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高二数学圆锥曲线复习题


圆锥曲线
【知识网络】
对称性 焦点 性质 离心率 椭 圆 第 一 定 义 第 二 定 义 标准方程 a, b, c 的关系 准线 焦半径 相交 直线与椭圆 的位置关系 相切 相离 对称性 焦点 顶点 性质 离心率 准线 标准方程 焦半径 渐近线 相交 直线与双曲线的 位置关系 相切 相离 对称性 焦点 顶点 性质 离心率 准线 抛物线 定义 标准方程 焦半径

相交 直线与抛物线 的位置关系 相切 相离 顶点

圆 锥 曲 线

双 曲 线

第 一 定 义

第 二 定 义

a, b, c 的关系

3.1 椭圆
【考点透视】
一、考纲指要

1.熟练掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质及参数方程. 2.考查椭圆的离心率,直线的方程,平面向量的坐标表示,方程思想等数学思想方法和综合解题能 力. 二、命题落点 圆锥曲线是解析几何的重点,也是高中数学的重点内容,高考中主要出现三种类型的试题:①考查圆 锥曲线的概念与性质;②求曲线方程和轨迹;③关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题,主要考查直线 方程,平面向量及椭圆的几何性质等基本知识,考查综合运用数学知识解决问题以及推理能力.

【典例精析】
例 1: (2005· 全国 1)已知椭圆的中心为坐标原点 O,焦点在 x 轴上,斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直 线交椭圆于 A、B 两点, OA ? OB 与 a ? (3, ? 1) 共线. (1)求椭圆的离心率; (2)设 M 为椭圆上任意一点,且 OM ? ?OA ? ?OB (?, ? ? R) ,证明 ?2 ? ? 2 为定值. 解析: (1) 设椭圆方程为
2 2 2 2

x y x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0), F (c, 0) ,则直线 AB 的方程 y ? x ? c 代入 2 ? 2 ? 1 , 2 a b a b
2 2 2 2

2

2

2

2

化简得 (a ? b ) x ? 2a cx ? a c ? a b ? 0 .

2a c a c ?a b 令 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 2 . , x1 x2 ? 2 2 2 a ?b a ?b ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ? 由 OA ? OB ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ), a ? (3, ?1), OA ? OB 与 a 共线,
得 ,又 y 3( y1 ? y2 ) ? x (1 ? x2 ) ? 0 ? x1 ? c, y2 ? x2 ? c , 1

2

2 2

2 2

? 3( x1 ? x2 ? 2c) ? ( x1 ? x2 ) ? 0,? x1 ? x2 ?
2

3c . 2



2a c 3c 6a 2 2 2 2 , ? ,所以 a ? 3b ,? c ? a ? b ? 2 2 3 2 a ?b
c 6 . ? a 3
2 2

故离心率 e ?

(2)由(1)知 a ? 3b ,所以椭圆

x y 2 2 2 ? 2 ? 1 可化为 x ? 3 y ? 3b 2 a b

2

2

设 OM ? ( x, y) ,由已知得 ( x, y) ? ?( x1, y1 ) ? ?( x2 , y2 ) ,

???? ?

? ? x ? ? x1 ? ? x2 , ?? ? ? y ? ? y1 ? ? y2 .
? M ( x, y) 在椭圆上,? (? x1 ? ? x2 ) ? 3(? y1 ? ? y2 ) ? 3b ,
2 2 2

即 ? ( x1 ? 3 y1 ) ? ? ( x2 ? 3 y2 ) ? 2?? ( x1 x2 ? 3 y1 y2 ) ? 3b
2 2 2 2 2 2

2



由(1)知 x1 ? x2 ?
2 2

3 3 2 2 1 2 2 c, a ? c , b ? c , 2 2 2

? x1 x2 ?

a c ?a b 3 2 ? c , 2 2 8 a ?b

2 2

? x1 x2 ? 3 y1 y2 ? x1 x2 ? 3( x1 ? c)( x2 ? c)

? 4 x1 x2 ? 3( x1 ? x2 )c ? 3c 3 2 9 2 2 ? c ? c ? 3c 2 2 ? 0.

2

又 x1 ? 3 y1 ? 3b , x2 ? 3 y2 ? 3b 代入①,得 ? ? ? ? 1 .
2 2 2 2 2 2
2 2

故 ?2 ? ? 2 为定值,定值为 1 .

例 2: (2005· 上海)如图,点 A 、 B 分别是椭圆 点,点 P 在椭圆上,且位于 x 轴上方, PA ? PF . (1)求点 P 的坐标;

x2 y 2 ? ? 1 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦 36 20

(2) 设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点, M 到直线 AP 的距离等于 MB , 求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的 最小值. 解析:(1)由已知可得点 A(-6,0) ,F(4,0) 设点 P 的坐标是

( x, y),则AP ? {x ? 6, y}, FP ? {x ? 4, y} ,
由已知得

? x2 y2 ?1 3 ? ? 则2 x 2 ? 9 x ? 18 ? 0, x ? 或x ? ?6. ? 36 20 2 ?( x ? 6)(x ? 4) ? y 2 ? 0 ?
y ? 0, 只能 x ? 3 5 3 5 , 于是 y ? 3,? 点P的坐标是 ( , 3 ). 2 2 2 2





(2)直线 AP 的方程是 x ? 3 y ? 6 ? 0. 设点 M 的坐标是(m,0) ,则 M 到直线 AP 的距离是 于是

|m?6| , 2

|m?6| ?| m ? 6 |,又 ? 6 ? m ? 6, 解得 m ? 2, 椭 圆 上 的 点 ( x, y ) 到 点 M 的 距 离 d , 有 2

d 2 ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? x 2 ? 4 x ? 4 ? 20 ?
由于 ? 6 ? x ? 6,?当x ?

5 2 4 9 x ? ( x ? ) 2 ? 15, 9 9 2

9 时, d取得最小值 15 . 2

例 3: ( 2005· 福 建 ) 已 知 方 向 向 量 为 v ? (1, 3) 的 直 线 l 过 点 ( 0,?2 3 ) 和 椭 圆

C:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点,且椭圆 C 的中心关于直线 l 的对称点在椭圆 C 的右准线上. a2 b2
(1)求椭圆 C 的方程; (2) 是否存在过点 E (-2, 0) 的直线 m 交椭圆 C 于点 M、

y

N,满足 OM ? ON ?

???? ? ????

4 6 cot∠MON≠0(O 为原点).若存 3
E

在,求直线 m 的方程;若不存在,请说明理由. 解析:(1)直线 l : y ? 3x ? 2 3 , ①

O

3 过原点垂直 l 的直线方程为 y ? ? x, ② 3
解①②得 x ?

x

3 . 2

∵椭圆中心(0,0)关于直线 l 的对称点在椭圆 C 的右准线上,

?

a2 3 ? 2 ? ? 3. c 2

∵直线 l 过椭圆焦点,∴该焦点坐标为(2,0).

? c ? 2, a 2 ? 6, b 2 ? 2. 故椭圆 C 的方程为
(2)设 M( x1 , y1 ) ,N( x2 , y2 ).

x2 y2 ? ? 1. 6 2



当直线 m 不垂直 x 轴时,直线 m : y ? k ( x ? 2) 代入③,整理得

(3k 2 ? 1) x 2 ? 12k 2 x ? 12k 2 ? 6 ? 0,
? x1 ? x2 ? ? 12k 2 12k 2 ? 6 , x ? x ? , 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

| MN |? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2 (?

12k 2 2 12k 2 ? 6 2 6 (1 ? k 2 ) ) ? 4 ? ? , 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

y
点 O 到直线 MN 的距离 d ?

| 2k | 1? k
2


E

M

x
O

? OM ? ON ?

4 6 cot ?MON , 3

即 N

???? ? ???? 4 cos ?MON | OM | ? | ON | cos ?MON ? 6 ? 0, 3 sin ?MON
M E

y

x
O
N

?| OM | ? | ON | sin ?MON ?

4 2 4 6 ,? S ?OMN ? 6.?| MN | ?d ? 6, 3 3 3

即4 6 | k | 整理得 k 2 ?

k 2 ?1 ?

4 6 (3k 2 ? 1). 3

1 3 ,? k ? ? . 3 3
2 6. 3

当直线 m 垂直 x 轴时,也满足 S ?OMN ? 故直线 m 的方程为 y ?

3 2 3 x? , 3 3

或y??

3 2 3 x? , 或 x ? ?2. 3 3 3 2 3 x? , 3 3

经检验上述直线均满足 OM ? ON ? 0 .所以所求直线方程为 y ?

或y??

3 2 3 x? , 或 x ? ?2. 3 3

【常见误区】
解析几何问题,基本上都与方程思想相结合,因而要注意直线方程与曲线方程联立起来,结合根与系 数的关系,或直接解出根,是高考常用的方法,要注意有关方法的练习、归纳,要注意运算的优化,要注 意利用数形结合,挖掘隐含性质,这也是考生思维的一个障碍点.

【基础演练】
1 x2 y2 ? ? 1 的离心率为 ,则 m= 1.(2005· 广东) 若焦点在 x 轴上的椭圆 2 2 m
( )

A. 3

B.

3 2

C.

8 3

D.

2 3
( )

2.(2005· 福建) 设 a, b ? R, a 2 ? 2b 2 ? 6, 则a ? b 的最小值是 A. ? 2 2 B. ?

5 3 3

C.-3

D. ?

7 2

3.(2005· 全国 3) 设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△ F1PF2 为等 腰直角三角形,则椭圆的离心率是 ( ) A.

2 2

B.

2 ?1 2

C. 2 ? 2

D. 2 ? 1

4. (2005· 江苏) 点 P(?3,1) 在椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左准线上, 过点 P 且方向为 a ? (2,?5) 的光线 a2 b2

经直线 y ? ?2 反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为 ( A. )

3 3

B.

1 3

C.

2 2

D.

1 2

5. (2005· 重庆)已知 A( ?

1 1 ,0), B 是圆 F : ( x ? ) 2 ? y 2 ? 4( F 为圆心)上一动点,线段 AB 的垂直平分线 2 2
.
?

交 BF 于 P,则动点 P 的轨迹方程为

6.如图所示, 底面直径为 12cm 的圆柱被与底面成 30 的平面所截, 其截口是一个椭圆,则这个椭圆的长轴长 短轴长 ,离心率为 . 7.(2005· 辽宁) 已知椭圆 ,

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 a2 b2

y P



F1 (?c , 0) 、 F2 ( c , 0) , Q 是椭圆外的动点,满足 | F1Q |? 2a ,
点P是线段 F1Q 与该椭圆的交点,点T在线段 F2 Q 上,并且 满足 PT ? TF2 ? 0 , | TF2 | ? 0 . (1)设 x 为点P的横坐标,证明 | F1 P | ? a ? (2)求点T的轨迹C的方程;

F1

O

F2

x

c x; a

(3)试问:在点T的轨迹C上,是否存在点M,使△ F1 MF2 的面积 S ? b 2 .若存在,求∠ F1 MF2 的 正切值;若不存在,请说明理由. 8.(2005· 湖南) .已知椭圆 C:

x2 y2 + =1(a>b>0)的左、右焦点为 F1、F2,离心率为 e. 直线 l:y a2 b2

=ex+a 与 x 轴.y 轴分别交于点 A、B,M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点,P 是点 F1 关于直线 l 的对

称点,设 AM =λ AB . (1)证明:λ=1-e2; (2)若 ? ?

