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2016数学之友高考模拟(1)(终稿)


2016 高考数学模拟题(1)
南师大《数学之友》
一. 填空题
1. 在边长为 6 的正三角形 ABC 中, BD ?

1 1 BC ; AE ? AC . AD 与 BE 相交于点 P, 3 2

PB ? PD 的值为



.

2. 设函

数 f ( x ) 的定义域为 R,且为奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? ? x 2 ? 2 x . 若 f ( x ) 在区 间 ?? 1 ,a ? 2? 上是单调递增函数,则 a 的取值范围是 3. 已知曲线 y ? ▲ .

x (x0 ? 0) (x∈R,e 是自然对数的底数) 在 x ? ?1 处的切线和它在 x ? x0 ex
? m m ?1? , ? , m 是整数,则 m ? ?4 4 ?
▲ .

处的切线互相垂直,设 x0 ? ?

4. 在 ?ABC 中 , 角 A , B , C 所 对 的 边 分 别 是 a , b , c , 已 知 b ? 2 , 且

co2 sB?c o s B ? c o sA ( ? C ) ? 1 , 当 a ? 2c 取 得 最 小 值 时 , 最 大 边 所 对 角 的 余 弦 值 是
___▲_____.
2 2 5. 设集合 A ? {( x, y) | x 2 ? y 2 ? 2 x ?1 ? 0} ,B ? {( x, y) | ( x ? t ) ? y }.若 A ? B, 则实数

t 的取值范围为


2x

.

6.已知函数 f ( x) ? a
2 2

? max ? n ( a ? 0 且 a ? 1 ),若存在实数 x 使得 f ( x) ? f (? x) ? ?2 ,
▲ .

则 m ? 4n 的最小值为_

二、解答题
7. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆
E: x2 y 2 2 ?1 2? ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,点 A ? , ? 2 2 a b ?3 3?

在椭圆 E 上,射线 AO 与椭圆 E 的另一交点为 B ,点

P(?4t , t ) 在椭圆 E 内部,射线 AP, BP 与椭圆 E 的另一交
点分别为 C , D . (1)求椭圆 E 的方程;(2)求证: CD ∥ AB .
1

8. 如图,某城市有一个五边形的地下污水管通道 ABCDE ,四边形 BCDE 是矩形,其中 CD ? 8 km, BC ? 3 km;△ ABE是以 BE 为底边的等腰三角形, AB ? 5 km.现欲在 BE 的 中间点 P 处建地下污水处理中心,为此要过点 P 建一个“直线型”的地下水通道 MN 接通 主管道,其中接口处 M 点在矩形 BCDE 的边 BC 或 CD 上. (1) 若点 M 在边 BC 上,设∠ BPM ? ? ,用 ? 表示 BM 和 NE 的长; (2) 点 M 设置在哪些地方,能使点 M , N 平分主通道 ABCDE 的周 长?请说明理由.

9.数列 ?a n ?的前 n 项和为 Sn 且满足 a1 ? 1 , 2an?1 ? 2an ? p (p为常数,n ? 1,2,3...) . (1)若数列 ?a n ?是等比数列,求实数 p 的值; (2)是否存在实数 p ,使得数列 ?

?1? ? 满足:可以从中取出无限多项并按原来的先后次序 a n ? ?

排成一个等差数列?若存在,求出所有满足条件的值;若不存在,请说明理由.

10. 设 f ( x) ? ln x ? x ? k , x ? (0,??) . (1)若 f [ f (1)] ? 0, 求实数 k 的取值范围;
2 (2)设 函 数 g ( x) ? f ( x) ? kx 的 单 调 递 增 区 间 为 D , 对 任 意 给 定 的 k ? 0 , 均 有

D ? (0, a] ( a 为与 k 无关的常数),求证: a 的最小值为 1.
(0,e) (3)求证: f ( x) 在区间 上有两个零点的充要条件为 k ? (1 ? e,?1).

2

理科加试
11. 某班从 6 名志愿者中(其中男生 4 人,女生 2 人),选出 3 人参加学校的义务劳动. (1)设所选 3 人中女生人数 ξ,求 ξ 的分布列及数学期望; (2)求男生甲或女生乙被选中的概率; (3)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率.

12. 设整数 n ? 3 , 集合 P ? {1,2,3,?, n} ,A,B 是 P 的两个非空子集.记 an 为所有满足 A 中的最大数小于 B 中的最小数的集合对 ( A, B) 的个数. (1)求 a 3 ; (2)求 an .

3

参考答案 一、填空题
27 . 4 解:根据题意 D 为 BC 的中点, E 为 AC 的三分之一点,以 BC 所在的直 线为 x 轴,以线段 BC 的中垂线为 y 轴建立图示的直角坐标系,则
1.答案:
B(?3,0) , P (0,

3 3 3 3 3 3 ) 所以 PB ? (?3,? ) . PD ? (0,? ). 2 2 2

所以 PB ? PD ?

