何值时,四边形 ABCD C

的面积最大,并求出最大值.

18. (2010?福建模拟)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c, (1)求 sinC; (2)若 c=2,sinB=2sinA,求△ ABC 的面积.



19.已知外接圆半径为 6 的△ ABC 的边长为 a、b、c,角 B、C 和面积 S 满足条件:S=a ﹣(b﹣c) 和 sinB+sinC= (a,b,c 为角 A,B,C 所对的边) (1)求 sinA; (2)求△ ABC 面积的最大值. 20. (2010?东城区模拟)在△ ABC 中,A,B,C 是三角形的三个内角,a,b,c 是三个内角对应的三边,已知 b +c 2 ﹣a =bc. (1)求角 A 的大小; 2 2 2 (2)若 sin B+sin C=2sin A,且 a=1,求△ ABC 的面积.
2 2

2

2

21.小迪身高 1.6m,一天晚上回家走到两路灯之间,如图所示,他发现自己的身影的顶部正好在 A 路灯的底部, 他又向前走了 5m,又发现身影的顶部正好在 B 路灯的底部,已知两路灯之间的距离为 10m, (两路灯的高度是一样 的)求: (1)路灯的高度. (2)当小迪走到 B 路灯下,他在 A 路灯下的身影有多长?

22. (2008?徐汇区二模)在△ ABC 中,已知 (1)求 AB; (2)求△ ABC 的面积. 23.在△ ABC 中,已知 .



(1)求出角 C 和 A; (2)求△ ABC 的面积 S; (3)将以上结果填入下表. C A S 情况① 情况② 24. (2007?上海)通常用 a、b、c 表示△ ABC 的三个内角∠ A、∠ B、∠ 所对边的边长,R 表示△ C ABC 外接圆半径. (1)如图所示,在以 O 为圆心,半径为 2 的⊙ 中,BC 和 BA 是⊙ 的弦,其中 BC=2,∠ O O ABC=45°,求弦 AB 的长; (2)在△ ABC 中,若∠ 是钝角,求证:a +b <4R ; C (3)给定三个正实数 a、b、R,其中 b≤a,问:a、b、R 满足怎样的关系时,以 a、b 为边长,R 为外接圆半径的△ ABC 不存在,存在一个或两个(全等的三角形算作同一个)?在△ ABC 存在的情况下,用 a、b、R 表示 c.
2 2 2

25. (2010?郑州二模)在△ ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边, =(2b﹣ 且 ∥. (Ⅰ )求角 A 的大小; 2 (Ⅱ )求 2cos B+sin(A﹣2B)的最小值. 26. ABC 中, B、 是三角形的内角, b、 是三内角对应的三边, 在△ A、 C a、 c 已知 (1)求∠ A; (2)求△ ABC 的面积 S. 27.在△ ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且(2a+c)cosB+bcosC=0. (Ⅰ )求角 B 的值; (Ⅱ )若 a+c=4,求△ ABC 面积 S 的最大值.

c,cosC) =( ,

a,cosA) ,





28.已知△ ABC 的外接圆半径

,a、b、C 分别为∠ A、∠ B、∠ 的对边,向量 C ,且 .



(1)求∠ 的大小; C (2)求△ ABC 面积的最大值.

高中数学易错题
参考答案与试题解析
一.选择题(共 6 小题) 1.已知在△ ABC 中,∠ ACB=90°,BC=4,AC=3,P 是 AB 上一点,则点 P 到 AC,BC 的距离乘积的最大值是( A.2 B.3 C.4 D.5



考点: 三角形中的几何计算. 专题: 计算题. 分析: 设点 P 到 AC,BC 的距离分别是 x 和 y,最上方小三角形和最大的那个三角形相似,它们对应的边有此比 例关系,进而求得 x 和 y 的关系式,进而表示出 xy 的表达式,利用二次函数的性质求得 xy 的最大值. 解答: 解:如图,设点 P 到 AC,BC 的距离分别是 x 和 y, 最上方小三角形和最大的那个三角形相似,
3473738

它们对应的边有此比例关系,即 = 所以 4x=12﹣3y,y= xy=x?
2

4,

,求 xy 最大,也就是那个矩形面积最大.

=﹣ ?(x ﹣3x) ,

∴ x= 时,xy 有最大值 3 当 故选 B.

点评: 本题主要考查了三角函数的几何计算.解题的关键是通过题意建立数学模型,利用二次函数的性质求得问 题的答案.