3 ,△ PF1F2 的周长为 6,写出椭圆 C 的方程; 4

(3)确定 λ 的值,使得△ PF1F2 是等腰三角形. 9.(2005· 湖北) 设 A、B 是椭圆 3x 2 ? y 2 ? ? 上的两点,点 N(1,3)是线段 AB 的中点,线段 AB 的垂直 平分线与椭圆相交于 C、D 两点. (1)确定 ? 的取值范围,并求直线 AB 的方程; (2)试判断是否存在这样的 ? ,使得 A、B、C、D 四点在同一个圆上?并说明理由.

3.2 双曲线
【考点透视】
一、考纲指要 熟练掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质. 二、命题落点 1.考查了圆锥曲线中双曲线的渐近线方程与准线方程,以及标准方程中 a,b,c 之间的关系,两渐近线间 的夹角的求法,如例 1. 2.双曲线的第一、第二定义在解题中的灵活运用,如例 2; 3.考查等边三角形的性质,焦点三角形公式及离心率公式,灵活运用焦点三角形公式避免了繁琐的 运算,突出观察研究能力的考查,如例 3.

【典例精析】
x2 y2 例 1: (2005· 湖南) 已知双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0)的右焦点为 F,右准线与一条渐近线交于 a b
点 A,△ OAF 的面积为 A.30?

a2 (O 为原点) ,则两条渐近线的夹角( 2
B.45? C.60?

) D.90?

解析:双曲线的右焦点 F(c,0),右准线方程为 x=

b a2 a2 ,一条渐近线方程为 y= x,可得点 A 的坐标( , a c c

ab 1 1 ab 1 1 ) ,△ OAF 的面积 S△ OAF= OF│YA│= c ? = ab,又题意已知 S△ OAF= a2,所以 a=b,两条渐近线间的夹 2 c 2 2 c 2
角为 900 . 答案: D 例 2:(2005· 全国 3)已知双曲线 点 M 到 x 轴的距离为

x

2

y ?

2

2

???? ? ????? ? 1 的焦点为 F1、F2,点 M 在双曲线上且 MF1 ? MF 2 ? 0, 则
( )

A.

4 3

B.

5 3

C.

2 3 3

D. 3

解析: 设 M 到 x 轴的距离为 h,∵ a ? 1, b ? 2,?c ? 3 , 又∵ MF 1 ? MF 2 ? 0 ? MF 1 ? MF 2 ? 由双曲线定义得 | MF 1 ? MF 2 |? 2 ?

???? ? ?????

MF
1

2 1
2

? MF 2 ? (2c) ? 12 ,
2
2

2

MF

? MF 2 ? 2 MF 1 ? MF 2 ? 4 ,

再由

S

?MF 1 F 2

1 1 2 3 ? ? MF 1 ? MF 2 ? ? F 1F 2 ? h ,∴ h ? . 2 2 3

答案: C 例 3: (2005· 福建)已知 F1、F2 是双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两焦点,以线段 F1F2 为边作正三 a2 b2
) D. 3 ? 1

角形 MF1F2,若边 MF1 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是( A. 4 ? 2 3 B. 3 ? 1 C.

3 ?1 2

解析:令 F1 (c, 0), F2 (- c, 0) ,边 MF1 交双曲线于点 N,连结 F 2 N 易知

VMF1F2的边长F1F = 2C ,且M 点必在y 轴上, \ 可得M 的坐标(0,3C) 又 QVMF1F2为正三角形 \ F2N ^ MF1 \ ? F2NF1 \ 由焦点三角形面积公式 90o

S VNF1F2 = b2 cot

?F1NF2 = b2 2 1 1 1 又 Q S VNF1F2 = S VMF1F2 = 鬃 2C 譢 3C 2 2 2 3 2 又 Q b2 = c 2 - a 2 \ a 2 = (1 )c 2 又 Q e= c \ e= a c2 = a2 4 + 2 3 = 1+

b2 =

3 2 c 2

3

答案: D 例 4.(2005· 山东)设双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F ,右准线 l 与两条渐近线交于 P、 a 2 b2

Q 两点,如果 ?PQF 是直角三角形,则双曲线的离心率 e ? ___________ .
解析:如图所示,
Y

PF ? QF 且 PF ? QF ,
x= P

a2 c

X

F (c, 0) P(

a 2 ab PF , ) ,在 ?PFQ 中 MF ? , c c 2 PF . 2


OF ? OM ?

? PF ? (c ?

a 2 2 ab 2 ) ?( ) c c



a2 ? O F? , c O?M c



将②③代入①式化简得:

a 2 c ? , e ? ? 2. c 2 a

答案:

2

【常见误区】
1. 对双曲线离心率、 双曲线渐近线等基本知识考察时, 应想法利用已知曲线构造等式,从而解出 c , a 的 比值,即双曲线的离心率.这一点考生常不能注意到,致使离心率求解出错,如例 3、例 4. 2.解题过程中,特别是客观题中,应注意双曲线第一第二定义的应用,此问题考生常会忽视,如例 1、例 2.

【基础演练】
1. (2006· 广东)已知双曲线 3x2 ? y 2 ? 9 ,则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距离 之比等于 A. 2 B. ( )

2 2 3

C.2

D. 4

x2 y2 ? ? 1 长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双曲线的 2. (2005· 天津) 设双曲线以椭圆 25 9
渐近线的斜率为 A. ? 2 B. ? ( )

4 3

C. ?

1 2

D. ?

3 4

3.平面内有两个定点 F1 , F2 和一动点 M ,设命题甲, || MF1 | ? | MF2 || 是定值,命题乙:点 M 的轨迹是 双曲线,则命题甲是命题乙的 A.充分但不必要条件 C.充要条件 ( B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( ) )

4.双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为 e1 , e2 ,则 e1 , e2 应满足的关系是 A. e1 ? e2 ? 1 C.
2 2

B. e1 ? e2 ? 1 D.

2

2

1 e1
2

?

1 e2
2

?1

1 e1
2

?

1 e2
2

?1

x2 y 2 5.(2005· 浙江) 过双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于 M、N 两 a b
点,以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于_________. 6. (2005· 江西) 以下几个关于圆锥曲线的命题中: ①设 A、 B 为两个定点, k 为非零常数, | PA | ? | PB |? k , 则动 点 P 的轨迹为 双曲线; ② 设 定圆 C 上一定 点 A 作圆 的动点 弦 AB , O 为坐标原 点,若

??? ?

??? ?

??? ? 1 ??? ? ??? ? 2 OP ? (OA ? OB ), 则动点 P 的轨迹为椭圆; ③方程 2 x ? 5 x ? 2 ? 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线 2 x2 y 2 x2 ? ?1 与 椭 圆 ? y2 ? 1 有 相 同 的 焦 点 . 其 中 真 命 题 的 序 号 为 的离心率;④双曲线 25 9 35
(写出所有真命题的序号)

7.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,左准线为 l ,能否在双曲线的左支上求一点 P ,使 25 144 | PF1 | 是 P 到 l 的距离 d 与 | PF2 | 的等比中项?若能,求出 P 的坐标,若不能,说明理由.

x2 y 2 8. 过双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点 F 作双曲线在第一、 第三象限的渐近线的垂线 l , 垂足为 P , a b l 与双曲线的左、右支的交点分别为 A, B . (1)求证: P 在双曲线的右准线上;
(2)求双曲线离心率的取值范围. 9.是否同时存在满足下列条件的双曲线,若存在,求出其方程,若不存在,说明理由. (1)渐近线方程为 x ? 2 y ? 0, x ? 2 y ? 0 , (2)点 A(5,0) 到双曲线上动点 P 的距离最小值为 6 .

3.3 抛物线
【考点透视】
一、考纲指要 掌握抛物线的定义、标准方程和简单的几何性质. 二、命题落点 1.考察抛物线过焦点的性质,如例 1; 2.抛物线上张直角问题的探究, 考察抛物线上互相垂直的弦的应用,如例 2; 3.定值及定点问题是解几问题研究的重点内容,此类问题在各类考试中是一个热点,如例 3.

【典例精析】
例 1:(2005· 全国 3) 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点在抛物线 y ? 2 x 上, l 是 AB 的垂直平分线,
2

(1)当且仅当 x1 ? x2 取何值时,直线 l 经过抛物线的焦点 F?证明你的结论; (2)当直线 l 的斜率为 2 时,求 l 在 y 轴上截距的取值范围. 解析:(1)∵抛物线 y ? 2 ∴焦点为 F (0, )

x

2

,即

x

2

?

y 1 ,∴ p ? , 2 4

1 8

(i)直线 l 的斜率不存在时,显然有 (ii)直线 l 的斜率存在时,设为 k,

x ?x
1

2

=0; 截距为 b, 即直线 l :y=kx+B.

?y ? y ? 2 ? 1 ? k ? x1 x 2 ? b 2 ? 2 由已知得: ? y1 ? y 2 ? ? 1 ? ? x1 ? x 2 k ?
2 2 ? ? 2x 2 ? 2 x 1 2 2 x1 ? x 2 ? b ? k ? x1 x 2 ? b ? ? ? ? k ? ? 2 2 ? x1 x 2 ? 2 ?? ?? 2 2 1 ? ? 2 x1 ? 2 x 2 ? ? 1 ? x2 ? ? x 1 ? ? 2k ? k x1 ? x 2 ?

1 1 2 2 ? x1 ? x 2 ? ? ? b ? 0 ? b ? 4 4
即 l 的斜率存在时,不可能经过焦点 F (0, ) 所以当且仅当

1 8

x ?x
1

2

=0 时,直线 l 经过抛物线的焦点 F

(2)设 l 在 y 轴上截距为 b,

1 ? 1 2 ?y ? ? 2 x ? m 即直线 l :y=2x+b,AB: y ? ? x ? m .由 ? 得 4 x ? x ? 2m ? 0 , 2 ? y?2 2 x ?


x ?x
1

2

1 1 ? ? ,且 ? ? 0, 即m ? ? , 4 32



y ?y
1

2

2

? 2 ? x1

? x2 2

?b ?

1 1 ? m ? ? ? b, 16 4

∴b ?

5 5 1 9 ?m? ? ? . 16 16 32 32 9 , ?? ) 32

所以 l 在 y 轴上截距的取值范围为 (

例 2: (2005· 广东)在平面直角坐标系 xoy 中,抛物线 y ? x 2 上异于坐标原点 O 的两不同动点A、B 满足 AO ? BO (如图所示) (1)求 ?AOB 得重心 G (即三角形三条中线的交点) 的轨迹方程; (2) ?AOB 的面积是否存在最小值?若存在,请求出 最小值;若不存在,请说明理由. 解析: (1)∵直线 AB 的斜率显然存在, O B x

y
A

∴设直线 AB 的方程为 y ? kx ? b ,

A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,依题意得

? y ? kx ? b 由? , 消去y, 得 x 2 ? kx ? b ? 0 ,① 2 y ? x ?
∴ x1 ? x2 ? k ,②

x1 x2 ? ?b



2 2 ∵ OA ? OB ,∴ x1x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 x1 x2 ? x1 x 2 ? 0 ,④

由③④得, ? b ? b 2 ? 0 ,∴ b ? 1或b ? 0(舍去) ∴设直线 AB 的方程为 y ? kx ? 1

∴①可化为

x 2 ? kx ? 1 ? 0 ,∴ x1 x2 ? ?1

⑤,

设 ?AOB 的重心 G 为 ( x, y) ,则

x?

x1 ? x 2 ? 0 k ? 3 3 y?

