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2014年高中数学复习方略课时作业:5.2等差数列及其前n项和(人教A版·数学理·浙江专用)]


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课时提升作业(二十九)
一、选择题 1.(2012 · 辽 宁 高 考 ) 在 等 差 数 列 {an} 中 , 已 知 a4+a8=16, 则 a2+a10= ( ) (B)16 (C)20 (D)24

(A)12

2.(2013· 杭州模拟)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S17 为一确定常数, 则下列各式也为确定常数的是 ( (A)a2+a15 (C)a2+a9+a16 (B)a2·a15 (D)a2·a9·a16 )

3.(2013·哈尔滨模拟)已知数列{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和,且 a2=3a4-6,则 S9 等于 ( (A)25 (B)27 ) (C)50 (D)54 )

4.如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+…+a7= ( (A)14 (B)21 (C)28 (D)35

5.(2013·绍兴模拟)已知等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则 a12 的值是 ( ) (B)30 (C)31 (D)64

(A)15

6. 设等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn, 若 S3=12,S6=42, 则 a10+a11+a12= ( )

(A)156

(B)102

(C)66

(D)48

7.已知等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差 d<0,Sn 是数列{an}的前 n 项和, 则 ( (A)S5>S6 (C)S6=0 (B)S5<S6 (D)S5=S6 )

8.(2013· 延吉模拟)等差数列{an}中, 是一个与 n 无关的常数,则该常 数的可能值的集合为 (A){1} (C){ } 二、填空题 9.若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,且 S8-S3=10,则 S11 的值为 10.若{an}为等差数列,a15=8,a60=20,则 a75= . . . ( )

(B){1, } (D){0, ,1}

11.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S4=14,S10-S7=30,则 S9=

12.(能力挑战题)设等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,若对任 意自然数 n 都有 = 三、解答题 13.已知数列{an}是等差数列,且 a2=-1,a5=5. (1)求{an}的通项 an. (2)求{an}前 n 项和 Sn 的最小值. 14.(2013·温州模拟)等差数列{an}的首项为 a1,公差 d=-1,前 n 项和为 Sn. ,则 + 的值为 .

(1)若 S5=-5,求 a1 的值. (2)若 Sn≤an 对任意正整数 n 均成立,求 a1 的取值范围. 15.(2013·阜新模拟)已知数列{an}中 a1= ,an=2{bn}满足 bn= (n∈N*). (n≥2,n∈N*),数列

(1)求证数列{bn}是等差数列. (2)若 Sn=(a1-1)·(a2-1)+(a2-1)·(a3-1)+…+(an-1)·(an+1-1), 是否存在 a 与 b∈Z,使得:a≤Sn≤b 恒成立.若有,求出 a 的最大值与 b 的最小值,若没有,请说明理由. 16.(能力挑战题)已知数列{an}有 a1=a,a2=p(常数 p>0),对任意的正整 数 n,Sn=a1+a2+…+an,并有 Sn 满足 Sn= (1)求 a 的值. (2)试确定数列{an}是否是等差数列,若是,求出其通项公式,若不是,说 明理由. (3)令 pn= + ,Tn 是数列{pn}的前 n 项和,求证:Tn-2n<3. .

答案解析
1.【思路点拨】利用首项 a1 与公差 d 的关系整体代入求解,也可直接利 用等差数列的性质求解. 【解析】选 B.方法一:

≧a4+a8=(a1+3d)+(a1+7d)=2a1+10d,a2+a10=(a1+d)+(a1+9d)=2a1+10d, ?a2+a10=a4+a8=16. 方法二:由等差数列的性质 a2+a10=a4+a8=16. 2.【解析】选 C.≧数列{an}为等差数列,设首项为 a1,公差为 d, S17= = =17a9 为常数,?a9 为常数,所以 a2+a9+a16=3a9 也为常数.

3. 【解析】 选 B.由 a2=3a4-6,得 a1+d=3(a1+3d)-6,即 a1=-4d+3,S9=9a1+36d =9(-4d+3)+36d=27. 4.【解析】选 C.在等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,由等差数列的性质可知 a3+a5=a4+a4,所以 a4=4.根据等差数列的性质可知 a1+a2+…+a7=7a4=28,故 选 C. 5.【解析】选 A.≧数列{an}为等差数列, ?a7+a9=2a8=16, ?a8=8, 又≧2a8=a4+a12, ?a12=2a8-a4. ≧a4=1, ?a12=2×8-1=15. 6.【思路点拨】根据已知的特点,考虑使用等差数列的整体性质求解. 【 解 析 】 选 C. 根 据 等 差 数 列 的 特 点 , 等 差 数 列 中 a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9, a10+a11+a12 也 成 等 差 数 列 , 记 这 个 数 列 为 {bn}, 根 据 已 知

b1=12,b2=42-12=30,故这个数列的首项是 12,公差是 18,所以 b4=12+3× 18=66. 7.【思路点拨】根据已知得到 a3+a9=0,从而确定出 a6=0,然后根据选项 即可判断. 【解析】选 D.≧d<0,|a3|=|a9|,?a3>0,a9<0, 且 a3+a9=0,?a6=0,a5>0,a7<0,?S5=S6. 8.【解析】选 B.等差数列{an}中,设 = 以 a1+(n-1)d=ma1+m(2n-1)d 对 任 意 是与 n 无关的常数 m,所 n 恒 成 立 , 即 由

(2md-d)n+(ma1-md+d-a1)=0 对任意 n 恒成立,故

第一个方程得 d=0 或者 m= .若 d=0,代入第二个方程可得 m=1(因为 a1 ≠0);若 m= ,代入第二个方程得 d=a1. 9.【解析】S8-S3=10? ?5a1+8a8-3a3=20 ?10a1+50d=20?a1+5d=2?a6=2 ?S11= 答案:22 10. 【 思 路 点 拨 】 直 接 解 出 首 项 和 公 差 , 从 而 求 得 a75, 或 利 用 a15,a30,a45,a60,a75 成等差数列直接求得. 【解析】 方法一:{an}为等差数列,设公差为 d,首项为 a1,那么 即 =11a6=22. =10

解得:a1= ,d= . 所以 a75=a1+74d= +74× =24.