2.在△ ABC 中,边 AB= A.缺条件,不能求出

,它所对的角为 15°,则此三角形的外接圆直径为( B. C.

) D.

考点: 三角形中的几何计算. 专题: 计算题. 分析: 直接利用正弦定理,两角差的正弦函数,即可求出三角形的外接圆的直径即可. 解答:
3473738

解:由正弦定理可知:

=

=

=

=



故选 D. 点评: 本题是基础题,考查三角形的外接圆的直径的求法,正弦定理与两角差的正弦函数的应用,考查计算能力. 3.在△ ABC 中,边 a,b,c 分别为 3、4、5,P 为△ ABC 内任一点,点 P 到三边距离之和为 d,则 d 的取值范围是 ( ) A.3<d<4 B. C. D.

考点: 专题: 分析: 解答:

三角形中的几何计算. 数形结合;转化思想. 画出图形,利用点到直线的距离之间的转化,三角形两边之和大于第三边,求出最小值与最大值. 解:由题意△ ABC 中,边 a,b,c 分别为 3、4、5,P 为△ ABC 内任一点,点 P 到三边距离之和为 d,
3473738

在图(1)中,d=CE+PE+PF>CD=

=



在图(2)中,d=CE+EP+FP<CE+EG<AC=4; ∴ 的取值范围是 d ;

故选 D. 点评: 本题是中档题,考查不等式的应用,转化思想,数形结合,逻辑推理能力,注意,P 为△ ABC 内任一点,不 包含边界.

4.在平面直角坐标系 xoy 中,已知△ ABC 的顶点 A(﹣6,0)和 C(6,0) ,顶点 B 在双曲线 则 A. 等于( ) B. C. D.

的左支上,

考点: 三角形中的几何计算. 专题: 计算题. 分析: 由题意可知双曲线的焦点坐标就是 A, 利用正弦定理以及双曲线的定义化简 B,
3473738

即可得到答案.

解答: 解:由题意可知双曲线的焦点坐标就是 A,B,由双曲线的定义可知 BC﹣AB=2a=10,c=6, = = = ;

故选 D. 点评: 本题是基础题,考查双曲线的定义,正弦定理的应用,考查计算能力,常考题型.

5. (2009?闸北区二模)过点 A(1,﹣2) ,且与向量 A.4x﹣3y﹣10=0 B.4x+3y+10=0

平行的直线的方程是( C.3x+4y+5=0



D.3x﹣4y+5=0

考点: 三角形中的几何计算. 专题: 计算题. 分析: 通过向量求出直线的斜率,利用点斜式方程求出最新的方程即可. 解答: 解:过点 A(1,﹣2) ,且与向量 平行的直线的斜率为﹣ ,
3473738

所以所求直线的方程为:y+2=﹣ (x﹣1) ,即:3x+4y+5=0. 故选 C. 点评: 本题是基础题,考查直线方程的求法,注意直线的方向向量与直线的斜率的关系,考查计算能力. 6. (2011?江西模拟)下面命题: ① x>0 时, 当 的最小值为 2;

② 过定点 P(2,3)的直线与两坐标轴围成的面积为 13,这样的直线有四条; ③ 将函数 y=cos2x 的图象向右平移 个单位,可以得到函数 y=sin(2x﹣ )的图象;

④ 已知△ ABC,∠ A=60°,a=4,则此三角形周长可以为 12. 其中正确的命题是( ) ② ④ ③ A.①④ B.② C.② 考点: 三角形中的几何计算;恒过定点的直线. 专题: 应用题. 分析: ① 由于基本不等式等号成立的条件不具备,故
3473738

④ D.③

的最小值大于 2,故① 不正确.
2

② 设过定点 P(2,3)的直线的方程,求出它与两坐标轴的交点,根据条件可得 4k +14k+9=0,或 2 4k ﹣38k+9=0. 而这两个方程的判别式都大于 0,故每个方程都有两个解,故满足条件的直线有四条. ③ 将函数 y=cos2x 的图象向右平移 个单位,可以得到函数 y﹣sin(2x﹣ )的图象,故③ 不正确.