⑥ , y?

y1 ? y 2 ? 0 k ( x1 ? x 2 ) ? 2 k 2 ? 2 ? ? 3 3 3

⑦,

由⑥⑦得

(3 x ) 2 ? 2 2 ,即 y ? 3 x 2 ? ,这就是 ?AOB 的重心 G 的轨迹方程. 3 3

(2)由弦长公式得 | AB |?

k 2 ? 1 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4x1 x2

把②⑤代入上式,得

| AB |? k 2 ? 1 ? k 2 ? 4 ,
1 k 2 ?1

设点 O 到直线 AB 的距离为 d ,则 d ?



∴ S ?AOB ?

1 ? | AB | ?d ? 2

k2 ? 4 , 2

∴ 当 k ? 0 , S ?AOB 有最小值, ∴ ?AOB 的面积存在最小值,最小值是 1 . 例 3:(2005· 江西) M 是抛物线上 y2=x 上的一点,动弦 ME、MF 分别交 x 轴于 A、B 两点,且 MA=MB. (1)若 M 为定点,证明:直线 EF 的斜率为定值; (2)若 M 为动点,且∠EMF=90°,求△ EMF 的重心 G 的轨迹方程.

2 解析: (1)设 M(y 0 ,y0) ,直线 ME 的斜率为 k(k>0),
2 则直线 MF 的斜率为-k,方程为 y ? y0 ? k ( x ? y0 ).
2 ? ? y ? y0 ? k ( x ? y0 ) ∴由 ? ,消 x得ky2 ? y ? y0 (1 ? ky0 ) ? 0 , 2 y ? x ? ?

解得 yF ?

1 ? ky0 (1 ? ky0 )2 ,? xF ? , k k2

∴ kEF

1 ? ky0 1 ? ky0 2 ? yE ? yF 1 k ?k (定值). ? ? ? k ?? 2 2 ?4ky0 xE ? xF (1 ? ky0 ) (1 ? ky0 ) 2 y0 ? k2 k2 k2

所以直线 EF 的斜率为定值.
2 (2) 当?EMF ? 90?时, ?MAB ? 45? , 所以k ? 1, 直线 ME 的方程为 y ? y0 ? k ( x ? y0 )
2 ? ? y ? y0 ? x ? y 0 由? 得 E((1 ? y0 )2 ,1 ? y0 ) 2 ? ?y ? x

同理可得 F ((1 ? y0 )2 , ?(1 ? y0 )).
2 2 ? ? (1 ? y0 )2 ? (1 ? y0 )2 2 ? 3 y0 xM ? xE ? xF y0 x ? ? ? , ? ? 3 3 3 设重心 G(x, y) ,则有 ? ? y ? yM ? yE ? yF ? y0 ? (1 ? y0 ) ? (1 ? y0 ) ? ? y0 , ? 3 3 3 ?

2 消去参数 y0 得 y ?

1 2 2 x ? ( x ? ). 9 27 3

【常见误区】
1.运算正确率太低, 这是考生在解解析几何问题中常出现的问题, 即会而不对. 2.抛物线中的焦点坐标与准线方程求解过程中常误求出二倍关系; 3.定点与定值问题总体思路不能定位,引入参变量过多,没有求简意识,使问题复杂化.

【基础演练】
x2 y2 ? ? 1(m n ? 0) 的离心率为 2,有一个焦点与抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点重合, 1.(2005· 湖北) 双曲线 m n
则 mn 的值为 A. ( B. )

3 16

3 8

C.

16 3

D.

8 3

2. (2005· 辽宁) 已知双曲线的中心在原点,离心率为 3 .若它的一条准线与抛物线 y 2 ? 4 x

的准线重合,则该双曲线与抛物线 y 2 ? 4 x 的交点到原点的距离是 A. 2 3 ? 6 B. 21 C. 18 ? 12 2 D.21





3. (2005· 全国 1)已知双曲线 线的离心率为 A.

x2 ? y 2 ? 1 (a ? 0) 的一条准线与抛物线 y 2 ? ?6x 的准线重合,则该双曲 2 a
( )

3 2

B.

3 2

C.

6 2

D.

2 3 3

4.(2005· 江苏) 抛物线 y ? 4 x 2 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是( ) A.

17 16

B.

15 16

C.

7 8

D.0

5. (2005· 上海)过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,它们的横坐标之和等于 5,则这样的直线 条. 6. (2005· 重庆) 连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 ①菱形 ②有 3 条边相等的四边形 ③梯形 ④平行四边形 ⑤有一组对角相等的四边形

(填写所有正确选项的序号).

7.抛物线以 y 轴为准线,且过点 M (a, b)(a ? 0) ,证明:不论 M 点在坐标平面内的位置如何变化,抛物 线顶点的轨迹的离心率是定值. 8. 已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) ,过动点 M (a,0) 且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交于不同两点 A, B ,

| AB |? 2 p ,
(1)求 a 取值范围; (2)若线段 AB 垂直平分线交 x 轴于点 N ,求 ?NAB 面积的最大值 9.(2003· 北京春,理 22)已知动圆过定点 P(1,0),且与定直线 l : x ? ?1 相切,点 C 在 l 上. (1)求动圆圆心的轨迹 M 的方程; (2)设过点 P,且斜率为- 3 的直线与曲线 M 相交于 A,B 两点. (i)问:△ ABC 能否为正三角形?若能,求点 C 的坐标;若不能,说明理由; (ii)当△ ABC 为钝角三角形时,求这种点 C 的纵坐标的取值范围.

3.4 直线与圆锥曲线的位置关系
【考点透视】
一、考纲指要 1.掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法,能够把研究直线与圆锥曲线的位置关系的问题转化 为研究方程组的解的问题; 2.会利用直线与圆锥曲线的方程所组成的方程组消去一个变量,将交点问题转化为一元二次方程根 的问题,结合根与系数关系及判别式解决问题; 3.能利用弦长公式解决直线与圆锥曲线相交所得的弦长的有关问题,会运用圆锥曲线的第二定义求 焦点弦长;

4.体会“设而不求”、“方程思想”和“待定系数”等方法. 二、命题落点 1.考查直线与椭圆相切、直线方程、直线到直线的距离等知识,如例 1; 2.考查直线与圆、圆锥曲线的位置关系.处理直线与曲线的位置关系的一般方法是方程思想:由直线方 程与曲线方程联立方程组,通过判别式△ 确定解的个数(交点个数),而直线与圆可以用圆心到直线距离与半 径的大小关系进行判定,如例 2; 3.考查椭圆的几何性质、椭圆方程,两条直线的夹角、点的坐标等基础知识,考查解析几何的基本 思想方法和综合解题能力,如例 3.

【典例精析】
2 例 1:(2005· 山东) 设直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 关于原点对称的直线为 l ? ,若 l ? 与椭圆 x ?

y2 ? 1的交点 4

为 A、B、 ,点 P 为椭圆上的动点,则使 ?PAB 的面积为 A.1 C.3 B.2 D.4

1 的点 P 的个数为( 2



解析:如右图,根据题意易得 AB ? 5

l' A

Y

? l ' 与 l 关系 O 对称

H P X B I

?l ' : 2 x ? y ? 2 ? 0
设过圆上一点且平行与 l ' 的直线方程为 l '' : y ? ?2 x ? b

? y ? ?2 x ? b 2 2 联立得: 8 x ? 4bx ? b ? 4 ? 0 ? 2 2 ? y ? 4 ? 4x
若 l '' 与椭圆相切则 ? ? 0 可求得: b ? ?2 2 即 l '': y ? 2x ? 2 2 ? 0 , l '' 到 l ' 的最小距离为

2( 2 ? 1) 1 ? 5 5




l '' 到 l ' 的最大距离为

2(1 ? 2) 1 ? 5 5

? S?PAB ?

1 1 1 ? ? AB ? h , ( h 为 P 到 AB 的距离) ,? AB ? 5 ,? h ? . 2 2 5

由①②式可知满足条件的点有两个. 答案: B 例 2: (2004· 北京春)若直线 mx+ ny-3=0 与圆 x2+y2=3 没有公共点,则 m,n 满足的关系式为_______;以(m,n) x2 y2 为点 P 的坐标,过点 P 的一条直线与椭圆 7 + 3 =1的公共点有____个.

解析: ∵直线 mx+ny-3=0 与圆 x2+y2=3 没有公共点,∴

3 > 3,解得 0<m2+n2<3. m2+n2

m2 n2 m2 n2 ∴ 7 + 3 < 3 + 3 <1,即点 P(m,n)在椭圆内部,故过 P 的直线必与椭圆有两个交点. 答案: 0<m2+n2<3,2. 例 3.(2005· 山东)已知动圆过定点 ? (1)求动圆圆心 C 的轨迹的方程; (2) 设 A、 B 是轨迹 C 上异于原点 O 的两个不同点, 直线 OA 和 OB 的倾斜角分别为 ? 和 ? , 当? , ? 变化且 ? ? ? =

p ?p ? ,0 ? ,且与直线 x ? ? 相切,其中 p ? 0 . 2 ?2 ?

? 时,证明直线 AB 恒过定点,并求出该定点的坐标. 4
p ?p ? ,0 ? 为 F ,过点 M 作直线 x ? ? 的垂线,垂足为 N , 2 ?2 ?
B
y

解析: (1)如图,设 M 为动圆圆心,记 ?

由题意知: MF ? MN 即动点 M 到定点 F

p 与定直线 x ? ? 的距离相等 2 由抛物线的定义知,点 M 的轨迹为抛物线,
其中 F ?

A M

N

p ?p ? ,0 ? 为焦点, x ? ? 为准线 2 ?2 ?
2

o

x
?p ? F ? ,0 ? ?2 ?

∴轨迹方程为 y ? 2 px( p ? 0) ;

x??

p 2

(2)如图,设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,由题意得 x1 , x2 ? 0 又直线 OA、OB 的倾斜角 ? 、 ? 满足 ? + ? =

? ? ,故 0< ? , ? < . 4 4

∴直线 AB 的斜率存在,否则 OA、OB 直线的倾斜角之和为 ? ,从而设其方程为 y ? kx ? b . 显然 x1 ?

y12 y2 , x2 ? 2 . 2p 2p
2 2

将 y ? kx ? b 与 y ? 2 px( P ? 0) 联立消去 x ,得 ky ? 2 py ? 2 pb ? 0 . 由韦达定理知 y1 ? y2 ? 由? ? ? ?

2p 2 pb , y1 ? y2 ? . k k

(*)

?
4

,得 tan

?
4

? tan(? ? ? ) =

tan ? ? tan ? 2 p( y1 ? y2 ) = . 1 ? tan ? tan ? y1 y2 ? 4 p 2

将(*)式代入上式整理化简可得: b ? 2 p ? 2 pk , 此时,直线 AB 的方程可表示为 y ? kx ? 2 p ? 2 pk 即 k ( x ? 2 p) ? ? y ? 2 p ? ? 0 ,

∴直线 AB 恒过定点 ? ?2 p, 2 p ? .