27 . 4

2. 答案: 1 ? a ? 3 . 解:因为 f ( x ) 为 R 上的奇函数,所以 f ( x ) 的图形关于原点成中心对 称,图形如图. 由 图 像 可 知 函 数 f ( x ) 在 区 间 ??1, 1 ? 上为单调递增函数,所以

?a ? 2 ? ?1 ,解得 1 ? a ? 3 . ? ?a ? 2 ? 1
3. 答案: 2. 解:当 x ? 0 时, f ' ( x ) ?

x ?1 1 ,且 f ' (?1) ? ?2e ,及 f ( x0 ) ? (?2e) ? ?1 即: f ( x0 ) ? ?0, x 2e e
1? x 1? x 1- x 所 以 f ' ( x0 ) ? x 0 , 即 x 0 (? 2e) ? ?1 , 即 x 0 e e e0

可 以 得 到 x 0 ? 0 . 当 x ? 0 时 , f ' ( x) ?

? ?? 上 单 调 递 增 , e x0 ? 2ex0 ? 2e ? 0 , 设 g ( x) ? e x ? 2ex ? 2e( x ? 0) , 显 然 g ( x) 在 ?0,

3 4 3 e 4 3 e ?2 3? 1 ? 0 ,所以 x0 ? ? , ? ,所以 m ? 2. g( ) ? e ? e ? 0 , g( ) ? e ? ? e ? 4 2 4 2 16 ?4 4?

4

4. 答案: ?

2 . 4
2

解:根据题意, ? cos(A ? C ) ? cos(A ? C ) ? 1 ? cos2B ,化简得: sin A sin C ? sin B , 即 b ? ac ? 4 . 因为 a ? 2c ? 2 2ac ? 4 2 ,当且仅当 a ? 2 2 , c ?
2

2 时取等号 . 又

b ? 2 ,所以角 A 最大,从而 cos A ?

4 ? 2 ?8 2 ?? . 4 2? 2 ?2
4

5. 答案: t ? 3 或 t ? ? 1 .
(0,0) ? B ,? 集合 B 表示两条直线 解 : 集 合 A 表 示 圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2 上 的 点 , 又 ?

y ? ?( x ? t ) 所组成的含有原点的对顶区域,中心为 (?t ,0) .因为 A ? B, 所以圆心到直线的
距离 d ? r , 即

| t -1| ? 2 , 因此 t ? 3 或 t ? ?1 . 2

6. 答案:

16 . 5

解:根据题意得: a 2 x ? max ? n ? a ?2 x ? ma? x ? n ? -2 ,则
2 (a x ? a ? x) ? m(a x ? a ? x ) ? 2n ? 0 ,令 t ? a x ? a ? x ? 2 ,当且仅当 x ? 0 时,取“=”,

(m,2n) 在直线 tx ? y ? t 2 ? 0 上,m 2 ? 4n 2 可以看成是点 (m,2n) 到 即点 t 2 ? mt ? 2n ? 0 ,

(m ? 4n ) 原点的距离的平方,所以 ( mi n ?
2 2

t2 1? t 2

)2 ?

t4 是增函数,当 t ? 2 时, t 2 ?1

m 2 ? 4n 2 取得最小值

16 . 5

二、解答题
?1? ? 2? ? ? ? ? 2 ? 3 ? ? 3 ? ? 1, 且 1 ? b ? 2 , 7. 解:(1)易得 2 ? a b2 a2 2
解得 a ? 1 , b2 ?
2

2

2

1 , 2
2 2

所以,椭圆 E 的方程为: x ? 2 y ? 1 .

1 2 1 2 ) ,? B ( ? , ? ) . 3 3 3 3 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (0,1) 设 C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) , AP ? ?1 PC , BP ? ?2 PD ,其中 ?1,? 2 ? ,
(2)? A( ,

1 ? (?1 ? 1)(?4t ) ? ? 3 ? x1 ? ?1 ? 则? 代入椭圆方程并整理得, (?1 ? 1) ?18t 2 ? ?1 ? 1 , 2 ? (? ? 1)t ? ?y ? 1 3 ? 1 ? 1 ?

5

同理得, (? 2 ? 1) ?18t 2 ? ? 2 ? 1,相减得 (?1 - ? 2) ? (18t 2 ? 1) ? 0 .
?18t 2 ? 1 ,? ?1 ? ?2 ,从而 CD ∥ AB .

