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解三角形典型例题


专题 10:解三角形
一、 知识点梳理: 1、正弦定理:在△ABC 中,
a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C 注:①R 表示△ABC 外接圆的半径 ②正弦定理可以变形成各种形式来使用
③两类正弦定理解三角形的问题: 第 1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. 第 2、已知两角和其中一边的对角,求其他边角


2、余弦定理:在△ABC 中,
a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC

也可以写成第二种形式:
cos A ? b2 ? c2 ? a2 a2 ? c2 ? b2 a2 ? b2 ? c2 , cos B ? , cosC ? 2bc 2ac 2ab

注:两类余弦定理解三角形的问题:
第 1、已知三边求三角. 第 2、已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角

3、△ABC 的面积公式,
1 1 1 aha= bhb= chc(ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 上的高) ; 2 2 2 1 1 1 (2) S ? = absinC= bcsinA= acsinB; 2 2 2
(1) S ? = 二、 :典型题目 1、利用正余弦定理解三角形 (1) 在△ABC 中, a ? 2 3, b ? 6, A ? 30?, 求B; (2) 在△ABC 中, a ? 2 3, b ? 2, A ? 60?, 求B; (3) 在 ?ABC 中,如果 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc ,那么角 A 等于( (4) 在△ABC 中,若 A:B:C=3:4:5,则 a : b : c 等于( (5) 在△ABC 中,若 a : b : c =2:3:4,则 sinA 等于( ) ) )

2、在△ABC 中, a=12,A= 600 ,要使三角形有两解,则对应 b 的取值范围为

3、判定下列三角形的形状 (1) 在△ABC 中,已知 a ? 3, b ? 4, c ? 38 ,请判断△ABC 的形状。

(2) 在△ABC 中,已知 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,请判断△ABC 的形状。

(3) 在△ABC 中,已知 cos A ?

1 2 , a ? bc ,请判断△ABC 的形状。 2

(4) 在 ?ABC 中,若 sin B sin C ? cos 2

A ,请判断△ABC 的形状。 2

(sin (5)在△ABC 中, A ? sin B ? sin C )(sin B ? sin C ? sin A) ? 3 sin B sin C, 请判断△ABC 的形状。

四、综合应用 1、设 △ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b2 ? c2 ? a2 ? 3bc,
(1)求 A 的大小; (2)求 2sin B cos C ?sin ? B ? C ? 的值。

1 3 2、在△ABC 中, tan A ? , tan B ? . 4 5
(1)求角 C 的大小; (2)若△ABC 的最大边长为 17 ,求最小边的长

3、在 △ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,已知 c ? 2 , C ?
(Ⅰ )若 △ ABC 的面积等于 3 ,求 a, b ; (Ⅱ )若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 △ ABC 的面积.

? . 3

cos B ?? 4、在 ?ABC 中 , a , b , c 分别是角 A , B , c 的对边,且

cos C (1)求角 B 的大小; (2)若 b ? 13 a ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积. ,

b . 2a ? c

5、在△ABC 中,若△ABC 的面积为 S,且 2S ? (a ? b) ? c ,求 tanC 的值。
2 2


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