【常见误区】
1.注意数形结合思想的应用,比如直线过定点时,要考虑定点与曲线的位置关系; 2.考查直线和双曲线的概念和性质,平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.向量的知 识考生常不能灵活应用。

【基础演练】
x2 1.(2004· 全国 I,理 7 文 7) 椭圆 4 +y2=1 的两个焦点为 F1、F2,过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交,一个交点 ???? ? 为 P,则 | PF2 | = ( ) 3 7 A. 2 B. 3 C.2 D.4 2.(2004· 全国 I,理 8 文 8)设抛物线 y2=8x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点,则直 线 l 的斜率的取值范围是 ( ) 11 A.[-2,2] B.[-2,2] C.[-1,1] D.[-4,4] 3. (2003· 湖南师大附中)已知双曲线 x 2 ? 4 y 2 ? 16, 则过p(2,1) 且与双曲线有且仅有一个公共点的直线的条 数为有 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4

y2 x2 4.(2004· 南通密卷)双曲线 2 ? 2 =1(a>0,b>0)的两焦点为 F1 、F2,| F1F2|=2c,P 为双曲线 a b
上一点,PF1⊥PF2,则 P 到实轴的距离等于 A. ( C. )

b c

2

B.

a c

2

b a

2

D.

c a

2

5.(2004· 年天津)如果过两点 A(a,0)和 B(0,a)的直线段与抛物线 y=x2-2x-3 没有交点,那么实数 a 的取值范围 是 . 6.(2004· 重庆) 对任意实数 k,直线: y ? kx ? b 与椭圆: ? 围是 .
? x ? 3 ? 2 cos ? ? (0 ? ? ? 2? ) 恒有公共点,则 b 取值范 ? ? y ? 1 ? 4sin ?

x2 7.(2004· 全国1)设双曲线 C:a2-y2=1(a>0)与直线 l:x+y=1 相交于两个不同的点 A、B. (1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围; (2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P,且 PA ?
??? ? ? 5 ??? PB. 求 a 的值. 12

8. (2005· 重庆)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0) ,右顶点为 ( 3,0) (1)求双曲线 C 的方程;

A? O B ? 2(其中 O 为原点). (2)若直线 l : y ? kx ? 2 与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B,且 O
求 k 的取值范围. 9. (2004· 全国3)设椭圆
x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点是 F1(-c,0)与 F2(c,0)(c>0),且椭圆上存在点 P,使得直线 PF1 m ?1

??? ? ??? ?

与直线 PF2 垂直. (1)求实数 m 的取值范围; |QF2| (2)设 L 是相应于焦点 F2 的准线,直线 PF2 与 L 相交于点 Q.若 |PF | =2- 3,求直线 PF2 的方程.
2

3.5 轨迹方程的求法
【考点透视】
一、考纲指要 1.掌握求轨迹方程的两种基本方法——直接法和定义法; 2.掌握直接法求轨迹方程的基本步骤; 3.掌握求轨迹方程的另几种方法——相关点法(代入法) 、参数法(交轨法) ; 4.学会用适当的参数去表示动点的轨迹,掌握常见的消参法. 二、命题落点 1.运用向量坐标运算考察轨迹方程的求解,如例 1; 2. 考查椭圆与抛物线的基础知识,即标准方程与图形的基本关系,同时,考查代数式的恒等变形及简单的 逻辑推理能力,如例 2; 3.考查圆锥曲线的概念、方程与性质,以及向量、定比分点坐标公式的应用,考查考生的推理能力和运 ???? ? ???? 算能力.如例 3 求直线 l 的斜率,要充分利用条件“ MQ ? 2 QF ”实施几何特征向数量 关系的转化:首先向量 特征可转化为定比分点坐标问题,但要注意内、外分点两种情形的讨论;其次设直线斜率为 k,用 k、m 表示 出 Q 点的坐标;最后由 Q 点在椭圆上,列方程即可求解.

【典例精析】
??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

例 1:(2004· 辽宁,6)已知点 A(-2,0)、B(3,0),动点 P(x,y)满足 PA ? PB ? x 2 ,则点 P 的轨迹是( A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 解析 ∵ PA =(x+2,y), PB =(x-3,y),∴ PA ·PB =(x+2)(x-3)+y2=x2,化简,得 y2=x+6. 答案:D 例 2: (2003· 北京春)在同一坐标系中,方程 a 2 x2 ? b2 y 2 ? 1 与 ax ? by 2 ? 0

??? ? ??? ?



(a ? b ? 0) 的曲线大致是 (



y
O

y
O

y
O

y
O

x
A B

x
C

x
D

x

解析:将方程 a2 x2 ? b2 y 2 ? 1 与 ax ? by 2 ? 0 转化为标准方程:

a x2 y2 ? ? 1 , y 2 ? ? x .因为 a ? b ? 0 ,因此 1 1 b a 2 b2

1 1 ? ? 0 ,所以有:椭圆的焦点在 y 轴,抛物线的开口向左,得 D 选项. b a

答案: D 1 例 3:(2004· 江苏)已知椭圆的中心在原点,离心率为2,一个焦点是 F(-m,0)(m 是大于 0 的常数). (1)求椭圆的方程;
???? ? ???? (2)设 Q 是椭圆上的一点,且过点 F、Q 的直线 l 与 y 轴交于点 M.若 MQ ? 2 QF ,求直线 l 的斜率.

x2 y2 c 1 解析:(1)设所求椭圆方程为a2+b2=1(a>b>0).由已知条件,得 c=m, a=2,所以 a=2m, b= 3m, x2 y2 故所求椭圆方程是4m2+3m2=1. ???? ? ??? ? (2)设 Q(x0,y0),直线 l:y=k(x+m),则点 M(0,km). 当 MQ ? 2QF 时,由于 F(-m,0),M(0,km),由定比分点坐标

公式,得

4m2 k2m2 9 9 0-2m 2m km+0 1 x0= 1+2 =- 3 , y0= 1+2 =3km. 又点 Q 在椭圆上,∴ 4m2 + 3m2 =1,解得 k=±2 6. ???? ? ??? ? 0+(-2)×(-m) km 当 MQ ? ?2QF 时,x0= =-2m, y0=1-2=-km. 1-2 4m2 k2m2 于是 4m2+ 3m2 =1,解得 k=0.故直线 l 的斜率是 0 或±2 6.

【常见误区】
1.曲线的定义是定义法求轨迹方程的关键, 但考生在解题中常忽略定义法求轨迹,致使简易的轨迹方 程求法变得复杂; 2.轨迹与轨迹方程是不同的概念, 求轨迹时需要将轨迹的方程及具体形状焦点等位置关系说清楚,轨 迹方程则需要注明一些带有限制条件的点,或方程求解过程中忽略的一些轨迹,这一点要切记.

【基础演练】
1.(2002· 京皖春)到两个坐标轴距离相等的点的轨迹方程是 ( ) A.x-y=0 B.x+y=0 C.|x|-y=0 D.|x|-|y|=0 1 2.(2004· 全国4)已知椭圆的中心在原点,离心率 e=2,且它的一个焦点与抛物线 y2=-4x 的焦点重合,则此椭圆 方程为 ( ) x2 y2 x2 y2 x2 2 x2 2 A. 4 + 3 =1 B. 8 + 6 =1 C. 2 +y =1 D. 4 +y =1 2 3.(2004· 浙江)曲线 y =4x 关于直线 x=2 对称的曲线方程是 ( ) A.y2=8?4x B.y2=4x?8 C.y2=16?4x D.y2=4x?16 4.(2002· 京皖春,3)已知椭圆的焦点是 F1,F2,P 是椭圆上的一个动点,如果延长 F1P 到 Q,使得|PQ|=|PF2|,那么 动点 Q 的轨迹是 ( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 5.(2003· 成都调研)在直角坐标系中,到两个坐标轴的距离之和为定值 1 的点的轨迹是 . x2 y2 6.(2003· 南通三模)设双曲线a2-b2=1 (a,b>0)两焦点为 F1、 、F2,点 Q 为双曲线上除顶点外的任一点,过焦点 F1 作∠F1QF2 的平分线的垂线,垂足为 P,则 P 点轨迹是 . 7.(2004· 北京春)已知点 A(2,8), B(x1,y1),C(x2,y2)在 y 抛物线 y2=2px 上,△ ABC 的重心与此抛物线的焦点 F 重 B 合(如图) (1)写出该抛物线的方程和焦点 F 的坐标; (2)求线段 BC 中点 M 的坐标; A (3)求 BC 所在直线的方程. x M O F

C

y2 ? 1 ,过点 M(0,1)的直线 l 交椭圆于点 A、B,O 是坐标原点,点 P 满足 8.(2004· 辽宁) 设椭圆方程为 x ? 4 ??? ? 1 ??? ? ??? ? 1 1 OP ? (OA ? OB) ,点 N 的坐标为 ( , ) ,当 l 绕点 M 旋转时,求: 2 2 2
2

(1)动点 P 的轨迹方程;

(2) | NP | 的最小值与最大值. 9. (2004· 重庆) 设 p ? 0 是一常数,过点 Q(2 p,0) 的直线与抛物线 y 2 ? 2 px 交于相异两点 A、 B,以线段 AB 为直 径作圆 H(H 为圆心).试证抛物线顶点在圆 H 的圆周上;并求圆 H 的面积最小时直线 AB 的方程.

3.6 圆锥曲线的应用
【考点透视】
一、考纲指要 1.会按条件建立目标函数研究变量的最值问题及变量的取值范围问题,注意运用“数形结合”、“几何 法”求某些量的最值. 2.进一步巩固用圆锥曲线的定义和性质解决有关应用问题的方法. 二、命题落点 1.考查地理位置等特殊背景下圆锥曲线方程的应用,修建公路费用问题转化为距离最值问题数学模型 求解,如例 1; 2.考查直线、抛物线等基本知识,考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力,如例 2; 3.考查双曲线的概念与方程,考查考生分析问题和解决实际问题的能力,如例 3.

【典例精析】
例 1:(2004· 福建)如图,B 地在 A 地的正东方向 4km 处,C 地 在 B 地的北偏东 北 C 东 P 300 方向 2km 处,河流的沿岸 PQ(曲线)上任意一点到 A 的距离比 到 B 的距离远 2km.现要在曲线 PQ 上选一处 M 建一座码头,向 B、 C 两地转运货 物 . 经测算 , 从 M M 到 B、M 到 C 修建公路的费用分别是 a 万元/km、2a 万元/km, 那么修建这两条 A B 公路的总费用最低是( ) A.(2 7-2)a 万元 B.5a 万元 Q C. (2 7+1)a 万元 D.(2 3+3)a 万元 北 E P 解析:设总费用为 y 万元,则 y=a· MB+2a· MC 东 C 2km., ∵河流的沿岸 PQ(曲线)上任意一点到 A 的距离比到 B 的距离远 D M ∴曲线 PG 是双曲线的一支,B 为焦点,且 a=1,c=2. H G 过 M 作双曲线的焦点 B 对应的准线 l 的垂线,垂足为 D(如图).由双 A 曲线的第 B MB 二定义,得MD=e,即 MB=2MD. Q ∴y= a· 2MD+ 2a· MC=2a·(MD+MC)≥2a· CE.(其中 CE 是点 C 到准线 l 的垂线段). 2 a 1 1 5 ∵CE=GB+BH=(c- c )+BC· cos600=(2-2)+2×2=2. ∴y≥5a(万元). 答案:B. 例 2:(2004· 北京,理 17)如图,过抛物线 y2=2px(p>0)上一定点 P(x0,y0)(y0>0),作两条直线分别交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2). (1)求该抛物线上纵坐标为

p 的点到其焦点 F 的距离; 2
y P O x

(2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时, 求
y1 ? y2 的值,并证明直线 AB 的斜率是非零常数. y0

p p 解析:(1)当 y=2时,x=8. p 又抛物线 y2=2px 的准线方程为 x=-2,由抛物线定义得, 所求距离为
p p 5p . ? (? ) ? 8 2 8 (2)设直线 PA 的斜率为 kPA,直线 PB 的斜率为 kPB.