④ ABC 中,∠ 若△ A=60°,a=4,则此三角形周长可以为 12,此时,三角形是等边三角形. 解答: 解:① ∵ 故① 不正确. ② 设过定点 P(2,3)的直线的方程为 y﹣3=k(x﹣2) ,它与两坐标轴的交点分别为 (2﹣ ,0)(0,3﹣ , 2k) , 根据直线与两坐标轴围成的面积为 13=
2

≥2

=2, (当且仅当 x=0 时,等号成立) ,故当 x>0 时,

的最小值大于 2,

,化简可得 4k +14k+9=0,或

2

4k ﹣38k+9=0. 而这两个方程的判别式都大于 0,故每个方程都有两个解,故满足条件的直线有四条,故 ② 正确. ③ 将函数 y=cos2x 的图象向右平移 =sin( )=﹣sin(2x﹣ 个单位,可以得到函数 y=cos2( x﹣ )的图象,故③ 不正确. )=sin[ ﹣(2x﹣ )]

④ 已知△ ABC,∠ A=60°,a=4,则此三角形周长可以为 12,此时,三角形是等边三角形,故④ 正确. 故选 B. 点评: 本题基本不等式取等号的条件,过定点的直线,三角函数的图象变换,诱导公式的应用,检验基本不等式 等号成立的条件,是解题的易错点.

二.填空题(共 10 小题) 7.Rt△ ABC 中,AB 为斜边, ? =9,S△ABC=6,设 P 是△ ABC(含边界)内一点,P 到三边 AB,BC,AC 的距 ,4] .

离分别为 x,y,z,则 x+y+z 的取值范围是 [

考点: 向量在几何中的应用;三角形中的几何计算. 专题: 综合题. 分析: 设三边分别为 a,b,c,利用正弦定理和余弦定理结合向量条件利用三角形面积公式即可求出三边长.欲求 x+y+z 的取值范围,利用坐标法,将三角形 ABC 放置在直角坐标系中,通过点到直线的距离将求 x+y+z 的
3473738

范围转化为

,然后结合线性规划的思想方法求出范围即可.

解答: 解:△ ABC 为 Rt△ ABC,且∠ C=90°, 设三角形三内角 A、B、C 对应的三边分别为 a,b,c,



(1)÷(2) ,得 令 a=4k,b=3k(k>0) 则



∴ 三边长分别为 3,4,5.

以 C 为坐标原点,射线 CA 为 x 轴正半轴建立直角坐标系, 则 A、B 坐标为(3,0)(0,4) , ,直线 AB 方程为 4x+3y﹣12=0. 设 P 点坐标为(m,n) ,则由 P 到三边 AB、BC、AB 的距离为 x,y,z.可知 ,









令 d=m+2n,由线性规划知识可知,如图: 当直线分别经过点 A、O 时,x+y+z 取得最大、最小值. 故 0≤d≤8,故 x+y+z 的取值范围是 故答案为:[ ]. .

点评: 本题主要考查了解三角形中正弦定理、余弦定理、平面向量数量积的运算、简单线性规划思想方法的应用, 综合性强,难度大,易出错.

8. (2011?武进区模拟)在△ ABC 中,

,且△ ABC 的面积 S=asinC,则 a+c 的值= 4 .

考点: 二倍角的余弦;三角形中的几何计算. 专题: 计算题. 分析: 首先根据三角形的面积公式求出 b 的值,然后将所给的式子写成
3473738

+ acosC+ccosA=b=2,即可求出答案. 解答: 解:∵ absinC=asinC S= ∴ b=2 ∴ acos
2

=3 进而得到 acosC+ccosA+a+c=6,再根据在三角形中

+ccos

2

=3



+

=3

即 a(cosC+1)+c(cosA+1)=6 ∴ acosC+ccosA+a+c=6 ∵ acosC+ccosA=b=2 ∴ 2+a+c=6 ∴ a+c=4 故答案为:4. 点评: 本题考查了二倍角的余弦以及三角形中的几何运算,解题的关键是巧妙的将所给的式子写成 =3 的形式,属于中档题.

+

9.锐角三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.边长 a,b 是方程 ,则 c 边的长是 .

的两个根,且

考点: 三角形中的几何计算. 专题: 计算题. 分析: 先根据 求得 sin(A+B)的值,进而求得 sinC 的值,根据同角三角函数的基本关系 2 2 求得 cosC,根据韦达定理求得 a+b 和 ab 的值,进而求得 a +b ,最后利用余弦定理求得 c 的值. 解答: 解:∵ ,
3473738

∴ sin(A+B)= ∴ sinC=sin(π﹣A﹣B)=sin(A+B)= ∴ cosC= ∵ a,b 是方程 ∴ a+b=2 ,ab=2, 2 2 2 ∴ +b =(a+b) ﹣2ab=8 a ∴ c= = = = 的两根

故答案为: 点评: 本题主要考查了三角形中的几何计算,余弦定理的应用,韦达定理的应用.考查了考生综合运用基础知识 的能力.