方法二:因为{an}为等差数列,所以 a15,a30,a45,a60,a75 也成等差数列,设 公差为 d,则 a60-a15=3d,所以 d=4,a75=a60+d=20+4=24. 答案:24 11.【解析】设首项为 a1,公差为 d,由 S4=14 得 4a1+ d=14 ①

由 S10-S7=30 得 3a1+24d=30,即 a1+8d=10 ② 联立①②得 a1=2,d=1.?S9=54. 答案:54 12.【解析】≧{an},{bn}为等差数列, ? ≧ = 答案: 【方法技巧】巧解等差数列前 n 项和的比值问题 关于等差数列前 n 项和的比值问题,一般可采用前 n 项和与中间项的关 系,尤其是项数为奇数时 Sn=n a中 ,也可利用首项与公差的关系求解 .另 外 ,熟记以下结论对解题会有很大帮助 :若数列 {an}与 {bn}都是等差数 列,且前 n 项和分别是 Sn 与 Tn,则 = . + = + = = = = = . = ,? = .

【变式备选】已知两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 An 和 Bn, 且 = (A)2 ,则使得 为整数的正整数 n 的个数是 (B)3 (C)4 (D)5 ( )

【 解 析 】 选 D. 由 等 差 数 列 的 前 n 项 和 及 等 差 中 项 , 可 得 = =

=

=

=

=

=7+

(n∈N*),

故 n=1,2,3,5,11 时, 为整数.故选 D. 13. 【 解 析 】 (1) 设 {an} 的 公 差 为 d, 由 已 知 条 件 , a1=-3,d=2. 所以 an=a1+(n-1)d=2n-5. (2)Sn=na1+ d=n2-4n=(n-2)2-4. 解得

所以 n=2 时,Sn 取到最小值-4. 【变式备选】设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3=12,S12>0,S13<0. (1)求公差 d 的取值范围. (2)求{an}前 n 项和 Sn 最大时 n 的值. 【解析】(1)≧S12>0,S13<0, ? ?- <d<-3. (2)由 S13= =13a7<0,知 a7<0,

S12=6(a1+a12)=6(a6+a7)>0,知 a6>0, 又≧d<0,?n≤6 时,an>0,n≥7 时,an<0, ?S6 最大.?n=6. 14.【解析】(1)由条件得,S5=5a1+ 解得 a1=1. (2)由 Sn≤an,代入得 na1≤a1+1-n, d=-5,

整理,变量分离得:(n-1)a1≤ n2- n+1 = (n-1)(n-2),

当 n=1 时,上式成立. 当 n>1,n∈N*时,a1≤ (n-2), n=2 时, (n-2)取到最小值 0, ?a1≤0. 【变式备选】等差数列 {an}的各项均为正数 ,其前 n 项和为 Sn,满足 2S2=a2(a2+1),且 a1=1. (1)求数列{an}的通项公式. (2)设 bn= ,求数列{bn}的最小值项.

【解析】(1)设数列{an}的公差为 d. 由 2S2= +a2, 可得 2(a1+a1+d)=(a1+d)2+(a1+d). 又 a1=1,可得 d=1(d=-2 舍去), ?an=n. (2)根据(1)得 Sn= bn= = ,

=n+ +1. ]上单调递减,在[ ,+≦)上单调递

由于函数 f(x)=x+ (x>0)在(0, 增, 而 3< <4,且 f(3)=3+ = = ,

f(4)=4+ = = , 所以当 n=4 时,bn 取得最小值, 且最小值为 +1= , 即数列{bn}的最小值项是 b4= .

15.【解析】(1)由题意知 bn-1= ?bn-bn-1= -

(n∈N*,n≥2),

=1(n∈N*,n≥2). =- ,

?{bn}是首项为 b1= 公差为 1 的等差数列.

(2)依题意有 Sn=(a1-1)·(a2-1)+(a2-1)·(a3-1)+…+(an-1)·(an+1-1) =- 设函数 y= ?函数 y= . ,在 x>3.5 时,y>0,y′<0, 在(3.5,+≦)上为减函数. 取最小值- .

故当 n=3 时,Sn=- 而函数 y= y<0,y′=?函数 y=

在 x<3.5 时, <0, 在(-≦,3.5)上也为减函数.

故当 n=2 时,取最大值:S2= . a 的最大值与 b 的最小值分别为-3,2. 16.【解析】(1)S1=a1= (2)an=Sn-Sn-1= = · =0,即 a=0. ?an= an-1

·…· × × ·a2=(n-1)p(n∈N*,n≥2).

又当 n=1 时,an=(n-1)p 也成立. ?an=(n-1)p(n∈N*), ?{an}是一个以 0 为首项,p 为公差的等差数列. (3)Sn= pn= + = , + =2+2( ),

?p1+p2+…+pn-2n =2(1- + - + - + - +…+ =2(1+ )=3-2( + +)<3. )

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