A B

由 y12=2px1,y02=2px0,相减得: ( y1 ? y0 )( y1 ? y0 ) ? 2 p( x1 ? x0 ) , 故 k PA ?
y1 ? y0 2p 2p ? ( x1 ? x0 ) .同理可得 k PB ? ( x2 ? x0 ) , x1 ? x0 y1 ? y0 y 2 ? y0

由 PA、PB 倾斜角互补知 k PA ? ?k PB 所以 y1 ? y2 ? ?2 y0 , 故
y1 ? y2 ? ?2 . y0

, 即

2p 2p ?? , y1 ? y0 y 2 ? y0

设直线 AB 的斜率为 kAB, 由 y2 2 ? 2 px2 , y12 ? 2 px1 ,相减得
( y2 ? y1 )( y2 ? y1 ) ? 2 p( x2 ? x1 ) , 所以 k AB ?

y2 ? y1 2p ? ( x1 ? x2 ) . x2 ? x1 y1 ? y2

将 y1 ? y2 ? ?2 y0 ( y0 ? 0) 代入得 k AB ?

2p p ?? , y1 ? y2 y0

所以 kAB 是非零常数. 例 3:(2004· 广东)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同 时听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚 4s.已知各观测点到该中心的距离都是 1020m, 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为 340m/s,相关各点均在同一平面上) 解析:如图,以接报中心为原点 O,正东、正北方向为 x 轴、y 轴正向, 建立直角坐 标 系 . 设 A 、 B 、 C 分 别 是 西 、 东 、 北 观 测 点 , 则 A( - y P 1020,0),B(1020,0),C(0,1020). C 设 P(x,y)为巨响发生点,由 A、C 同时听到巨响声,得|PA|=|PC|, O 故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上,PO 的方程为 y=-x,因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸 A A Bx 声,故|PB|-|PA|=340×4=1360. N x2 y2 由双曲线定义知 P 点在以 A、B 为焦点的双曲线a2-b2=1上, 依题意得 a=680,c=1020,∴b2=c2-a2=10202-6802=5×3402, x2 y2 故双曲线方程为6802-5×3402=1.用 y=-x 代入上式,得 x=±680 5, ∵|PB|>|PA|,∴x=-680 5,y=680 5, 即 P(-680 5,680 5), 故 PO=680 10. 答:巨响发生在接报中心的西偏北 450 距中心 680 10 m 处.

【常见误区】
1. 圆锥曲线实际应用问题多带有一定的实际生活背景, 考生在数学建模及解模上均不同程度地存在着 一定的困难, 回到定义去, 将实际问题与之相互联系,灵活转化是解决此类难题的关键; 2.圆锥曲线的定点、定量、定值等问题是隐藏在曲线方程中的固定不变的性质, 考生往往只能浮于表 面分析问题,而不能总结出其实质性的结论,致使问题研究徘徊不前,此类问题解决需注意可以从特殊到一般 去逐步归纳,并设法推导论证.

【基础演练】
1.(2005· 重庆) 若动点( x, y )在曲线

x2 y2 ? 2 ? 1(b ? 0) 上变化,则 x 2 ? 2 y 的最大值为 4 b
( )

?b 2 ? ?4 A. ? 4 ?2b ?

(0 ? b ? 4), (b ? 4)

?b 2 ? ?4 B. ? 4 ?2b ?

(0 ? b ? 2), (b ? 2)

b2 C. ?4 4

D.2 b )

? 2.(2002· 全国)设 ? ? (0, ) ,则二次曲线 x2 cot ? ? y 2 tan ? ? 1 的离心率的取值范围为( 4 1 1 2 A. (0, ) B. ( , ) 2 2 2 2 C. ( , 2) D. ( 2, ??) 2 3.(2004· 精华教育三模)一个酒杯的轴截面是一条抛物线的一部分,它 的方程是 x2=2y,y∈[0,10] 在杯内放入一个清洁球,要求清洁球能 擦净酒杯的最底部(如图),则清洁球的最大半径为( ) 1 A. B.1 C. 2 D.2 2

x2 y 2 ? ? 1 上有一点 P,F1、F2 是椭圆的左右焦点,△ F1PF2 为直角三角形,则这样 4. (2004· 泰州三模)在椭圆 40 20
的点 P 有 A.2 个 B.4 个
2 2

C.6 个

( ) D.8 个

5. (2004· 湖南) 设 F 是椭圆

x y ? ? 1 的右焦点,且椭圆上至少有 21 个不同的点 Pi(i=1,2,3,…),使|FP1|,|FP2|, 7 6

|FP3|,…组成公差为 d 的等差数列,则 d 的取值范围为 . 6 . (2004·上 海 ) 教 材 中 “ 坐 标 平 面 上 的 直 线 ” 与 “ 圆 锥 曲 线 ” 两 章 内 容 体 现 出 解 析 几 何 的 本 质 是 . 7.(2004· 浙江)已知双曲线的中心在原点, y 右顶点为 A(1,0),点 P、Q 在双曲线的右支上, 点 M(m,0)到直线 AP 的距离为 1, (1)若直线 AP 的斜率为 k,且|k|?[ 求实数 m 的取值范围; (2)当 m= 2 +1 时,△ APQ 的内心恰好是点 M, 求此双曲线的方程. 8. (2004· 上海) 如图, 直线 y= 线 y=
3 , 3 ], 3

O

A

x

1 x 与抛物 2

y

1 2 x -4 交于 A、B 两点, 线段 AB 的垂直平 8
O A Q

B P x

分线与直线 y=-5 交于 Q 点. (1)求点 Q 的坐标; (2)当 P 为抛物线上位于线段 AB 下方 (含 A、B) 的动点时, 求 ΔOPQ 面积的最大值.

9.(2004· 北京春) 2003 年 10 月 15 日 9 时,“神舟”五号载人飞船发射升空,于 9 时 9 分 50 秒准确进入预定轨 道,开始巡天飞行.该轨道是以地球的中心 F2 为一个焦点的椭圆.选取坐标系如图所示,椭圆中心在原点. 近地点 A 距地面 200km,远地点 B 距地面 350km.已知地球半径 R=6371km. (1)求飞船飞行的椭圆轨道的方程; (2) 飞船绕地球飞行了十四圈后,于 16 日 5 时 59 分返回舱与推进舱分离,结束巡天飞行,飞船共巡天飞行 了约 6 ? 10 km ,问飞船巡 天飞行的平均速度是多少 km/s?(结果精确 到 1km/s)(注:km/s 即千米/秒)
5
y

B F1O F2

A

x

本章测试题
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分. ) 1.如果 A(3,1), B(?2, k ), C (8,11) 三点在同一条直线上,那么 k 的值是 ( )

A.-6 B.-7 C.-8 D.-9 2.有 5 辆 6 吨的汽车和 4 辆 4 吨的汽车,要运送最多货物,完成这项运输任务的线性目标 函数是 ( ) A. z ? 5 x ? 4 y B. z ? 6 x ? 4 y C. z ? 5 x ? 6 y D. z ? 4 x ? 4 y 3.曲线

x2 y2 x2 y2 ? ? 1(m ? 9) 一定有 ? ? 1 与曲线 25 ? m 9 ? m 25 9
B.相等的焦距 C.相等的离心率
?

( D.相同的准线



A.相等的长轴

4.将直线 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 绕着它与 y 轴的交点逆时针旋转 45 的角后,在 x 轴上的截距是 ( A. )

4 5

B.

2 5

C.

5 2

D.

5 4
( )

5.在同一坐标系中,方程

x2 y2 ? ? 1与ax ? by 2 ? 0(a ? b ? 0) 的曲线大致是 a2 b2

6.双曲线的渐近线为

x y ? ? 0 ,且过点 ( 3,2) ,则此双曲线的共轭双曲线的方程为 3 2
( ) B.

A.

x y ? ?1 9 4

2

2

x y ? ?1 3 2

2

2

C.

x y ? ?1 4 9

2

2

D.

x y ? ?1 2 3

2

2

7.已知直线 ax ? by ? c ? 0(abc ? 0)与圆x 2 ? y 2 ? 1 相切,则三条边长分别为 | a |, | b |, | c | 的三角形 ( ) D.不存在 )

A.是锐角三角形

B.是直角三角形 C.是钝角三角形
2

8.一动圆圆心在抛物线 x ? ?8 y 上,且动圆恒与直线 y ? 2 ? 0 相切,则动圆必过定点( A. ( 4,0) B. (0,?4) C. ( 2,0) D. (0,?2)

9.已知 ? ? (? , 3 ? ) ,直线 l1 : x ? y 1 ? cos? ? b ? 0 ,直线 l 2 : x sin ? ? y 1 ? cos? ? a
2

? 0 , l1 与 l 2 的位置关系是
A.平行 10.椭圆 B.垂直 C.重合

( D.相交但不垂直



x2 y2 ? ? 1 的两个焦点 F1 , F2 三等分它的两条准线间的距离,那么它的离心率是 a2 b2
( )

3 6 6 C. D. 3 3 6 2 11.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点弦 AB 的两端点为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则式子 y1 y 2 的值一定等于 ( ) x1 x 2
A. B. A. 4 B. ? 4 C. p 2 D. ? p 12.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F ( 7 ,0), 直线 y ? x ? 1 与其相交于 M、N 两点, MN 中点的横坐标为 ?

3 2

2 , 则此双曲线的方程是 3





A.

x2 y2 ? ?1 3 4

B.

x2 y2 ? ?1 4 3

C.

x2 y2 ? ?1 5 2

D.

x2 y2 ? ?1 2 5

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分. ) 13.抛物线的顶点在原点,对称轴是坐标轴,且焦点在直线 x ? y ? 2 ? 0 上,则此抛物线方程为__________________. 14.如图,F1,F2 分别为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点, a2 b2

点 P 在椭圆上,△ POF2 是面积为 3 的正三角形,则

b 2 的值是

.

15.若直线 l 沿 x 轴负方向平移 3 个单位,再沿 y 轴正方向平移一个单位后,又回到原来的位置,那么直 线 l 的斜率为 __________ ______ . 16.给出问题:F1、F2 是双曲线

x2 y2 ? =1 的焦点,点 P 在双曲线上.若点 P 到焦点 F1 的距 16 20

离等于 9,求点 P 到焦点 F2 的距离.某学生的解答如下: 双曲线的实轴长为 8,由||PF1|-|PF2||=8,即|9-|PF2||=8,得|PF2|=1 或 17. 该学生的解答是否正确?若正确,请将他的解题依据填在下面空格内,若不正确,将正确的结果填在 下面空格内. ___________________________________________________________________________. 三、解答题(本题共 74 分. ) 17. (本小题满分 12 分)已知椭圆的焦点为 F1 (0,?1) 和 F2 (0,1) ,直线 y ? 4 是椭圆的一条准线. (1)求椭圆的方程; (2)又设 P 在此椭圆上,且 | PF1 | ? | PF2 |? 1 ,求 tan?F1 PF2 的值.

18. (本小题满分 12 分)已知圆 C : x2 ? y 2 ? 4x ?14 y ? 45 ? 0 , (1)若 M 为圆上任一点, Q(?2,3) ,求 MQ 的最大值和最小值; (2)求 u ? x ? 2 y 的最大值和最小值; (3)求 v ?

y ?3 的最大值. x?2

19. (本小题满分 12 分)已知点 A(2,0) 、 B(0,6) , O 为坐标原点. (1)若点 C 在线段 OB 上,且 ?BAC ?