10.已知在△ ABC 中,

,M 为 BC 边的中点,则|AM|的取值范围是



考点: 三角形中的几何计算;正弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 构造以 BC 为正三角形的外接圆,如图满足
3473738

,即可观察推出|AM|的取值范围.

解答: 解:构造以 BC 为正三角形的外接圆,如图, 显然 满足题意,由图可知红 A 处,|AM|值最大为 . ,

A 与 B(C)接近时|AM|最小,所以|AM|∈ 故答案为: .

点评: 本题考查三角形中的几何计算,构造法的应用,也可以利用 A 的轨迹方程,两点减距离公式求解. 11.一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上,已知正三棱柱的底面边长为 2,则该三角形的 斜边长为 2 . 考点: 棱柱的结构特征;三角形中的几何计算. 专题: 计算题. 分析: 由于正三棱柱的底面 ABC 为等边三角形,我们把一个等腰直角三角形 DEF 的三个顶点分别在正三棱柱的 三条侧棱上,结合图形的对称性可得,该三角形的斜边 EF 上的中线 DG 的长等于底面三角形的高,从而得 出等腰直角三角形 DEF 的中线长,最后得到该三角形的斜边长即可. 解答: 解:一个等腰直角三角形 DEF 的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上,∠ EDF=90°, 已知正三棱柱的底面边长为 AB=2, 则该三角形的斜边 EF 上的中线 DG= , ∴ 斜边 EF 的长为 2 . 故答案为:2 .
3473738

点评: 本小题主要考查棱柱的结构特征、三角形中的几何计算等基础知识,考查空间想象力.属于基础题.

12.三角形 ABC 中,若 2

,且 b=2,一个内角为 30 ,则△ ABC 的面积为 1 或

0



考点: 三角形中的几何计算. 专题: 计算题. 分析: 先利用 2 ,转化得到 2acosB=c;再借助于余弦定理得 a=b=2;再分∠ A=30°以及∠ C=30°两种
3473738

情况分别求出对应的面积. 解答: 解:因为 2 所以有 2acosB=c ,转化为边长和角

可得:cosB=

=

?a =b ?a=b=2. ;

2

2

当∠ A=30°=∠ 时,∠ B C=120°,此时 S△ABC= ×2×2×sinC= 当∠ C=30°时,∠ B=75°,此时 S△ABC= ×2×2×sinC=1. A=∠ 故答案为: 点评: 或 1.

本题主要考查余弦定理的应用以及三角形中的几何计算.解决本题的关键在于利用 2 化得到 2acosB=c;再借助于余弦定理得 a=b=2.

,转

13.△ ABC 中,AB=AC, .

,则 cosA 的值是

考点: 三角形中的几何计算. 专题: 计算题. 分析: 根据 AB=AC 可推断出 B=C,进而利用三角形内角和可知 cosA=cos(π﹣2B)利用诱导公式和二倍角公式 化简整理,把 cosB 的值代入即可. 解答: 解:∵ AB=AC, ∴ B=C
3473738

∴ cosA=cos(π﹣2B)=cos2B=2cos B﹣1= ﹣1=﹣ 故答案为:﹣ 点评: 本题主要考查了三角形中的几何计算,二倍角公式的应用.考查了学生综合运用三角函数基础知识的能力. 14. (2010?湖南模拟)已知点 P 是边长为 2 所满足的关系式为 x+y+z=3 . 的等边三角形内一点,它到三边的距离分别为 x、y、z,则 x、y、z

2

考点: 三角形中的几何计算. 专题: 计算题. 分析: 设等边三角形的边长为 a,高为 h 将 P 与三角形的各顶点连接,进而分别表示出三角形三部分的面积,相加 应等于总的面积建立等式求得 x+y+z 的值. 解答: 解:设等边三角形的边长为 a,高为 h 将 P 与三角形的各顶点连接 根据面积
3473738

那么: ax+ ay+ az= ah 所以 x+y+z=h 因为等边三角形的边长为 2 ,所以高为 h=3 所以 x.y.z 所满足的关系是为:x+y+z=3 故答案为:3 点评: 本题主要考查了三角形中的几何计算.考查了学生综合分析问题的能力和转化和化归的思想.

15. (2013?东莞二模)如图,已知△ ABC 内接于⊙ O,点 D 在 OC 的延长线上,AD 切⊙ 于 A,若∠ O ABC=30°,AC=2, 则 AD 的长为 .