8. 解:(1)当点 M 在边 BC 上,设∠ BPM ? ? (0 ? tan ? ? 在 Rt △ BPM 中, BM ? BP ? tan ? ? 4 tan ? . 在△ PEN 中,不妨设∠ PEN ? ? ,其中 sin ? ?

3 ), 4

PE NE 3 4 , cos ? ? ,则 ? , 5 5 sin(? ? ? ? ? ) sin ?

即 NE ?

4 sin ? 20sin ? 20 tan? ? ? ; sin(? ? ? ) 4 sin ? ? 3 cos? 4 tan? ? 3
10 tan ? ? 1 ;即 8 tan2 ? ? 8 tan? ? 3 ? 0 ,解得 tan ? ? 2 ? 10 . 4 4 tan ? ? 3

(2)当点 M 在边 BC 上,由 BM ? AB ? AN ? MC ? CD ? DE ? EN , BM ? NE ? 2 ; 即 2 tan ? ?
? tan ? ?

3 2 ? 10 2 ? 10 3 ? 0, tan ? ? ? 与 0 ? tan ? ? 矛盾,点只能设在 CD 上. 4 4 4 4

当点 M 在边 CD 上,设 CD 中点为 Q ,由轴对称不妨设 M 在 CQ 上,此时点 N 在线段 AE

4 ) ,在 Rt △ MPQ 中, MQ ? PQ ? tan? ? 3 tan? ; 3 4 3 在△ PAN 中,不妨设∠ PAE ? ? ,其中 sin ? ? , cos ? ? ; 5 5
上;设∠ MPQ ? ? (0 ? tan ? ? 则

PA AN 3 sin ? 15sin ? 15 tan? ? ? ? ,即 AN ? ; sin(? ? ? ? ? ) sin ? sin(? ? ? ) 3 sin ? ? 4 cos? 3 tan? ? 4

由 MC ? CB ? BA ? AN ? MQ ? QD ? DE ? EN ,得

AN ? MQ ,即 3 tan ? ?
tan ? ? 1 ; 3

15 tan ? ;解得 tan ? ? 0 或 3 tan ? ? 4

故当 CM ? 4 ,或者 CM ? 4 ? 3 ?

1 ? 3 时,符合题意. 3

答:当点 M 位于 CD 中点 Q 处,或点 M 到点 C 的距离为 3 km 时,才能使点 M , N 平分地 下水总通道 ABCDE 的周长.

6

2 9. (1)若数列 ?a n ?是等比数列,则 a2 ? a1a3 .

因为 a1 ? 1 ,2an?1 ? 2an ? p ,所以 2a2 ? 2a1 ? p ? 2 ? p , 2a3 ? 2a2 ? p ? 2 ? 2 p .

(1 ? 所以,

p 2 ) ? 1? (1 ? p ) , p ? 0 . 2

?1? (n ? 1,2,3...) ,即数列 ? ? 是一个无穷等 (2)当 p ? 0 时,由(1)及 a1 ? 1 ,所以 1 ? 1 an ? an ?
差数列.所以当 p ? 0 ,满足题意. 当 p ? 0 时,因为 a1 ? 1 , 2an?1 ? 2an ? p ,即 an ?1 ? an ?

p 2.

下面用反证法证明,当 p ? 0 ,从数列 ? 个等差数列. 假设存在 p0 ? 0 ,从数列 ?

?1? ? 不能取出无限多项并按原来的先后次序排成一 ? an ?

?1? ? 可以取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列. a n ? ?

不妨记为 ?bn ?,设数列 ?bn ?的公差为 d . (1)当 p0 ? 0 时, an ? 0(n ? 1,2,3...) ,

所以,数列 ?bn ?是各项为正数的递减数列,所以 d ? 0 . 因为, bn ?b1 ?(n ?1)d (n ? 1,2,3...) 所以,当 n ? 1 ? ,

b1 b (n ? 1)d ? ?b1 时, bn ? b1 ? (n ? 1)d ? b1 ? b1 ? 0 ,这与 ,即 n ? 1 ? ? 1 ,即 d d

bn ? 0 矛盾.
(2)当 p0 ? 0 时,令

p0 p 2 n ? 1 ? 0 ? 0 ,解得, n ? 1 ? , 2 2 p0

当 n ? 1?

2 时, an ? 0 恒成立, p0

所以,数列 ?bn ?是各项为负数的递增数列,所以, d ? 0 . 因为 bn ?b1 ?(n ?1)d (n ? 1,2,3...) , bn ?b1 ?(n ?1)d ? b1 ? (1 ? 综上所述, p ? 0 是唯一满足条件的 p 的值.
7

b1 ? 1)d ? 0 , 与 bn ? 0 矛盾. d

10.(1) f [ f (1)] ? 0, 即 f (?1 ? k ) ? 0, 即 ln(?1 ? k ) ? (?1 ? k ) ? k ? 0, 即 ln(?1 ? k ) ? ?1, 所以 k ? ( ?

e ?1 ,?1). e
1 ? 1 ? 1 ? 8k ? 1 ? 2kx ? 0 得 2kx2 ? x ?1 ? 0, 注意到 x ? 0, 得0 ? x ? , x 4k

(2) g ' ( x) ?