? ,求 ?ABC 的面积; 4

( 2 ) 若 原 点 O 关 于 直 线 AB 的 对 称 点 为 D , 延 长 BD 到 P , 且 | PD |? 2 | BD | . 已 知 直 线 l :

ax ? 10y ? 84 ? 108 3 ? 0 经过点 P ,求直线 l 的倾斜角.
20. (本小题满分 12 分)如图, F 为抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点, A(4,2) 为抛物线内一定点, P 为抛物线 上一动点,且 | PA | ? | PF | 的最小值为 8.

y
P A O F

(1)求该抛物线方程; (2)如果过 F 的直线 l 交抛物线于 M 、 N 两点, 且 | MN |? 32 ,求直线 l 倾斜角的取值范围.

x

21. (本题满分 12分)如图,某隧道设计为双向四车道,车道总宽 22 米,要求通行车辆限高 4.5 米,隧 道全长 2.5 千米,隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状. (1)若最大拱高 h 为 6 米,则隧道设计的拱 宽 l 是多少? (2)若最大拱高 h 不小于 6 米,则应如何设 计拱高 h 和拱宽 l ,才能使半个椭圆形隧道的 土方工程量最小? (半个椭圆的面积公式为 S ?

?
4

lh ,柱体体积为:底面积乘以高.)

22 . ( 本 题 满 分 14 分 ) 在 以 O 为 原 点 的 直 角 坐 标 系 中 , 点 A(4,?3) 为 ?OAB 的 直 角 顶 点 . 已 知

| AB |? 2 | OA | ,且点 B 的纵坐标大于零.
(1)求向量 AB 的坐标; (2)求圆 x ? 6x ? y ? 2 y ? 0 关于直线 OB 对称的圆的方程;
2 2

(3)是否存在实数 a ,使抛物线 y ? ax ? 1 上总有关于直线 OB 对称的两个点?若不存
2

在,说明理由:若存在,求 a 的取值范围.

参考答案
3.1 椭圆 1. B 2. C 3. D 4. A 5. 7. (1)设点 P 的坐标为 ( x, y). 由 P ( x, y ) 在椭圆上,得

x2 ?

4 2 y ?1 3

6. 8 3cm 12cm y

1 2
P Q

| F1 P |? ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? b 2 ? ? (a ? c 2 x) . a

b2 2 x a2

F1

O

F2

x

由 x ? a, 知a ?

c c x ? ?c ? a ? 0 ,所以 | F1 P |? a ? x. a a

(2)设点 T 的坐标为 ( x, y). 当 | PT |? 0 时,点( a ,0)和点(- a ,0)在轨迹上. 当| PT |? 0且 | TF2 |? 0 时,由 PT ? TF2 ? 0 ,得 PT ? TF2 .又 | PQ |?| PF2 | ,所以 T 为线段 F2Q 的 中点.在△ QF1F2 中, | OT |?

1 | F1Q |? a ,所以有 x 2 ? y 2 ? a 2 . 综上所述,点 T 的轨迹 C 的方程是 2

x2 ? y2 ? a2.
(3)C 上存在点 M( x0 , y0 )使 S= b 2 的充要条件是
2 2 ? x0 ? y0 ? a2 , ? ?1 2 ? ? 2c | y 0 |? b . ?2

③ ④

由④得 | y 0 |?

b2 b4 b2 b2 2 . 上式代入③得 x0 ? a 2 ? 2 ? (a ? )(a ? ) ? 0. c c c c
2 当 a ? b 时, c

2 2 2 于是,当 a ? b 时,存在点 M,使 S= b ;当 a ? b 时,不存在满足条件的点 M. c c

记 k1 ? k F M ? 1

y0 y0 ,由 | F1 F2 |? 2a, 知 , k 2 ? k F2 M ? x0 ? c x0 ? c

?F1 MF2 ? 90? ,所以 tan?F1 MF2 ?|

k1 ? k 2 |? 2. 1 ? k1k 2

8. (1)因为 A、B 分别是直线 l: y ? ex ? a 与 x 轴、y 轴的交点,所以 A、B 的坐标分别

? y ? ex ? a, ? x ? ?c, b2 a ? 2 ? 2 2 2 2 这里c ? ? c , . 所以点 M 的坐标是( ). (? ,0), (0, a). 由? x 得 a ? b ? y b a e ? ? 1 , y ? . ? 2 ? a b2 ? ?a
由 AM ? ? AB得(?c ?

a b2 a , ) ? ? ( , a). e a e

a ?a ? c ? ? , ? ?e e 即? 2 ? b ? ? a, ? ?a
(2)当 ? ?

解得? ? 1 ? e 2 .

3 1 时 , c ? , 所 以 a ? 2c. 2 4
椭圆方程为

由 △ MF1F2 的 周 长 为 6 , 得 2a ? 2c ? 6. 所 以

a ? 2, c ? 1, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3.

x2 y2 ? ? 1. 4 3

(3) 因为 PF1⊥l,所以∠PF1F2=90°+∠BAF1 为钝角,要使△ PF1F2 为等腰三角形,必有|PF1|=|F1F2|,即

1 | e(?c) ? 0 ? a | | a ? ec | 1 | PF1 |? c. 设 点 F1 到 l 的 距 离 为 d , 由 | PF1 |? d ? ? ? c, 得 2 2 1 ? e2 1 ? e2
1 ? e2 1 ? e2 ? e.
2 所以 e ?

1 2 2 , 于是 ? ? 1 ? e 2 ? . 即当 ? ? 时, △ PF1F2 为等腰三角形. 3 3 3

9. ( 1 ) 依 题 意 , 可 设 直 线 AB 的 方 程 为 y ? k ( x ? 1) ? 3, 代入3x 2 ? y 2 ? ? , 整 理 得

(k 2 ? 3) x 2 ? 2k (k ? 3) x ? (k ? 3) 2 ? ? ? 0.



设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ),则x1 , x2是方程 ① 的 两 个 不 同 的 根 , ? ? ? 4[? (k 2 ? 3) ? 3(k ? 3) 2 ] ? 0



且x1 ? x 2 ?

x ? x2 2k (k ? 3) ? 1,? k (k ? 3) ? k 2 ? 3. 解得 .由N (1,3) 是线段 AB 的中点,得 1 2 2 k ?3

k=-1 , 代 入 ② 得 , ? >12 , 即 ? 的 取 值 范 围 是 ( 12 , + ? ) . 于 是 , 直 线 AB 的 方 程 为

y ? 3 ? ?( x ? 1),即x ? y ? 4 ? 0.
( 2 ) ?CD垂直平分AB,?直线CD的方程为y ? 3 ? x ? 1,即x ? y ? 2 ? 0. 代入椭圆方程,整理得

4 x 2 ? 4 x ? 4 ? ? ? 0. ③

又设C( x3 , y3 ), D( x4 , y4 ),CD的中点为M ( x0 , y0 ),则x3 , x4是方程③的两根,
? x3 ? x4 ? ?1, 且x0 ? 1 1 3 1 3 ( x3 ? x4 ) ? ? , y0 ? x0 ? 2 ? , 即M (? , ). 2 2 2 2 2

于是由弦长公式可得 | CD |? 1 ? (? ) ? | x3 ? x4 |?
2

1 k

2(? ? 3).



将直线 AB 的方程 x ? y ? 4 ? 0, 代入椭圆方程得4 x 2 ? 8x ? 16 ? ? ? 0.
2 同理可得 | AB |? 1 ? k ? | x1 ? x 2 |?



2(? ? 12 ) .



?当? ? 12时, 2(? ? 3) ? 2(? ?12),? | AB |?| CD | .
假设在 ? >12,使得 A、B、C、D 四点共圆,则 CD 必为圆的直径,点 M 为圆心.点 M 到直线 AB 的距

离为 d ?

| x0 ? y 0 ? 4 | 2

1 3 |? ? ?4| 3 2 ? 2 2 ? . 2 2



于是,由④、⑥、⑦式和勾股定理可得

AB 2 9 ? ? 12 ? ? 3 CD 2 | ? ? ? ?| | . 2 2 2 2 2 | CD | 故当 ? ? 12 时,A、B、C、D 四点均在以 M 为圆心, 为半径的圆上. 2 | MA | 2 ?| MB | 2 ? d 2 ? |
3.2 双曲线 1.C 2. C 3. B 4.
2 2

D 5. 2

6. ③④

13 x y ? ? 1 中 , a ? 5 , b ? 1 2c ,? , 1 3∴ e ? , 设 P( x0 , y0 ) 满 足 条 件 , 则 5 25 144 ? | PF1 | 13 ? d ? 5 ? 25 65 ? 2 ?| PF1 | ? d | PF2 | ,得 | PF1 |? ,| PF2 |? ,| F2 F1 |? 26 , 4 4 ?| PF | ? | PF |? 10 2 1 ? ? ? 45 | PF1 | ? | PF2 |? ? 26 ?| F2 F1 | ,与三角形两边之和大于第三边矛盾.不存在满足条件的点 P . 4 8. 双曲线在第一、第三象限的渐近线方程为: bx ? ay ? 0 ① 设 l 方程为 ax ? by ? m ? 0 .∵ F (c, 0) 在 l 上,∴ m ? ?ac , l 方程为 ax ? by ? ac ? 0 ②,
7. ∵ 双 曲 线

a 2 ab a2 , ) ,即 P 在双曲线的右准线 x ? 上. c c c 2 2 ?x y ? 2 ? 2 ?1 4 4 2 4 2 2 2 4 (2)由 ? a ,得 (b ? a ) x ? 2a cx ? a (a c ? b ) ? 0 , b ?ax ? by ? ac ? 0 ?
联立①②得 P (

l 与双曲线的左、右支的交点分别为 A, B , x1 x2 ?

?a 2 (a 2 c 2 ? b 4 ) ?0, b4 ? a 4
2

b 4 ? a 4 ? 0 , b 2 ? a 2 ? 0 ,∴ c 2 ? 2a 2 ,∴ e ? 2 .

x2 k ? ,设 P( x, y) , 9. 由双曲线渐近线方程设双曲线方程为 x ? 4 y ? k ,∴ y ? 4 4 5 k 2 2 2 2 ∵ PA ? ( x ? 5) ? y ? ( x ? 4) ? 5 ? , 4 4 当 k ? 0 时,有 | x |? k ,当 k ? 0 时,有 x ? R ,
2 2

①当 k ? 16 时, x ?

k , PA2min ? ( k ? 5)2 ? 6 , k ? (5 ? 6)2 ,

2 ②当 0 ? k ? 16 时, x ? 4 , PA min ? 5 ?

k ? 6 ,无解, 4

k ? 6 , k ? ?4 , 4 所求双曲线方程为 x2 ? 4 y2 ? ?4, x2 ? 4 y 2 ? (5 ? 6)2 .
2 ③当 k ? 0 时, x ? 4 , PA min ? 5 ?