考点: 专题: 分析: 解答:

三角形中的几何计算. 计算题. 根据已知可得△ AOC 是等边三角形,从而得到 OA=AC=2,则可以利用勾股定理求得 AD 的长. 解: (2)∵ OA=OC,∠ AOC=60°, ∴AOC 是等边三角形, △ ∴ OA=AC=2, ∵OAD=90°,∠ ∠ D=30°, ∴ AD= ?AO= . 故答案为: . 点评: 本题考查和圆有关的比例线段,考查同弧所对的圆周角等于弦切角,本题在数据运算中主要应用含有 30° 角的直角三角形的性质,本题是一个基础题.
3473738

16.三角形 ABC 中,三个内角 B,A,C 成等差数列,∠ B=30°,三角形面积为 ,则 b=



考点: 三角形中的几何计算. 专题: 计算题. 分析: 先利用三个内角成等差数列求得 A,根据,∠ B=30°求得 C,然后利用 tan30°= 表示出 a,代入三角形面积公
3473738

式求得 b. 解答: 解:三角形 ABC 中,三个内角 A,B,C 成等差数列 A+B+C=3A=180° ∴A=60° ∠ ∵A=30°,∴ ∠ C=90 S= ab= ∵ tan30°= ∴ a= ∴ b= 故答案为: 点评: 本题主要考查了三角形的几何计算.考查了学生基础知识综合运用的能力. 三.解答题(共 12 小题)

17.在△ ABC 中,AC=b,BC=a,a<b,D 是△ ABC 内一点,且 AD=a,∠ ADB+∠ C=π,问∠ 为何值时,四边形 ABCD C

的面积最大,并求出最大值. 考点: 三角形中的几何计算. 专题: 计算题. 分析: 设出 BD,利用余弦定理分别在△ ABC,△ ABD 中表示出 AB,进而建立等式求得 b﹣x=2acosC 代入四边形 ABCD 的面积表达式中,利用正弦函数的性质求得问题的答案. 解答: 解:设 BD=x, 2 2 2 2 2 则由余弦定理可知 b +a ﹣2abcosC=AB =a +x +2axcosC ∴ b﹣x=2acosC.
3473738

∵ (absinC)﹣ (axsinC)= a(b﹣x)sinC= a ?sin2C, S= ∴ C= 当 时,S 有最大值 .

2

点评: 本题主要考查了三角形的几何计算.注意灵活利用正弦定理和余弦定理以及其变形公式.

18. (2010?福建模拟)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c, (1)求 sinC; (2)若 c=2,sinB=2sinA,求△ ABC 的面积.



考点: 三角形中的几何计算;二倍角的正弦. 专题: 计算题. 分析: (1)利用同角三角函数关系及三角形内角的范围可求; (2)利用正弦定理可知 b=2a,再利用余弦定理,从而求出 a、b 的值,进而可求面积. 解答: 解: (1)由题意, ,∴
3473738

(2)由 sinB=2sinA 可知 b=2a,又 2 =a +b ﹣2abcosC,∴ a=1,b=2,∴ 点评: 此题考查学生灵活运用三角形的面积公式,灵活运用正弦、余弦定理求值,是一道基础题题.
2 2

2

2

2

19.已知外接圆半径为 6 的△ ABC 的边长为 a、b、c,角 B、C 和面积 S 满足条件:S=a ﹣(b﹣c) 和 sinB+sinC= (a,b,c 为角 A,B,C 所对的边) (1)求 sinA; (2)求△ ABC 面积的最大值.

考点: 三角形中的几何计算;正弦定理的应用;余弦定理的应用. 专题: 计算题;综合题. 分析: (1)由三角形的面积公式,结合余弦定理求出 的值,进而有 sinA=
3473738



(2)利用 的最大值. 解答: 解: (1) (2)∵

,结合正弦定理,求出 b+c 的值,利用三角形的面积公式和基本不等式求出面积

得 ,∴ 即 所以

进而有

故当 b=c=8 时,S 最大=



点评: 本题是中档题,考查三角函数的化简,正弦定理、余弦定理的应用,三角形的面积公式以及基本不等式的 应用,考查计算能力,逻辑推理能力. 20. (2010?东城区模拟)在△ ABC 中,A,B,C 是三角形的三个内角,a,b,c 是三个内角对应的三边,已知 b +c 2 ﹣a =bc. (1)求角 A 的大小; (2)若 sin B+sin C=2sin A,且 a=1,求△ ABC 的面积. 考点: 三角形中的几何计算;正弦定理. 专题: 计算题. 分析: (1)利用余弦定理和题设等式求得 cosA 的值,进而求得 A. (2)利用正弦定理把题设中的正弦转化成边的关系,进而求得 bc 的值,最后利用三角形面积公式求得答 案. 2 2 2 解答: 解: (1)因为 b +c ﹣a =2bccosA=bc
3473738