(0, 所以 g ( x) 的单调递增区间为
k?

? 1 ? 1 ? 8k ? 1 ? 1 ? 8k ) . 若 0 ? a ? 1 ,则令 ? a ,得 4k 4k

1? a 1? a , 这说明当给定的 k ? (0, a] 不成立. 时, D ? 2 2a 2a 2

所以 a ? 1 ,又 a ? 1 时, D ? (0, a] ?

? 1 ? 1 ? 8k ? 1 ? 1 ? 8k ? 4k ? 1 ? k 2 ? 0 , 4k
1 1? x ?1 ? , 所以 f ( x) 在 (0,1) 上单调递 x x

这显然正确,所以 a ? 1 满足条件,故 a 的最小值为 1. (3)设 f ( x) ? ln x ? x ? k , x ? (0, e), 则 f ' ( x) ?

增,在 (1, e) 上单调递减, f (1) ? ?1 ? k , f (e) ? 1 ? e ? k ,因此 f ( x) 在区间 (0, e) 上有两个

零点的必要条件为 ?

?f(1) ? 0 ,即 1 ? e ? k ? ?1 . ?f(e) ? 0

当?

?f(1) ? 0 k k k ,即 1 ? e ? k ? ?1 时,因为 f (e ) ? ?e ? 0, e ? 1 ,结合 f ( x) 在 (0,1) 上单调 ?f(e) ? 0 ?f(1) ? 0 ,及 f ( x) 在 (1, e) 上单调递减, f(e) ? 0 ?

递增,得在区间 f ( x) 在 (0,1) 上存在唯一零点,而 ?

得 f ( x) 在区间 (1, e) 上存在唯一零点,故 f ( x) 在区间 (0, e) 上有两个零点的充要条件为

1 ? e ? k ? ?1 .
故所求的 k 的取值范围为 (1 ? e,?1) .

8

理科加试
11. 解:(1)ξ 的所有可能取值为 0,1,2,依题意得: C4 1 C4C2 3 C4C2 1 P(ξ=0)= 3 = ,P(ξ=1)= 3 = ,P(ξ=2)= 3 = . 5 5 C6 C6 C6 5 ∴ ξ 的分布列为 ξ P 0 1 5 1 3 5 2 1 5
3 3 1 1 2

1 3 1 ∴ Eξ=0× +1× +2× =1. 5 5 5 C4 1 (2)设“男生甲、女生乙都不被选中”为事件 C,则 P(C)= 3 = , C6 5 4 — ∴所求概率为 P( C )=1-P(C)= . 5 (3)设“男生甲被选中”为事件 A,“女生乙被选中”为事件 B,则 C5 1 C4 1 P(A)= 3= ,P(AB)= 3 = , C6 2 C6 5 ∴在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为 P(B|A)= P(AB) 2 = . P(A) 5
2 1 3

2} ,{1, 3}, 12. 解:(1)当 n ? 3 时, P ? {1,2,3} ,其非空子集为:{1},{2} ,{3} ,{1, {2, 3}, {1, 2, 3},则所有满足题意的集合对 ( A, B) 为 ({1}, {2}) , ({1}, {3}) , ({2}, {3}) ,

({1}, {2, 3}) , ({1, 2}, {3}) 共 5 对,所以 a3 ? 5 .
(2)设 A 中的最大数为 k ,其中 1 ? k ? n ? 1 ,整数 n ? 3 ,则 A 中必含元素 k ,另元素
0 1 k ?1 k ?1 1,2,?, k ? 1 可在 A 中,故 A 的个数为: Ck , B 中必不含元素 ?1 ? Ck ?1 ? ? ? Ck ?1 ? 2

1,2,?, k , 另元素 k ? 1, k ? 2,?, n 可 在 B 中,但 不能 都不在 B 中 ,故 B 的个 数为 :
1 2 n?k n ?k Cn ?1 , ?k ? Cn?k ? ? ? Cn?k ? ? 2

从而集合对 ( A, B) 的个数为 2 所以, an ?
n ?1

k ?1

? (2n?k ?1) ? 2n?1 ? 2k ?1 ,
1 ? 2n?1 ? (n ? 2) ? 2n?1 ? 1 . 1? 2

? (2n?1 ? 2k ?1 ) ?(n ?1) ? 2n?1 ?
k ?1

9


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