3.3 抛物线 1. A 2. B 3. D 4. B 5. 有且仅有两条 6. ②③⑤

7. 设抛物线的焦点 F 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,根据抛物线的定义可知,点 M (a, b) 到点

F ( x0 , y0 ) 的距离等于点 M 到 y 轴的距离,则 ( x0 ? a) 2 ? ( y0 ? b) 2 ? a 2 ①
又设抛物线顶点 A 的坐标为 ( x, y ) ,∵ A 为线段 OF 的中点,则 x0 ? 2x, y0 ? y , 代入①得 (2 x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? a2 ,

a ( x ? )2 2 2 ? ( y ? b) ? 1 , 即抛物线的顶点的轨迹方程为: a2 a2 4
∵ a ? 0 ,∴抛物线顶点的轨迹是椭圆,其中长半轴长为 | a | ,短半轴长为

|a | , 2

3 a | a | 3 3 2 2 2 ? 则半焦距 c ? | a | ?( 为定值. ) ? | a | ,所以它的离心率 e ? |a | 2 2 2
8. (1)由题知 l 的方程为 y ? x ? a ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,

? y 2 ? 2 px 2 由? ,得 y ? 2 py ? 2ap ? 0 , ?y ? x ? a p 2 ∴ ? ? 4 p ? 8ap ? 0 ,得 a ? ? , 2 ∵ y1 ? y2 ? 2 p, y1 y2 ? ?2ap ,

1 | y1 ? y2 |? 2 2( p 2 ? 2ap) ? 2 p , 2 k p p p 得 a ? ? ,∴ a 取值范围 {a | ? ? a ? ? } . 4 2 4 (2) AB 的中点 ( p ? a, p) ,∴线段 AB 垂直平分线方程: y ? ? x ? 2 p ? a , ∴ N (2 p ? a, 0) , 1 S?NAB ? MN | y1 ? y2 |? 2 p p 2 ? 2ap ? 2 p 2 , 2 p 当 a ? ? 时 ?NAB 面积的最大值 2 p2 . 4
∴ ( y1 ? y2 ) ? 4 p ? 8ap , | AB |? 1 ?
2 2

9. (1)依题意,曲线 M 是以点 P 为焦点,直线 l 为准线的抛物线,所以曲线 M 的方程为 y 2 ? 4 x . (2)(i)由题意得,直线 AB 的方程为 y
? y ? ? 3( x ? 1) ? 消 y ? ? 3( x ? 1)由? 2 ? ? y ? 4x

y得
M ( x, y )

y2 ? 4x

N
2 3 3

1 2 3 A( , ) 3 3 P (0,1)

?1

o

1

2

3

x

1 3x 2 ? 10 x ? 3 ? 0, 解得x1 ? , x2 ? 3. 3

所以 A 点坐标为 ( 1 , 2 3 ) ,B 点坐标为(3, ?2 3 ),
3 3
16 | AB |? x1 ? x2 ? 2 ? . 3

假设存在点 C(-1,y),使△ ABC 为正三角形, 则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|,
(3 ? 1) 即? ? ? 16 ? ( y ? 2 3) 2 ? ( ) 2 , 3 ? 1 2 16 2 2 ?( ? 1) ? ( y ? ) ? ( )2 ? 3 3 ? 3
2

① ②

由①-②得 但y??

14 3 4 2 3 2 . 42 ? ( y ? 2 3)2 ? ( )2 ? ( y ? ) , 解得y ? ? 9 3 3

14 3 不符合①,所以由①,②组成的方程组无解. 9 因此,直线 l 上不存在点 C,使得△ ABC 是正三角形. ? ? y ? ? 3( x ? 1) 得y ? 2 3 , (ii)设 C(-1,y)使△ ABC 成钝角三角形,由 ? ? ? x ? ?1

即当点 C 的坐标为(-1, 2 3 )时,A,B,C 三点共线,故 y ? 2 3 . 又
1 2 3 2 28 4 3 y | AC |2 ? (?1 ? )2 ? ( y ? ) ? ? ? y2 3 3 9 3 16 256 . | AB |2 ? ( )2 ? 3 9

,

| BC |2 ? (3 ? 1)2 ? ( y ? 2 3)2 ? 28 ? 4 3 y ? y2

,

当 | BC |2 ?| AC |2 ? | AB |2 , 即 28 ? 4 3 y ? y2 ? 28 ? 4 3 y ? y2 ? 256 , 即 y ? 2 3时, ?CAB 为 钝 角 .
9 3 9

9



| AC |2 ?| BC |2 ? | AB |2 , 即 | A B2 | ? | A C2 |?
2 , 即 |BC |

28 4 3 256 ? y ? y2 ? 28 ? 4 3 y ? y 2 ? 9 3 9

, 即 y ? ? 10 3时,?CBA 为 钝 角 . 又
3

256 28 4 3 y 4 4 2 2 ? ? ? y 2 ? 28 ? 4 3 y ? y 2 , 即 y 2 ? 3 y ? ? 0,( y ? ) ?0. 9 9 3 3 3 3
3 或y ? 2 3 ( y ? 2 3) . 9

该不等式

无解,所以∠ACB 不可能为钝角. 因此,当△ ABC 为钝角三角形时,点 C 的纵坐标 y 的取值范围是 y ? ? 10 3.4 直线与圆锥曲线的位置关系 13 1. C 2. C 3. B 4. A 5. (-∞,- 4 ) 6. [-1,3]
? x2 2 ? ? y ? 1, 7. (1)由 C 与 l 相交于两个不同的点,故知方程组 ? a 2 ? x ? y ? 1. ? 有两个不同的实数解.消去 y 并整理得 (1-a2)x2+2a2x-2a2=0. ①
?1 ? a 2 ? 0. ? 所以 ? 4 解得0 ? a ? 2且a ? 1. 2 2 ? ?4a ? 8a (1 ? a ) ? 0. 双曲线的离心率
e? 1 ? a2 ? a 1 6 ? 1.? 0 ? a ? 2且a ? 1,? e ? 且e ? 2 2 2 a
3

6 , 2) ? ( 2, ??). 2 (2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), P(0,1) ??? ? 5 ??? ? 5 5 ? PA ? PB,? ( x1 , y1 ? 1) ? ( x2 , y2 ? 1).由此得x1 ? x2 . 由于 x1,x2 都是方程①的根, 12 12 12 且 1-a2≠0, 即离心率e的取值范围为(

17 2a 2 5 2 2a 2 x2 ? ? , x2 ? ? . 2 12 1 ? a 12 1 ? a2 2a 2 289 17 消去, x2 , 得 ? ? ,由a ? 0, 所以a ? . 2 60 13 1? a 所以
8. (1)设双曲线方程为

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

(a ? 0, b ? 0).

由已知得 a ? 3, c ? 2, 再由a 2 ? b 2 ? 2 2 , 得b 2 ? 1.

故双曲线 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3 x2 ? y 2 ? 1得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6 2kx ? 9 ? 0. 3
2 ? ?1 ? 3k ? 0, 2 2 2 ? ?? ? (6 2k ) ? 36(1 ? 3k ) ? 36(1 ? k ) ? 0.

(2)将 y ? kx ?

2代入

由直线 l 与双曲线交于不同的两点得 ?
2 即k ?

1 且k 2 ? 1. 3



设 A( x A , y A ), B( x B , y B ) ,则

xA ? xB ?

??? ? ??? ? 6 2k ?9 , xA xB ? ,由OA ? OB ? 2得x A xB ? y A yB ? 2, 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k

而 xA xB ? yA yB ? xA xB ? (kxA ? 2)(kxB ? 2) ? (k 2 ?1) xA xB ? 2k ( xA ? xB ) ? 2

? (k 2 ? 1)

?9 6 2k 3k 2 ? 7 ? 2 k ? 2 ? . 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 3k 2 ? 1


于是

3k 2 ? 7 ?3k 2 ? 9 1 ? 2, 即 ? 0, 解此不等式得 ? k 2 ? 3. 2 2 3 3k ? 1 3k ? 1

由①、②得

1 3 3 ? k 2 ? 1. 故 k 的取值范围为 (?1, ? ) ? ( ,1). 3 3 3
y0 y ? 0 ? ?1, x0 ? c x0 ? c

9. (1)由题设有 m>0,c= m.设点 P 的坐标为(x0,y0),由 PF1⊥PF2,得 化简得 x02+y02=m. ①; 将①与
2 m ? 0, x0 ?

2 x0 m2 ? 1 2 1 2 2 ? y0 ? 1 联立,解得 x0 ? , y0 ? . 由 m ?1 m m

m2 ? 1 ? 0, 得m ? 1. 所以 m 的取值范围是 m≥1. m m ?1 m ?1 (2)准线 L 的方程为 x ? , 设点 Q 的坐标为(x1,y1),则 x1 ? . m m m ?1 ? m | QF2 | x1 ? c m ∴ ② ? ? . | PF2 | c ? x0 m ? x0

| QF2 | m2 ? 1 1 ? ? m ? m2 ? 1, 代入②,化简得 m | PF2 | m ? m 2 ? 1 | QF2 | ? 2 ? 3 ,得 m ? m2 ? 1 ? 2 ? 3 , 无解. 由题设 | PF2 |

将 x0 ?

将 x0 ? ?

| QF2 | m2 ? 1 1 ? ? m ? m 2 ? 1. 代入②,化简得 m | PF2 | m ? m 2 ? 1 | QF2 | ? 2 ? 3 ,得 m ? m2 ? 1 ? 2 ? 3 . 由题设 | PF2 |

解得 m=2. 从而 x0 ? ? 3.5 轨迹方程的求法

3 2 , y0 ? ? , c ? 2 ,得到 PF2 的方程 y ? ?( 3 ? 2)( x ? 2). 2 2

1. D 2. A 3. C 4. A 5.
2

正方形 x ? y ? 1
2

6. 圆的一部分 解得 p ? 16

7. (1)由点 A(2,8)在抛物线 y ? 2 px 上,有 8 ? 2 p ? 2 所以抛物线方程为 y 2 ? 32 x ,焦点 F 的坐标为(8,0)

(2)如图,由 F(8,0)是 ?ABC 的重心,M 是 BC 的中点,所以 F 是线段 AM 的定比分点,且 坐标为 ( x 0 ,y 0 ) ,则

2 ? 2 x0 8 ? 2 y0 ? 8, ? 0. 1? 2 1? 2 解得 x0 ? 11,y0 ? ?4 ,所以点 M 的坐标为 (11, ? 4) .

AF ? 2 ,设点 M 的 FM

y ? 4 ? k ( x ? 11)( k ? 0) ? y ? 4 ? k ( x ? 11) B 由? 2 消x得 ? y ? 32 x A ky 2 ? 32 y ? 32(11k ? 4) ? 0 x 32 M O F 所以 y1 ? y 2 ? . k y ? y2 ? ?4 , 由(2)的结论得 1 2 C 解得 k ? ?4 . y ? 4 ? ?4( x ? 11) ,即 4 x ? y ? 40 ? 0 . 因此 BC 所在直线的方程为 8. (1)直线 l 过点 M(0,1)设其斜率为 k,则 l 的方程为 y ? kx ? 1. 记 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y 2 ), 由题设可得点 A、B
?y ? k ? x1 ① ? 2 的 坐 标 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y 2 ) 是 方 程 组 ? 2 y 的解. 将①代入②并化简 ?1 ② ?x ? ? 4 2 k ? x ? x2 ? ? , ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? x ? x y ? y2 ? 1 4 ? k 2 于 是 OP 2 2 得 , (4 ? k ) x ? 2kx ? 3 ? 0 , 所 以 ? ? (OA ? OB) = ( 1 2 , 1 ) = 8 2 2 2 ?y ? y ? . 2 ? 1 4 ? k2 ? ?k ? x? , ? ?k 4 ? 4 ? k 2 消去参数 k 得 4 x 2 ? y 2 ? y ? 0 ③ ( x , y ), .设点 P 的坐标为 则 ( , ) ? 4 ? k2 4 ? k2 ?y ? 4 . ? 4 ? k2 ?