2

2

2

2

2

所以 所以 (2)因为 sin B+sin C=2sin A 2 2 2 所以 b +c =2a =2 2 2 2 因为 b +c ﹣a =bc 所以 bc=1 所以 =
2 2 2

点评: 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用.注意挖掘题设中关于边,角问题的联系. 21.小迪身高 1.6m,一天晚上回家走到两路灯之间,如图所示,他发现自己的身影的顶部正好在 A 路灯的底部, 他又向前走了 5m,又发现身影的顶部正好在 B 路灯的底部,已知两路灯之间的距离为 10m, (两路灯的高度是一样 的)求: (1)路灯的高度. (2)当小迪走到 B 路灯下,他在 A 路灯下的身影有多长?

考点: 三角形中的几何计算. 专题: 综合题. 分析: (1)由题意画出简图,设 CN=x,则 QD=5﹣x,路灯高 BD 为 h,利用三角形相似建立方程解德; (2)由题意当小迪移到 BD 所在线上(设为 DH) ,连接 AH 交地面于 E,则 DE 长即为所求的影长,利用 三角形相似建立方程求解即可. 解答: 解:如图所示,设 A、B 为两路灯,小迪从 MN 移到 PQ,并设 C、D 分别为 A、B 灯的底部. 由题中已知得 MN=PQ=1.6m, NQ=5m,CD=10m (1)设 CN=x,则 QD=5﹣x,路灯高 BD 为 h ∵CMN∽CBD, △ △
3473738



?

又△ PQD∽ACD △ 即 ?

由①式得 ② x=2.5m,h=6.4m, 即路灯高为 6.4m. (2)当小迪移到 BD 所在线上(设为 DH) ,连接 AH 交地面于 E. 则 DE 长即为所求的影长. ∵DEH∽CEA? △ △ 解得 DE= ? m.

m,即他在 A 路灯下的身影长为

点评: 此题考查了学生理解题意的能力,还考查了利用三角形相似及方程思想求解变量及学生的计算能力.

22. (2008?徐汇区二模)在△ ABC 中,已知 (1)求 AB; (2)求△ ABC 的面积. 考点: 三角形中的几何计算. 专题: 计算题. 分析: (1)求 AB 长,关键是求 sinB,sinC,利用已知条件可求;
3473738



(2)根据三角形的面积公式

,故关键是求 sinA 的值,利用 sinA=sin(B+C)

=sinBcosC+cosBsinC 可求 解答: 解: (1)设 AB、BC、CA 的长分别为 c、a、b, ,∴ ,



. ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣(6 分) (2)因为 (12 分) 故所求面积 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(14 分) .∴ sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC= ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

点评: 本题的考点是三角形的几何计算,主要考查正弦定理得应用,考查三角形的面积公式,关键是正确记忆公 式,合理化简. 23.在△ ABC 中,已知 (1)求出角 C 和 A; (2)求△ ABC 的面积 S; (3)将以上结果填入下表. C A S 情况① 情况② .

考点: 三角形中的几何计算. 专题: 计算题;分类讨论. 分析: (1)先根据正弦定理以及大角对大边求出角 C,再根据三角形内角和为 180°即可求出角 A. (2)分情况分别代入三角形的面积计算公式即可得到答案; (3)直接根据前两问的结论填写即可. 解答: 解: (1)∵ , …(2 分)
3473738

∵ c>b,C>B,∴ C=60°,此时 A=90°, 或者 C=120°,此时 A=30°…(2 分) (2)∵ bcsinA S= ∴ A=90°,S= bcsinA= A=30°,S= bcsinA= ; .…(2 分)

(3) 点评: 本题主要考查三角形中的几何计算.解决本题的关键在于根据正弦定理以及大角对大边求出角 C. 24. (2007?上海)通常用 a、b、c 表示△ ABC 的三个内角∠ A、∠ B、∠ 所对边的边长,R 表示△ C ABC 外接圆半径. (1)如图所示,在以 O 为圆心,半径为 2 的⊙ 中,BC 和 BA 是⊙ 的弦,其中 BC=2,∠ O O ABC=45°,求弦 AB 的长;

(2)在△ ABC 中,若∠ 是钝角,求证:a +b <4R ; C (3)给定三个正实数 a、b、R,其中 b≤a,问:a、b、R 满足怎样的关系时,以 a、b 为边长,R 为外接圆半径的△ ABC 不存在,存在一个或两个(全等的三角形算作同一个)?在△ ABC 存在的情况下,用 a、b、R 表示 c.

