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数学(文)一轮教学案:第五章第1讲 平面向量的概念及线性运算 平面向量的基本定理 Word版含解析


第五章 平面向量 第 1 讲 平面向量的概念及线性运算 平面向量的基本定理 考纲展示 命题探究 考点一 平面向量的线性运算及几何意义 1 向量的有关概念 名称 向量 零向量 单位向量 平行向量 相等向量 相反向量 的模(或称向量的长度) 长度为零的向量叫做零向量,其方向是不确定的,零向 量记作 0 长度等于 1 个单位的向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量, 平行向量又 叫共线向量.规定:零向量与任一向量平行 长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量 定义 既有大小又有方向的量叫做向量, 向量的大小叫做向量 2 向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 (1)交换律: a+b 加法 求两个向量和 的运算 =b+a (2)结合律: (a+b)+c=a+ (b+c) 求 a 与 b 的相反 减法 向量-b 的和的 运算叫做 a 与 b 的差 3 向量的数乘和共线定理 (1)向量的数乘 ①长度:|λa|=|λ||a| ②方向 当 λ>0 时,λa 的方向与 a 的方向相同; 当 λ<0 时,λa 的方向与 a 的方向相反, 当 λ=0 时,λa=0,其方向是任意的. (2)向量的数乘的运算律 设 λ,μ 为实数,则①λ(μ a)=(λμ)a;②(λ+μ)a=λa+μa;③λ(a +b)=λa+λb. (3)向量共线定理 向量 a(a≠0)与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 λ,使得 b=λa. 注意点 对向量的运算结果的理解 (1)两个向量的和或差仍是向量. (2)λ· a 仍是向量.(λ∈R) a-b=a+(-b) 1.思维辨析 (1)单位向量只与模有关,与方向无关.( (2)零向量的模等于 0,没有方向.( ) ) (3)若两个向量共线,则其方向必定相同.( ) (4)若 a∥b,b∥c,则必有 a∥c.( → → (5)AB+BA=0.( 答案 ) ) (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√ → → → 2. 如图, 在正方形 ABCD 中, AC 与 BD 交于点 O, AB+BO+OC =( ) A.0 → C.AC 答案 C → B.AD → D.BD → → → → → → 解析 AB+BO+OC=AO+OC=AC. → → → 3.设 a、b 是两个不共线向量,AB=2a+pb,BC=a+b,CD= a-2b,若 A、B、D 三点共线,则实数 p 的值为________. 答案 解析 -1 → → → ∵BD=BC+CD=2a-b,又 A、B、D 三点共线, → → ∴存在实数 λ,使AB=λBD. ? ?2=2λ 即? , ?p=-λ ? ∴p=-1. [考法综述] 高考考查向量的概念、加减运算、数乘运算和 向量共线的条件.一般难度不大. 命题法 对概念的理解、运算和共线定理的应用 典例 (1)下列说法中: ①若|a|=|b|,则 a=b; → → ②若 A,B,C,D 是不共线的四点,则AB=DC是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件; ③若 a=b,b=c,则 a=c; ④a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a∥b; ⑤若 a∥b,b∥c,则 a∥c. 其中正确命题的序号是( A.②③ C.③④ → → → 足 2AC+CB=0,则OC=( → → A.2OA-OB 2→ 1→ C.3OA-3OB d,那么( ) B.k=1 且 c 与 d 反向 D.k=-1 且 c 与 d 反向 ) B.①② D.④⑤ (2)已知 O,A,B 是平面上的

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