(3)由于线段 BC 的中点 M 不在 x 轴上,所以 BC 所在的直线不垂直于 x 轴. 设 BC 所成直线的方程为 y

当 k 不存在时,A、B 中点为坐标原点(0,0),也满足方程③,所以点 P 的轨迹方程为 4 x ? y ? y ? 0.
2 2

??? ? 1 1 1 1 1 ,即 ? ? x ? . 所以 | NP |2 = ( x ? )2 ? ( y ? )2 = 16 4 4 2 2 ? ??? ? 1 2 7 1 2 1 1 ??? 1 1 2 , 故当 x ? , | NP | 取得最小值 , 最小值为 ;当x ? ? 时 , | NP | 取得最大 ( x ? ) ? ? 4 x = ?3( x ? ) ? 4 4 6 6 12 2 4 21 值,最大值为 . 6

(2)由点 P 的轨迹方程知 x2 ?

9. 由题意,直线 AB 不能是水平线, 故可设直线方程为: ky ? x ? 2 p . 又设 A( xA , y A ), B( xB , yB ) ,则其坐标满足
?ky ? x ? 2 p, ? 2 ? y ? 2 px. 消去 x 得 y 2 ? 2 pky ? 4 p 2 ? 0 ,

y

y2=2px B

H O A Q(2p,0) x

由此得 ?

? ? y A ? yB ? 2 pk , , 2 ? ? y A yB ? ?4 p .

? x A ? xB ? 4 p ? k ( y A ? yB ) ? (4 ? 2k 2 ) p, ? ? ( y A yB ) 2 2 ? x A xB ? (2 p) 2 ? 4 p ? ??? ? ??? ? 因此 OA ? OB ? xA xB ? yA yB ? 0 .

即 OA⊥OB. 故 O 必在圆 H 的圆周上.又由题意圆心 H( xH , y H )是 AB 的中点,
x ? xB ? xH ? A ? (2 ? k 2 ) p, ? ? 2 故? , ? y ? y A ? yB ? kp. B ? ? 2
2 2 由前已证,OH 应是圆 H 的半径,且 | OH |? xH ? yH ? k 4 ? 5k 2 ? 4 p .

从而当 k=0 时,圆 H 的半径最小,亦使圆 H 的面积最小. 此时,直线 AB 的方程为:x=2p. 8.6 圆锥曲线的应用
1 1 ,0) ? (0, ] 6. 用代数的方法研究图形的几何性质. 10 10 7. (1)由条件得直线 AP 的方程 y ? k ( x ? 1), 即 kx ? y ? k ? 0.

1. A 2. D 3. B 4. A 5. [?

因为点 M 到直线 AP 的距离为 1, ∴ 即 m ?1 ?
k2 ?1 1 ? 1? 2 . k k

mk ? k k ?1
2

? 1,

y

P

O A M x 2 3 3 ∵ k ? [ , 3], ∴ ? m ? 1 ? 2, 3 3 Q 2 3 2 3 解得 +1≤m≤3 或-1≤m≤1. 3 3 2 3 2 3 ∴m 的取值范围是 [?1,1 ? ] ? [1 ? ,3]. 3 3 y2 (2)可设双曲线方程为 x2 ? 2 ? 1(b ? 0), 由 M ( 2 ? 1,0), A(1,0), 得 AM ? 2 .又因为 M 是 ΔAPQ 的内心,M b 到 AP 的距离为 1,所以∠MAP=45?,直线 AM 是∠PAQ 的角平分线,且 M 到 AQ、PQ 的距离均为 1.因 此, k AP ? 1, k AQ ? ?1 (不妨设 P 在第一象限)直线 PQ 方程为 x ? 2 ? 2 .直线 AP 的方程 y=x-1,∴解得 P 的
坐 标 是 (2+
2 ,1+ 2 ), 将 P 点 坐 标 代 入

x2 ?

y2 2 ?1 ? 1 得 , b2 ? ,所以所求双曲线方程为 2 ?3 b2

x2 ?

( 2 ? 3) 2 y ? 1, 2 ?1

即 x2 ? (2 2 ? 1) y 2 ? 1.
1 ? y? x ? ? x ? ?4 ?x ? 8 1 ? 2 8. ⑴解方程组 ? ,得 ? 或? ,即 A(-4,-2),B(8,4), 从而 AB 的中点为 M(2,1).由 kAB= ,直 1 y ? ? 2 y ? 4 2 2 ? ? ?y ? x ? 4 ? 8 ?

线 AB 的垂直平分线方程 y-1=-2(x-2).令 y=-5, 得 x=5, ∴Q(5,-5)
1 (2) 直线 OQ 的方程为 x+y=0, 设 P(x, x2-4).∵点 P 到直线 OQ 的距离 d= 8
1 x ? x2 ? 4 1 2 8 = x ? 8x ? 32 , 2 8 2

OQ ? 5 2 ,∴SΔOPQ=

1 5 2 x ? 8x ? 32 .∵P 为抛物线上位于线段 AB 下方的点, 且 P 不在直线 OQ OQ d = 16 2

上, ∴-4≤x<4 3 -4 或 4 3 -4<x≤8. ∵函数 y=x2+8x-32 在区间[-4,8] 上单调递增, ∴当 x=8 时, ΔOPQ 的面积取到最大值 30. 9. (1)设椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1 ,由题设条件得 a 2 b2 a ? c ?| OA|?| OF2 | ?| F2 A| ? 6371 ? 200 ? 6571
B F1O

y

a ? c ?| OB|?| OF2 | ?| F2 B| ? 6371 ? 350 ? 6721 2 解得 a ? 6646,c ? 75 . 所以 a ? 44169316 .

A F2

x

b ? a ? c ? (a ? c)(a ? c) ? 6721 ? 6571 ? 44163691 x2 y2 ? ? 1. 所以椭圆的方程为 44169316 44163691
2 2 2

. (注:由 44163691 ? 66455768 得椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1,也是正确的.) 6646 2 6645.6 2

(2)从 15 日 9 时到 16 日 6 时共 21 个小时,合 21×3600 秒,减去开始的 9 分 50 秒,即 9×60+50=590(秒),再 减去最后多计的 1 分钟,共减去 590+60=650(秒). 得飞船巡天飞行的时间是 21? 3600 ? 650 ? 74950 (秒), 平均速度是

600000 ? 8 (千米/秒) 74950

所以飞船巡天飞行的平均速度是 8km/s.

本章测试题 一、选择题 1.D 2.B 二、填空题
2

3.B
2

4.B

5.A

6.B

7.B

8.D 15. ?

9.B

10.B

11.B 12.D

13. y ? ?8x 或 x ? 8 y 三、解答题 17. (1)

14. 2 3

1 3
4 3

16. | PF2 |? 17

y 2 x2 ? ?1 4 3

(2) tan ?F1 PF2 ?

18. (1) | MQ |min ? 2 2, | MQ |max ? 6 2; (2)umax ? 2 10 ? 10, umin ? ?2 10 ? 10 ; (3) vmax ? 2 ? 3.

18 6 54 42 , ), P( ,? ) ,直线 l : ax ? 10y ? 84 ? 108 3 ? 0 经过点 P,求出 5 5 5 5 2? a ? 10 3 ,所以直线 l 的倾斜角 . 3 p 20.(1)设 P 点到抛物线的准线: x ? ? 的距离为 d ,由抛物线的定义知 d ?| PF | , 2 p p ? (| PA | ? | PF |)min ? (| PA | ? d ) min ? ? 4 ,? ? 4 ? 8 ? P ? 8 , 2 2
19. (2)算出 D(

? 抛物线的方程为 y 2 ? 16x .
(2)由(1)得 F (4,0) ,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 4) ,显然, k ? 0 。把直线方程代入抛物线, 得 k 2 x 2 ? (8k 2 ? 16) x ? 16k 2 ? 0 ,

? | MN |? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2 ? ( ? 1? k 2 ?

8k 2 ? 16 2 ) ? 64 k2

64k 4 ? 162 k 2 ? 162 ? 64k 4 1? k 2 ? ? 16 1 ? k 2 k4 k2

16(1 ? k 2 ) ? ? 32 , ? k 2 ? 1 即 ? 1 ? k ? 1 ,? 直线 l 斜率的取值范围为 [?1,0) ? (0,1] ,所以, 直线 l 2 k
倾斜角的取值范围为 (0,

?
4

]?[

3? ,? ) . 4

21. (1)如图建立直角坐标系,则点 P(11,4.5) , 椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. a2 b2

将 b=h=6 与点 P 坐标代入椭圆方程,得 a ? 33.3 米. (2)由椭圆方程

44 7 88 7 , 此时l ? 2a ? ? 33.3 .因此隧道的拱宽约为 7 7

x2 y2 112 4.5 2 ? 2 ? 1. ? ? 1 ,得 a2 b a2 b2

112 4.5 2 2 ? 11? 4.5 因为 2 ? 2 ? 即ab ? 99, 且l ? 2a, h ? b, ab a b ? ?ab 99? 所以S ? lh ? ? . 4 2 2 112 4.5 2 1 9 2 当S取最小值时 , 有 2 ? 2 ? , 得a ? 11 2 , b ? 2 2 a b 此时l ? 2a ? 22 2 ? 31.1, h ? b ? 6.4
故当拱高约为 6.4 米、拱宽约为 31.1 米时,土方工程量最小.

??? ? ??? ? ??? ? ? | AB | ? 2 | OA | ?u 2 ? v 2 ? 100 ? , 即 22. (1)设 AB ? (u , v), 则由 ? ??? 得 ? ??? ? ? 4 u ? 3 v ? 0, AB ? OA ? 0 ? ? ?
??? ? ??? ? ??? ? ?u ? 6 ?u ? ?6 ,或? .因为OB ? OA ? AB ? (u ? 4, v ? 3), ? ?v ? 8 ?v ? ?8
所以 v-3>0,得 v=8,故 AB =(6,8). (2)由 OB =(10,5) ,得 B(10,5) ,于是直线 OB 方程: y ?

1 x. 2

由条件可知圆的标准方程为:(x-3)2+(y+1)2=10, 得圆心(3,-1) ,半径为 10 .设圆心(3,-1)关 于直线 OB 的对称点为(x ,y)则

y ?1 ?x ? 3 ? 2? ?0 ? ?x ? 1 ? 2 2 , 得? , 故所求圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=10. ? y ? 1 y ? 3 ? ? ? ?2 ?x ?3 ?
(3)设 P (x1,y1), Q (x2,y2) 为抛物线上关于直线 OB 对称两点,则

y ? y2 ? x1 ? x 2 2 ?2 1 ?0 ? ? ? x1 ? x 2 ? ? a 2 ? 2 ? , 得? , ?y ? y 5 ? 2a 2 ? 1 ? ? ?2 x1 x 2 ? ? ? 2a 2 ? ? x1 ? x 2 即x1 , x 2为方程x 2 ? 2 5 ? 2a x? ? 0的两个相异实根 , a 2a 2 4 5 ? 2a 3 于是由? ? 2 ? 4 ? ? 0, 得a ? . 2 2 a 2a

故当 a ?

3 时,抛物线 y=ax2-1 上总有关于直线 OB 对称的两点. 2


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