2

2

2

考点: 三角形中的几何计算;解三角形. 专题: 计算题;数形结合. 分析: (1)由正弦定理知 = =

3473738

=2R,根据题目中所给的条件,不难得出弦 AB 的长;
2 2 2 2

(2)若∠ 是钝角,故其余弦值小于 0,由余弦定理得到 a +b <c <(2R) ,即可证得结果; C (3)根据图形进行分类讨论判断三角形的形状与两边 a,b 的关系,以及与直径的大小的比较,分成三类 讨论即可. 解答: 解: (1)在△ ABC 中,BC=2,∠ ABC=45° sinA= ∵ 为锐角∴ A A=30°,B=45° ∴ C=75°∴ AB=2Rsin75°=4sin75°= ; (2)∠ 为钝角,∴ C cosC<0,且 cosC≠1 cosC=
2 2 2

=

=

=2R?b=2

<0∴ +b <c <(2R) a

2

2

2

2

即 a +b <4R (8 分) (3)a>2R 或 a=b=2R 时,△ ABC 不存在 当 ∴ c= 当 时,∠ B 且都是锐角 sinA=sinB= A=∠
2

时,A=90,△ ABC 存在且只有一个

时,△ ABC 存在且只有一个

∴ c=2RsinC=2Rsin AC=



时,∠ 总是锐角,∠ 可以是钝角,可是锐角 B A

∴ABC 存在两个 △ ∠ A<90°时, c= ∠ A>90°时, c= 点评: 本题考查三角形中的几何计算,综合考查了三角形形状的判断,解三角形,三角形的外接圆等知识,综合

性很强,尤其是第三问需要根据 a,b 两边以及直径的大小比较确定三角形的形状.再在这种情况下求第三 边的表达式,本解法主观性较强.难度较大.

25. (2010?郑州二模)在△ ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边, =(2b﹣ 且 ∥. (Ⅰ )求角 A 的大小; (Ⅱ )求 2cos B+sin(A﹣2B)的最小值. 考点: 三角形中的几何计算. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ )根据 ∥ 和两向量的坐标可求得
3473738

c,cosC) =( ,

a,cosA) ,

2

,利用正弦定理把边转化成角
2

的正弦,然后利用两角和公式化简整理求得 cosA 的值,进而求得 A (Ⅱ )把 A 的值代入,利用两角和公式整理后,利用正弦函数的性质求得 2cos B+sin(A﹣2B)的最小值. 解答: 解: )由 (Ⅰ 得 . , . .

由正弦定理得 ∴ ∵ A,B∈(0,π) , ∴ sinB≠0, ∴ . ,

(Ⅱ )解:∵ ∴ 2cos B+sin(A﹣2B)= = , . 2cos B+sin(A﹣2B)的最小值为 点评: 本题主要考查了三角形中的几何计算,正弦定理的应用和两角和公式的化简求值.注意综合运用三角函数 的基础公式,灵活解决三角形的计算问题.
2 2

26. ABC 中, B、 是三角形的内角, b、 是三内角对应的三边, 在△ A、 C a、 c 已知 (1)求∠ A; (2)求△ ABC 的面积 S. 考点: 正弦定理的应用;三角形中的几何计算. 专题: 计算题.





3473738

分析: (1)由已知结合正弦与余弦定理 = 化简可求 b,由余弦定理可得,

cosA=

代入可求 cosA,及 A 可求

(2)代入三角形的面积公式 解答: 解: (1)∵ ∵



=

化简可得,b ﹣2b﹣8=0 ∴ b=4 由余弦定理可得,cosA= ∴ (2) ; = = =

2

点评: 本题主要考查了解三角形的基本工具:正弦定理与余弦定理的应用,解题的关键是具备综合应用知识解决 问题的能力 27.在△ ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且(2a+c)cosB+bcosC=0. (Ⅰ )求角 B 的值; (Ⅱ )若 a+c=4,求△ ABC 面积 S 的最大值. 考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角形中的几何计算. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ )利用正弦定理化简(2a+c)cosB+bcosC=0,得到三角形的角的关系,通过两角和与三角形的内角和, 求出 B 的值;
3473738

(Ⅱ )通过 S=

,利用 B=

以及 a+c=4,推出△ ABC 面积 S 的表达式,通过平方法结合 a 的范围

求出面积的最大值. 解答: 解 (Ⅰ )由正弦定理得(2sinA+sinC)cosB+sinBcosC=0, 即 2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0 得 2sinACcosB+sin(C+B)=0, 因为 A+B+C=π,所以 sin(B+C)=sinA,得 2sinAcosB+sinA=0,因为 sinA≠0, 所以 cosB=﹣ ,又 B 为三角形的内角,所以 B= (Ⅱ )因为 S= ,由 B= 及 a+c=4 得 .

S=

=

=



又 0<a<4,所以当 a=2 时,S 取最大值 …(3 分) 点评: 本题是中档题,考查三角形面积的最值,三角形的边角关系,三角函数的公式的灵活应用,考查计算能力.

28.已知△ ABC 的外接圆半径

,a、b、C 分别为∠ A、∠ B、∠ 的对边,向量 C ,且 .



(1)求∠ 的大小; C (2)求△ ABC 面积的最大值. 考点: 三角函数的恒等变换及化简求值;三角形中的几何计算. 专题: 综合题. 分析: (1)由 ,推出 ,利用坐标表示化简表达式,结合余弦定理求角 C;
3473738

(2)利用(1)中 c =a +b ﹣ab,应用正弦定理和基本不等式,求三角形 ABC 的面积 S 的最大值. 解答: 解答:解: (1)∵ ∴ 且
2

2

2

2

,由正弦定理得:
2 2

化简得:c =a +b ﹣ab 由余弦定理:c =a +b ﹣2abcosC∴ ∵ 0<C<π,∴ (2)∵ +b ﹣ab=c =(2RsinC) =6, a 2 2 ∴ +b ﹣ab≥2ab﹣ab=ab(当且仅当 a=b 时取“=”) 6=a ,
2 2 2 2 2 2 2



所以,



点评: 本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系,正弦定理,余弦定理的应用,考查学生分析问题解决问题 的能力,是中档题.


相关文章:
2015全国高一数学易错题一解析
2015全国高一数学易错题一解析_数学_高中教育_教育...(3,-4)平行的单位向量是___; 【答案】(- 【...c=-(b+1),于是, ? [f(x) - 1][f(x)...
高中数学易错题分类及解析
高中数学易错题分类及解析_数学_高中教育_教育专区。...【错解】一箱磁带有一盒次品的概率 0.01? (1 ? .... 选 A. 4 4 【错因分析】受选择答案(A)的...
高中数学易错题 (1)
高中数学易错题 (1)_数学_高中教育_教育专区。高中数学错题精选一:三角部分 1...有最小值 3 ,也有最大值 1 4 D.有最大值 1,但无最小值 正确答案:B ...
高中数学易错题精选
高中数学易错题精选_高一数学_数学_高中教育_教育专区。解题的妙处解题的妙处高中...? 0 解得,没有考虑 k ? 0 。 正确答案:3 条。 14.设 k ? R,双曲线...
高中数学易错题精选
(cosβ ) 高中数学错题精选二:不等式部分 1、若不等式 ax 2 +x+a<0 的...? 0 解得,没有考虑 k ? 0。 正确答案:3 条。 14.设 k ? R,双曲线 ...
高中数学易错题精选
高中数学易错题精选_数学_高中教育_教育专区。绝对纯粹免费的开放式在线虚拟课堂,...? 0 解得,没有考虑 k ? 0 。 正确答案:3 条。 14.设 k ? R,双曲线...
高中数学易错题
高中数学易错题_数学_高中教育_教育专区。含答案 高考数学易错题一.选择题 2 【范例 1】已知集合 A={x|x=2n—l,n∈Z},B={x|x 一 4x<0},则 A∩B=...
高一数学易错题精选
高一数学易错题精选 1.(2011 山东新泰一中)若集合 M={4,5,7,9} ,N={3...-|x|+a 有四个交点,则 ade 取值范围是 答案为(1,5/4) 10.(2010 苏州...
高中数学总复习经典易错题会诊与试题预测上(含答案)word版
高中数学总复习经典易错题会诊与试题预测上(含答案)word版_其它课程_高中教育_教育专区。高中数学总复习经典易错题会诊与试题预测上(含答案)word版 ...
高中数学易错题精选1
高中数学易错题精选1_数学_高中教育_教育专区。高中数学易错题精选高中...? 0 解得,没有考虑 k ? 0 。 正确答案:3 条。 14.设 k ? R,双曲线...
更多相关标签: